A B E L I A N I N T E G R A L S
G ,. H a r d e r a n d N. S c h a p p a c h e r M a x - P l a n c k - I n s t i t u t
f~r M a t h e m a t i k
G o t t f r i e d - C l a r e n - S t r . 26 5300 B o n n 3
In this a r t i c l e we a t t e m p t to e x p l a i n the f o r m a l i s m of D e l i g n e ' s r a t i o - n a l i t y c o n j e c t u r e for s p e c i a l v a l u e s of m o t i v i c L - f u n c t i o n s (see [DI]) in the p a r t i c u l a r c a s e of L - f u n c t i o n s a t t a c h e d to a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c - ters ( " G r ~ B e n c h a r a k t e r e of type A0"). In t h i s case the c o n j e c t u r e is n o w a t h e o r e m by v i r t u e of two c o m p l e m e n t a r y r e s u l t s , due to D. B l a s i u s and G. H a r d e r , r e s p e c t i v e l y : see §5 below.
F o r any "motive" over an a l g e b r a i c n u m b e r field, D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e r e l a t e s c e r t a i n s p e c i a l v a l u e s of its L - f u n c t i o n to c e r t a i n p e r i o d s of the m o t i v e . M o s t of the time w h e n m o t i v e s come up in a g e o m e t r i c situa- tion, we t e n d to k n o w v e r y l i t t l e a b o u t t h e i r L - f u n c t i o n s . In the s p e c i a l c a s e e n v i s a g e d here, h o w e v e r , the s i t u a t i o n is q u i t e d i f f e r e n t : The L- f u n c t i o n s of a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r s are a m o n g t h o s e for w h i c h H e c k e p r o v e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n to the w h o l e c o m p l e x p l a n e and f u n c t i o n a l e q u a t i o n . B u t the " g e o m e t r y " of the c o r r e s p o n d i n g m o t i v e s has e m e r g e d o n l y f a i r l y r e c e n t l y - see §3 below.
The r e l a t i v e l y g o o d c o m m a n d we n o w h a v e of the m o t i v e s a t t a c h e d to a l g e - b r a i c H e c k e c h a r a c t e r s r e v e a l s t h a t m a n y n o n - t r i v i a l p e r i o d r e l a t i o n s are in fact but r e f l e c t i o n s of c h a r a c t e r - i d e n t i t i e s . T h i s p o i n t of v i e w is s y s t e m a t i c a l l y p e r u s e d in [Seh], a n d we shall i l l u s t r a t e it h e r e by the s o - c a l l e d f o r m u l a of C h o w l a and S e l b e r g : see § 6.
T h i s f o r m u l a , in fact, g o e s b a c k to the y e a r 1897, as d o e s the i n s t a n c e of D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e w i t h w h i c h we s t a r t in § I. T y i n g up t h e s e two r e l a t i o n s in the m o t i v i c f o r m a l i s m , we h o p e to m a k e it a p p a r e n t t h a t b o t h r e s u l t s r e a l l y s h o u l d be v i e w e d " c o m m e les d e u x v o l e t s d ' u n m ~ m e d i p t y q u e '~, as A. W e i l h a s p o i n t e d b u t in [ W I I I ] , p. 463.
C o n t e n t s
§ I A f o r m u l a o f H u r w i t z
§ 2 A l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r s
§ 3 M o t i v e s
§ 4 P e r i o d s
§ 5 T h e r a t i o n a l i t y c o n j e c t u r e f o r H e c k e L - f u n c t i o n s
§ 6 A f o r m u l a o f L e r c h
§ 1o A f o r m u l a o f H u r w i t z
I n 1 8 9 7 , H u r w i t z [Hu] p r o v e d t h a t
1 4v
(I) E' 4v ~ × ( r a t i o n a l n u m b e r ) ,
a , b 6 ~ (a+bi)
f o r a l l ~ = 1 , 2 , 3 , . . . , w h e r e
£ ( r l d x
( 2 ) ~ = 2 1 _ - 2 . 6 2 2 0 5 7 5 5 , . . =
u
N o t i c e t h e a n a l o g y o f t h e s e i d e n t i t i e s w i t h t h e w e l l - k n o w n f o r m u l a f o r t h e R i e m a n n z e t a - f u n c t i o n a t p o s i t i v e e v e n i n t e g e r s :
1 2 v
(3) E' 2~ - (2~i) x ( r a t i o n a l n u m b e r ) .
a£ ~ a
B o t h f o r m u l a s a r e s p e c i a l c a s e s o f D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e . T o u n d e r s t a n d t h i s in H u r w i t z ' c a s e , w e l o o k a t t h e e l l i p t i c c u r v e A g i v e n b y t h e e q u a t i o n
A : y 2 = 4 x 3 _ 4 x .
A is d e f i n e d o v e r ~ , b u t w e o f t e n p r e f e r t o l o o k a t i t a s d e f i n e d o v e r t h e f i e l d k = ~ ( i ) c ~ . O v e r t h i s f i e l d o f d e f i n i t i o n , w e c a n s e e t h a t A a d m i t s c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n b y t h e s a m e f i e l d k :
k > E n d (A) ®
- - X
i I >
I---> i y
D e l i g n e ' s a c c o u n t of Hurwitz' f o r m u l a w o u l d s t a r t f r o m the o b s e r v a t i o n t h a t b o t h s i d e s o f (I) e x p r e s s i n f o r m a t i o n a b o u t the h o m o l o g y
H I (A) ® 4 9 c H 4 ~ (A 4~)
The left h a n d side of (I) c a r r i e s d a t a c o l l e c t e d at the f i n i t e p l a c e s of k , as d o e s the r i g h t h a n d side for the i n f i n i t e p l a c e s .
In fact, l o o k at the d i f f e r e n t c o h o m o l o g y t h e o r i e s :
- E t a l e c o h o m o l o g y : F i x a r a t i o n a l p r i m e n u m b e r ~ , a n d d e n o t e , for n ~ 1 , by A[£ n] the g r o u p of ~ - t o r s l o n p o i n t s in A ( ~ ) , ~ n b e i n g the a l g e b r a i c c l o s u r e of ~ in ~ . T h e n
V£(A) = I<lim A[£n])®ZZ£ ~£
n
is the d u a l of the f i r s t £ - a d i c c o h o m o l o g y of A × k ~
in ~£
w i t h c o e f f i c i e n t s
By f u n c t o r i a l i t y , t h e i s o m o r p h i s m k ~ ~ ® ~ E n d A m a k e s Vi(A) into a k ® ~ £ - m o d u l e , free of r a n k I. The n a t u r a l c o n t i n u o u s a c t i o n
of Gal (W/k) o n V£(A) is k ® ~ - l i n e a r , a n d t h e r e f o r e g i v e n by a c o n t i n u o u s c h a r a c t e r
~£: G a l (~/k)ab - - > GL k ® ~ £ ( V Z(A)) = ( k ® ~ z ) * .
T h i s c h a r a c t e r w a s e s s e n t i a l l y d e t e r m i n e d - if f r o m a r a t h e r d i f f e r e n t p o i n t o f v i e w - o n J u l y 6, 1814 b y G a u s s , [Ga] . T h e e x p l i c i t a n a l y s i s of the G a l o i s - a c t i o n o n t o r s i o n - p o i n t s of A w a s c a r r i e d o u t (in a s t u n n i n g - ly " m o d e r n " fashion) in 1850 by E i s e n s t e i n , [El]. - In a n y case, if
is a p r i m e e l e m e n t of ~ [i] n o t d i v i d i n g 2Z , n o r m a l i z e d so that
~ I (mod (I+i) 3) , a n d if F 6 Gal (~/k)ab is a g e o m e t r i c F r o b e n i u s
e l e m e n t a t (~) (i.e., F-1(x)~ ~ x ~ ~ (mod P ) for a n y p r i m e P o f k a b d i v i d i n g (~), a n y a l g e b r a i c i n t e g e r x 6 k a b ) , t h e n o n e f i n d s
~ ( F ) = - I 6 k* c > ( k ® Q £ ) *
T h e c h a r a c t e r s ~£ a l l fit t o g e t h e r to g i v e an " a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c - ter" ~ d e f i n e d o n the g r o u p 12 of i d e a l s of k t h a t a r e p r i m e to 2:
I ~ > k*
2
F ~
I 2 ~ > G a l ( ~ / k ) a b > ( k ® ~ g ) *
T h e n for all ~ Z I, t h e c h a r a c t e r ~4~ c a n be d e f i n e d o n all i d e a l s of k b y (~) ~__> - 4 v . R e m e m b e r t h a t k is e m b e d d e d i n t o ~ , s o t h a t it m a k e s s e n s e to c o n s i d e r t h e L - f u n c t i o n s
L(~ 4~ ,s) = ~ I
~ (~) 4~
p I s
(Re(s) > I-2~) ,
w h e r e p r a n g e s o v e r a l l p r i m e i d e a l s o f ~ [i] . T h e n t h e l e f t h a n d s i d e of H u r w i t z ' f o r m u l a (I) is s i m p l y 4 L ( ~ 4~ . ,0). W e h a v e s h o w n h o w t h i s is a s p e c i a l value, of t h e L - f u n c t i o n a f f o r d e d b y t h e l - a d i c c o h o m o l o g i e s V ~ ( A ) ® k ® ~ 4~
- B e t t i a n d de R h a m c o h o m o l o g y . H e r e we s h a l l u s e t h e f a c t t h a t t h e c u r v e A (if n o t its c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n ) is a l r e a d y d e f i n e d o v e r ~.
D e n o t e by HI(A) = H I ( A ( ~ ) , ~ ) B t h e f i r s t r a t i o n a l s i n g u l a r h o m o l o g y o f t h e R i e m a n n s u r f a c e A ( ~ ) , w i t h t h e H o d g e d e c o m p o s i t i o n
B
H I (A) ® ~ • =
C o m p l e x c o n j u g a t i o n o n A × ~
F : HI(A) ~
H - I ' 0 @ H 0'-I
i n d u c e s a n e n d o m o r p h i s m
(the " F r o b e n i u s at ~ " ) .
C a l l HB the f i x e d p a r t of HI(A) B u n d e r F t h i s o n e d i m e n s i o n a l G - v e c t o r space.
, a n d l e t be a b a s i s of
1 (A)V b e t h e d u a l of t h e f i r s t a l g e b r a i c de R h a m c o h o m o - L e t H R(A) = H D R
l o g y of A o v e r ~ , g i v e n w i t h t h e H o d g e f i l t r a t i o n
D R +
H I (A) ~ F D {0}
w h e r e F + ® ~ ~ H 0'-1 u n d e r t h e G A G A i s o m o r p h i s m o v e r ¢:
I : H~(A) ® ~
(1
> H I R (A)®(~(E
I i n d u c e s an i s o m o r p h i s m of o n e d i m e n s i o n a l ~ - v e c t o r s p a c e s
i + : HB(A) ® ~ + .... > ( H I R ( A ) / F +) ® ~
T h e n , ~I . i +(n) 6 H I R ( A ) / F + , f o r ~ d e f i n e d b y (2) . In fact,
= f 1 ~ d x is a r e a l f u n d a m e n t a l p e r i o d o f o u r c u r v e , a n d so, u p to
~* , Q is t h e d e t e r m i n a n t o f t h e i n t e g r a t i o n - p a i r i n g
(HB(A) ®(~(~) x ( H 0 ( A , ~ I) ®(~(Z) S > (~
c a l c u l a t e d in t e r m s of R - r a t i o n a l b a s e s of b o t h s p a c e s . T h i s d e t e r m i n a n t e q u a l s t h a t of t h e m a p I + s i n c e H 0 ( A , ~ I) c H I (A) is t h e d u a l of
D R H ~ R (A) /F +
P a s s i n g to tenser p o w e r s of t h e o n e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s a b o v e w e f i n d t h e p e r i o d s ~4~ o c c u r i n g in (I).
In a s e n s e , w e h a v e c h e a t e d a l i t t l e in d e r i v i n g t h e p e r i o d ~ f r o m t h e c o h o m o l o g i c a l s e t u p : In t h e ~ t a l e c a s e w e h a v e u s e d t h e a c t i o n of k v i a c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n t o o b t a i n a o n e d i m e n s i o n a l s i t u a t i o n (i.e., t h e k - v a l u e d c h a r a c t e r ~ ). In t h e c a l c u l a t i o n of t h e p e r i o d , too, w e s h o u l d h a v e c o n s i d e r e d H~R(A/k). = H~R(A)j ® ~ k , e n d o w e d w i t h t h e f u r t h e r a c t i o n o f k v i a c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n , a n d t w o c o p i e s of H I ( A ) , i n d e x e d by B
t h e t w o p o s s i b l e e m b e d d i n g s of t h e b a s e f i e l d k i n t o • .... B u t in t h e
p r e s e n c e o f an e l l i p t i c c u r v e o v e r ~ , t h i s w o u l d h a v e s e e m e d t o o a r t i - f i c i a l , a n d t h e g e n e r a l p r o c e d u r e w i l l be t r e a t e d in § 4.
A s a f i n a l r e m a r k a b o u t f o r m u l a (I), it s h o u l d b e n o t e d t h a t it is p r o v e d f a i r l y e a s i l y . A n y l a t t i c e F = I . (ZZ + ~ i ) g i v e s a W e i e r s t r a B ~ f u n c - t i o n s u c h t h a t
~' (z,F) = 4 ~ ( z , r ) 3 - g2lF) ~ ( z , F ) ,
a n d f o r I = ~ w e g e t g2(F) = 4. T h e r a t i o n a l n u m b e r s l e f t u n s p e c i f i e d in (1) a r e t h e n e s s e n t i a l l y t h e c o e f f i c i e n t s of t h e z - e x p a n s i o n o f ~ ( z , F ) . It is t h e s e n u m b e r s t h a t H u r w i t z s t u d i e d in h i s p a p e r s .
§ 2. A l g e b r a i c H e c k e C h a r a c t e r s
L e t k a n d E b e t o t a l l y i m a g i n a r y n u m b e r f i e l d s (of f i n i t e d e g r e e o v e r
~) , a n d w r i t e
Z = H o m (k,~) a n d T = H o m (E,~)
t h e s e t s of c o m p l e x e m b e d d i n g s of k a n d E. T h e g r o u p G a l ( ~ / ~ ) a c t s o n Z × T , t r a n s i t i v e l y o n e a c h i n d i v i d u a l f a c t o r . A n a l g e b r a i c h o m o m o r - p h i s m
8 : k* > E*
is a h o m o m o r p h i s m i n d u c e d b y a r a t i o n a l c h a r a c t e r
: R k / ~ (~m) > R E / ~ (~m)-
T h i s m e a n s that, f o r a l l • 6 T , t h e c o m p o s i t e
is g i v e n b y
• o S : k * > ~ *
(4) ~ o B (x)
= ~E-~
O ( x ) n ( ~ , ~ ) ,f o r c e r t a i n i n t e g e r s p6 G a l (~/~) .
n ( o , T ) , s u c h t h a t n ( ~ o , ~ ) = n ( a , T ) f o r a l l
L e t k ~ ,f ~,, > k ~ b e t h e t o p o l o g i c a l g r o u p o f f i n i t e i d ~ l e s o f k - i . e . , t h o s e i d ~ l e s w h o s e c o m p o n e n t s a t t h e i n f i n i t e p l a c e s a r e I. F o r x 6 k * , l e t x a l s o d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g p r i n c i p a l i d e l e in k ~ , a n d x f t h e f i n i t e i d ~ l e o b t a i n e d b y c h a n g i n g t h e i n f i n i t e c o m p o n e n t s o f x t o 1.
A n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r ~ o f k w i t h v a l u e s in E , o f ( i n f i n i t y - ) t y p e ~ , is a c o n t i n u o u s h o m o m o r p h i s m
: k* > E*
~ , f s u c h t h a t , f o r a l l x £ k*,
(xf) = B (x)
If ~ is t h e i n f i n i t y - t y p e o f a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r Y , t h e n , b y c o n t i n u i t y , 8 h a s t o k i l l a s u b g r o u p o f f i n i t e i n d e x o f t h e u n i t s o f k.
I t f o l l o w s t h a t t h e i n t e g e r
(5) w = n ( o , T ) + n ( c o , T ) = n ( o , T ) + n ( o , c T )
( w h e r e c : c o m p l e x c o n j u g a t i o n o n ~) is i n d e p e n d e n t o f ~,T. I t is c a l l e d t h e w e i g h t o f
F o r a n y T6 T , w e g e t a c o m p l e x v a l u e d G r ~ S e n c h a r a k t e r Toy w h i c h e x t e n d s t o a q u a s i c h a r a c t e r o f t h e i d ~ l e - c l a s s - g r o u p :
* ToY ~ .
k]A,f ... >
klA
* ToY ~ .
k l A / k . >
C o n s i d e r t h e a r r a y o f L - f u n c t i o n s , i n d e x e d b y T:
L (~,s) = ( L ( T o ~ , S ) ) ~ 6 T ,
w h e r e , f o r R e ( s ) > ~ + I , W
I
#
t h e p r o d u c t b e i n g o v e r a l l p r i m e i d e a l s p o f k f o r w h i c h t h e v a l u e ~ ( ~ p ) d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f u n i f o r m i z i n g p a r a m e t e r w p o f k p
T h e p o i n t s = 0 is c a l l e d c r i t i c a l f o r ~ , i f f o r a n y T , n o F- f a c t o r o n e i t h e r s i d e o f t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n o f L ( T o ~ , s ) h a s a p o l e a t s = 0 . T h i s is r e a l l y a p r o p e r t y o f t h e i n f i n i t y - t y p e B o f
, f o r i t t u r n s o u t t h a t s = 0 i s c r i t i c a l f o r ~ if a n d o n l y if t h e r e i s a d i s j o i n t d e c o m p o s i t i o n
Z × T : { (o,T) n ( o , T ) < 0 } 0 { (d,T) I n ( c o , 7 ) < 0}
I n o t h e r w o r d s , f o r e v e r y T E T , t h e r e is a " C M - t y p e " ~ ( T O B ) C Z s u c h t h a t
(6)
• (~ToB) = ~ ( T o B ) ~ , f o r ~6 G a l ( ~ / ~ )
• O 6 ~ ( ~ 8 ) ¢¢ n ( d , T ) < 0 ~ n ( c o , < ) ->0
F o r ~ s u c h t h a t s = 0 i s c r i t i c a l D e l i g n e d e f i n e d a n a r r a y o f p e r i o d s
~ ( ~ ) : (Q(~}''T))T6T 6 ( { * ) T = ( E ® ~ { ) * , a n d c o n j e c t u r e d t h a t
(7) L ( ~ , 0 ) 6 E c > E ® {
~ ( ~ )
I n o t h e r w o r d s , h e c o n j e c t u r e d t h a t t h e r e is x 6 E s u c h t h a t f o r a l l Y : E r~ > { ,
L ( T o ~ , 0 ) = T ( X ) . ~ ( ~ , T )
T h e d e f i n i t i o n of ~(~) is d i s c u s s e d in § 4. It r e q u i r e s a t t a c h i n g a m o t i v e t o a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r .
§ 3. M o t i v e s
3.1 In t h e e x a m p l e o f § 1, w e c o n s t r u c t e d a " m o t i v e " f o r o u r H e c k e c h a r a c t e r s ~ 4 m b y t a k i n g t e n s o r p o w e r s o f HI (A) , i . e . , a c e r t a i n d i - r e c t f a c t o r o f H 4 ~ ( A 4 m ) , in t h e v a r i o u s c o h o m o l o g y t h e o r i e s . T h i s i l l u s t r a t e s f a i r l y w e l l t h e g e n e r a l i d e a o f w h a t a m o t i v e s h o u l d be:
S t a r t i n g f r o m a n a l g e b r a i c v a r i e t y o v e r a n u m b e r f i e l d , w e h a v e t h e r i g h t t o c o n s i s t e n t l y c h o o s e c e r t a i n p a r t s o f its c o h o m o l o g y . J u s t w h a t " c o n s i s t e n l y " m e a n s c o n s t i t u t e s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n v a r i o u s n o t i o n s of m o t i v e . H e r e w e s h a l l be c o n c e r n e d w i t h a f a i r l y w e a k a n d t h e r e f o r e h a l f w a y m a n a g e a b l e v e r s i o n : m o t i v e s d e f i n e d u s i n g " a b s o l u t e H o d g e c y c l e s " - s e e [ D M O S ] , I a n d II. In t h i s t h e o r y m o t i v e s c a n o f t e n b e s h o w n t o b e i s o m o r p h i c w h e n t h e i r L - f u n c - t i o n s a n d p e r i o d s c o i n c i d e . A l i t t l e m o r e p r e c i s e l y , g i v i n g a h o m o - m o r p h i s m b e t w e e n t w o s u c h m o t i v e s M a n d N a m o u n t s t o g i v i n g a f a - m i l y o f h o m o m o r p h i s m s
H O (M) - - > H ° (N) H D R ( M ) - - > H D R ( N ) H £ ( M ) - - > H £ (N)
(Betti cohomology depends on the choice of o : k - - > ~ yielding M}--> Mxo~ )
(for all £ )
c o m p a t i b l e w i t h a l l t h e n a t u r a l s t r u c t u r e s o n t h e s e c o h o m o l o g y g r o u p s : H o d g e d e c o m p o s i t i o n , H o d g e f i l t r a t i o n , G a l ( k / k ) - a c t i o n , as w e l l as w i t h t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s b e t w e e n H B a n d H D R , H B a n d t h e H i s •
3 . 2 L e t u s s t a t e m o r e p r e c i s e l y w h a t a m o t i v e a t t a c h e d to a n a l g e - b r a i c H e c k e c h a r a c t e r ~ s h o u l d be[ - I n t h e e x a m p l e o f § I, t h e c u r v e A / ~ d e f i n e s t h e m o t i v e HI (A) o v e r ~ w h o s e L - f u n c t i o n is L ( ~ , s ) .
( T h i s is r e a l l y w h a t G a u s s o b s e r v e d in 1 8 1 4 ; n o w a d a y s t h i s f o l l o w s f r o m a r e s u l t o f D e u r i n g , w h i c h h a s b e e n f u r t h e r g e n e r a l i z e d b y S h i m u r a
[Sh I ] . . . ) B u t t h i s is n o t w h a t w e a r e l o o k i n g for. T h e c o m p l e x m u l t i - p l i c a t i o n o f A a n d t h e r e f o r e t h e H e c k e c h a r a c t e r ~ a r e n o t v i s i b l e
o v e r ~ . T h a t is w h y w e c o n s i d e r e d A o v e r k in o u r t r e a t m e n t o f t h e @ t a l e c o h o m o l o g y , a n d u s e d t h e f i e l d o f v a l u e s o f ~ ( w h i c h a g a i n h a p p e n e d t o b e k ) t o o b t a i n o n e d i m e n s i o n a l G a l o i s - r e p r e s e n t a t i o n s , a n d t h u s
G i v e n a g e n e r a l a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r ~ l i k e in § 2, a m o t i v e M f o r ~ h a s t o b e a m o t i v e d e f i n e d o v e r t h e b a s e f i e l d k s u c h t h a t t h e f i e l d E a c t s o n a l l t h e r e a l i z a t i o n s o f M in t h e v a r i o u s e o h o - m o l o g y t h e o r i e s , a n d s u c h t h a t f o r a l l Z, H z ( M ) is a n E ® ~ i - m o d u l e o f r a n k I w i t h G a l (T/k) a c t i n g v i a ~ . T h e a c t i o n o f E o n t h e v a r i o u s r e a l i z a t i o n s o f M s h o u l d o f c o u r s e b e c o m p a t i b l e w i t h t h e i r e x t r a s t r u c t u r e s a n d w i t h t h e v a r i o u s c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s . I n o t h e r w o r d s (see 3 . 1 ) , E s h o u l d e m b e d i n t o E n d M . T h u s t h e r a n k - c o n d i t i o n o n H I ( M ) c a n a l s o b e s t a t e d b y s a y i n g t h a t B e t t i c o h o m o l o g y H (M) s h o u l d f o r m a o n e d i m e n s i o n a l E - v e c t o r s p a c e .
3.3 T h e t y p i c a l e x a m p l e is HI (A) , f o r a n a b e l i a n v a r i e t y A / k w i t h E ~ ~ ® ~ E n d / k A a n d 2 d i m A = [E : Q]. T h e f a c t t h a t t h e s e m o t i v e s a l w a y s g i v e r i s e t o a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r w a s o n e o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h e t h e o r y o f c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n b y S h i m u r a a n d T a n i y a m a . T h e H e c k e c h a r a c t e r s o c c u r i n g w i t h a b e l i a n v a r i e t i e s o f C M - t y p e a r e p r e c i s e l y t h o s e o f w e i g h t -I s u c h t h a t n ( o , 7 ) 6 { - 1 , 0 } , f o r a l l (o,T) 6 Z × T .
In f a c t , g i v e n s u c h a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r ~ o f k w i t h v a l u e s in E , w e c a n a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t E is t h e f i e l d g e n e r a t e d b y t h e v a l u e s o f ~ o n t h e f i n i t e i d ~ l e s o f
k . T h e n E is a C M - f i e l d (i.e., q u a d r a t i c o v e r a t o t a l l y r e a l s u b f i e l d ) , a n d a t h e o r e m of C a s s e l m a n , [Sh 1], c a n b e a p p l i e d t o g e t a n a b e l i a n v a r i e t y A d e f i n e d o v e r k s u c h t h a t : . 2 d i m A = [E : ~]
• t h e r e is a n i s o m o r p h i s m
N
E > ~ ® ~ E n d / k A
• HI (A) is a m o t i v e f o r ~ .
3.4. W h e n ~ h a s a r b i t r a y w e i g h t (%0) t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n (5) a b o v e s t i l l f o r c e s t h e i n f i n i t y - t y p e 8 to b e of t h e f o r m 6 = lilB i , w i t h l w e i g h t (Bi) I : I , n i ( d , 7 ) 6 { ± 1 , 0 } . S i n c e t w i s t i n g w i t h f i n i t e o r d e r c h a r a c t e r s is e a s y t o c o n t r o l m o t i v i c a l l y o n e w o u l d n a i v e l y e x p e c t t o b e a b l e t o a s s e m b l e a m o t i v e f o r a n y g i v e n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r e s s e n t i a l l y as t e n s o r p r o d u c t o f c o n s t i t u e n t s of t h e f o r m H I ( A ) or H I ( A ) l i k e in 3.3.
T h e r e is h o w e v e r t h e n a s t y p r o b l e m o f c o n t r o l l i n g t h e f i e l d s o f v a l u e s E . F o r e x a m p l e , if k is i m a g i n a r y q u a d r a t i c w i t h c l a s s n u m b e r h > I , t h e n a H e c k e c h a r a c t e r of k w i t h { n ( d , 7 ) } = { - 1 , 0 } o r
{ n ( J , T ) } = { 1 , 0 } c a n n e v e r t a k e a l l v a l u e s i n E = k , b u t i t s h - t h p o w e r m a y .
C o n s t r u c t i n g a m o t i v e f o r t h e h - t h p o w e r as a n E - l i n e a r t e n s o r p o w e r of a m o t i v e f o r t h e c h a r a c t e r o f w e i g h t ±I , o n e s t i l l h a s t o s h o w t h a t t h e f i e l d o f c o e f f i c i e n t s E c a n b e " d e s c e n d e d " t o k in w e i g h t ±h .
3.5 T h i s " d e s c e n t " o f t h e f i e l d o f c o e f f i c i e n t s c a n be d e a l t w i t h d i r e c t l y . B u t w e g a i n m u c h m o r e i n s i g h t if w e u s e a v e r y e l e g a n t
f o r m a l i s m d u e to L a n g l a n d s , [La] § 5, a n d D e l i g n e , [ D M O S ] IV. L a n g l a n d s d e f i n e d a g r o u p s c h e m e o v e r ~ , t h e " T a n i y a m a g r o u p " T , of w h i c h
D e l i g n e w a s s u b s e q u e n t l y a b l e t o s h o w t h a t t h e c a t e g o r y of its ~ - r a t i o n a l r e p r e s e n t a t i o n s is e q u i v a l e n t t o t h e c a t e g o r y o f t h o s e m o t i v e s as c a n b e o b t a i n e d ( e v e n t u a l l y a f t e r t w i s t i n g b y a c h a r a c t e r o f f i n i t e o r d e r ) f r o m a b e l i a n v a r i e t i e s o v e r ~ w h i c h a d m i t c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n o v e r
. S i n c e t h e T a n i y a m a g r o u p - a l o n g w i t h m a n y o t h e r b e a u t i f u l p r o p e r - t i e s - h a s , f o r e v e r y k , a c e r t a i n s u b q u o t i e n t S k ( i s o m o r p h i c t o a g r o u p s c h e m e c o n s t r u c t e d b y S e r r e in [S£]) w h o s e i r r e d u c i b l e r e p r e s e n - t a t i o n s a r e g i v e n p r e c i s e l y b y t h e a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r s ~ o f k, w e " f i n d " t h e m o t i v e a t t a c h e d t o a g i v e n ~ b y l i f t i n g t h e c o r r e s p o n - d i n g r e p r e s e n t a t i o n o f S k b a c k t o t h e s u b g r o u p o f T w h o s e r e p r e - s e n t a t i o n s g i v e t h e m o t i v e s d e f i n e d o v e r k .
3.6 SO, f o r e v e r y a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r ~ o f k w i t h v a l u e s in E , a m o t i v e o v e r k e q u i p p e d w i t h a n E - a c t i o n c a n b e c o n s t r u c t e d f r o m C M - a b e l i a n v a r i e t i e s o v e r k, w h o s e £ - a d i c G a l o i s r e p r e s e n t a t i o n s a r e o n e d i m e n s i o n a l E ® Q £ - m o d u l e s g i v e n b y ~ . F u r t h e r m o r e , t h e T a t e - c o n j e c - t u r e w o u l d i m p l y t h a t t h e £ - a d i c r e a l i z a t i o n s d e t e r m i n e a m o t i v e u p t o
i s o m o r p h i s m - e v e n in t h e s t r i c t e s t s e n s e o f " m o t i v e s " ( a l g e b r a i c c y c l e s ) . A s w e a r e d e a l i n g w i t h m o t i v e s f o r a b s o l u t e H o d g e c y c l e s , it is p e r h a p s n o t t o o s u r p r i s i n g t h a t o n e c a n a c t u a l l y p r o v e : in t h e c a t e g o r y of m o - t i v e s t h a t c a n b e o b t a i n e d f r o m a l l a b e l i a n v a r i e t i e s o v e r k (not n e c e s s a r i l y CM) , a n y t w o m o t i v e s a t t a c h e d to t h e s a m e H e c k e c h a r a c t e r a r e a c t u a l l y i s o m o r p h i c - s e e [ S c h ] , I. S t i l l , t h i s d o e s n o t s e e m t o b e k n o w n in a n y l a r g e r c a t e g o r y o f m o t i v e s . I n f a c t , it h i n g e s o n D e l i g n e ' s t h e o r e m t h a t " e v e r y H o d g e c y c l e o n a n a b e l i a n v a r i e t y o v e r a n a l g e b r a - i c a l l y c l o s e d f i e l d is a b s o l u t e l y H o d g e " - s e e [ D M O S ] , I. A n y w a y , w h e n e v e r w e f i n d t w o m o t i v e s c o n s t r u c t e d f r o m t h e c o h o m o l o g y of a b e l i a n v a r i e t i e s t h a t b e l o n g t o t h e s a m e H e c k e c h a r a c t e r t h e y w i l l h a v e t h e s a m e p e r i o d s . . .
§ 4. P e r i o d s
A s in t h e e x a m p l e o f § I, p e r i o d s a r e g o i n g to a r i s e f r o m a c o m p a r i s o n o f t h e B e t t i a n d de R h a m c o h o m o l o g y g r o u p s of o u r m o t i v e . So, l e t u s f i r s t l o o k a t t h e s e c o h o m o l o g i e s m o r e c l o s e l y in t h e c a s e o f a m o t i v e f o r a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r . W e a r e g o i n g t o u s e s o m e f a c t s w h i c h a r e w e l l - k n o w n f o r t h e c o h o m o l o g y of a l g e b r a i c v a r i e t i e s , a n d w h i c h c a r r y o v e r t o m o t i v e s .
4.] A s in § 2, l e t k a n d E be t o t a l l y i m a g i n a r y n u m b e r f i e l d s , a n d ~ a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r o f k w i t h v a l u e s in E . L e t M be a m o t i v e o v e r k a t t a c h e d t o ~ (in t h e s e n s e of 3 . 2 a b o v e ) . T h e n f o r a n y e m b e d d i n g o 6 Z , t h e s i n g u l a r r a t i o n a l c o h o m o l o g y H (M) is a n E - v e c t o r s p a c e of d i m e n s i o n 1. T h e E - a c t i o n r e s p e c t s t h e H o d g e - d e c o m p o s i t i o n
H P , q Ho(M) ® ~ :
P , q
H (M) ® ~{ is a n E ® ~ { = { T - m o d u l e o f r a n k I. ( ~ a n d T w e r e d e - f i n e d at t h e b e g i n n i n g of § 2.)
S t a r t i n g f r o m t h e s p e c i a l c a s e w h e r e M = HI (A) w i t h a n a b e l i a n v a r i e t y A / k o f C M - t y p e , a n d u s i n g t h e u n i q u e n e s s o f t h e m o t i v e a t t a c h e d t o a H e c k e c h a r a c t e r (see 3.6) , o n e f i n d s t h a t , f o r a n y e m b e d d i n g T 6 T ,
t h e d i r e c t f a c t o r o f H o ( M ) ® ~ o n w h i c h E a c t s v i a T l i e s i n
H n ( o , x ) , w - n ( c , T )
( T h e n ( o , T ) a r e g i v e n b y t h e i n f i n i t y - t y p e o f ~ : s e e § 2, f o r m u l a (5) .)
4 . 2 L e t u s n o t e i n p a s s i n g t h a t , i f M ( ~ ) a n d M ( ~ ' ) a r e m o t i v e s f o r H e c k e c h a r a c t e r s ~ a n d T' o f k w i t h v a l u e s in E , t h e n t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :
• M ( ~ ) ~ M ( ~ ' ) o v e r ~ .
• F o r s o m e 0 6 ~ , H @ ( M ( ~ ) ) ~ H ( M ( T ' ) ) , a s r a t i o n a l H o d g e - s t r u c t u r e s .
• ~ a n d ~' h a v e t h e s a m e i n f i n i t y - t y p e B .
4 . 3 C o m i n g b a c k t o o u r m o t i v e M f o r ~ , s u p p o s e n o w t h a t s = 0 is c r i t i c a l f o r ~ ( s e e § 2, f o r m u l a (6)), a n d c o n s i d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m
I : @ H u ( M ) ® ~ { > H D R ( M ) ® ~
N o t e t h a t H D R ( M ) is b y d e f i n i t i o n a k - v e c t o r s p a c e , a n d t h a t
k ® ~ ~ {Z . So, I i s a n i s o m o r p h i s m o f k ® E ® { - m o d u l e s o f r a n k 1.
F o r ~ E Z , l e t e b e a n E - b a s i s o f H (M) , a n d p u t e : ( ~ ® I)~6 ~ O n t h e r i g h t h a n d s i d e , c h o o s e a b a s i s ~ o f H D R ( M ) o v e r k ® ~ E , a n d d e c o m p o s e
L0 : ~ £0 r
( @ , T ) 6 Z x T 0 , 7
w i t h ~ o , T 6 T - e i g e n s p a c e o f H D R ( M ) ®kl { . W r i t i n g I ( e ) = Z T 6 T f o r t h e c o r r e s p o n d i n g d e c o m p o s i t i o n o f I(e) , w e f i n d f o r a l l
( 0 , T ) E Z x T t h a t
I ( e ~ ) T
T h e u n i t
~ ,~ = p ( O , T ) . I ( e o ) T , f o r s o m e p ( O , 7 ) 6 { *
C ( ~ * ) Z x T = ( k ® E ® ~ ) * ( p ( ~ , T ) ) ( ~ , T ) E E × T
g i v e s t h e " m a t r i x " o f I a n d , u p t o m u l t i p l i c a t i o n b y p e n d s o n l y o n ~ .
( k ® E ) * , d e -
4 . 4 M o d u l o s u c h a f a c t o r o n e h a s t h e r e l a t i o n
(8) p ( o , T ) • p ( c o , T ) N (2 z i ) w
T h i s a m o u n t s e s s e n t i a l l y t o L e g e n d ~ e ' s p e r i o d r e l a t i o n , a n d c a n b e p r o v e d i n o u r c o n t e x t ( u s i n g u n i q u e n e s s o f m o t i v e s f o r H e c k e c h a r a c t e r s ) f r o m t h e i d e n t i t y ~ = ~ w . _ T h e m o t i v e ~ ( - I ) a t t a c h e d t o t h e n o r m c h a r a c t e r is d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l , e . g . , i n [ D I ] , § 3. F o r (8), i t is e n o u g h t o k n o w t h a t ~ ( - 1 ) is a m o t i v e d e f i n e d o v e r ~ , w i t h c o e f f i c i e n t s i n ~ s u c h t h a t
I
H B ( ~ ( - I ) ) = ~ ~ a n d H D R ( ~ ( - I ) ) = ~ ,
w i t h t r i v i a l c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m . I n c i d e n t a l l y , ~ ( - I ) h a s n o c r i - t i c a l s , i f c o n s i d e r e d o v e r a t o t a l l y i m a g i n a r y f i e l d k .
W i t h (8) a n d 3 . 4 , c a l c u l a t i n g t h e p ( o , T ) 's (or t h e i r i n v e r s e s ) u s u a l l y r e d u c e s t o i n t e g r a t i n g h o l o m o r p h i c d i f f e r e n t i a l s o n w h i c h E a c t s v i a 7 o r cT .
4 . 5 I n t e r m s o f t h e s e p ( O , T ) , D e l i g n e ' s p e r i o d ~ ( % ~ ) C ( E ® ~ ) * / E * ( s e e (7) a b o v e ) c a n b e d e f i n e d c o m p o n e n t w i s e b y
(9) ~(~{,T) = D(~') T - o6~(~ToB) p(o,'~) -I
F o r t h e d e f i n i t i o n o f t h e " C M - t y p e s " ¢('~oB) , s e e § 2, f o r m u l a (6).
N o t e t h a t t h e p r o d u c t i n (9) is, i n f a c t , w e l l - d e f i n e d u p t o a f a c t o r i n (E ® 1 ) * - O n e d e f i n i t i o n o f t h e " d i s c r i m i n a n t f a c t o r "
D ( ~ ) = ( D ( ~ ) T ) T 6 T c a n b e f o u n d i n [ D I ] , 8 . 1 5 . T h i s f a c t o r a r i s e s w h e n o n e c o m p u t e s t h e c o h o m o l o g y o f R k / Q M b y t h e K ~ n n e t h f o r m u l a : a m o n g o t h e r t h i n g s , o n e h a s t o c h o o s e a n o r d e r i n g o f Z . A d e f i n i t i o n o f D ( ~ ) w h i c h w a s b o r n o u t b y t h e s e c o h o m o l o g i c a l c o m p u t a t i o n s - c f . [ H a ] , e s p . 2 . 4 . 1 a n d C o r . 5 . 7 . 2 B - i s a s f o l l o w s . S t a r t w i t h o n e T E T , a n d l e t K c E ~ b e t h e f i x e d f i e l d o f
{p 6 G a l ( ~ / ~ ) I P @ (T°O) : ~ ( ~ o ~ ) }
m K G a I ( ~ / K T) p e r m u t e s t h e s e t @('loB) . L e t L T o f t h e k e r n e l o f t h e c h a r a c t e r
b e t h e f i x e d f i e l d
G a I ( ~ / K T) > ~ ( ~ ( T o B ) ) s@n> {-+I}
T h e n [L : K ] < 2 , a n d L = K [ ( D ( ~ ) ) f o r s o m e D ( ~ ) T w i t h
2 ~ ~[ T
D (~) 6 K *
T T
N O W , a n y p 6 G a l ( ~ / ~ ) i n d u c e s a p e r m u t a t i o n o f t h e s e t o f i n f i n i t e p l a c e s o f k : b o t h ~ ( T o ~ ) a n d O ( p T o 6 ) a r e i n b i j e c t i o n w i t h t h i s
s e t . C a l l 8(p) t h e s i g n o f t h i s p e r m u t a t i o n . T h e n w e s e t
D(~) = a(p) ( D ( ~ ) ) P
pT T
T h e a r r a y (D(T) T ) < 6 T is i n d e p e n d e n t , u p t o a f a c t o r in t h e c h o i c e s m a d e i n d e f i n i n g i t s c o m p o n e n t s .
( E O I ) * , 9 f
L e t u s l i s t s o m e p r o p e r t i e s o f D(%') - e f . a l s o [ S c h ] .
4 . 6 a) D ( ~ ) d e p e n d s o n l y o n k , E , a n d t h e c o l l e c t i o n o f " C M - t y p e s "
{¢(~o~) I • C T }
b) m ( ~ ) 2 6 ( E ® I ) * c ( E ~ ) *
c) I f k i s a C M - f i e l d , w i t h m a x i m a l t o t a l l y r e a l s u b f i e l d k o , t h e n D ( ~ ) N 6 d i s c r ( k o T , u p t o a f a c t o r i n ( E ® I ) *
d) L e t F / k b e a f i n i t e e x t e n s i o n o f d e g r e e n . T h e n
c ('[o 8) T I T
u p t o a f a c t o r in (E ® I)* . H e r e , t h e r i g h t h a n d s i d e m e a n s t h e f o l l o w i n g :
L e t d ( k * ) 2 6 k * / ( k * ) 2 b e t h e r e l a t i v e d i s c r i m i n a n t o f F / k . F o r a n y i n f i n i t e p l a c e v of k , c h o o s e a s q u a r e r o o t 6 = / d - 6 k * . F o r
V V
6 Z , l e t Icl b e t h e i n f i n i t e p l a c e o f k d e t e r m i n e d b y ~ a n d c ~ ,
w
a n d d e n o t e b y o ( 6 t o i ) £ 6 " t h e w e l l - d e f i n e d i m a g e o f 6 1 ~ 1 6 k l o I u n d e r t h e c o n t i n u o u s i s o m o r p h i s m k j o I --~--~ > { g i v e n b y ~ . - N o t e t h a t c h a n g i n g t h e r e p r e s e n t a t i v e o f d o r t h e s i g n s o f 6 , a t s o m e p l a c e s
V
v , m u l t i p l i e s t h e r i g h t h a n d s i d e of o u r f o r m u l a o n l y b y a f a c t o r in (E ® I ) *
A s s u m e t h e s i t u a t i o n o f 4 . 6 , d ) . F r o m t h e v e r y d e f i n i t i o n o f t h e p ( c , ~ ) , a n d t h e p r o p e r t i e s 4 . 6 , a ) a n d d), o n e f i n d s t h e f o l l o w i n g f o r m u l a f o r t h e b e h a v i o u r o f t h e p e r i o d s u n d e r e x t e n s i o n o f t h e b a s e f i e l d :
(10)
A ( F / k , B ) • -
(~ O N F / k ) D ( ~ O N F / k )
(~n) D (~n)
D(~°NF/k) D(~) n
= 7 7 ~(6 • D(~)
D(p) n D ( ~ n) Ic I T 6 T
n-1
T h e a r r a y A ( F / k , B ) 6 ( E ~ 6 ) * w i l l r e a p p e a r in t h e s e c o n d t h e o r e m o f
§ 5 b e l o w . N o t e t h a t , if k is a C M - f i e l d , t h e s e c o n d f a c t o r o f A ( F / k , B ) c a n b e e v a l u a t e d b y 4 . 6 , c ) . B o t h f a c t o r s o f A a r e a l r e a d y p r e s e n t i n [Ha], in t h e c a s e n = 2 , a l t h o u g h t h e f o r m a l i s m t h e r e is s t i l l s o m e w h a t c l u m s i e r t h a n t h e o n e e m p l o y e d h e r e .
4.7 L e t us c l o s e t h i s s e c t i o n w i t h a f e w w o r d s o n t h e b e h a v i o u r o f o u r p e r i o d s u n d e r t w i s t i n g . F o r t h e T a t e t w i s t , o n e f i n d s
(11) 2 ( ~ . ~ m) ~ (2 ~i) m ~(~)
If ~ is a c h a r a c t e r o f f i n i t e o r d e r o n K* /k* w i t h v a l u e s in E*
~ , f
o n e p a s s e s f r o m ~(T) t o Q(~T) b y l e a v i n g D(T) u n c h a n g e d , a n d m u l t i p l y i n g t h e p ( 0 , T ) b y c e r t a i n a l g e b r a i c n u m b e r s w i t h e i g e n - p r o p e r t i e s u n d e r ~ . T h e d e t a i l s c a n b e f o u n d in [ S c h ] . A l l w e n e e d t o k n o w is t h e f o l l o w i n g i n v a r i a n c e l e m m a :
If F is a f i n i t e e x t e n s i o n of k, X a c h a r a c t e r o f f i n i t e o r d e r o n F~,f* / F * w i t h v a l u e s in E* , a n d ~ t h e r e s t r i c t i o n o f X t o
k~,f* (in o t h e r w o r d s , c o n s i d e r i n g X a n d ~ o n G a l ( k / F ) , G a l ( k / k ) , r e s p . , v i a c l a s s f i e l d t h e o r y , ~ : Xo V e r , w h e r e
V e t : G a l ( k a b / k ) - - > G a l ( F a b / F ) is t h e t r a n s f e r m a p ) , t h e n
(12)
~(X" (To NF/k) ) ~q(TONF/k)
2 ( ~ - ~ n) ~q(T n)
: £ (F/k,B)
L e t us m e n t i o n in p a s s i n g t h a t t h e p r o o f of (12) a l s o s h o w s t h a t t h e q u o t i e n t s
~(T) m a y a l w a y s b e e x p r e s s e d b y G a u s s s u m s .
§ 5. T h e r a t i o n a l i t y c o n j e c t u r e f o r H e c k e L - f u n c t i o n s
T h e p r o o f of D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e (see e n d of § 2) f o r t h e c r i t i c a l v a l u e s o f L - f u n c t i o n s o f a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r s f a l l s i n t o t w o p a r t s : T h e c a s e w h e r e t h e b a s e f i e l d k is a C M - f i e l d is t r e a t e d f i r s t . F r o m t h e r e o n e p a s s e s t o t h e g e n e r a l c a s e b y a t h e o r e m a b o u t t h e b e h a v i o u r of s p e c i a l v a l u e s u n d e r e x t e n s i o n o f t h e b a s e f i e l d .
(I) L e t u s b r i e f l y d e s c r i b e t h e C M - c a s e :
H i s t o r i c a l l y , t h e m a i n i d e a f o r t h e C M - c a s e g o e s b a c k t o E i s e n s t e i n . B u t it w a s D a m e r e l l w h o , in h i s t h e s i s [Da], p u b l i s h e d t h e f i r s t
c o m p r e h e n s i v e a c c o u n t of a l g e b r a i c i t y r e s u l t s f o r c r i t i c a l v a l u e s o f H e c k e L - f u n c t i o n s o f i m a g i n a r y ~ u a d r a t i c f i e l d s . H e a l s o a n n o u n c e d f i n e r r a t i o n a l i t y t h e o r e m s in t h a t c a s e , b u t n e v e r p u b l i s h e d t h e m .
(The c a s e o f i m a g i n a r y q u a d r a t i c k w a s l a t e r s e t t l e d c o m p l e t e l y in [GS] a n d [GS'].) I n t h e F a l l o f 1 9 7 4 , A n d r @ W e l l g a v e a n e x p o s i t i o n o f w o r k o f E i s e n s t e i n a n d K r o n e c k e r i n c l u d i n g , a m o n g o t h e r t h i n g s ,
D a m e r e l l ' s t h e o r e m a s a n a p p l i c a t i o n . T h i s c o u r s e a t t h e I A S - w h i c h w a s l a t e r o n d e v e l o p e d i n t o t h e b o o k [WEK] - i n s p i r e d G. S h i m u r a t o g e n e - r a l i z e D a m e r e l l ' s a l g e b r a i c i t y r e s u l t s t o c r i t i c a l v a l u e s o f H e c k e L - f u n c t i o n s of a r b i t r a r y C M - f i e l d s : [Sh 3] (At t h a t p o i n t , h e s t i l l n e e d e d a t e c h n i c a l a s s u m p t i o n o n t h e i n f i n i t y - t y p e o f t h e H e c k e c h a - r a c t e r . )
T o e x p l a i n t h e s t a r t i n g p o i n t of t h i s m e t h o d of p r o o f , r e c a l l o u r e x a m p l e in § I: t h e L - v a l u e t h e r e a p p e a r e d (up t o a f a c t o r o f ~ ) as I a n E i s e n s t e i n s e r i e s :
v
a , b 6 Z (a+bi) 4~
r e l a t i v e to t h e l a t t i c e Z + Zi . N o w , s o m e t i m e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n L - v a l u e a n d E i s e n s t e i n s e r i e s is n o t q u i t e a s s t r a i g h t f o r w a r d - e . g . , if, in § I, w e w e r e t o s t u d y t h e v a l u e s L ( ~ a , 0 ) f o r i n t e g e r s a # 0 s u c h t h a t s = 0 is c r i t i c a l f o r ~ a , t h e n we w o u l d h a v e t o t r a n s - f o r m t h e E i s e n s t e i n s e r i e s b y c e r t a i n (non h o l o m o r p h i c ) d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s . B u t e x c e p t f o r s u c h o p e r a t o r s it r e m a i n s t r u e t h a t , in a n y p a i r o f c r i t i c a l v a l u e s o f a n H e c k e L - f u n c t i o n o f a C M - f i e l d k w h i c h a r e s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n , t h e r e is a v a l u e w h i c h c a n b e w r i t t e n as a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f E i s e n s t e i n s e r i e s (viz., H i l b e r t m o d u l a r f o r m s w i t h r e s p e c t to t h e m a x i m a l t o t a l l y r e a l s u b f i e l d o f k ), r e l a t i v e t o l a t t i c e s i n k .
W h e n k is i m a g i n a r y q u a d r a t i c , t h e a l g e b r a i c i t y p r o p e r t i e s o f t h e E i s e n s t e i n s e r i e s c a n be d e r i v e d d i r e c t l y f r o m e x p l i c i t p o l y n o m i a l r e - l a t i o n s a m o n g t h e m (see, e . g . , W e l l ' s t r e a t m e n t of D a m e r e l l ' s t h e o r e m in [ W E K ] ) . B u t i n g e n e r a l t h e p r o o f o f t h e i r a l g e b r a i c i t y d e p e n d s o n a t h e o r y o f c a n o n i c a l m o d e l s f o r t h e H i l b e r t m o d u l a r g r o u p (as in [Sh 3]) or, e q u i v a l e n t l y , o n a n a l g e b r a i c t h e o r y o f H i l b e r t m o d u l a r f o r m s .
T h i s l a t t e r a p p r o a c h w a s u s e d b y K a t z in [KI], [K2]. J u s t l i k e S h i m u r a , K a t z d i d n o t s t o p t o l o o k a t m o r e p r e c i s e r a t i o n a l i t y t h e o r e m s a b o u t t h e s p e c i a l v a l u e s h e h a d d e t e r m i n e d u p t o a n a l g e b r a i c n u m b e r . I n f a c t , K a t z ' m a i n c o n c e r n w a s w i t h i n t e g r a l i t y p r o p e r t i e s a n d p - a d i c i n t e r - p o l a t i o n .
W h e n D e l i g n e f o r m u l a t e d h i s c o n j e c t u r e in 1 9 7 7 he f e l t t h e n e e d t o c h e c k t h a t , u p t o a f a c t o r in ~ * , it p r e d i c t e d S h i m u r a ' s t h e o r e m . T h i s t u r n e d o u t t o be a c o n f u s i n g p r o b l e m , f o r t h e f o l l o w i n g r e a s o n . S h i m u r a e x p r e s s e s t h e L - v a l u e s in t e r m s o f p e r i o d s o f a b e l i a n v a r i e t i e s c o n - s t r u c t e d f r o m l a t t i c e s in k , w h i c h t h e r e f o r e h a v e c o m p l e x m u l t i p l i c a - t i o n b y k , a n d a r e d e f i n e d o v e r s o m e n u m b e r f i e l d E' . O n t h e o t h e r h a n d , t h e L - f u n c t i o n in q u e s t i o n is t h a t o f a H e c k e c h a r a c t e r o f t h e f i e l d k , w i t h v a l u e s in s o m e n u m b e r f i e l d E . T h e m o t i v e of s u c h a c h a r a c t e r a r i s e s f r o m a b e l i a n v a r i e t i e s d e f i n e d o v e r k , w i t h c o m p l e x m u l t i p l i c a t i o n b_~ E (or s o m e f i e l d c l o s e l y r e l a t e d t o E ). T h i s d o u b l e r o l e o f k a s f i e l d of d e f i n i t i o n a n d o f c o e f f i c i e n t s w a s d e a l t w i t h b y D e l i g n e - u p t o f a c t o r s in ~ * - b y a n a d h o c d u a l i z a t i o n , s e e [DI], 8 . 1 9 . (Its r e f i n e m e n t f o r m o r e p r e c i s e r a t i o n a l i t y s t a t e - m e n t s r e m a i n e d t h e m o s t s e r i o u s o b s t a c l e in t h e a t t e m p t t o p r o v e D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e m a d e in [ S c h I].)
D o n B l a s i u s m a n a g e d t o s o l v e t h i s p r o b l e m b y w r i t i n g d o w n a n a n a l o g u e o f D e l i g n e ' s d u a l i z a t i o n o n t h e l e v e l of m o t i v e s o v e r k , r e s p . E : h i s " r e f l e x m o t i v e " . T h u s h e w a s a b l e t o p r o v e
T h e o r e m I: L e t k b e a C M - f i e l d , a n d ~ a H e c k e c h a r a c t e r of k , w i t h v a l u e s in s o m e C M - f i e l d E . If s = 0 is c r i t i c a l
f o r ~ , t h e n
L ( ' ~ , o ) 6 E ~ > E ® ¢ .
~(~)
( N o t e t h a t a n y a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r o f a n y n u m b e r f i e l d t a k e s v a l u e s in a C M - f i e l d . )
A s B l a s i u s ' p a p e r [B] is a b o u t t o be a v a i l a b l e w e s h a l l n o t e n t e r i n t o
d e s c r i b i n g t h e t e c h n i q u e o f h i s p r o o f in d e t a i l . S u f f i c e it t o s a y t h a t , a p a r t f r o m t h e " r e f l e x m o t i v e " m e n t i o n e d a b o v e , he n e e d s , o f c o u r s e , a v e r y c a r e f u l a n a l y s i s o f t h e b e h a v i o u r o f t h e E i s e n s t e i n s e r i e s u n d e r G a l ( ~ / ~ ) (i.e., S h i m u r a ' s r e c i p r o c i t y l a w in C M - p o i n t s ) , a n d a l s o t h e e x p l i c i t d e s c r i p t i o n - d u e t o T a t e a n d D e l i g n e - o f t h e a c t i o n o f G a l ( ~ / ~ ) o n a b e l i a n v a r i e t i e s o f C M - t y p e : see [ L C M ] , c h a p t e r 7.
(II) W e s h a l l n o w d e s c r i b e a l i t t l e b i t m o r e in d e t a i l t h e s e c o n d p a r t o f t h e p r o o f of D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e f o r H e c k e L - f u n c t i o n s . It r e l i e s o n a g e n e r a l i z a t i o n of [Ha], § 3, f r o m G L 2 t o G L n , a n d m i g h t n o t b e p u b l i s h e d c o m p l e t e l y b e f o r e s o m e t i m e .
C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s i t u a t i o n : L e t k be a t o t a l l y i m a g i n a r y n u m - b e r f i e l d , a n d F / k a f i n i t e e x t e n s i o n o f d e g r e e n ~ 2 . L e t ~ b e a n a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r w i t h v a l u e s in a n u m b e r f i e l d E , o f in- f i n i t y - t y p e 8 . A s s u m e s = 0 is c r i t i c a l f o r Y . L e t
X : F~* / F * > E * be a c h a r a c t e r o f f i n i t e o r d e r , a n d p u t ~ = X l k ~ * ' l i k e in § 4 . 7 a b o v e . R e c a l l t h e a r r a y
A ( F / k , 8 ) : (A(F/k, Y o 8 ) ) 7 6 T
d e f i n e d in § 4.6, f o r m u l a (10).
T h e o r e m 2:
A (F/k, B)
L F ( X - ( ~ O N F / k ) ,0) L k ( ~ - ~ n , 0 )
6 E m > E ® ~
R e m a r k s : (i) A s t h e E u l e r p r o d u c t f o r L ( T , s ) c o n v e r g e s f o r
R e ( s ) > ~ + I , a n d w s = 0 is c r i t i c a l f o r Y , it is w e l l - k n o w n t h a t t h e d e n o m i n a t o r in t h e t h e o r e m is n o t z e r o .
(ii) H e r e is h o w t h e o r e m s I a n d 2 i m p l y D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e for a l l c r i t i c a l v a l u e s o f a l l H e c k e L - f u n c t i o n s : G i v e n a n y t o t a l l y i m a g i n a r y
n u m b e r f i e l d F , a n d a n y H e c k e c h a r a c t e r ~ o f F , w i t h v a l u e s i n a n u m b e r f i e l d E o , o f i n f i n i t y - t y p e 8 o , t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n
(5) o f § 2 f o r c e s Bo t o f a c t o r t h r o u g h t h e m a x i m a l C M - f i e l d k c o n t a i n e d i n F :
8o = ~ o N F / k ,
f o r s o m e a l g e b r a i c h o m o m o r p h i s m
8 : k * > E'o*
C h o o s e a H e c k e c h a r a c t e r ~{ o f k w i t h i n f i n i t y - t y p e B , w r i t e
= X -( ~ o N F / k ) , f o r s o m e f i n i t e o r d e r c h a r a c t e r X o f F , a n d c h o o s e E m E b i g e n o u g h t o c o n t a i n t h e v a l u e s o f T a s w e l l a s t h o s e
o
o f X - D e f i n e e : X l k * . P u t n = [F : k] . B y t h e o r e m I,
L(~0"T n , 0 ) 6 E
~ ( w . y n)
B u t w e k n o w t h e b e h a v i o u r o f t h e p e r i o d s Q u n d e r t w i s t i n g a n d b a s e e x t e n s i o n : s e e e n d o f § 4. T h e o r e m 2 t h e r e f o r e i m p l i e s t h a t
L ( ~ , 0 ) L ( X - ( ~ o N F / k ) , 0 ) [2(X- ( T o N F / k ) )
6 E > E @ { •
F i n a l l y , E m a y n o w b e r e p l a c e d b y E o b e c a u s e D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e i s i n v a r i a n t u n d e r f i n i t e e x t e n s i o n o f t h e f i e l d o f c o e f f i c i e n t s : [ D 1 ] , 2 . t 0 .
T h i s g i v e s D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e f o r H e c k e L - f u n c t i o n s o f t o t a l l y i m a - g i n a r y n u m b e r f i e l d s . T h e s e a r e t h e o n l y f i e l d s w i t h h o n e s t r e g a r d H e c k e L - f u n c t i o n s . B u t i t s h o u l d b e s a i d , f o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s , t h a t D e l i g n e ' s c o n j e c t u r e f o r H e c k e ( = D i r i c h l e t ) L - f u n c t i o n s o f t o t a l l y r e a l f i e l d s f o l l o w s f r o m r e s u l t s o f S i e g e l ' s (cf. [ D I ] , 6.7) a n d , i n t h e c a s e o f n u m b e r f i e l d s w h i c h a r e n e i t h e r t o t a l l y r e a l n o r t o t a l l y
i m a g i n a r y , no H e c k e ( = D i r i c h l e t ) L - f u n c t i o n h a s a n y c r i t i c a l v a l u e .
T h e r e m a i n d e r of t h i s s e c t i o n is d e v o t e d to s k e t c h i n g t h e p r o o f of t h e o r e m 2. L e t us set u p s o m e n o t a t i o n .
W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g a l g e b r a i c g r o u p s o v e r k : G o / k : G L n / k -
T o / k = s t a n d a r d m a x i m a l t o r u s
B o / k = s t a n d a r d B o r e l s u b g r o u p of u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i c e s , a n d t h e t w o m a x i m a l p a r a b o l i c s u b g r o u p s
<>ik : (Op) .~
p 6 G L n _ I , t 6 G L I }q 6 G L n _ 1 , t 6 GL I }
D r o p p i n g t h e s u b s c r i p t z e r o w i l l m e a n t a k i n g the r e s t r i c t i o n o f s c a l a r s to ~ . So,
G/(~ : Rk/, ~ (G O/k)
a n d so on.
W e i n t r o d u c e the t w o c h a r a c t e r s
a n d
<0 tn
7P : g = } > det(g)
t n
w h i c h w e v i e w as c h a r a c t e r s on t h e t o r u s e x t e n d i n g to Po (resp. Qo ) • T h e r e p r e s e n t a t i o n s of G o / k w i t h h i g h e s t w e i g h t ~ T p (resp. ~ T Q ) a r e t h e ~ - t h (resp. b-th) s y m m e t r i c p o w e r of t h e s t a n d a r d r e p r e - s e n t a t i o n of G o / k o n k n (resp. its d u a l (kn) ~ )
C o m i n g b a c k to t h e s i t u a t i o n of t h e o r e m 2, d e f i n e a h o m o m o r p h i s m
by
: P(~ih,f) = Po(klA,f) > E*
> ~I (tf) ~ ( d e t ( g f ) )
We r e q u i r e t h a t t h e c e n t r a l c h a r a c t e r of ~ be our ~ . T h i s m e a n s t h a t ~I is d e t e r m i n e d b y
"" "t = w(tf)_ = ~I (tf)_ ~ (tf) n _
We m a y v i e w • as an " a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r " on P / ~ , a n d it h a s an i n f i n i t y - t y p e
t y p e (~) = 7 6 H o m ( P / ~ , R E / ~ ( { m ) )
H e n c e we g e t an a r r a y of t y p e s , i n d e x e d by T 6 T , w i t h c o m p o n e n t s
R e c a l l t h a t
t y p e ( T o ~ ) = 'to T 6 HOrn(P,{ m)
H o m ( P , G m} = @ H o m ( P o ,~m } , gCZ
a n d t h a t t h e t y p e 8 of is g i v e n b y the i n t e g e r s n ( a , < ) - see § 2.
It is t h e n e a s y to c h e c k t h a t
T O y : (n(o,T) . y p ) o 6 E ,
for e v e r y • 6 T .
G i v e n T , d e f i n e an a r r a y of d o m i n a n t w e i g h t s
by t h e r u l e
i(~) = ( l ( o , < ) ) o E Z
{
( - n ( @ , ~ ) - 1 ) y Q n ( o , ~ ) y pif n ( o , T ) < 0 if n ( o , T ) > 0
T h i s a f f o r d s a r e p r e s e n t a t i o n
p : G x ~ = ~ (GLn/k) > G L ( M ( A ( T ) ) ) , oGZ
w h e r e M(A (T)) = ® M ( I ( O , T ) ) , M ( I ( O , T ) ) b e i n g the r e p r e s e n t a t i o n o6Z
w i t h h i g h e s t w e i g h t k(O,T) . T h e s y s t e m { M ( A ( T ) ) ~ 6 T is a ~ - r a t i o - n a l s y s t e m of r e p r e s e n t a t i o n s in t h e s e n s e o f [Ha], 2.4 - i.e., the r e p r e s e n t a t i o n s a r e c o n j u g a t e u n d e r G a l ( ~ / ~ )
A s in [Ha], we s t u d y the c o h o m o l o g y of c o n g r u e n c e s u b g r o u p s of G L n ( 0 ) w i t h c o e f f i c i e n t s in t h e s e m o d u l e s : F o r m t h e q u o t i e n t s
S K = G (~) ~ G ((~IA) / K o'Kf
w h e r e K ~ u ( n ) Z ~ is a s t a n d a r d m a x i m a l c o m p a c t s u b g r o u p , t i m e s the c e n t r e o ~ b G ( ~ ) = G , a n d w h e r e Kf is o p e n c o m p a c t in G ( ~ ,f) • The m o d u l e s M ( i ( 7 ) ) p r o v i d e c o e f f i c i e n t s y s t e m s M ( I ( T ) ) o n S K , a n d we c o n s i d e r the ~ - G ( ~ , f ) - m o d u l e
H ' ( ~ , M ( A ( T ) ) ) : = l i r a H ' ( S K , M ( A ( T ) ) ) Kf
T h e e m b e d d i n g of S K i n t o its B o r e l - S e r r e c o m p a c t i f i c a t i o n S K is a h o m o t o p y e q u i v a l e n c e . T h e b o u n d a r y ~S K o f t h i s c o m p a c t i f i c a t i o n h a s a s t r a t i f i c a t i o n , w i t h s t r a t a c o r r e s p o n d i n g to the c o n j u g a c y c l a s s e s of p a r a b o l i c s u b g r o u p s of G / ~ . T h e s t r a t u m of l o w e s t d i m e n s i o n ,
SB SK , c o r r e s p o n d s to t h e c o n j u g a c y c l a s s of B o r e l - s u b g r o u p s . T h e c o e f f i c i e n t s y s t e m c a n be e x t e n d e d to t h e b o u n d a r y , a n d the l i m i t
H" ( ~ B ~ , M ( A ( T ) ) ) : l i m H" ( ~ B S K , M ( A ( T ) ) )
- - >
Kf
is a g a i n a G ( ~ , f ) - m o d u l e . T h e d i a g r a m
SK ~ i > S K < ~B S K
i n d u c e s a G ( ~ l h , f ) - m o d u l e h o m o m o r p h i s m
r B : H" (~, M ( A ( T ) ) ) > H" ( $ B ~ , M ( A ( ~ ) ) )
J u s t as in [Ha] ,II, the r i g h t h a n d side t u r n s o u t to be a d i r e c t sum of m o d u l e s , i n d u c e d f r o m an a l g e b r a i c H e c k e c h a r a c t e r
n : B(QIA,f) > ~ *
T(~IA, f)
o n B ( ~ , f ) , up to G ( ~ , f } . T h e t y p e s of t h e s e c h a r a c t e r s are de- t e r m i n e d by K o s t a n t ' s t h e o r e m , [Ko] ; cf. [Ha], II, for n = 2 . In p a r t i c u l a r , it is e a s i l y c h e c k e d t h a t the f o l l o w i n g i n d u c e d m o d u l e
(for • as a b o v e , a n d T 6 T ) is c o n t a i n e d in the c o h o m o l o g y of ~B ~ :
V G (QIA, f)
= I n d
B (QIA, f)
= l h : G ( ~ , f ) -->
\
h is C , a n d )
h(bf_gf) = (TOO) (bf). h(if) , for all b f 6 B(~ih,f) a n d _gf £ G(~IA, f)
(Here, "C " m e a n s r i g h t i n v a r i a n c e u n d e r a s u i t a b l y s m a l l o p e n c o m - p a c t s u b g r o u p in G ( ~ , f ) .)
M o r e p r e c i s e l y , we h a v e
V T o 0 T > H ( n - 3 } d o (~B ~ , M ( A ( T ) ) )
w h e r e d o : ~ [k : ~] , a n d the s y s t e m of m a p s 1 {iT]<6 T is Q - r a t i o n a l w i t h r e s p e c t to the two o b v i o u s Q - s t r u c t u r e s on the s y s t e m s on b o t h sides.
C o n s i d e r the n o n - t r i v i a l s u b m o d u l e
J ~ o ~ = I n d G ( Q ~ ' f ) T o ~
c V o o P ( ~ , f )
O b v i o u s l y , { J T o O } T £ T is a Q - r a t i o n a l s y s t e m of G ( Q ~ , f ) - s u b m o d u l e s of H ( n - 1 ) d ° ( $ B ~ , M ( A ( 7 ) ) ) . T h e f i r s t e s s e n t i a l s t e p of the p r o o f is to c o n s t r u c t a Q - r a t i o n a l " s e c t i o n " of r B ,
Eis7 : J T o ~ > H ( n - 1 ) d ° (S, ~ { A ( T ) ) } ,
for all TCT . Thus, rB o E i s = Id on J . T h i s s e c t i o n is c o n -
7 T ° O
s t r u c t e d f i r s t o v e r ~ by m e a n s of r e s i d u a l E i s e n s t e i n s e r i e s or, in o t h e r w o r d s , n o n c u s p i d a l E i s e n s t e i n s e r i e s a t t a c h e d to P / Q . To p r o v e t h a t { E i s T } T C T is d e f i n e d o v e r ~ o n e h a s to use a m u l t i p l i c i t y one a r g u m e n t , like in [Ha], III. B u t h e r e t h i s is m o r e c o m p l i c a t e d . O n e
h a s to u s e t h e s p e c t r a l s e q u e n c e w h i c h c o m p u t e s t h e c o h o m o l o g y of t h e b o u n d a r y in t e r m s of t h e c o h o m o l o g y of t h e s t r a t a . T h e n the c o h o m o l o g y h a s to b e r e l a t e d t o a u t o m o r p h i c f o r m s , a n d o n e h a s to a p p e a l to r e - s u l t s of J a c q u e t - S h a l i k a on m u l t i p l i c i t y one, a n d of J a c q u e t on the d i s c r e t e n o n c u s p i d a l s p e c t r u m .
O n c e we h a v e the m o d u l e s
H ( n - 1 ) d o
E i s z (J o~) c (S, M ( A ( T ) )
we c a n p r o c e e d m o r e or l e s s in the s a m e w a y as in [Ha], V: We c o n s t r u c t an e m b e d d i n g
i H : F* > G L n ( k )
H b e i n g the t o r u s w i t h H(Q) = ill(F*) U s i n g t h i s t o r u s we c a n c o n - s t r u c t h o m o l o g y c l a s s e s ( c o m p a c t m o d u l a r s y m b o l s )
ZIi H, 7 o X, g) C H
d e p e n d i n g o n a p o i n t _g6 G(~]A)
* / F * > E * X : F]A
( n - 1 ) d o
(~, M(A(~)))
a n d on a f i n i t e o r d e r c h a r a c t e r
* s h o u l d be ~ . w h o s e r e s t r i c t i o n t o k ~
As in [Ha], V, we g e t an i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r
I n t ( Z ( i H , X ) ) : JTo ~
G ( ~ m , f)
> I n d
H ( ~ m , f )
by e v a l u a t i n g E i s T ( J T o Q) o n n i n g o p e r a t o r
i n t l°c : J T o ~
Z ( i H , X , ~ ) . T h e r e is a n o t h e r i n t e r t w i -
G ((~]A, f)
> I n d T o X ,
H (~IA, f)
c o n s t r u c t e d a s a p r o d u c t of l o c a l i n t e r t w i n i n g o p e r a t o r s . B o t h o p e r a - t o r s a r e U - r a t i o n a l , a n d f o r s o m e x C E* we f i n d t h a t , f o r a l l ~ 6 T ,
I n t ( Z ( i H , T O X ) ) = T(X) A ( F / k , T o S ) L F ( T O (X" (~ONF/k) ) ,0) i n t l O c L k ( T ° (~.~n) ,0)
T h i s i m p l i e s t h e o r e m 2. - T h e f a c t o r x 6 E * c a n a c t u a l l y b e g i v e n m o r e e x p l i c i t l y .
§ 6. A f o r m u l a of L e r c h
T h e f a c t t h a t a H e c k e c h a r a c t e r d e t e r m i n e s its m o t i v e u p t o i s o m o r p h i s m p r o d u c e s a p e r i o d r e l a t i o n w h e n e v e r t w o d i f f e r e n t g e o m e t r i c c o n s t r u c - t i o n s o f a m o t i v e f o r t h e s a m e c h a r a c t e r c a n be g i v e n . W e h a v e s e e n a f i r s t e x a m p l e o f t h i s p r i n c i p l e in f o r m u l a (8) o f § 4. T h e p e r i o d s p ( u , T ) o c c u r i n g i n t h i s f o r m u l a c o m p r i s e t h o s e f o r w h i c h S h i m u r a [Sh2]
h a s p r o v e d v a r i o u s m o n o m i a l p e r i o d r e l a t i o n s (up to a n a l g e b r a i c n u m b e r ) . T h e s e m o n o m i a l r e l a t i o n s w e r e r e p r o v e n , b y m e a n s of m o t i v e s o v e r ~ , b y D e l i g n e , [D2]. T h e y c a n b e r e f i n e d u s i n g t h e a b o v e p r i n c i p l e . B u t w e l e a v e a s i d e h e r e t h i s a p p l i c a t i o n , a s w e l l as s o m e o t h e r s , r e f e r r i n g t h e r e a d e r t o [ S c h ] . I n s t e a d , l e t u s c o n c e n t r a t e o n a t y p i c a l c a s e in- v o l v i n g G . A n d e r s o n ' s m o t i v e s f o r J a c o b i - s u m H e c k e c h a r a c t e r s .
L e t K = ~(/i-~-) be a n i m a g i n a r y q u a d r a t i c f i e l d of d i s c r i m i n a n t - D A s s u m e f o r s i m p l i c i t y t h a t D > 4 . R e c a l l t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e
s i m p l e s t J a c o b i - s u m H e c k e c h a r a c t e r o f K , in t h e s e n s e o f [ W I I I ] , [ 1 9 7 4 d]: K is c o n t a i n e d in ~ ( ~ D ) , t h e f i e l d o f D - t h r o o t s o f ] . W r i t e n : [ ~ ( ~ D ) : K] - ~(D)2 " F o r a p r i m e i d e a l P o f ~ ( ~ D ) n o t d i v i d i n g D , p u t
G(P) : -- [ XD, P (x) "A~ (x) ,
x 6Z [~D]/P
( I ~ P - I ) / D D t h - p o w e r r e s i d u e s y m b o l w i t h "ZD, ~ (x) --- x (cod P )" t h e
: • ( x ) )
c o d P , a n d l(x) e x p ( 2 ~ i t r ( ~ [ ~ D ] / p ) / ] F p
