Spé PC* Octobre 2020 DS DE PHYSIQUE N 2 (3 heures)

Spé PC* 2020-2021 10 Octobre 2020

DS DE PHYSIQUE N°2 (3 heures)

I. CAMERA DE CONTROLE DES PLAQUES D’IMMATRICULATION (E3A PC 2012)

Pour diminuer le nombre de véhicules circulant dans le centre ville et réduire ainsi les embouteillages, la pollution et le bruit qu’ils engendrent, plusieurs grandes agglomérations (Londres, Singapour, Stockholm) utilisent un système de péage urbain.

Différentes technologies sont mises en oeuvre pour détecter les véhicules entrant dans la zone de circulation taxée. Le système londonien, appelé London Congestion Charge (mis en place en 2003) utilise un réseau de 500 caméras installées à chaque point permettant d’entrer ou de sortir de la zone payante. Les images obtenues sont ensuite analysées par un algorithme LAPI (Lecture Automatique des Plaques d’Immatriculation) qui génère une liste des véhicules ayant circulé dans le centre ville, ce qui déclenche la facturation d’une taxe.

Ces systèmes doivent être robustes, peu coûteux, ne nécessiter aucun réglage et être fonctionnels dans des conditions de luminosité très variées. Le modèle retenu (ci-contre) comporte deux caméras identiques : l’une enregistrant dans le domaine visible et l’autre dans le proche infrarouge grâce un filtre stoppant les radiations visibles. Un ensemble de diodes électroluminescentes (DEL) émettant des flashes de longueur d’onde respective 810 nm et 950 nm entoure les caméras et permet d’illuminer la plaque d’immatriculation.

Les spécifications du constructeur sont les suivantes :

Le capteur CCD (Charge Coupled Device) de ces caméras est un rectangle de diagonale 1/4 " (0,635 cm) et est découpé en 752 x 582 pixels (largeur x hauteur) ; les pixels sont des carrés tous identiques, de côté

a

^.

Pour réduire le coût, les risques de panne et les réglages lors de l’installation, ces caméras ont une distance focale image

f ’

fixe. Le constructeur propose différents modèles destinés à enregistrer les plaques d’immatriculation à une distance de mesure déterminée

L

.

Le tableau suivant résume les modèles disponibles :

La norme britannique concernant les plaques d’immatriculation est la suivante :

Les plaques doivent mesurer 110 mm de hauteur et 520 mm de largeur. Les caractères doivent avoir une hauteur de 79 mm et une largeur de 50 mm, l’épaisseur du trait étant fixée à 14 mm.

A / DIMENSIONNEMENT DES CAMÉRAS

Les caméras sont identiques et constituées d’une lentille d’objectif de distance focale image

f ’

qui forme sur le capteur CCD une image de la plaque d’immatriculation.

La figure 1 illustre cette configuration (les échelles relatives ne sont pas respectées).

Modèle de caméra 1 2 3 4 5

Focale

f ’

^{35,0 mm 25,0 mm 16,0 mm 12,0 mm 8,00 mm}

Distance de mesure

L

^{20,0 m 14,5 m 9,0 m 7,0 m 4,5 m}

110 mm

520 mm

79 mm 50 mm

≈ 10 cm Objectifs des caméras DEL infrarouges

caméra P362 de la société PIPS^®

Tableau 1

A1. Exprimer la distance

OC

en fonction de

L = PO

et

f ’

=

OF '

. Justifier pourquoi la lentille doit nécessairement être convergente.

A2. Ecrire le grandissement

γ

en fonction de

L

et

f ’

.

A3. En tenant compte des valeurs numériques du Tableau 1, simplifier l’expression de

OC

obtenue à la question A1.

Commenter.

A4. Simplifier de même l’expression de

γ

. Calculer la valeur numérique du grandissement

γ

pour ces cinq modèles de caméras (répondre avec 3 chiffres significatifs). Commenter. Calculer la valeur moyenne de

γ

sur ces cinq valeurs. Pour les questions suivantes,

γ

sera pris égal à cette valeur moyenne.

A5. Déterminer la largeur et la hauteur du capteur CCD en millimètres.

En déduire la valeur numérique de la longueur

a

du côté d’un pixel de ce capteur.

A6. En déduire les dimensions du champ de vue dans le plan d’observation.

Est-il suffisant d’installer une caméra par rue permettant d’accéder au centre ville ?

A7. Déterminer la taille de l’image d’un des caractères de la plaque d’immatriculation sur le capteur CCD en micromètres, puis en pixels.

A8. Le dimensionnement de la caméra est imposé par une valeur optimale de

γ

qui repose sur un compromis entre deux contraintes antagonistes : préciser lesquelles.

A9. Quels problèmes se poseraient si le dispositif ne filmait que dans le domaine visible ? Quels sont les avantages à filmer une seconde image en infrarouge ?

A10. On veut déterminer la condition à vérifier par

f ’

et

D

0 =

PC

pour que l’image de la plaque se forme en

C

. Montrer que

OC

est solution d’une équation de degré 2 dont on exprimera les coefficients en fonction de

D

0 et

f ’

. En déduire la condition à vérifier par

f ’

et

D

0.

B / PROFONDEUR DE CHAMP

Bien que ces caméras ne disposent pas de dispositif de mise au point (leur distance focale est fixe), il est néanmoins possible de visualiser des plaques d’immatriculation qui ne sont pas rigoureusement situées à la distance

L

spécifiée par le constructeur (cf. Tableau 1).

Le but de cette partie est de déterminer la profondeur de champ

Z

, c'est-à-dire la longueur de la zone de l’espace où l’objet peut-être placé afin que la caméra en fournisse une image considérée comme nette.

Le document-réponse « Optique » en annexe 1, à rendre avec la copie, comporte différentes figures sur lesquelles un objet ponctuel est situé sur l’axe optique (les constructions ne sont pas à l’échelle et ont pour seul but d’illustrer le phénomène). Le diamètre de la lentille est

D

= 1,00 cm.

Sur la première figure, l’objet est situé en

P

0, à la distance

L

spécifiée par le constructeur.

F i

g u r e 2

Plaque d’immatriculation

Capteur CCD

+

P O C

Lentille d’objectif de distance focale image

f’

et de diamètre

D

Caméra Plan

d’observation Figure 1

PO

L =

B1. Compléter cette figure en représentant le trajet des deux rayons lumineux issus de

P

0 et frappant la lentille en deux points extérieurs diamétralement opposés. Représenter la position de l’image

C

0 de ce point

P

0 par la lentille d’objectif. (Un soin particulier est attendu dans la réalisation de la construction dont la démarche doit être rigoureusement justifiée.)

Le capteur CCD est positionné dans le plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par

C

0. L’objet ponctuel

P

1 est maintenant placé à une distance

Δ

1 =

P

0

P

1 > 0 de

P

0.

B2. Compléter la seconde figure du document-réponse en y représentant : a) le plan du capteur CCD.

b) le trajet des deux rayons lumineux issus de

P

1 et frappant la lentille en deux points extérieurs diamétralement opposés. Son image est notée

C

1.

B3. Montrer que le diamètre de la tache image sur le capteur, noté

d

1, peut s’exprimer sous la forme :

d

1 =

β f ' Δ

¹

( L − f ')( L − Δ

¹

)

^{, où}

β

est un facteur à expliciter.

B4. Compléter la troisième figure, dans le cas où

P

0

P

2 = –

Δ

2 (

Δ

2 > 0 est une distance).

Le diamètre de la tache image peut alors s’exprimer sous la forme

d

2 =

β f ' Δ

²

(L − f ')(L + Δ

²

)

^.

B5. Simplifier les expressions de

d

1 et

d

2 sachant que

f ’

<<

L

.

B6. Exprimer, en fonction de

a

,

L

,

D

et

f ’

, les distances

Δ

1lim et

Δ

2lim telles que la tache image sur le capteur ait un diamètre égal à la taille d’un pixel.

B7. Calculer les valeurs numériques des distances

Δ

1lim et

Δ

2lim pour la caméra 3, en prenant

a

= 7,00

µ

m.

B8. Déterminer l’expression de la profondeur de champ

Z

en fonction de

f ’

,

D

,

a

et

L

. B9. Simplifier cette expression en tenant compte des valeurs numériques de l’énoncé.

B10. Commenter le choix d’une lentille de petit diamètre pour réaliser cette caméra.

II. INTERFERENCES (d’après CCP PC 2004)

A. Ondes lumineuses et interférences dans un milieu

On caractérise une onde lumineuse en un point

P

d'un milieu d’indice

n

, à la date

t

, par une grandeur lumineuse scalaire

s

(

P

,

t

).

En notation complexe, on écrira:

s

(

P

,

t

) =

S

0 exp [

i

(

ϕ

0 +

!

k . r !

–

ωt

) ] où

S

0 est l'amplitude supposée constante,

! k

le vecteur d'onde,

r !

=

SP ! " !

(

S

étant le point source lumineux) le vecteur position et

ϕ

0 la phase à l'origine.

A.1.

a) Rappeler l'expression du vecteur d'onde

!

k

en fonction de

λ

, longueur d'onde dans le milieu de propagation de l'onde, puis en fonction de

λ

0, longueur d'onde dans le vide, et n.

b) Que représente physiquement le terme

!

k . r !

présent dans l'expression de

s

(

P

,

t

) ?

A.2. On considère, en un point

P

du milieu, la superposition de deux ondes issues de deux sources ponctuelles

S

1 et

S

2

monochromatiques (pulsations respectives

ω

1 et

ω

2, phases à l'origine respectives

ϕ

01 et

ϕ

02).

a) Ecrire, au point

P

, les grandeurs lumineuses complexes

s

1(

P

,

t

) et

s

2(

P

,

t

) associées aux deux ondes. On prendra la même amplitude

S

0 pour les deux grandeurs lumineuses.

En déduire la grandeur lumineuse complexe

s

(

P

,

t

) résultant de la superposition des deux ondes.

b) Calculer alors l'intensité lumineuse

I

que l'on définit simplement ici par

I

= <

s

.

s

*>,

s

* étant le complexe conjugué de

s

. On notera

I

0 =

S

02

.

En déduire les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences.

Donner l'expression de

I

, lorsque ces conditions sont réunies, en fonction, entre autres, de

I

0,

n

, de la longueur d’onde

λ

0

et des distances

S

1

P

et

S

2

P

. B. Interférences.

B.1. Figure d'interférences créée par deux sources monochromatiques cohérentes.

On considère deux ondes de même amplitude

S

0, émises par deux sources ponctuelles monochromatiques (longueur d’onde

λ

0) situées dans le vide,

S

1 et

S

2, distantes de la longueur

a

, ces deux sources étant cohérentes et en phase. On négligera la variation des amplitudes en fonction des parcours

r

1 et

r

2.

a) On considère un plan d'observation parallèle à la droite des sources et situé à une distance

D

de celle-ci (cf. Fig. 1), le point courant

P

décrivant l'axe

OX

. On suppose que

D

>>

a

et

D

>>

X

.

Fig. 1 : Plan d'observation parallèle à la droite des sources.

Exprimer

I

en fonction de

X

, position du point

P

de l'écran.

b) Définir et exprimer l'interfrange

i

.

B.2. Fente de réception de la lumière

On place une fente rectangulaire fine, de largeur

e

, dans le plan

XOY

ses bords étant de cotes respectives

X

₀

− e 2

^et

X

₀

+ e

2

. L’intensité lumineuse élémentaire

dI

R reçue par un élément de fente de largeur

dX

et de cote

X

s’écrit :

dI

R =

I

(

X

).

dX

e

^où

I

(

X

) représente l’intensité calculée précédemment.

a) Exprimer l’intensité totale

I

R reçue par la fente.

b) Quand on déplace la fente dans le plan

XOY

parallèlement à elle-même, l’intensité lumineuse varie. Soient (

I

R)min et (

I

R)max les intensités maximale et minimale reçues.

Exprimer le contraste Γ défini par la relation :

Γ = ( ) I

_R max

− ( ) I

_R min

I

_R

( )

max

+ ( ) I

_R min

.

c) On désire que le contraste soit au minimum égal à 0,4 ; en utilisant l’annexe 2, déterminer la largeur maximale

e

max de la fente à choisir ? Calculer

e

max pour

a

= 0,2 mm,

λ

0 = 589 nm,

D

= 1 m.

B.3. Mesure du diamètre d’une fibre optique

On envoie, à l’aide d’une source monochromatique de longueur d’onde

λ

0, de la lumière dans deux fibres optiques identiques, de mêmes longueurs

L

, et diamètres

d

. A l’autre extrémité, les fibres sont placées l’une contre l’autre, côte à côte, leurs centres étant positionnés en

S

1 et

S

2. On considère que les extrémités des fibres se comportent comme des sources ponctuelles émettant la même intensité lumineuse.

On observe sur l’écran des franges rectilignes et on mesure l’interfrange

i

= 5 mm pour

D

= 2 m et

λ

0 = 633 nm. En déduire le diamètre

d

des fibres.

B.4. Capteur de température à fibre optique

Il existe une différence de température

Δθ

⁼

θ

2 –

θ

1 entre les deux fibres. Sachant que le coefficient thermo-optique de la silice dont est constitué le cœur de la fibre vaut :

β

⁼

^dn

dT

^{= 10}

–6 K^–1 où

n

est l’indice de la fibre et

T

sa température, déterminer le nombre de franges qui défilent en

O

lors de l’augmentation de température

Δθ

= 1 °C. Qu’observe t-on en

O

? On donne L = 20 m et

λ

0 = 633 nm.

III. TÉLESCOPES AU SOL ET EN ASSOCIATION (CCP MP 2012)

Le premier des quatre principaux télescopes du « Très Grand Télescope » (acronyme anglo-saxon VLT) installé au sommet du Cerro Paranal, au Chili, a été prénommé

Antu

(

Soleil

en langue mapuche) et a été mis en service en 1998.

Comme tous les télescopes du VLT, il est de type Ritchey - Chrétien, avec un des quatre foyers de type Cassegrain.

On étudiera un montage interférométrique à deux télescopes. Outre le télescope

Antu

du VLT, appelé

T

1 par la suite, le montage considéré inclut également

Kueyen

(

Lune

en langue mapuche), télescope mis en service en 1999 et appelé

T

2.

Figure 1 : montage interférométrique

Les deux télescopes

T

1 et

T

2 sont identiques, et le diamètre de leurs ouvertures circulaires est négligeable devant la longueur

T

2

T

1=

b

de la ligne de base (de milieu

T

) qui joint les deux instruments. La position moyenne

Ω

d'un système stellaire binaire, c'est-à-dire une étoile double symétrique avec deux contributions égales de l'éclairement

I

0, est repérée par l'angle

α

que fait la direction

TΩ

avec la normale en

T

à la ligne de base. On pose

D

=

TΩ

.

Les positions

x

1 et

x

2 = –

x

1 des 2 étoiles

E

1 et

E

2 qui constituent le système stellaire sont comptées par rapport à l'origine

Ω

^{de l'axe}

Ω

x, ce dernier étant perpendiculaire à la direction

TΩ

. L'ensemble des caractéristiques décrites ci-dessus est apparent sur la figure 1. En outre, un dispositif annexe, dont on discutera l'usage par la suite, permet de faire interférer les ondes optiques issues des deux foyers images en introduisant une différence de marche supplémentaire

L

f sur le signal issu de

T

1.

1. Exprimer les différences de marche

δ

1 =

E

1

T

2 –

E

1

T

1 et

δ

2 =

E

2

T

2 –

E

2

T

1, hors contribution

L

f.

Pour faire le calcul approché de ces deux grandeurs, on remarquera que la distance

D

est extrêmement grande devant les autres dimensions exprimées sur la figure 1, et qu'il est alors possible pour

E

1, respectivement

E

2, de poser

E

1

T

2 ≈

E

1

H

+

HT

2, respectivement

E

2

T

2 ≈

E

2

H

+

HT

2.

2. Montrer que les différences de phases spatiales correspondantes

Δϕ

k =

ϕ

k(

T

2) –

ϕ

k(

T

1)

φ

k (

k

= 1, 2) qui prennent en compte toutes les contributions des différences de marche peuvent se mettre sous la forme :

Δϕ

k =

2 π λ

X x

k

D + bsin α − L

f

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

avec

λ

la longueur d'onde supposée monochromatique émise par les étoiles

E

1 et

E

2,

x

k (

k

= 1, 2) leurs positions et

X

une longueur que l'on explicitera.

3. La contribution

I

k à l'intensité totale, pour une étoile

E

k donnée, est due au système interférentiel qui résulte des phases spatiales

Δϕ

k. Il est aisé de l’exprimer par la relation

I

k =

I

0(1 + cos

Δϕ

k).

Donner l'intensité totale

I

en fonction de

I

0,

Δϕ

1 et

Δϕ

2. Mettre cette intensité totale sous la forme :

I

= 2

I

0

1+ cos π X ( x

2

− x

1

) λ D

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ cos 2 π bsin α − L

f

λ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

4. La distance entre les télescopes

Antu

et

Kueyen

est

b

= 57,000 m. Le système binaire est à la position moyenne

α

= 45° et les deux étoiles

E

1 et

E

2 sont supposées émettre à la même longueur d'onde de 600 nm.

Trouver la plus petite distance angulaire

θ

^{= (}

x

2 –

x

1)/

D

détectable, exprimée en radians, pour obtenir un éclairement uniforme.

5. Calculer le contraste

γ

donné par

γ

⁼

I

max

− I

min

I

^max

+ I

^min

6. On s'arrange généralement, via l'utilisation d'une ligne à retard, pour que

L

f, différence de marche supplémentaire mentionnée en introduction, soit égale à (

b

sin

α

). Quelle en est la raison ?

Cette ligne à retard peut être réalisée à l'aide d'une fibre optique, et dans la suite de l'exercice, nous considérerons une fibre monomode à saut d'indice comme présentée figure 2. Les rayons lumineux subissent une succession de réflexions totales à l'interface entre le cœur et la gaine de la fibre.

Figure 2 : fibre optique à saut d'indice: profil d'indice à gauche, coupe à droite

Dans toute fibre, chacun de ses constituants, c'est-à-dire cœur et gaine, se voit associer un coefficient de dispersion

D

pour deux raisons : du fait du mode guidé et de la distorsion associée à la dispersion relative au temps d'arrivée d'un signal, mais également du fait que les indices dépendent des longueurs d'onde

λ

. Une fibre est alors définie par ses indices de réfraction

n

1 et

n

2, respectivement pour le cœur et la gaine, mais également par ses indices de groupe

N

1 et

N

2 liés aux vitesses de groupe respectives d'un signal donné, dans les milieux

n

1 et

n

2. Les premiers dépendent des seconds par la relation

N

i =

n

i -

λ ^dn

ⁱ

d λ

⁽

i

= 1, 2), dont on n'a pas explicitement l'usage dans la suite du problème. On admettra qu'avec la fibre employée ici, on se place dans le cas où

N

¹

− N

²

N

^{2 ≈}

n

¹

− n

²

n

^{2 et}

n

1 +

n

2 ≈ 2

n

2.

7. On peut montrer que le coefficient de dispersion du guide, c'est-à-dire la gaine, dans des conditions de faible guidage pour une fibre monomode vaut :

D

g = – 1,984

( N

¹

− N

²

)

λ

⁰

^c 1

V

^{2 , avec}

c

la vitesse de la lumière dans le vide (

c

= 3.10^–4 m.ps^–1) et

V

=

2 π ^a λ

⁰

ⁿ

¹

2

− n

²² , tel que

V

< 2,4 en régime monomode.

Montrer que si l'on exprime

a

et

λ

0 en

µ

^{m, alors}

D

g peut s'écrire simplement selon

D

g = – 83,76

N

2

λ

⁰

n

22

a

² (exprimé en unités ps.km^–1.nm^–1).

8. Le diamètre de la gaine étant par ailleurs grand devant celui du cœur qui vaut 2

a

, on peut montrer que le coefficient de dispersion du cœur

D

m est donné par

D

m =

A

ln

λ

⁰

B

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

^avec

A

et

B

deux constantes.

Quelle est l'expression de a qui permet de compenser le coefficient de dispersion du matériau

D

m par celui de dispersion du guide

D

g pour finalement annuler le coefficient de dispersion total

D

=

D

m+

D

g ? Faire l'application numérique avec

λ

0 = 1,55

µ

^m,

n

2 = 1,442,

N

2 = 1,457,

A

= 145 ps.km^–1.nm^–1 et

B

= 1,35

µ

^m.

Avec ces valeurs numériques, calculer

D

m et vérifier que la fibre est monomode. On donne

n

1 = 1,447.

Annexe 1 :

NOM : PRENOM :

Annexe 2 : Tracé de la fonction sinc (x) en fonction de x.