Automates en ligne (X 1998)

option informatique

Automates en ligne (X 1998)

Durée : 3 heures

Partie I. Motifs et automates

Mots et motifs

Dans tout le problème, étant donné un ensembleEet un entier natureln, on définit un mot de longueurnsurEcomme une séquencem=α₀α₁· · ·α_n−1d’éléments deE(dans le casn= 0,mest le mot vide). Etant donnés deux entiers naturelsietk avec 06i < net 06i+k < n, le sous-mot demde longueurkpositionné eniest le motα_iα_i+1· · ·α_i+k−1. La concaténation de deux motsm=α₀α₁· · ·α_n−1etm⁰ =α⁰₀α⁰₁· · ·α⁰_n⁰−1est le motm⁰⁰=mm⁰=α⁰⁰₀α⁰⁰₁· · ·α⁰⁰_n+n⁰−1avecα⁰⁰_i =α_i pouricompris entre 0 etn−1 etα⁰⁰_i =α⁰_i−npouricompris entrenetn+n⁰−1. Réciproquement,mest alors un préfixe dem⁰⁰etm⁰un suffixe dem⁰⁰.

Une lettreαest une lettre de l’alphabeta,b, . . . ,z. Un mot (alphabétique)mest un mot de lettres. Un motif simples est soit une lettreα, soit l’étoile∗, soit un motif optionnels⁰? oùs⁰est un motif simple. Un motifpest un mot de motifs simples. Par exemple,coucouest un mot et un motif, tandis quec?ou*couest un motif, ce dernier étant composé de sept motifs simplesc?,o,u,*,c,oetu.

Les motifs filtrent les mots au sens suivant : – le motif vide filtre le mot vide ;

– le motif lettreαfiltre le mot d’une lettreα; – le motif∗filtre tous les mots ;

– un motif simple optionnels? filtre les mêmes mots quesplus le mot vide ;

– un motifp₁p₂tel que nip₁nip₂ne sont le motif vide filtre les motsm₁m₂oùp₁filtrem₁etp₂filtrem₂. Question 1. On étudie quelques propriétés du filtrage.

a) Donner les mots filtrés par les motifscl?ouetc?ou*cou.

b) Trouver un motifpet un motmtel quepfiltremde deux façons distinctes, c’est-à-dire qu’il existe une décomposition p1p2depainsi que deux décompositions différentesm1m2etm3m4demtels quep1filtrem1etm3etp2filtrem2et m4.

c) Soit un motifp=p₁p₂et un motmtels quepfiltrem. Montrer qu’il existe deux motsm₁etm₂tels quep₁filtrem₁, p₂filtrem₂etm=m₁m₂.

d) Deux motifs sont dits équivalents quand ils filtrent les mêmes mots. Le poids d’un motif est le nombre de caractères qui le composent. Par exemple, le poids du motifc?ou*couest huit. Pour chacun des motifs*?,**eta???donner un motif équivalent de poids minimal.

Automates en ligne

Un automate en ligne ànétats est un couple (E,T) où E est une suite d’étatse₀, e₁, . . . , e_n−1et T un ensemble de transitions.

Une transition est un triplet formé de deux états et d’une étiquette. On se limite à trois formes de transitions : – les transitions alphabétiques de la forme (ei, ei+1,α) oùαest une lettre ;

– les transitions étoile de la forme (e_i, e_i,∗) ;

– les transitions instantanées de la forme (ei, ei+1,ε).

Le problème ne traitera que des automates en ligne que l’on appelera tout simplement "automates". Un automate est donc un graphe dirigé dont les sommets sont les étatse₀, e₁, . . . , e_n−1et les arcs sont les transitions. Voici par exemple un automate à cinq états :

0 ^c 1 ^l 2 3 4

ε

o u

Figure1 – Un exemple d’automate en ligne.

À cause des transitions étoile et des transitions instantanées les automates en ligne sont des automates non déterministes.

Une façon de traiter ce non-déterminisme est de considérer des ensembles d’états.

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Pour tout ensemble d’états A, on définitε(A), la fermeture par transitions instantanées de A, comme le plus petit sur-ensemble de A qui obéit à la propriété suivante :

ei ∈ε(A) et (e_i, ei+1,ε)∈T =⇒ei+1∈ε(A).

Un ensemble d’états est dit clos par transitions instantanées lorsqu’on aε(A) = A.

Étant donnés un ensemble d’états A et une lettreα, on noteα(A) l’ensemble : α(A) =n

e_i

(e_i−1∈A et (e_i−1, e_i,α)∈T) ou (e_i∈A et (e_i, e_i,∗)∈T)o

Enfin, étant donnés un ensemble d’états A clos par transitions instantanées et une lettreα, on définit l’étape A→^α A⁰en posant A⁰=ε(α(A)). Par exemple,{e0}→ {^c e1, e2}est une étape de l’automate présenté figure 1.

La lecture d’un motm=α₀α₁· · ·α_k−1de longueurk>0 par un automateAànétats est la production de A₀,A₁, . . . ,A_k, suite d’ensembles d’états deAavec :

A₀=ε({e₀})→^α0A₁→ · · ·^{α1 α}→^k−1A_k.

On noteA[m] le dernier ensemble d’états Ak. Par définition, l’automateAreconnaît le motmquand son état finalen−1

appartient àA[m]. Par exemple,{e0}→ {^c e1, e2}→ {^o e3}→ {^u e4}est la reconnaissance du mot "cou" par l’automate dessiné figure 1.

Question 2. On demande de construire un automateA(p) qui reconnait les mots filtrés parpet seulement eux dans les cas suivants :

a) le motifpest un motif simple ; b) le motifpest vide ;

c) le motifpest composite :p=p₁p₂. d) Application : donnerA(c?ou*cou).

Implémentation machine des automates

La grande simplicité des automates en ligne autorise une implémentation efficace à l’aide d’entiers binaires, pourvu que leur nombre d’états soit suffisamment petit, condition que l’on supposera toujours vérifiée.

Un bit est 0 ou 1. Le représentation binaire surpbits d’un entiernest la suite depbits, notéebp−1· · ·b1b0ou (bi), telle que l’on an=

p−1

X

i=0

bi2ⁱ. Du point de vue de la machine, un entiernet sa représentation binaire sont identiques.

Outre l’arithmétique traditionnelle, un ordinateur fournit certaines opérations sur les entiers binaires. Le décalage dek bits à gauche (bi)kest la suite (c_i) avecc_i = 0 pouri < ketc_i =b_i−k autrement. Le "ou logique" (b_i)∨(c_i) est la suite (b_i∨c_i) où∨est le "ou binaire" défini par 0∨0 = 0, 1∨0 = 1, 0∨1 = 1, et 1∨1 = 1. Le "et logique" (b_i)∧(c_i) est la suite (b_i∧c_i) où∧est le "et binaire" défini par 0∧0 = 0, 1∧0 = 0, 0∧1 = 0, et 1∧1 = 1.

Un ensemble d’états A d’un automate ànétats avecn6psera implémenté en machine par un entier (b_i) avecb_i = 1 sie_i ∈A, les autres bits étant nuls. Les transitions de l’automate seront représentés de façon similaire par un certain nombre d’entiers, à raison d’un entier Nαpar lettreα, d’un entier N∗et d’un entier Nε. On pose Nα= (b_i) avecb_i = 1 si (e_i, e_i+1,α)∈T ; N∗= (b_i) avecb_i= 1 si (e_i, e_i,∗)∈T et Nε= (b_i) avecb_i= 1 si (e_i, e_i+1,ε)∈T (tous les bits non spécifiés sont nuls).

Par exemple, dans le cas de l’automate présenté figure 1 et représentable sur cinq bits, il y a quatre entiers non nuls, à savoir N_c= 00001, N_l= 00010, N_o= 00100, N_u= 01000 ; en outre on a N∗= 00000 (il n’y a aucune transition étoile) et Nε= 00010 (il existe une transition instantanée dee1verse2). L’étape{e0}→ {^c e1, e2}est la transformation de 00001 et 00110.

Question 3. Etant donnés un automate ànétats implanté en machine par les entiers N_α, N∗et N_ε, un ensemble d’états A clos par transitions instantanées codé par un entieraet une lettreα, donner une méthode de calcul dea⁰, l’entier qui encode A⁰ tel que A→^α A⁰. On n’oubliera pas que A⁰est, par définition, clos par transitions instantanées.

Partie II. Reconnaissance de motifs

Les mots et les motifs sont représentés en machine par des chaînes de caractères. Formellement les chaînes (de type string) sont des mots sur l’ensemble des caractères de la machine (de typechar). On rappelle quelques primitives sur les caractères

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et les chaînes. La fonctionint_of_charde type^{char −> int}renvoie le code du caractère passé en argument. La fonction char_of_intréalise l’opération inverse. Il est à noter que les codes des lettres de l’alphabet sont consécutifs. La fonction string_lengthde type string −> intrenvoie la longueur de la chaîne passée en argument. l’opération primitives1 ^ s2 produit une nouvelle chaîne qui est la concaténation des1ets2. Étant donnés une chaînesde longueurnet un entieri avec 06i < nla notations.[i]désigne le caractère d’indiceide la chaînes(enCamll’indice du premier caractère dans une chaîne est zéro).

Le décalage à gauche est réalisé par la primitivelsl, le "ou logique" par la primitiveloret le "et logique" par la primitiveland. Ces trois primitives sont de typeint −> int −> int. On rappelle que lers entiers machine sont toujours assez grands pour pouvoir représenter les ensembles d’états des automates. En outre, on ne se préoccupera pas d’éventuelles erreurs dues aux débordements de capacité.

Comme on l’a déjà vu, un automate est la donnée d’une taillen, de Nα pourαvariant deaàz, de N∗ et de Nε. Ces données seront rangées respectivement dans une variable globalen_etats, un tableau d’entiersalpha, ainsi que dans deux variables globalesetoileetepsilondont les déclarations suivent :

let alpha = make_vect 26 (−1) and etoile = ref (−1)

and epsilon = ref (−1) and n_etats = ref (−1) ;;

Question 4. Dans cette question on suppose que les variablesn_etats,alpha, etc. représentent un automateAàn états. Soit un entieretatsqui représente un ensemble d’états A deA, tel que A est clos par transitions instantanées. Soit également une lettreαreprésentée en machine par le caractèrec.

a) Écrire les fonctionsmangede type int −> char −> int etfermede typeint −> int telles que les appelsmange etats c etferme etatsrenvoient un entier qui encode respectivement les ensemblesα(A) etε(A).

b) Écrire la fonctionetapede type int −> char −> int telle que l’appeletape etats crenvoie un entier qui encode l’ensemble d’états A⁰tel que A→^α A⁰.

c) Exprimer la complexité d’une exécution de etape, d’abord dans le cas où le motif pne contient pas de motif optionnel, puis dans le cas général. Dans ce cas général, on pourra borner le coût d’exécution deetapeen utilisant toute caractéristique jugée pertinente du motifp.

d) Ecrire la fonctionetat_finalde type int −> booltelle que l’appeletat_final etatsteste la présence de l’état final e_n−1dans l’ensemble d’états A.

Question 5. Le but de cette question est la construction de l’automateA(p).

a) Ecrire la fonctionconstruire_autode type string −> unitqui prend en argument une chaîne de caractèresprepré- sentant un motifpet initialise les variablesn_etats,alpha,etoileetepsilonafin qu’elles encodent l’automate A(p). Dans le cas où la chaînepn’est pas un motif, la construction de l’automate devra échouer. Pour ce faire, on dispose de la primitiveechouequi prend un message d’erreur en argument.

b) Évaluer la complexité de l’appelconstruire_auto pen fonction de la longueur de la chaînep.

Question 6. On programme la reconnaissance du filtrage d’un mot par un motif.

a) Écrire la fonctionfiltrede type string −> string −> booltel que l’appelfiltre p mteste le filtrage du motmpar le motifp.

b) Donner la complexité de l’appelfiltre p men fonction de la longueur de la chaînemet de toute caractéristique pertinente dep, d’abord dans le cas oùpne contient pas de motif optionnel, puis dans le cas général.

Question 7. Dans cette question on étudie la reconnaissance des sous-mots d’un mot.

a) Soitpun motif etmun mot. Trouver un motifqtel queqfiltremsi et seulement sipfiltre un sous-mot dem. En déduire une fonctionfiltre_sous_motde type string −> string −> booltelle que l’appelfiltre_sous_mot p mteste le filtrage d’au moins un sous-mot demparp.

b) On considère un motifpet un motm=α₀α₁· · ·α_k−1. Soit de nouveau la suite d’ensembles d’états A₀,A₁, . . . ,A_k engendrée par la lecture demparA(p) :

A₀=ε({e₀}), A_i+1=ε(α_i(A_i)) pour 06i < k.

Justifier brièvement que l’état final deA(p) appartient à A_i si et seulement sipfiltre un préfixem_i=α₀α₁· · ·α_i−1de m.

Trouver (en justifiant son choix) une suite B₀,B₁, . . . ,B_ktelle que l’état final deA(p) appartient à B_isi et seulement si pfiltre un sous-motα_jα_j+1· · ·α_i−1dem.

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c) De la suite Bidéduire une fonctioncompte_sous_motsde type ^{string −}> string −> int tel que l’appel

compte_sous_mots s mcompte le nombre de sous-mots demqui sont égaux à un mots. La complexité de l’appel compte_sous_mots s mdevra être du même ordre de grandeur que celle defiltre s m.

d) Montrer par un contre-exemple que la suite Bi ne permet pas, à elle seule, de déterminer le nombre de sous-mots d’un motmque filtre un motifpquelconque.

Question 8. Soient deux motsmetµ; on dit quemdiffère deµd’au plus une erreur dans les trois cas suivants : oubli : il existe une décompositionµ=m⁰αm⁰⁰avecm=m⁰m⁰⁰;

insertion : il existe une décompositionµ=m⁰m⁰⁰avecm=m⁰αm⁰⁰; substitution : il existe une décompositionµ=m⁰αm⁰⁰avecm=m⁰βm⁰⁰. (αetβci-dessus sont des lettres quelconques.)

a) On se place d’abord dans le cas d’au plus un oubli. Montrer comment reconnaître si un motmdiffère deµd’au plus un oubli, à l’aide de l’automateA(µ) et de deux suites d’ensembles d’états A_i et A¹_i. On justifiera le choix de ces suites.

b) Généraliser au cas d’une erreur quelconque.

c) Soient deux chaînesmuetmqui représentent respectivement les motsµetm. Écrire une fonctionfiltre_erreurde type ^{string −}> string −> booltel que l’appelfiltre_erreur mu mrépond vrai lorsquemdiffère deµd’au plus une erreur, et faux sinon.

d) Écrire une fonction sous_mot_erreurde type string −> string −> bool telle que l’appelsous_mot_erreur mu m répond vrai lorsqu’un sous-mot demdiffère deµd’au plus une erreur, et faux sinon. La complexité de l’appel sous_mot_erreur mu mdevra être du même ordre de grandeur que celle de l’appelfiltre_erreur mu m.

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