θ 2 et l'équilibrage par un ontrepoids situé aupointM.

T.D. N9

Dynamique : Equations de Lagrange

La gure représente le shéma inématique d'un robot manipulateur plan à 2 degrés de liberté

ationnés par deux moteurs situés au niveau de la base (point

O ¹

^{) et qui exerent des ouples}

C ¹

et

C ²

respetivement sur les orps (1) et (3). La struture est omposée de 2 bras (1), (2), et 2 parallélogrammes isomorphes permettant la transmission de la rotation

θ 2

^et l'équilibrage par un ontrepoids situé aupoint

M

^.

Les barres (3),(4) et (5) sont supposées de masses négligeables. Le tableau i-dessous, déni les

diérentsparamètres des orps(1) (2) et du ontrepoids.

Corps (1) Corps (2) Contrepoids

Longueur prinipale

− −− →

O ¹ O ² = l ¹ − →

x ¹ −−→

O ² A = l ² − →

x ² − −− →

O ¹ M = − a − → x ¹ − b − →

x ²

Centre de gravité

− −− →

O ¹ G ¹ = d ¹ − →

x ¹ − −− →

O ² G ² = d ² − →

x ²

^-

Masse

m ¹ m ² M ^c

moment d'inertieau

entre de gravité% z

J ¹ J ² J ^c

Le repère

R ₀ = (O ¹ , − → x ⁰ , − →

y ⁰ , − →

z ⁰ )

^{lié au bâti est supposé galiléen.} L'aélération de la pesanteur est noté

−

→ g = − g − →

y 0

^{. Toutes lesliaisons sontsupposées parfaites.}

I. Cinématique et Statique

1. Exprimer lesveteurs rotations

−

→ Ω (1/ R ₀ )

^,

− →

Ω (2/ R ₀ )

^.

2. Exprimer, en fontion

θ ˙ ¹

^,

θ ˙ ²

^{et des veteurs liés au orps (1) et (2), les veteurs vitesses}

−

→ V (G ¹ , 1/ R ₀ )

^,

− →

V (G ² , 2/ R ₀ )

^,

− →

V (A, 2/ R ₀ )

^,

− →

V (M, 5/ R ₀ )

^.

3. Le système est lâhé, sans vitesse, dans lehamp de la pesanteur. Etudier l'équilibre statique

de l'ensemble soumis au poids des orps (1), (2) et du ontrepoids. Montrer qu'il existe deux

valeurspour

a

^et

b

^{pourlesquellesilya}équilibragestatiqueexatquellequesoitlaonguration du manipulateur.

4. Retrouvere résultaten utilisantle prinipe des puissanes virtuelles.

5. On suppose que

a

^et

b

^{vérient les onditions préédentes} d'équilibrage statique. Dans le as oùle robot porte en A une hargeutile de masse

M ^u

^{, quedoivent êtreles ouplesdes moteurs}

C ¹

^et

C ²

^{quipermettent de maintenir l'ensemble dans une ongurationdonnée}

θ ¹ , θ ²

^.

II. Cinétique et dynamique

On suppose dansettepartiequelesystèmeest statiquementéquilibréquandilest soumisauxpoids

de (1), (2) et du ontrepoids. On étudie dans ette partie le robot soumis aux ouples moteurs et

aux eorts d'inertie.

1. Exprimer les énergies inétiques de haque orps. En déduire l'énergie inétique totale qu'on

mettra sous laforme

T = 1

2 K ¹¹ θ ˙ ^{1 2} + 1

2 K ²² θ ˙ ^{2 2} + K ¹² θ ˙ ¹ θ ˙ ² cos(θ ² − θ ¹ )

où

K ¹¹

^,

K ²²

^et

K ¹²

^{sontdes onstantes à} déterminer.

2. Enutilisantl'expression préédentede l'énergieinétiqueetlesonstantes

K ¹¹

^,

K ²² K ¹²

^,érire

les équations de Lagrange relatives aux paramètres

θ ¹

^et

θ ²

^{et en déduire les équations de}

3. On herhe à obtenir des aélérations angulaires maximales

θ ¨ ¹

^max

= ¨ θ ²

^max

= 4

^{rd s}

^{− 2}

^et

des vitesses angulaires maximales

θ ˙ 1

max

= ˙ θ 2

max

= 2

^{rd s}

^{− 1}

^{. Caluler, dans la onguration}

(

θ ¹ = π/2, θ ² = 0

^),lesouples

C ¹

^maxet

C ²

^{maxdesmoteurs.Onprend}

K ¹¹ = 2

^Kg.m

²

^,

K ²² = 5

Kg.m

2

, et

K ¹² = 3

^Kg.m

²

^.

O1

O2 O3

O4

M1 M2

M

x0 x0 x2 x1

y0

θ1

θ2

θ2

x0 x0

x1 x2

y1 y0 y2 y0

θ1 θ1

θ2 θ2

4 1

5

2

3

G1

G2

A

θ2

z0 z0