ε 0, on peut

Faulté de Sienes et Tehniques

Liene de Physique 20082009

UE404P Modélisation, Simulations, Outils Informatiques

TD0 : Analyse Dimensionnelle : C O R R I G É

1. Les unités de Stoney On veut montrer qu'ave la onstante de Newton,

G

^{, la vitesse}

de la lumière,

c

^{, la harge életrique,}

e

^{et la onstante} diéletrique du vide,

ε 0

^{, on peut}

onstruire un systèmed'unités omplet,.à.d.une unitéde longueur, une unité de masse

etune unitéde temps (laharge életrique nous livreune unité de harge).

Ainsion doit trouverdes onstantes,

A 1

^,

B 1

^,

C 1

^et

D 1

^{,telles que}

[G] ^{A 1} [c] ^{B 1} [e] ^{C 1} [ε 0 ] ^{D 1} = [L]

⁽¹⁾

Laloidegravitationde Newtonnousditquelaombinaison

GM ² L ⁻²

^{possèdelesdimen-}

sionsd'uneforeetsadeuxièmeloinous ditquelesdimensionsd'uneforesont

MLT ⁻²

^.

On en déduit les dimensions de laonstante

G

[G] = [L] ³ [M] ⁻¹ [T ] ⁻²

Lavitesse de la lumière,bien sûr, a lesdimensions de longueur/temps,

[c] = [L][T ] ⁻¹

La loi de Coulomb nous dit que la ombinaison

e ² ε ⁻ ₀ ¹ L ⁻²

^{possède les dimensions d'une}

fore, ainsi, d'après Newton,

MLT ⁻²

^{; par onséquent,}

[e] ² [ε 0 ] ⁻¹ = [L] ³ [M ][T ] ⁻²

Onpeut,alors,exprimerlesdimensionsdelahargeen termesdesdimensions de

ε ₀

^etde

ette relation(ou, de manière équivalente, lesdimensions de laonstante diéletrique en

termes des dimensions de la harge et de ette relation). Ainsi, on déduit, par exemple,

que

[ε 0 ] = [e] ² [L] ⁻³ [M ] ⁻¹ [T ] ²

Par es relations,la ondition dans l'éq. (1)devient

[L] ^{3A 1 +B 1 − 3D 1} [M ] ^{− A 1 − D 1} [T ] ^{− 2A 1 − B 1 +2D 1} [e] ^{C 1 +2D 1} = [L]

⁽²⁾

qui impliquele système linéaire

3A ₁ + B ₁ − 3D ₁ = 1 − A ₁ − D ₁ = 0 − 2A ₁ − B ₁ + 2D ₁ = 0 C ₁ + 2D ₁ = 0

mentsimplepourquel'onpuisselatrouverparinspetion:latroisièmeéquationimplique

que

A 1 = − D 1

^{, e qui onduit àun système de deux équations pour lesinonnues}

A 1

^et

B 1

^,

6A 1 + B 1 = 1

^et

− 4A 1 − B 1 = 0

^{et ladernière équation nous donnera}

C 1 − 2A 1 = 0

^.

On trouve ainsi que

A 1 = 1/2, B 1 = − 2, C 1 = 1, D 1 = − 1/2

^{et, employant la onven-}

tion que l'on travailleave

4πε 0

^{, plutt qu'ave}

ε 0

^{, on trouve} l'expression suivante pour longueur de Stoney

s Ge ²

4πε 0 c ⁴ ≡ l Stoney

⁽⁴⁾

On serend,maintenant,ompteque l'onpeut utiliserlemembrede gauhe de l'éq.(2) et

de le poser suessivement égal à

[M ]

^et

[T ]

^{pour trouver les} ombinaisons qui auraient lesdimensions orrespondantes, à savoir,

[L] ^{3A 2 +B 2 − 3D 2} [M] ^{− A 2 − D 2} [T ] ^{− 2A 2 − B 2 +2D 2} [e] ^{C 2 +2D 2} = [M ]

⁽⁵⁾

et

[L] ^{3A 3 +B 3 −3D 3} [M] ^{−A 3 −D 3} [T ] ^{−2A 3 −B 3 +2D 3} [e] ^{C 3 +2D 3} = [T ]

⁽⁶⁾

L'on trouve, ainsi, que

A 2 = − 1/2, B 2 = 0, C 2 = 1, D 2 = − 1/2

^,don

s

e ²

4πε ₀ G ≡ m Stoney

⁽⁷⁾

et, nalement,

A 3 = 1/2, B 3 = − 3, C 3 = 1, D 3 = − 1/2

^et

s

Ge ²

4πε 0 c ⁶ ≡ t _Stoney

⁽⁸⁾

Onnote quees expressions réussissent untest deohérene,àsavoirque

l Stoney /t Stoney = c

^{.Pourquelsphénomènesphysiqueses}expressionssont-ellespartiulièrementpertinentes? Si l'on y pose les valeurs numériques, exprimées dans les unités du système internatio-

nal, de es onstantes, .à.d.

G = 6.67 × 10 ⁻¹¹ m ³ kg ^{− 1} s ⁻²

^,

c = 2.99 × 10 ⁸ m/s

^,

e = 1.6 × 10 ⁻¹⁹ Cb

^,

ε 0 = 8.85 × 10 ⁻¹² F/m

^{ontrouve que}

l Stoney = 1.39 × 10 ⁻³⁶ m, m Stoney = 1.86 × 10 ⁻⁹ kg, t Stoney = 4.64 × 10 ⁻⁴⁵ s

⁽⁹⁾

Onnotequeesvaleurssonttrèspetites,parrapportauxvaleursdesquantités similaires,

tirées de notre expériene quotidienne. Quel peut être leur intérêt pratique? Elles in-

diquentquelesphénomènesphysiques, onnus àl'époquedeStoney,semblaientimpliquer

des éhelles de longueur, masse et tempsde et ordre. C'est-à-dire,ilssemblaientprédire

qu'ils devaient exister des objets de ette taille et masse, si les seules fores étaient les

fores életriques, magnétiques et gravitationnelles. Car Stoney herhait à omprendre

s'ilpouvait y avoirun moyen de prédire latailledes atomes.

Les unités de Plank Vingt inq ans plus tard, en 1899, Plank, en pleiine réexion sur

seulementlaonstante de Newton,

G

^{, lavitesse de la lumière,}

c

^{etlanouvelleonstante,}

h

^{(par onvention on emploie la ombinaison}

~ ≡ h/(2π)

^{depuis Dira, dans les années}

vingt)onpeut, aussi,trouvertroisombinaisonsquiauraientlesdimensionsde longueur,

masse et temps. La nouveauté par rapport au alul de Stoney était la onstante de

Plank, dont lesdimensions sont déduites de larelation

E = ~ ω ⇔ [ ~ ] = [h] = [E ][T ] = [M ][L] ² [T ] ^{− 1}

⁽¹⁰⁾

Ainsi l'on se rend ompte que l'on peut trouver neuf onstantes,

A j , B j , C j , j = 1, 2, 3

telles que

[G] ^{A 1} [h] ^{B 1} [c] ^{C 1} = [L], [G] ^{A 2} [h] ^{B 2} [c] ^{C 2} = [M], [G] ^{A 3} [h] ^{B 3} [c] ^{C 3} = [T ]

⁽¹¹⁾

ar, en y introduisant lesdimensions des onstantes impliquéeson obtient lessystèmes

3A 1 + 2B 1 + C 1 = 1 − A 1 + B 1 = 0 − 2A 1 − B 1 − C 1 = 0 3A 2 + 2B 2 + C 2 = 0 − A 2 + B 2 = 1 − 2A 2 − B 2 − C 2 = 0 3A 2 + 2B 2 + C 2 = 0 − A 2 + B 2 = 0 − 2A 2 − B 2 − C 2 = 1

(12)

dontla solutionest

A ₁ = 1/2 B ₁ = 1/2 C ₁ = − 3/2 A 2 = − 1/2 B 2 = 1/2 C 2 = 1/2

A 3 = 1/2 B 3 = 1/2 C 3 = − 5/2

(13)

et, par onséquent, on trouve que

l _Planck ≡ r G ~

c ³ , m _Planck ≡ r ~ c

G , t _Planck ≡ r G ~

c ⁵

(14)

On serend ompteque es unités mettenten avant l'interation gravitationnelle,les phé-

nomènes quantiques et lavitesse de lalumière.Elles ne dépendent pas de la harge éle-

trique, nide laonstante diéletrique(intrinsèquement,puisque, biensûr,

c = 1/ √ µ ₀ ε ₀

^),

ommelesunitésde Stoney.Sil'on y introduitlesvaleursdes onstantes dans lesystème

international, ontrouve queles unitésde Plank ontles valeurs suivantes

l _Planck = 1.62 × 10 ^{− 35} m m _Planck = 2.17 × 10 ^{− 8} kg t _Planck = 5.42 × 10 ^{− 44} s

⁽¹⁵⁾

Il est intéressant de noter que, numériquement, elles ne semblent pas très diérentes des

valeurs des unités de Stoney (à peu près un fateur 10,un ordre de grandeur)mais leur

sens l'est, dans la mesure où les unités de Stoney ne tiennent pas ompte des phéno-

mènes quantiques (ompréhensible à son époque!) et mettent ensemble les interations

életromagnétiquesetgravitationnelles.Lesunitésde Plankindiquentqueleseets gra-

vitationnels,quantiques etrelativistessontleseets fondamentauxet,plusieursannées

après, les travaux d'Einstein et Shwarzshild et eux de Chandrasekhar et de Oppen-

heimersur l'eondrement gravitationnelétaieront son intuition.Denos jourslalongueur

de Plank indique la limite de notre ompréhension quantitative. Les eorts pour aller

atomes, qui tenait ompte des eets quantiques et expliquait l'espaement des lignes

spetralesobservées parrayonnementéletromagnétiquepourl'atomed'hydrogène.Alors

on s'est posé(e), à nouveau, la question de la taille des atomes. En plus, l'image, selon

laquelleleséletronsorbitaitautourdunoyauétaitinompatibleavel'életromagnétisme

lassique,d'aprèslequelunehargeaéléréerayonneet,paronséquent,perddel'énergie,

equiimpliquequelamatièreestinstable.Laméaniquequantiquepermetdeomprendre

lepostulatde Bohr,que leséletrons ne rayonnent quelorsd'une transitiond'un niveau

à un autre et par de paquets d'énergie bien spéiques-la notion lassique d'orbite n'a

pas de sens et l'on doit aluler la densité de probabilité de la position de l'életron. La

quantitéintéressanteest lavaleurtypiquedeettedistribution,quiestelle,pourlaquelle

laprobabilitéatteint savaleurmaximale.Peut-on onstruireune ombinaison,quiaitles

dimensions d'unelongueur etdonneune valeurdu bonordre de grandeur? Car onsavait

parlesexpérienes de Perrinetde Rutherford,par exemple,quelatailledes atomesétait

beauoup plus grande que les longueurs de Stoney et de Plank. Puisque l'on herhe à

dériredes életrons,ilsembleraisonnabledeteniromptedeleur masse,

m e

^;puisqueles

interations que l'on employait pour étudier les atomes étaient életromagnétiques 'est

raisonnabledeteniromptedelahargeéletrique, ainsiquedelaonstantediéletrique,

ainsi que de la vitesse de la lumière.Alorson herhe une ombinaisonde laforme

[e] ^A [ε 0 ] ^B [m e ] ^C [ ~ ] ^D [c] ^E = [L]

⁽¹⁶⁾

Paar un alultoutàfaitsimilaireauxpréédents ontrouve,en eet, quelaombinaison

a Bohr ≡ ε 0 ~ ² e ² m e

(17)

On note que la vitesse de la lumière n'y entre pas, e qui est raisonnable, ar le modèle

de Bohr est non-relativiste.

Sil'on y met lesvaleursnumériques, ontrouve lavaleur

a Bohr = 4πε ₀ ~ ² e ² m e

= 0.529 × 10 ⁻¹⁰ m

⁽¹⁸⁾

ohérent ave les mesures expérimentaleset beauoup plus grande que leslongueurs de

Stoney et de Plank! Ainsi l'on se rend ompte que pour les atomes les interations

gravitationnelles, qui dépendent de

G

^{, ne sont pas les fores} déterminantes; e sont les fores életromagnétiquesetleurseets quantiques qui sont vraimentpertinent(e)s,pour

es distanes.

Quelrayonnementest appropriépoursonderettelongueur?Ilfautunelongueurd'onde,

λ ∼ a Bohr

^{et,jusqu'à1895onneonnaissaitpasde}rayonnementaveunelongueurd'onde aussi ourte. Cette année Röntgen déouvrit des rayons nouveaux, auxquels il donna le

nom,rayonsX.Ilaurafalluunertaintempspourquel'onserendeomptequeesrayons

sontdesondeséletromagnétiques.BraggetvonLauedanslesannéesquisuivirent,lesont

employéespourmettreen évidenelastruturepériodiquedesristauxet,danslesannées

inquante, Rosalind Franklin à Londres les utilisa pour mettre en évidene la struture

de l'ADN, dont l'interprétationpar FranisCrik etJamesWatsonà Cambridge,dans le

Ainsil'on peut lesemployerommeunités pour lesmesures qui portent sur lalasse des

phénomènesquel'onétudie.Ilestmieuxd'utiliserlerayonde Bohrenphysiqueatomique

que le mètre etpour une fente il est plus utile d'exprimer sa largeuromme multiplede

lalongueur d'onde, quel'on emploie pour l'illuminer,ainsi de suite. Maisl'on peut aussi

seposer laquestionsuivante:Peut-onexprimerlesquantitésphysiquesommedes séries

de puissanes dans un paramètre? On voudrait queette série onverge, alors il faudrait

que e paramètre soit un nombre petit, de façon à e que haque terme suessif soit

une orretion du préédent. Maintenant il est lair que e paramètre ne peut être une

quantitédimensionnée,ar,dépendantdusystèmed'unités,savaleurnumériquepeutêtre

très diérente : le rayon de Bohr est un entième du milliardième du mètre-mais à peu

près un Angstrøm! La question, alors, est, si l'on peut trouver une quantité qui mesure

l'intensité de l'interation életromagnétique et qui soit sans dimensionsalors elle aura

la même valeur dans tous les systèmes d'unités, qui sont ohérents. Si l'on peut et ette

valeur est un nombre plus petit que 1, alors on peut imaginer développer les quantités

pertinentes dans des séries de puissanes en e paramètre.

Ils'avère queei est possible-etleparamètreen questionfutremarquédans unontexte

diérent, à savoir l'étude des lignes spetrales de l'atome d'hydrogène. On a noté que

l'espaement entre ertaines d'entre elles impliquaitette quantité, 'est pourquoi l'on a

appelé onstante de struture ne. C'est par la suite que l'on s'est rendu ompte que

l'on pouvaitl'employerommeun paramètre de développement.

On peut mener le alul omme les préédentsou remarquer que la ombinaison

e ² /ε ₀

a les dimensions de fore

×

^longueur

²

^{qui sont les mêmes que elles de la ombinaison}

~ × c

^{, à savoir moment inétique}

×

^{vitesse. Ainsi le rapport est sans} dimensions. Si l'on veut l'employer omme un paramètre de développement, on va l'érire de la sorte qu'il

soitplus petit que1. En eet, ontrouve que

α ≡ e ²

4πε 0 ~ c = 7.297 × 10 ^{− 3}

⁽¹⁹⁾

quiest un nombre très petit. On remarqueque son inverse,

1/α ≈ 137.043

^{,alors onpeut}

sesouvenir, failement, que

α ≈ 1/137

^.

4. Le rayon de ShwarzshildOn veut montrer qu'ave laonstante de Newton, une masse,

M

^{et la vitesse de la lumière dans le vide,}

c

^{, on peut onstruire une quantité qui ait les}

dimensions d'une longueur. On peut, bien sûr, faire le alul expliitemais, enore une

fois,'est intéressant de trouver un raouri.Il provientdu faitque, sil'on introduitun

deuxièmeorps, de masse

m

^{, alors son énergietotale (qui ne sera pas onservée, ar il y}

aura éhange ave le orps àmasse

M

^{) sera donnée par}

E = 1

2 mv ² − GmM r

où

r

^{est la séparation entre lesdeux masses. Cei implique que la ombinaison}

GM/r

^a

lesdimensions de vitesse

2

. Par onséquent

[G][M ][c] ⁻² = [L]

Le rayon de Shwarzshild du orps de masse

M

^{est, alors, donnée par} l'expression

l Schwarzschild ≡ 2GM

c ²

⁽²⁰⁾

Cette relation a une histoire intéressante, ar Laplae s'était rendu ompte que la valeur de la

vitesse, pour laquelle l'énergie inétique était égale à l'énergie potentielle, permettait à l'objet

de masse

m

^{d'éhapper de} l'attration gravitationnelle du orps de masse

M

^{. Il en a déduit}

que si ette vitesse limite,

v _limite = p

2 GM/R

^{pour un objet sphérique de rayon}

R

^{, dépassait}

lavitesse de lalumière, alors l'objet serait oulté-et ila introduitle termed'étoile oulte. Le

problème ave e raisonnement est que la lumière n'ayant pasde masse, elle n'a pas d'intera-

tion gravitationnelle ave unautre orps selon la théorieNewtonienne! Il aurafallu un sièle à

peu près etle travail d'Einstein pour que l'on serende ompte quela lumière,quoique n'ayant

pasde masse, peutêtre sensible à la gravitation et en être déviée, arelle possède de l'énergie

et le hamp gravitationnel, d'après Einstein, ouple à l'énergie (et l'impulsion) de tout objet.

Et Shwarzshild trouva la bonne raison pourquoi

l Schwarzchild

^{est une longueur} fondamental : 'estlerayon del'horizondes événements:larégion

r < l Schwarzschild

^{ne peutpasommuniquer}

ave larégion

r > l SChwarzschild

^{par auun moyen que e soit, par un méanismede la physique}

lassique.Dérire les eetsquantiques dansette situation est une des grandes questions de la

physique ontemporaine.En1974StephenHawkingapréditqu'untrounoirpouvaitemettredu

rayonnement életromagnétique par un proessus quantique,ainsiperdrede l'énergieetévapo-

rer.Il est très diile d'observere rayonnement de manièredirete etles testsindirets de la

prédition deHawking onstituent un dé majeurepour laphysique atuelle.

OnserendomptequelerayondeShwarzshildestunequantitédelaphysiquelassique

ellene ontient pas la onstante de Plank. On peut essayer de lealulerpour la Terre,

par exemple. Ii onpeut noter que

GM Terre

R ² _Terre ≈ 9.81 m/s ²

etque

R Terre ≈ 6000 km

^{. Par onséquent, lerayonde} Shwarzshild pour laTerre vaut

l ^Terre Schwarzschild = 2g × R _Terre ²

c ² ≈ 2 × 10 × 36 × 10 ¹²

9 × 10 ¹⁶ = 8 × 10 ⁻³ m

Que veut dire e résultat? Que si toute la masse de la Terre était onentrée dans une

régionderayonde 8mm,alors,rienne pouvaitempêher l'eondrementgravitationnelde

e orps et l'apparitiond'une région,de rayon 8mm,qui serait isolé du reste de l'espae-

temps.

5. Transformation de Similarité On veut déterminer la relation entre le fateur de hange-

ment d'éhelle pour les longueurs,

λ

^{, le fateur de hangement d'éhelle pour les temps,}

1/µ

^{et le degré} d'homogénéité,

k

^{, du potentiel pour que, si la fontion vetorielle}

x(t)

satisfait l'équation

m d ² x

dt ² = − ∂V (x)

∂x

⁽²¹⁾

alors lafontion vetorielle

λx(t/µ) ≡ y(T )

^{satisfait l'équation}

m d ² y

dT ² = − ∂V (y)

∂y

⁽²²⁾

pour la même masse,

m

^{.Éq. (21) s'érit omme}

mλµ ² d ² y

dT ² = − λ ^k−1 ∂V (y)

∂y ⇔ λ ^2−k µ ² m d ² y

dT ² = − ∂V (y)

∂ y

⁽²³⁾

Alorsonse rendompte quelarelation entre lehangementd'éhelle spatial,

λ

^{, l'éhelle}

des temps,

µ

^{et ledegré}d'homogénéité,

k

^{du potentielest}

λ ^2−k µ ² = 1

⁽²⁴⁾

Onveut,maintenant,omprendrequelquesonséquenesdeetterelation.Lesensdespa-

ramètres

λ

^et

µ

^{est qu'ilssont lesrapports des distanes (}

λ

^{) et des temps (}

µ

^{) pour deux}

onditions initiales diérentes du même système(puisque la masse,

m

^{, reste la même).}

On note que, pour

k = 2

^{, elle implique que}

µ = 1

^, indépendamment de

λ

^{! Or, es}

rapports sont, aussi, es des toutes les longuuers respetives; si

x 1 (0)/x 2 (0) = λ

^{, alors}

x ₁ (t)/x ₂ (t/µ) = λ

^{. En} partiulier, une longueur aratéristique est l'amplitude du mou- vement et un temps aratéristique est la période de elu-i. La relation

µ = 1

^indique

quela période est indépendantede l'amplitude.

Pour leas Newtonien, où

k = − 1

^{larelation devient}

λ ³ = µ ⁻² ≡

x 1 (t 1 ) x 2 (t 2 )

3

= t 1

t 2

2

(25)

quiestlatroisièmeloideKepler,sil'onypose

t 1 ≡ T 1

^,

t 2 ≡ T 2

^,

x 1 (t 1 ) ≡ L 1

^,

x 2 (t 2 ) ≡ L 2

^!

Onserendainsi omptequelaméaniqueNewtonien permetde déduirelesloisdeKepler

(pour l'instant sa troisième loi). On note, également, que ette loi de Kepler est valable

aussi pour lepotentielCoulombien, qui, lui,aussi, est homogène de degré

k = − 1

^!

6. Le problème à deux orps en interation entraleL'énergie totale de deux masses,

m 1

^et

m ₂

^{est donnée par} l'expression

E = 1

2 m 1 r ˙ ² ₁ + 1

2 m 1 r ˙ ₁ ² + V (r 1 − r ₂ )

⁽²⁶⁾

On note que l'énergie potentielle ne dépend pas des positions individuelles,

r ₁

^et

r ₂

^,

mais seulement de la distane,

r ₁ − r ₂

^{entre elles. Quelques exemples typiques sont :}

(a) l'attration gravitationnelle newtonienne,

V (r ₁ − r ₂ ) = − Gm ₁ m ₂ / || r ₁ − r ₂ ||

^{, (b)}

l'interationoulombienne,

V (r 1 − r ₂ ) = Q 1 Q 2 /(4πε 0 || r ₁ − r ₂ ||

^,()l'interationengendrée par un ressort entre les masses,

V (r 1 − r ₂ )) = (k/2)( || r ₁ − r ₂ || − l) ²

^{, (d)} l'interation engendrée par une orde entre les masses,

V (r − r ₂ ) = σ || r ₁ − r ₂ ||

^.

Le problème est, onnaissant les positions initiales,

r ₁ (0), r ₂ (0)

^{et les vitesses initiales,}

˙

r ₁ (0) ≡ v ₁ (0), r ˙ ₂ (0) ≡ v ₂ (0)

^{,déterminerpositionsetvitesses àtoutmoment.Ce quirend}

e problème diile est que leséquations, dontles solutionsnous donnerontpositionset

vitesses, à tout moment,sont des équations ouplées

dr 1

dt = v ₁ (t) dv 1

dt = − ∂V (r 1 − r ₂ )

∂r 1

dr 2

dt = v ₂ (t) dv 2

dt = − ∂V (r 1 − r ₂ )

∂r ₂

(27)

question est, si l'interation possède des propriétés partiulières,qui nous permettent de

sipmplier es équations.

Le fait que l'énergie potentielle ne dépend que de la séparation des deux masses, nous

initeàpasserdesvariablesoriginalesauxvariablesduentredemasseetdelaséparation

relative:

R ≡ m 1 r ₁ + m 2 r ₂ m 1 + m 2

et r ≡ r ₁ − r ₂

⁽²⁸⁾

(et, bien sûr, les vitesses orrespondantes sont les dérivées, par rapport au temps de

es oordonnées). On peut résoudre es équations et exprimer lespositions individuelles

ommefontions de la position du entre de masse etde laséparation relative

r ₁ = R + m ₂ m 1 + m 2

r et r ₂ = R − m ₁ m 1 + m 2

r

⁽²⁹⁾

etl'énergie totaledevient

E = 1

2 (m 1 + m 2 ) ˙ R ² + 1 2

m 1 m 2

m 1 + m 2

˙

r ² + V (r)

⁽³⁰⁾

et l'on note la simpliation suivante : l'énergie potentielle ne dépend pas de

R

^{! Ainsi}

etteexpressionestl'énergietotalededeuxmasses,quin'intéragissentpas!L'uneest

M ≡ m ₁ + m ₂

^{,dont laposition est donnée par leveteur}

R(t)

^{(et lavitesse par}

V (t) ≡ R(t) ˙

⁾

et l'autre est

m ≡ m 1 m 2 /(m 1 + 2 )

^{, dont la position est donnée par}

r (t)

^{et la vitesse par}

v(t) ≡ r(t) ˙

^{.On serend ompteque lesdeux systèmes sont} équivalentsmaisledeuxième est beaoup plus faile à étudier, ar les deux masses,

M

^et

m

n'intéragissent pas! Le mouvement du entre de masse est elui d'une partiulelibre, ainsi l'on trouve que

V (t) ≡ R(t) = ˙ V (0) = m 1 v ₁ (0) + m 2 v ₂ (0) m 1 + m 2

et

R(t) = R(0) + V (0)t = m 1 (r 1 (0) + v ₁ (0)t) + m 2 (r 2 (0) + v ₂ (0)t) m 1 + 2

(31)

En e qui onerne le mouvementrelatif, elui de la masse tive,

m

^{(que l'on appelle,}

aussi, masse réduite), ontrouve queson énergietotale est donnée par l'expression

E − 1

2 (m 1 + m 2 ) ˙ R ² ≡ E red = 1

2 m r ˙ ² + V ( || r || )

⁽³²⁾

Puisqueleentre de masseeetuelemouvementd'unepartiulelibre,

E red

^estonstante

pendant lemouvement.Mais onn'a toujours qu'uneondition, pour ontraindrelestrois

omposantes de laposition

r

^{etlestroisomposantes de lavitesse,}

r ˙

^{.Mais l'onnote que}

le potentiel, en fait, dans les exemples qui nous intéressent ii,ne dépend pas des toutes

les trois omposantes de

r

^{, mais seulement de son module,}

r ≡ || r ||

^{. Autrement dit, il}

ne dépend pas des variables angulaires, qui déterminent la diretion du veteur

r

^dans

l'espae. Peut-on lesmettre en évideneet déduire laonservation d'une autrequantité,

à part l'énergietotale? On se rend ompte que l'équation de mouvement pour la masse

m

m d ² r

dt ² = − ∂V

∂r = − r r

dV (r)

dr

r ∧ m d ² r dt ² = 0

qui est équivalenteà

d dt

mr ∧ d dt r

= 0

puisque

r ˙ ∧ r ˙ = 0

.Ainsi l'on serend ompte que

L ≡ mr(t) ∧ r(t) = ˙ mr(0) ∧ r(0) ˙

⁽³³⁾

Par onséquent, le veteur

r(t)

^{est tout le temps} perpendiulaire à e veteur, dont la valeur etladiretionsontdéterminés par lesonditions initiales.Laondition

L = const

dénit un plan, puisque

L

^{est une fontion linéaire de}

r(t)

^{, le plan} perpendiulaire au veteur

L

^{. (On peut aussi montrer que la}onservation de e veteur est équivalenteà la seonde loi de Kepler, pour le as du potentielnewtonien.)

Sur e plan onpeut passer en oordonnées polaires,

(r(t), θ(t))

^{et montrer que}

|| L || ≡ L = mr ² (t) ˙ θ(t) ⇔ θ(t) = ˙ L

mr ² (t)

⁽³⁴⁾

etque

|| r(t) ˙ || ² = ˙ r ² (t) + r ² θ ˙ ² (t) = ˙ r ² + L ² m ² r ²

Ainsil'on trouve que l'énergietotale pour la masse réduites'érit sous la forme

E red = 1

2 m r ˙ ² + L ²

2mr ² + V (r)

| {z }

V eff (r)

(35)

etl'onpeutdérirelemouvementdeettepartiuletiveomplètement.Cettedernière

équation impliqueque

t = r m

2 Z r

0

du p E red − V eff (u)

(36)

de laquelle, par inversion, onobtient

r(t)

^{.L'éq. (34) implique que}

dθ = L ²

m dt r ² = L ²

m dt dr

dr

r ² = L ²

√ 2m

dr r ² √

E red − V eff ⇒ θ(t) = θ(0)+ L ²

√ 2m Z r(t)

r(0)

du u ² p

E red − V eff (u)

(37)

etettedernière équationnous livrelatrajetoire sur leplan perpendiulaireaumoment

inétiquesous formepolaire. Elledépend des deux onstantes du mouvement,

E red

^et

L

^.

On veut, maintenant, se onentrer sur le as Newtonien (ou Coulombien). Dans e as

lepotentiel eetifprend laforme

V eff (r) = c 1

r + c 2

r ²

⁽³⁸⁾

ave

c 2 ≡ L ² /(2m)

^et

c 1 = − Gm 1 m 2

^{pour le as Newtonien et}

c 1 = Q 1 Q 2 /(4πε 0 )

^pour

leas Coulombien. Paranalyse dimensionnelleontrouve que

[V ] = [c 1 ][l] ⁻¹ = [c 2 ][l] ⁻² ⇔ [c 1 ][l] = [c 2 ]

^{. Ensuite, que}

V _eff ^′ (r) = − (c 1 /r ² ) − (2c 2 /r ³ ) = 0 ⇔ r ^∗ = − 2c 2 /c 1

^{. Puisque}

r ^∗

^{est une variable radiale, les onstantes}

c 1

^et

c 2

^{doivent être de signes diérents. Or,}

c 2 = L ² /(2m) ≥ 0

^{, alors}

c 1 < 0

^{pour que le potentieleetif ait un extrémum pour une}

valeur nie de

r

^{. Si}

c 1 > 0

^{, alors le potentiel est toujours positif,} n'atteindra sa valeur minimale qu'à l'inniet l'origine sera inaessible, puisque

V eff (r) → ∞

^lorsque

r → 0

^.

On ontrle que

V ^′′ (r ^∗ ) = (2c 1 /r ^{∗ 2} + (6c 2 /r ^{∗ 4} ) = c ⁴ ₁ /(8c ³ ₂ ) > 0

^{ils'agitd'unminimum.La}

valeur de l'énergie potentielle eetive à e point est

V (r ^∗ ) ≡ V ^∗ = − c ² ₁ /(4c 2 ) < 0

^{. On}

peut employeres relations etexprimer

c 1

^et

c 2

^{omme fontionsdes}

r ^∗

^et

V ^∗

^:

c 1 = − 2V ^∗ r ^∗ et c 2 = − V ^∗ r ^{∗ 2}

⁽³⁹⁾

etexprimer le potentiel eetifomme

V = ( − V ^∗ ) ×

− 2 ρ + 1

ρ ²

(40)

oùl'onaposé

ρ ≡ r/r ^∗

^{.Ainsil'on serendomptequelaourbe,qui exprimelaphysique}

ii,est

V /( − V ^∗ )

^{omme fontion de}

ρ

^{, f. g. 1.}

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 2 4 6 8 10

V/(-V*)

r/r*

f(x) elim(x) elim_min(x) e(x)

Fig.1

V /( − V ^∗ )

^{ommefontionde}

r/r ^∗

^{.Onahelesdroites}

E/( − V ^∗ ) = 0

^,

E/( − V ^∗ ) = − 1

^,

limites pour le mouvement périodique, ainsi que la droite

E/( − V ^∗ ) = − 0.5

^{, dont les points}

d'intersetion ave la ourbe du potentiel eetif, délimitentle mouvement périodique dans le

puits.En méanique Newtonienne, pour le as du système solaire, on appelle les deux bornes

périhélie et aphélie (pour la distane minimale et maximale entre les deux masses respetive-

ment).

Pour qu' un objetsoit en orbitestable autour de laTerre, il fautque son énergieait une

valeur entre

V ^∗

^{et 0. Une manière de réaliser ette situation est une orbite irulaire,}

par rapport à la Terre et son orbite s'appelle géostationnaire. Dans e as, la vitesse de

l'objet tangente à son orbite et la fored'attration est égale à la fore entrpétale.Si la

masse du satellite,

m 2

^{, est beauoup plus faibleque elle de la Terre, alors,}

m ≈ m 2

^{. Sa}

vitesse vaut

v = Ωr

^{, où}

Ω = 2π/T

^,ave

T

^{lapériode de rotationde laTerre (don àpeu}

près23h56min=86160s,vuquelaTerreaavanélelongsonorbiteautourduSoleil!).

Il sut de déterminer

r

^{,par la relation}

m 2 v ²

r = Gm 2 m 1

r ² ⇔ v ² = Gm 1

r = Ω ² r ² ⇔ r =

GM Terre

Ω ²

1/3

Pour l'appliation numérique onse rappelleque

GM Terre ≡ g × R _Terre ²

^{etl'on trouve une}

distane (du entre de laTerre) de, àpeu près 40000 km.Sil'on y retranhe lerayonde

laTerre, ontrouve àpeu près 34000 km(on aposé

R _Terre ≈ 6000

^km).