ROYAUME DU MAROC
Ministère de l’Education Nationale
Académie Régionale de l’Education et de Formation Fès - Meknès
First - Prepa
C.P.G.E - Meknès
Devoir Surveillé N ◦ 1 de
Mathématiques
Classe : M.P 1 et M.P 2
Mardi 29 Septembre 2020 Durée : 4 heures
Le candidat devra partout utiliser Les mêmes notations que celles de l’énoncé.
La clarté des copies, leur lisibilité, La rigueur du discours, l’orthographe usitée seront des correcteurs grandement appréciées.
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre
N.B : Les deux parties Algèbre et Analyse doivent être traités sur des feuilles différentes.
Partie Algèbre
Exercice : Éléments propres - Diagonalisation - Trace. .
SoitEunK−espace vectoriel de dimensionn∈N∗et f un endomorphisme deE.
Q.1. Soitλ∈K. Montrer que :
λvaleur propre de f si et seulement si det(λ.idE− f) =0
Q.2. Montrer que si(e1,e2, . . . ,en)est une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distincts , alors elle est libre.
Q.3. Application 1 :Montrer que la famille(fn:t→cos(√
n.t))1≤n≤100est libre.
Q.4. Application 2 :Montrer que si f admet nvaleurs propres deux à deux distincts ,alors f est diagonalisable
Q.5. Soit f un endomorphisme deE
Montrer que si f est diagonalisable etrg(f) =1 alorstr(f)6=0
Q.6. (a) Donner la définition d’une forme linéaire surE
(b) Soitψ une forme linéaire sur Mn(K) telle queψ(AB) = ψ(BA) pour tout A et B de Mn(K).
i) Soit(i,j)∈ {1, 2, ...,n}2.Montrer queψ(Ei,i) =ψ(Ej,j)et que sii6= jalorsψ(Ei,j) =0 ii) Montrer qu’il existeλ∈Ktel queψ =λ.tr(S).
Q.7. Donner un exemple d’une matrice non diagonalisable (Justifier ).
Problème : Vecteurs 2-symétrique et 2-antisymétrique..
Notations : Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit qu’un vecteur X =
x1 x2 : xn
de
Mn,1(R)est 2-symétrique (respectivement 2-antisymétrique) lorsque :
∀i∈ {1, . . . ,n},xn+1−i =2n+21−ixi (respectivement xn+1−i =−2n+21−ixi). On noteFl’ensemble des vecteurs 2-symétriques deMn,1(R)etGl’ensemble des vecteurs 2-antisymétriques deMn,1(R).
On noteS= (si,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R)la matrice définie par : pour(i,j)∈ {1, . . . ,n}2 si,j =2i−1 si i=n+1−j et si,j =0 si i6=n+1− j
Partie A : cas particulier n = 2..
Dans cette partie et uniquement dans cette partie, on étudie le cas particulier oùn = 2.
Q.8. ExpliciterS, CalculerχAle polynôme caractéristique deAet déterminer son spectreSp(A).
Q.9. Déterminer les sous espaces propres de Aet vérifier queF= E√2(A)etG= E−√2(A) Q.10. DéterminerP∈GL2(R)etDdiagonale tel queS= PDP−1.
Q.11. Montrer que pour tout Met NdeMn(R), on a :tr(MN) =tr(N M)
Q.12. En déduiretr(S2020)
Q.13. Montrer que f : M7−→ M−tr(M)Sest un endomorphisme deM2(R).
Q.14. Déterminer la matrice de f dans la base canonique deM2(R)et donner dim(ker(f)
Q.15. Calculerχf le polynôme caractéristique de f.
Q.16. Montrer par l’absurde que f n’est pas diagonalisable
Partie B : cas particulier n = 3..
Dans cette partie et uniquement dans cette partie, on étudie le cas particulier oùn = 3.
Q.17. ExpliciterS, CalculerS2et déterminer son spectreSp(S)
Q.18. Montrer par deux méthodes qu’il n’existe pas deP∈ M3(R)tel quePSP−1= S2
Q.19. Montrer que la matriceM =
2 0 1 0 2 0 0 0 2
n ’est pas semblable àS.
Q.20. Déterminer toutes les matricesXdeM3(R)telles queXS+tr(X)S=4I3.
Q.21. Vérifier queFetGsont des sous-espaces deM3,1(R)et déterminer une base deFet une base deG.
Q.22. Vérifier queFetGsont stables par S( c’est à dire stable par s :X=
x1
x2 x3
→ SX).
Q.23. Montrer que :F⊕G=M3,1(R)
Q.24. Gest -il un sous espace propre deS?
Partie Analyse
Problème : Autour des suites et séries numériques.
Recherche d’un équivalent.
Q.1. Démontrer la formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) :
si I est un intervalle contenant le réela, si f est une fonction de I dansRde classeC∞sur I, alors pour tout réelx∈ Iet pour tout entier natureln, on a :
f(x) =
n
∑
k=0
(x−a)k
k! f(k)(a) +
Z x
a
(x−a)n
n! f(n+1)(t)dt.
Q.2. En déduire que x3 6 − x
5
120 6x−sinx6 x
3
6 pour toutxdei 0,π
2 h
. Q.3. On considère la suite réelle(un)ndéfinie par :u0∈ i0,π
2 h
etun+1=sinunpourn≥0.
(a) Montrer que(un)nconverge vers 0.
(b) On posetn = 1 u2n+1 − 1
u2n. Montrer que(tn)nest bien définie et converge vers 1 3. (c) En utilisant le lemme de Cézaro, déterminer un équivalent simple de la suite(un)n.
Utilisation des intégrales de Wallis.
Q.4. Pour tout entier natureln, on note In=
Z π
2
0
(cost)ndt.
(a) En utilisant une intégration par partie, établir que :∀n∈N :In+2= n+1 n+2In. (b) Prouver queI2p = (2p)!
22p(p!)2 π
2 pourp∈N. Déterminer une expression similaire deI2p+1. Q.5. (a) Montrer que la suite(In)nest décroissante, puis qu’elle est convergente
(b) Établir queIn+1In = π
2(n+1) pourn∈N. En déduire lim
n→+∞In. Q.6. Prouver que n+1
n+2 ≤ In+1 In
≤1 pourn∈N, puisIn+1 ∼ Inet en déduireIn∼ rπ
2n. Q.7. Application : Formule de Stirling.
On pose, pour tout entier naturelnnon nul,un = n!e
n
√nnn etvn=ln(un).
(a) Démontrer que la série de terme généralvn+1−vn est convergente et en déduire que la suite(un)nest convergente. On note sa limite parα.
(b) Montrer queα=√
2π et en déduire que :n!∼√
2πnn e
n
.
Comparaison avec les intégrales.
On considère un réelαstrictement positif.
Q.8. Étudier la nature de la série de terme généralan =
n
∑
k=1
√1 k
!α
.
Q.9. Justifier l’existence de bn =
∞
∑
k=n+1
1 k4
!α
pour n ∈ N puis étudier la nature de la série de terme généralbn.
Utilisation du développement asymptotique.
Q.10. Pourn∈N∗, on poseδn=eiπ
√n+1−eiπ
√n.
(a) Rappeler les développements limités d’ordre 2 en 0 de√
1+ueteu.
(b) Montrer queδn= iπe
iπ√ n
2√
n − π
2eiπ
√n
8n − iπe
iπ√ n
8n3/2 +o 1
n3/2
(∗).
(c) En admettant qu’on puisse prendre les parties réelles dans(∗), en déduire que sin(π√
n)
√n =−2 π
cos(π√
n+1)−cos(π√
n)− π
4ncos(π√
n) +sin(π√ n) 4n3/2 +o
1 n3/2
Q.11. (a) Quelle est la nature de la série
∑
n≥1
sin(π√ n)
n3/2 ? Celle de
∑
n≥1
wnavecwn=o 1
n3/2
? On admet que la série
∑
n≥1
cos(π√ n)
n est convergente.
(b) En considérant des suites extraites, montrer que la suite cos(π√
n)n∈N∗est divergente .
(c) Que peut-on en déduire sur la nature de
∑
n>1
sin(π√ n)
√n ?
Séries factorielles.
Pour toutp∈N∗et toutn∈N∗, on poseun(p) = 1
n(n+1)· · ·(n+p) Q.12. Montrer que la série
∑
n>1
un(p)est convergente. On poseσ(p)sa somme.
Q.13. Pour p>2 etn∈ N∗, exprimerun(p−1)−un+1(p−1)en fonction depetun(p). Q.14. En déduire la valeur deσ(p)en fonction dep, pour p>2.
Q.15. Pour toutn∈Net tout réelx>0, on pose un(x) = n!
x(x+1)· · ·(x+n) ; vn(x) = 1
(n+1)x ; wn(x) = un(x) vn(x)
Montrer que la série de terme général ln
wn(x) wn−1(x)
, défini pourn>1, est convergente.
Q.16. En déduire qu’il existe un réel`(x)strictement positif qui vérifie lim
n→+∞
un(x)
vn(x) =`(x).
Q.17. Soit(an)n∈Nune suite de nombres complexes, etxun réel strictement positif. Montrer que la série
∑
n>0
anun(x)est absolument convergente si, et seulement si, la série
∑
n>0
anvn(x)est abso- lument convergente
