Théorème de Plancherel
Théorème 1 (Plancherel). Soitf ∈L1(Rd)∩L2(Rd). Alorsfb:ξ ∈ Rd →R
Rde−ix·ξf(x)dx, transformée de Fourier def, est dansL2(Rd), et de plus
kfbk22:=
Z
Rd
|fb(ξ)|2dξ= (2π)d Z
Rd
|f(x)|2dx=: (2π)dkfk22.
Preuve. Posonsgd,ε(x) := (2πε)−d/2e−|x|2/(2ε)pour tousx∈Rd et ε >0. On notegd:=gd,1. 1. Transformée de Fourier d’une gaussienne. Calculonsg“d. Pour toutξ∈R,
√2πg“1(ξ) :=
Z
R
e−ixξ−x2/2dx.
L’intégrande estC1en(x, ξ)et sa dérivée selonξest dominée uniformément enξparx7→xe−x2/2 qui est intégrable surR, donc d’après le théorème de dérivationC1 sous le signe intégral,g“1estC1surRet pour tout ξ∈R,
√2πg“1′(ξ) = Z
R
−ixe−ixξ−x2/2dx
=i Z
R
(−iξ−x)e−ixξ−x2/2dx−ξ Z
R
e−ixξ−x2/2dx
=iî
e−ixξ−x2/2óx=+∞ x=−∞−√
2π ξg“1(ξ)
“
g1′(ξ) =−ξg“1(ξ),
donc g“1 vérifie l’équation différentielle bien connue y′+ξy= 0. Commeg“1(0) = 1 (intégrale de Gauss),
“
g1(ξ) =e−ξ2/2 pour toutξ∈R. Enfin, on déduit du théorème de Fubini que pourξ:= (ξ1, . . . , ξd)∈Rd,
“ gd(ξ) =
Z
Rd
Yd
i=1
(2π)−1/2e−ixiξi−x2i/2dx
= Yd
i=1
“ g1(ξi)
=e−|ξ|2/2. Remarquons ici que pour toutε >0,R
Rdgd,ε=g“d(0) = 1grâce au changement de variable affinex←√ εx.
2. Approximation par convolution avec une gaussienne.
a) Soitg∈ Cc(Rd). On montre queg ⋆ gd,ε−−−→
ε→0 guniformément et dansL2. Pour toutx∈Rd,
|g(x)−g ⋆ gd,ε(x)|= Z
Rd
[g(x)−g(x−y)]gd,ε(y)dy 6
Z
Rd|g(x)−g(x−√
εz)|gd(z)dz (y←√ εz) 62kgk∞
Z
B(0,R)∁
gd(z)dz+ωg(√ εR) donc kg−g ⋆ gd,εk∞= o
ε→0(1), (R:=ε−1/4)
vu l’intégrabilité de gd et l’uniforme continuité de g. D’où la convergence uniforme. Passons à la convergence dansL2(Rd). Pour toutx∈Rd,
|g(x)−g ⋆ gd,ε(x)|26kg−g ⋆ gd,εk∞(|g(x)|+|g ⋆ gd,ε(x)|), avecg∈L1(Rd)et |g ⋆ gd,ε(x)|6
Z
Rd|g(x−y)|gd,ε(y)dy (6kgk1kkgd,εk∞), donc
Z
Rd|g ⋆ gd,ε(x)|dx6 Z
Rd
gd,ε(y) ÅZ
Rd|g(x−y)|dx ã
dy=kgk1
(grâce au théorème de Fubini–Tonelli). D’où la convergence dans L2(Rd): Z
Rd
|g(x)−g ⋆ gd,ε(x)|2dx62kg−g ⋆ gε,dk∞kgk1−−−→ε
→0 0.
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Théorème de Plancherel
b) Cc(Rd)est dense dansL2(Rd), et en écrivant f−f ⋆ gd,ε = (f −g) + (g−g ⋆ gd,ε) + (g−f)⋆ gd,ε
pour g∈ Cc(Rd), on en déduit quef ⋆ gd,ε −−−→
ε→0 f dansL2(Rd).
3. L’égalité-clé. Montrons l’égalité Z
Rd|fb(ξ)|2e−ε|ξ|2/2dξ= (2π)d Z
Rd
f(x)f ⋆ gd,ε(x)dx. (⋆)
Il suffit de développer le membre de gauche et d’appliquer le théorème de Fubini–Lebesgue : Z
Rd
|fb(ξ)|2e−ε|ξ|2/2dξ= Z
Rd
ÅZ
Rd
eix·ξf(x)dx ã ÅZ
Rd
e−iy·ξf(y)dy ã
e−ε|ξ|2/2dξ
= Z
Rd
Z
Rd
f(x)f(y) ßZ
Rd
e−i(y−x)·ξ−ε|ξ|2/2dξ
™ dydx
=ε−d/2 Z
Rd
Z
Rd
f(x)f(y) (Z
Rd
e−i(y−x)·√ηε−|η|2/2dη
(2π)d/2“gd(y√−εx)
)
dydx (η←√εξ)
= (2π/ε)d/2 Z
Rd
Z
Rd
f(x)f(y)e−|x−y|
2
2ε dydx
= (2π)d Z
Rd
f(x)f ⋆ gd,ε(x)dx.
Conclusion. Par convergence monotone, le membre de gauche de (⋆) tend verskfbk22 lorsque ε→0. Quant au membre de droite, il tend vers (2π)dkfk22grâce à l’inégalité de Cauchy–Schwarz :
Z
Rd
f(x)f ⋆ gd,ε(x)dx− Z
Rd
|f(x)|2dx =
Z
Rd
f(x)(f ⋆ gd,ε(x)−f(x))dx
6kfk2kf ⋆ gd,ε−fk2
−−−→ε
→0 0.
Corollaire 2. La transformation de Fourier F:f ∈ L1(Rd)∩L2(Rd) 7→ L2(Rd) se prolonge en une unique application linéaire continue deL2(Rd)dansL2(Rd).
Preuve. Cela résulte du théorème de prolongement des applications linéaires continues, vu la densité deL1(Rd)∩
L2(Rd)dans l’espace de BanachL2(Rd).
Références. [Far]
208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables réelles.
239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
240 Produit de convolution, transformation de Fourier. Applications.
[Far] JacquesFaraut: Calcul intégral.
[email protected] – v20141005 2/2
