Présentation générale de mes recherches

Journée nouveaux entrants de l’IMT

Cécilia Lancien

8 Octobre 2018

Cadre global de mes recherches

Questions :Motivées par des problèmes en théorie quantique de l’information.

Réponses :Apportées par l’analyse géométrique asymptotique (techniques probabilistes en théorie des espaces de Banach de dimension grande mais finie).

Pourquoi “grande dimension” ?

Système quantique composé de 1 particule : décrit par un espace de Hilbert complexe

H

. Système quantique composé dentelles particules : espace associé est

H

^⊗n.

−→

Dimension croît exponentiellement avec le nombre de particules. Pourquoi “probabilités” ?

Identifier les propriétés typiques des systèmes quantiques de grande dimension. Prouver l’existence de systèmes quantiques ayant certaines propriétés par des constructions aléatoires.

Manipuler des objets de grande dimension est inéluctable... Ramener leur étude à celle d’objets de plus petite dimension.

Étudier les comportements universels susceptibles d’émerger précisément dans ce régime.

Cadre global de mes recherches

Questions :Motivées par des problèmes en théorie quantique de l’information.

Réponses :Apportées par l’analyse géométrique asymptotique (techniques probabilistes en théorie des espaces de Banach de dimension grande mais finie).

Pourquoi “grande dimension” ?

Système quantique composé de 1 particule : décrit par un espace de Hilbert complexe

H

. Système quantique composé dentelles particules : espace associé est

H

^⊗n.

−→

Dimension croît exponentiellement avec le nombre de particules.

Pourquoi “probabilités” ?

Identifier les propriétés typiques des systèmes quantiques de grande dimension. Prouver l’existence de systèmes quantiques ayant certaines propriétés par des constructions aléatoires.

Manipuler des objets de grande dimension est inéluctable... Ramener leur étude à celle d’objets de plus petite dimension.

Étudier les comportements universels susceptibles d’émerger précisément dans ce régime.

Cadre global de mes recherches

Questions :Motivées par des problèmes en théorie quantique de l’information.

Réponses :Apportées par l’analyse géométrique asymptotique (techniques probabilistes en théorie des espaces de Banach de dimension grande mais finie).

Pourquoi “grande dimension” ?

Système quantique composé de 1 particule : décrit par un espace de Hilbert complexe

H

. Système quantique composé dentelles particules : espace associé est

H

^⊗n.

−→

Dimension croît exponentiellement avec le nombre de particules.

Pourquoi “probabilités” ?

Identifier les propriétés typiques des systèmes quantiques de grande dimension.

Prouver l’existence de systèmes quantiques ayant certaines propriétés par des constructions aléatoires.

Manipuler des objets de grande dimension est inéluctable... Ramener leur étude à celle d’objets de plus petite dimension.

Étudier les comportements universels susceptibles d’émerger précisément dans ce régime.

Cadre global de mes recherches

Questions :Motivées par des problèmes en théorie quantique de l’information.

Réponses :Apportées par l’analyse géométrique asymptotique (techniques probabilistes en théorie des espaces de Banach de dimension grande mais finie).

Pourquoi “grande dimension” ?

Système quantique composé de 1 particule : décrit par un espace de Hilbert complexe

H

. Système quantique composé dentelles particules : espace associé est

H

^⊗n.

−→

Dimension croît exponentiellement avec le nombre de particules.

Pourquoi “probabilités” ?

Identifier les propriétés typiques des systèmes quantiques de grande dimension.

Prouver l’existence de systèmes quantiques ayant certaines propriétés par des constructions aléatoires.

Manipuler des objets de grande dimension est inéluctable...

Ramener leur étude à celle d’objets de plus petite dimension.

Étudier les comportements universels susceptibles d’émerger précisément dans ce régime.

Face à la grande dimension...

1 Réduction de complexité

2 Étude des propriétés génériques

Par des constructions universelles

Problème général :Comment approximer un processus idéal par un processus plus réaliste ?

Exemples de processus :mesures et évolutions quantiques. Complexité : nombre d’opérateurs nécessaires pour les décrir. Approximation : pour tout état d’entrée, états de sortie proches.

Théorèmes

Toute mesure sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une mesure ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusd²logd

/ε

².

Toute évolution sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une évolution ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusdlog

(

d

/ε)/ε

².

−→

Constructions universelles et aléatoires, optimales en général.

Résultats mathématiques

Approximations de corps convexes ou de suprema de processus aléatoires.

Futur :Réduire l’universalité et l’aléa.

Par des constructions universelles

Problème général :Comment approximer un processus idéal par un processus plus réaliste ? Exemples de processus :mesures et évolutions quantiques.

Complexité : nombre d’opérateurs nécessaires pour les décrir.

Approximation : pour tout état d’entrée, états de sortie proches.

Théorèmes

Toute mesure sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une mesure ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusd²logd

/ε

².

Toute évolution sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une évolution ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusdlog

(

d

/ε)/ε

².

−→

Constructions universelles et aléatoires, optimales en général.

Résultats mathématiques

Approximations de corps convexes ou de suprema de processus aléatoires.

Futur :Réduire l’universalité et l’aléa.

Par des constructions universelles

Problème général :Comment approximer un processus idéal par un processus plus réaliste ? Exemples de processus :mesures et évolutions quantiques.

Complexité : nombre d’opérateurs nécessaires pour les décrir.

Approximation : pour tout état d’entrée, états de sortie proches.

Théorèmes

Toute mesure sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une mesure ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusd²logd

/ε

².

Toute évolution sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une évolution ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusdlog

(

d

/ε)/ε

².

−→

Constructions universelles et aléatoires, optimales en général.

Résultats mathématiques

Approximations de corps convexes ou de suprema de processus aléatoires.

Futur :Réduire l’universalité et l’aléa.

Par des constructions universelles

Problème général :Comment approximer un processus idéal par un processus plus réaliste ? Exemples de processus :mesures et évolutions quantiques.

Complexité : nombre d’opérateurs nécessaires pour les décrir.

Approximation : pour tout état d’entrée, états de sortie proches.

Théorèmes

Toute mesure sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une mesure ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusd²logd

/ε

².

Toute évolution sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une évolution ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusdlog

(

d

/ε)/ε

².

−→

Constructions universelles et aléatoires, optimales en général.

Résultats mathématiques

Approximations de corps convexes ou de suprema de processus aléatoires.

Futur :Réduire l’universalité et l’aléa.

Par des constructions universelles

Problème général :Comment approximer un processus idéal par un processus plus réaliste ? Exemples de processus :mesures et évolutions quantiques.

Complexité : nombre d’opérateurs nécessaires pour les décrir.

Approximation : pour tout état d’entrée, états de sortie proches.

Théorèmes

Toute mesure sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une mesure ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusd²logd

/ε

².

Toute évolution sur un système quantique de dimensiondpeut être approximée à

ε

près par une évolution ayant un nombre d’opérateurs d’ordre au plusdlog

(

d

/ε)/ε

².

−→

Constructions universelles et aléatoires, optimales en général.

Résultats mathématiques

Approximations de corps convexes ou de suprema de processus aléatoires.

Futur :Réduire l’universalité et l’aléa.

En utilisant les symétries du problème

Question omniprésente en théorie de l’information :établir si certaines quantités ont un comportement multiplicatif.

Symétrie inhérente : invariance par permutation.

Exemples :Répétition parallèle de jeux non-locaux ou de protocoles quantiques non-intriqués.

Théorèmes

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un jeuGàmjoueurs est au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances deGsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

16^m

n

.

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un protocolePsur un système de dimensiondest au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances dePsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

5d²

n

.

−→

Décroissance exponentielle de la probabilité de gain sous répétition parallèle.

Résultats mathématiques

Lien quantitatif entre échangeabilité et indépendance par des théorèmes de type de Finetti pour des états classiques (densités de probabilité) ou quantiques (opérateurs densité).

Futur :Théorèmes de type de Finetti pour des notions d’échangeabilité partielle.

En utilisant les symétries du problème

Question omniprésente en théorie de l’information :établir si certaines quantités ont un comportement multiplicatif.

Symétrie inhérente : invariance par permutation.

Exemples :Répétition parallèle de jeux non-locaux ou de protocoles quantiques non-intriqués.

Théorèmes

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un jeuGàmjoueurs est au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances deGsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

16^m

n

.

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un protocolePsur un système de dimensiondest au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances dePsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

5d²

n

.

−→

Décroissance exponentielle de la probabilité de gain sous répétition parallèle.

Résultats mathématiques

Lien quantitatif entre échangeabilité et indépendance par des théorèmes de type de Finetti pour des états classiques (densités de probabilité) ou quantiques (opérateurs densité).

Futur :Théorèmes de type de Finetti pour des notions d’échangeabilité partielle.

En utilisant les symétries du problème

Question omniprésente en théorie de l’information :établir si certaines quantités ont un comportement multiplicatif.

Symétrie inhérente : invariance par permutation.

Exemples :Répétition parallèle de jeux non-locaux ou de protocoles quantiques non-intriqués.

Théorèmes

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un jeuGàmjoueurs est au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances deGsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

16^m

n

.

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un protocolePsur un système de dimensiondest au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances dePsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

5d²

n

.

−→

Décroissance exponentielle de la probabilité de gain sous répétition parallèle.

Résultats mathématiques

Lien quantitatif entre échangeabilité et indépendance par des théorèmes de type de Finetti pour des états classiques (densités de probabilité) ou quantiques (opérateurs densité).

Futur :Théorèmes de type de Finetti pour des notions d’échangeabilité partielle.

En utilisant les symétries du problème

Question omniprésente en théorie de l’information :établir si certaines quantités ont un comportement multiplicatif.

Symétrie inhérente : invariance par permutation.

Exemples :Répétition parallèle de jeux non-locaux ou de protocoles quantiques non-intriqués.

Théorèmes

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un jeuGàmjoueurs est au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances deGsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

16^m

n

.

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un protocolePsur un système de dimensiondest au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances dePsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

5d²

n

.

−→

Décroissance exponentielle de la probabilité de gain sous répétition parallèle.

Résultats mathématiques

Lien quantitatif entre échangeabilité et indépendance par des théorèmes de type de Finetti pour des états classiques (densités de probabilité) ou quantiques (opérateurs densité).

Futur :Théorèmes de type de Finetti pour des notions d’échangeabilité partielle.

En utilisant les symétries du problème

Question omniprésente en théorie de l’information :établir si certaines quantités ont un comportement multiplicatif.

Symétrie inhérente : invariance par permutation.

Exemples :Répétition parallèle de jeux non-locaux ou de protocoles quantiques non-intriqués.

Théorèmes

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un jeuGàmjoueurs est au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances deGsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

16^m

n

.

Si la probabilité de gagner 1 instance d’un protocolePsur un système de dimensiondest au plus 1

− δ

, alors la probabilité de gagnerninstances dePsimultanément est au plus 1

− δ

²

/

5d²

n

.

−→

Décroissance exponentielle de la probabilité de gain sous répétition parallèle.

Résultats mathématiques

Lien quantitatif entre échangeabilité et indépendance par des théorèmes de type de Finetti pour des états classiques (densités de probabilité) ou quantiques (opérateurs densité).

Face à la grande dimension...

1 Réduction de complexité

2 Étude des propriétés génériques

Séparabilité vs Intrication

Système multi-partite : peut être dans un état soit séparable soit intriqué (corrélations soit uniquement classiques soit intrinsèquement quantiques entre ses sous-parties).

Problème : distinction difficile à caractériser. Solution : conditions nécessaires plus simples.

Théorèmes

Toute condition nécessaire trop simple à la séparabilité est typiquement grossière en grande dimension.

Résultats mathématiques

Identification de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires GUE ou Wishart modifiées. Comportement asymptotique moyen (probabilités libres) + Déviations en dimension grande mais finie (concentration de la mesure).

Futur :Propriétés génériques de systèmes multi-particules physiquement réalistes (organisation en réseau, interactions locales...)

−→

Modèles de tenseurs aléatoires partiellement contractés.

Séparabilité vs Intrication

Système multi-partite : peut être dans un état soit séparable soit intriqué (corrélations soit uniquement classiques soit intrinsèquement quantiques entre ses sous-parties).

Problème : distinction difficile à caractériser. Solution : conditions nécessaires plus simples.

Théorèmes

Toute condition nécessaire trop simple à la séparabilité est typiquement grossière en grande dimension.

Résultats mathématiques

Identification de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires GUE ou Wishart modifiées. Comportement asymptotique moyen (probabilités libres) + Déviations en dimension grande mais finie (concentration de la mesure).

Futur :Propriétés génériques de systèmes multi-particules physiquement réalistes (organisation en réseau, interactions locales...)

−→

Modèles de tenseurs aléatoires partiellement contractés.

Séparabilité vs Intrication

Système multi-partite : peut être dans un état soit séparable soit intriqué (corrélations soit uniquement classiques soit intrinsèquement quantiques entre ses sous-parties).

Problème : distinction difficile à caractériser. Solution : conditions nécessaires plus simples.

Théorèmes

Toute condition nécessaire trop simple à la séparabilité est typiquement grossière en grande dimension.

Résultats mathématiques

Identification de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires GUE ou Wishart modifiées.

Comportement asymptotique moyen (probabilités libres) + Déviations en dimension grande mais finie (concentration de la mesure).

Futur :Propriétés génériques de systèmes multi-particules physiquement réalistes (organisation en réseau, interactions locales...)

−→

Modèles de tenseurs aléatoires partiellement contractés.

Séparabilité vs Intrication

Système multi-partite : peut être dans un état soit séparable soit intriqué (corrélations soit uniquement classiques soit intrinsèquement quantiques entre ses sous-parties).

Problème : distinction difficile à caractériser. Solution : conditions nécessaires plus simples.

Théorèmes

Toute condition nécessaire trop simple à la séparabilité est typiquement grossière en grande dimension.

Résultats mathématiques

Identification de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires GUE ou Wishart modifiées.

Comportement asymptotique moyen (probabilités libres) + Déviations en dimension grande mais finie (concentration de la mesure).

Futur :Propriétés génériques de systèmes multi-particules physiquement réalistes (organisation en réseau, interactions locales...)

−→

Modèles de tenseurs aléatoires partiellement contractés.

Classique vs Quantique

Mesures effectuées sur chacun des sous-sytèmes d’un système multi-partite : dépendances entre les résultats qui soit peuvent s’expliquer par un modèle classique soit nécessitent un modèle quantique.

Théorème

Sur un système bi-partite soumis à des mesures binaires, une corrélation quantique prise au hasard est avec grande probabilité non classique.

Résultat mathématique

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck commutative pour les produits tensoriels sur les instances typiques.

Futur :Systèmes avec plus de sous-parties et mesures avec plus de résultats possibles.

−→

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck non-commutative sur les instances typiques.

Classique vs Quantique

Mesures effectuées sur chacun des sous-sytèmes d’un système multi-partite : dépendances entre les résultats qui soit peuvent s’expliquer par un modèle classique soit nécessitent un modèle quantique.

Théorème

Sur un système bi-partite soumis à des mesures binaires, une corrélation quantique prise au hasard est avec grande probabilité non classique.

Résultat mathématique

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck commutative pour les produits tensoriels sur les instances typiques.

Futur :Systèmes avec plus de sous-parties et mesures avec plus de résultats possibles.

−→

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck non-commutative sur les instances typiques.

Classique vs Quantique

Mesures effectuées sur chacun des sous-sytèmes d’un système multi-partite : dépendances entre les résultats qui soit peuvent s’expliquer par un modèle classique soit nécessitent un modèle quantique.

Théorème

Sur un système bi-partite soumis à des mesures binaires, une corrélation quantique prise au hasard est avec grande probabilité non classique.

Résultat mathématique

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck commutative pour les produits tensoriels sur les instances typiques.

Futur :Systèmes avec plus de sous-parties et mesures avec plus de résultats possibles.

−→

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck non-commutative sur les instances typiques.

Classique vs Quantique

Mesures effectuées sur chacun des sous-sytèmes d’un système multi-partite : dépendances entre les résultats qui soit peuvent s’expliquer par un modèle classique soit nécessitent un modèle quantique.

Théorème

Sur un système bi-partite soumis à des mesures binaires, une corrélation quantique prise au hasard est avec grande probabilité non classique.

Résultat mathématique

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck commutative pour les produits tensoriels sur les instances typiques.

Futur :Systèmes avec plus de sous-parties et mesures avec plus de résultats possibles.

−→

Amélioration de l’inégalité de Grothendieck non-commutative sur les instances typiques.