HAL Id: tel-01450340
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01450340
Submitted on 31 Jan 2017HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Élaboration de méthodes Lattice Boltzmann pour les
écoulements bifluides à ratio de densité arbitraire
Marie Bechereau
To cite this version:
Marie Bechereau. Élaboration de méthodes Lattice Boltzmann pour les écoulements bifluides à ratio de densité arbitraire. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris Saclay (COmUE), 2016. Français. �NNT : 2016SACLN059�. �tel-01450340�
NNT : 2016SACLN059
Thèse de doctorat
de l’Université Paris-Saclay
préparée à l’ENS Paris-Saclay
École doctorale n
◦574
École Doctorale Mathématique Hadamard
Spécialité de doctorat : Mathématiques appliquées
par
Mrs. Marie Béchereau
Élaboration de méthodes Lattice Boltzmann pour les
écoulements bifluides à ratio de densité arbitraire
Thèse présentée et soutenue à l’ENS Paris-Saclay, le 14 décembre 2016.
Composition du Jury :
M. David Le Touzé Professeur des universités (Président du jury) École Centrale Nantes
M. Fayssal Benkhaldoun Professeur des universités (Rapporteur) Université Paris 13
M. Raphaël Loubère Directeur de recherche (Rapporteur)
Université de Toulouse
M. Stéphane Dellacherie Chargé de recherche (Examinateur)
CEA Saclay
M. Philippe Ricoux Directeur de recherche (Examinateur)
Total
M. Florian De Vuyst Professeur (Directeur de thèse)
Remerciements
Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de thèse Florian De Vuyst pour son encadrement, ses conseils précieux et sa patience qui m’ont permis de me-ner à bien ce travail.
Je suis reconnaissante aux membres du jury, et plus particulièrement les rap-porteurs Raphaël Loubère et Fayssal Benkhaldoun, d’avoir examiné mes travaux, lu attentivement ce manuscrit, formulé des critiques constructives et fait le déplace-ment jusqu’à l’ENS Cachan pour poser des questions pertinentes.
Je voudrais remercier Aurélien d’avoir cru en moi plus que moi même et de m’avoir poussé à dépasser les limites que je m’étais fixées. S’il n’avait pas trouvé le sujet parfait pour moi, je ne me serais certainement jamais lancée dans ces trois années de thèse.
Celle-ci m’a permis de faire des rencontres formidables, notamment Julien, Maxime et Pierre. Je les remercie du fond du cœur pour leur soutien constant depuis que je les connais. Je tiens à exprimer plus profondément ma gratitude à mon chéri pour le temps qu’il a passé à écouter mes problèmes et chercher à les résoudre, pour son aide dans la réalisation des figures avec Gnuplot et des vidéos pour mes présentations.
Je n’oublie pas mes collègues du groupe de travail LBM, François, Benjamin, Loïc, Pierre, Simon, Tony, Cyril et Pepino ; ceux de l’équipe Mécanique des Fluides Réels, Matthieu, Thibault, Li, Guillaume, Arthur, Christophe, Laure, Jean-Michel, Robert, Daniel, Joris, Jean-Louis, Benoît, Atman ; ni mes cobureaux, Barbara, Charles, Lara, Nicola, Irène, Maxime, Marie, Ives, Axel, Mariano et Jérémy.
J’ai une pensée toute spéciale pour la coloc de Brétigny et les fous rires et dis-cussions endiablées entre Atou, Roberto et Julie.
Je remercie la région Île de France pour son financement qui m’a permis d’ef-fectuer cette thèse dans de bonnes conditions. Je tiens également à exprimer ma gratitude à l’équipe du DIM , notamment Dominique, pour avoir si bien fait le lien avec la région, ainsi qu’à celle du CMLA de l’ENS de Cachan, Virginie, Micheline, Véronique et Sandra, pour leur disponibilité.
Je souhaite enfin dédier ce manuscrit à mes parents, mon frère et mes amis, San-dra, Camille, Anne Charlotte, Antoine et Mathias ; sans qui je n’aurais ni abordé, ni traversé, les épreuves semées tout au long du chemin difficile qu’est une thèse.
Table des matières
Introduction/Motivations
10
A
État de l’art des méthodes de Boltzmann sur réseau
(Lattice Boltzmann Method LBM)
17
1 Principe de la méthode 19
1.1 Origine des méthodes Lattice Boltzmann . . . 20
1.1.1 Théorie cinétique des gaz à vitesses discrètes . . . 20
1.1.2 Gaz sur réseau (Lattice Gas Cellular Automata) . . . 21
1.2 Équation de Boltzmann . . . 23
1.3 Développement de Chapman-Enskog . . . 24
1.4 Théorème H . . . 25
1.5 Discrétisation = Lattice Boltzmann Method . . . 25
1.5.1 Discrétisation temporelle . . . 25
1.5.2 Restriction de l’espace des vitesses . . . 26
1.5.3 Discrétisation de l’équilibre . . . 27
1.6 Opérateurs de collision . . . 28
1.6.1 Opérateur de Bhatnagar, Gross et Krook (BGK) . . . 28
1.6.2 Multiple Relaxation Time (MRT) . . . 28
1.7 Conditions aux limites . . . 29
1.7.1 Conditions aux limites périodiques . . . 29
1.7.2 Conditions aux limites de rebond "Bounce-back" . . . 30
1.7.3 Conditions aux limites d’Inamuro . . . 31
1.7.4 Conditions aux limites de Zou & He . . . 32
1.8 Lattice Boltzmann compressible . . . 33
1.9 Lattice Boltzmann entropique (ELBM) . . . 34
2 État de l’art des extensions LBM pour les écoulements multipha-siques 37 2.1 Color based model . . . 38
2.2 Modèle de Shan et Chen . . . 39
2.3 Modèle avec énergie libre . . . 40
2.4 Récapitulatif . . . 41
et les Volumes Finis
43
3 Éléments d’analyse pour le système d’Euler isentropique
monodi-mensionnel 45
3.1 Discrétisation D1Q3 . . . 46
3.1.1 Propriétés du schéma . . . 47
3.1.2 Validation sur cas test de type tube à choc . . . 50
3.1.3 Conclusion . . . 54 3.2 Discrétisation D1Q2Q2 . . . 55 3.2.1 Propriétés du schéma . . . 55 3.2.2 Cas tests . . . 57 3.2.3 Conclusion . . . 58 3.3 Discrétisation D1Q3Q3 . . . 59 3.3.1 Propriétés du schéma . . . 59 3.3.2 Cas tests . . . 60 3.4 Résumé et conclusion . . . 63 4 Extension bidimensionnelle 65 4.1 Discrétisation D2Q5 . . . 66 4.2 Discrétisation D2Q9 . . . 67 4.2.1 Propriétés du schéma . . . 67
4.2.2 Validation sur le cas test de l’extension 2D du tube à chocs . . 69
4.2.3 Conclusion . . . 72
4.3 Discrétisation D2Q5Q5Q5 . . . 72
C
Difficultés liées à l’extension du Lattice Boltzmann BGK
aux écoulements bifluides
75
5 Modélisation bifluide 77 5.1 Équations à résoudre . . . 785.1.1 Système bien posé ? . . . 79
5.2 Équations d’état . . . 80 5.2.1 Pour le gaz . . . 80 5.2.2 Pour le liquide . . . 82 5.3 Continuité à l’interface . . . 82 5.3.1 Interface gaz-gaz . . . 83 5.3.2 Interface gaz-liquide . . . 83
6 Limitations des méthodes Lattice Boltzmann classiques au cas bi-fluide (extension naïve) 85 6.1 Traitement de l’équation supplémentaire . . . 86
6.1.1 Traitement indépendant . . . 86
6.1.2 Traitement s’appuyant sur le formalisme de Larrouturou . . . 87
D
Construction d’une formulation ALE+Projection de la
méthode Lattice Boltzmann
89
7.1 Intérêt des méthodes ALE . . . 92
7.2 Quelques définitions . . . 92
7.3 Équations à résoudre . . . 94
8 Développement d’une méthode LBM ALE+Projection 1D pour les écoulements monofluides 95 8.1 Discrétisation D1Q3 . . . 96
8.2 Discrétisation D1Q3Q3 . . . 96
8.2.1 Analyse d’une discontinuité de contact . . . 99
8.2.2 Résultats . . . 99
9 Extension bidimensionnelle 101 9.1 Choix du réseau et des contraintes . . . 102
9.2 Discrétisation D2Q5Q3Q3 . . . 103
9.3 Validation sur le cas test de l’extension 2D du tube à chocs . . . 105
9.3.1 Cas non radial . . . 105
9.3.2 Cas radial . . . 107
9.4 Conclusion . . . 107
10 Étape de projection du LBM ALE+P et montée en ordre 109 10.1 Projection d’ordre 1 . . . 110
10.2 Rappel sur les techniques de reconstruction MUSCL . . . 111
10.2.1 Interpolation linéaire . . . 111
10.2.2 Reconstruction MUSCL . . . 112
10.2.3 Limiteurs de pente . . . 114
10.3 Application à la phase de projection du LBM ALE+P . . . 118
10.3.1 Rappel des équations . . . 119
10.3.2 Étapes de la projection . . . 119
10.3.3 Principe du maximum . . . 121
11 Applications 123 11.1 Prise en compte des termes de gravité et des conditions aux limites . 124 11.1.1 Ajout de la gravité . . . 124
11.1.2 Conditions aux limites de type murs . . . 125
11.2 Applications . . . 126
11.2.1 Instabilités de Rayleigh Taylor . . . 126
11.2.2 Instabilité de Kelvin Helmholtz . . . 128
11.2.3 Chute d’une goutte . . . 132
Conclusion/Perspectives
134
Annexes
138
II Résolution analytique du problème de Riemann pour les équations
d’Euler isentropiques 183
II.1 Détente . . . 185
II.2 Choc . . . 186
II.3 Récapitulatif . . . 188
III Résolution numérique des équations d’Euler isentropiques en confi-guration radiale 191 III.1 Équations d’Euler isentropiques radiales . . . 191
III.2 Résolution numérique avec un schéma Lagrange-Projection . . . 191
III.2.1 Étape Lagrange . . . 192
III.2.2 Étape Projection . . . 192
III.2.3 Résultats pour le tube à choc . . . 192
IV Conservativité du D2Q9 194 IV.1 Conservation de la masse . . . 194
IV.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . 196
V Rappels sur les polynômes d’Hermite et sur la quadrature associée199
Dans ce manuscrit de thèse, nous cherchons à modéliser numériquement de ma-nière efficace des écoulements compressibles bifluides à phases séparées, non miscibles et qui n’échangent pas de masse. Ce travail concerne la conception, l’analyse et la mise en œuvre de méthodes Lattice Boltzmann (LBM) pour les équations d’Euler bifluides en hypothèse compressible. Nous ciblons ces méthodes pour leur excellente réputation en terme de performances de calcul, notamment sur processeur "many-core", par exemple sur carte graphique (Graphics Processing Unit ou GPU). Ces performances sont constatées sur les versions "monofluide" de LBM, par exemple la méthode LBGK qui permet de modéliser numériquement les écoulements visqueux de fluides incompressibles à nombre de Reynolds intermédiaire.
En ingénierie, les applications des modèles bifluides sont multiples. Les approches numériques associées permettent par exemple de simuler des phénomènes pouvant aller de la rupture d’un barrage au transport de gaz liquide dans des bâteaux trans-porteurs. Pour pouvoir traiter le premier cas, on souhaiterait également que les fluides puissent avoir des densités très différentes, avec un ratio de densité pouvant atteindre le millier. Dans la suite de ce manuscrit nous ne prendrons pas en compte les effets de la tension de surface. L’ajout de celle-ci pourra faire l’objet d’un travail ultérieur.
Équations
De même, nous nous sommes contentés de développer nos méthodes pour les équations d’Euler (écoulements non visqueux) plutôt que celles de Navier-Stokes. Nous ne considérerons donc que des écoulements non visqueux.
∂t(αρg) +∇ · ((αρg)u) = 0, ∂t((1− α)ρ`) +∇ · ((1 − α)ρ`u) = 0,
∂t(ρu) +∇ · (ρu ⊗ u + pI) = 0.
On reconnaît ici les équations de conservation des masses partielles de gaz mg = αρg
et de liquide m` = (1− α)ρ`, où ρg et ρ` sont respectivement les masses volumiques
(que j’appellerai abusivement densités dans la suite de ce manuscrit) de gaz et de liquide et α est la fraction volumique de gaz. Dans les cellules dites pures, α vaudra 0 (cellules remplies de liquide) ou 1 (cellules remplies de gaz). On s’intéresse à des fluides non miscibles, cependant numériquement, il y aura forcément des cellules dites mixtes où α ne vaudra ni 0 ni 1 mais sera strictement comprise entre les deux. On cherchera à limiter le nombre de ces cellules, afin de préserver une interface fine entre les fluides. La dernière équation est l’équation de conservation de la quantité de mouvement ρu. ρ est la masse volumique globale. Elle est donc égale à la somme des masses partielles et vaut
ρ=M = mg+ m` = αρg+ (1− α)ρ`
Pour simplifier, nous faisons l’hypothèse ici d’une loi d’évolution isentropique par fluide, où la pression n’est fonction que de la masse volumique
pk = pk(ρk), k = gaz, liquide
Dans les cellules dites mixtes (où les deux fluides cohabitent), nous considérerons que la pression est continue à l’interface des deux fluides, pour fermer le système :
On peut vérifier que le précédent système peut se réécrire sous la forme suivante : ∂tρ +∇ · (ρu) = 0,
∂t(ρu) +∇ · (ρu ⊗ u + pI) = 0,
∂t(ρY ) +∇ · (ρuY ) = 0.
en introduisant la fraction massique de gaz Y telle que :
Y = mg
M =
αρg
ρ
et en réécrivant l’équation de conservation de la masse partielle de gaz en remplaçant αρg par ρY . On préfèrera l’étude de ce système avec ou sans la dernière équation,
suivant si on traite un écoulement monofluide ou bifluide. On s’attachera à vérifier la conservativité de la masse totale, de la masse partielle de gaz (si l’écoulement est bifluide) et de la quantité de mouvement.
Choix de la méthode numérique
L’état de l’art sur les méthodes numériques pour modéliser les écoulements bi-fluides est aujourd’hui très vaste. Pourtant, il n’existe pas encore de méthode plei-nement satisfaisante, que ce soit du point de vue de la capture des phénomènes, de la précision ou des vitesses d’exécution des calculs.
La dynamique des fluides computationnelle (CFD pour Computational Fluid Dynamics) qui repose sur les équations à l’échelle macroscopique discrétisées et résolues via les différences finies, les éléments finis ou les volumes finis, n’est pas particulièrement adaptée pour modéliser les écoulements multi-fluides, notamment quand l’interface est soumise à des changements de topologie. Quant à la dyna-mique moléculaire, elle simule l’écoulement en suivant le mouvement de chacune des particules du fluide. Puisqu’il faut un grand nombre de molécules pour retrouver le comportement de l’écoulement à l’échelle macroscopique, elle s’avère trop coû-teuse en terme de temps de calcul. Les méthodes cinétiques, telles que les méthodes Lattice Boltzmann, sont basées sur les équations à l’échelle mésoscopique. De nom-breux avantages découlent de cette caractéristique. Par exemple, la pression s’obtient à l’aide d’une équation d’état et non pas en résolvant l’équation de Poisson. Ces mé-thodes permettent également d’intégrer dans le modèle toute sorte d’intéractions, afin de simuler des fluides complexes.
De plus, les équipements de calcul ont énormément évolué et permettent dé-sormais de paralléliser les codes afin d’obtenir de bonnes accélérations. En théorie, celles-ci peuvent atteindre le millier. En revanche, en pratique, ces valeurs ne sont pas atteintes parce que les méthodes de calcul ne sont pas adaptées à ces nouvelles architectures parallèles [34]. De nombreux travaux sont en cours pour modifier des codes de calcul déjà existants et leur permettre d’être plus efficaces.
Les méthodes Lattice Boltzmann, de part leur parallélisme intinsèque, sont connues pour être très performantes sur processeurs manycore, notamment sur cartes gra-phiques (GPU pour Graphics Processing Unit) [57]. Les collisions sont purement
locales et le transport n’implique des communications qu’avec les plus proches voi-sins. Ces méthodes sont aussi réputées pour être simples à programmer. De plus, les conditions aux limites s’implémentent plutôt facilement, même sur des géométries complexes, et sans compromettre les performances [64]. On s’intéressera donc à ces méthodes pour modéliser nos écoulements.
Méthodes Lattice Boltzmann
Ces méthodes s’appuient sur une discrétisation simplifiée de l’équation cinétique de Boltzmann.
∂tf+ v· ∇f = Q(f, f)
Nous pouvons remarquer que l’opérateur de convection y est linéaire contrairement à celui des équations macroscopiques. Contrairement à la CFD ou la dynamique moléculaire, ces méthodes s’intéressent au comportement moyen des particules à l’échelle mésoscopique. Cela permet notamment de retrouver le mouvement global du fluide à l’échelle macroscopique.
Bien qu’il existe des méthodes utilisant plusieurs temps de relaxation (MRT = Multiple Relaxation Time), nous garderons l’opérateur de collision développé par Bhatnagar, Gross et Krook [7] en 1954 pour sa simplicité et sa linéarité.
Q(f, f ) = f
eq− f
κ
Le temps de relaxation κ est lié à la viscosité cinématique de l’écoulement pour les équations de Navier-Stokes. Dans notre cas, κ sera lié à la viscosité numérique.
Toujours pour des raisons de performances, l’espace des phases est réduit à un ensemble fini de quelques vitesses discrètes. Celles-ci sont définies sur un réseau, "lattice" en anglais, ce qui a donné son nom à ces méthodes. Dès 1985, Frisch, Hasslacher et Pomeau [33] ont démontré que même avec un nombre limité de vitesses (en l’occurence 6 dans leur cas), il est possible d’approcher la solution des équations de Navier-Stokes. Moins l’espace des vitesses sera restreint, plus la précision sera élevée, mais plus le temps de calcul sera important. Il faut réussir à trouver le bon équilibre entre précision et coût. Cela explique que certains réseaux soient privilégiés, comme le D1Q3 en une dimension, le D2Q9 en deux dimensions et le D3Q15, Q19 ou Q27 en trois dimensions. En définissant les distributions discrètes telles que
fi(x, t) = f (x, vi, t),
et en ajoutant les contraintes de consistance suivantes (en une dimension) : X
i
1, vi, vi2
fieq = ρ, ρu, ρu2+ p,
il est possible de résoudre les équations d’Euler isentropiques via l’équation de Boltz-mann discrète. Cette méthode permet de passer d’un système d’équations aux dé-rivées partielles non linéaire à un petit système d’équations de transport linéaire-réaction dont la discrétisation est aisée.
Néanmoins, un état de l’art récent montre que l’extension aux écoulements bi-fluides semble poser des difficultés d’ordre numérique [15]. Et ce d’autant plus que le rapport de densités est important. Plusieurs développements différents ont été proposés mais souvent au détriment des performances. Nous n’avons pas cherché à améliorer les techniques déjà existantes et nous nous sommes concentrés sur le développement de méthodes résolument novatrices.
Contributions propres à la thèse
• La distribution d’équilibre la plus couramment utilisée est la distribution de Maxwell-Boltzmann discrétisée puisqu’elle minimise une fonctionnelle liée à l’en-tropie du système. Cette distribution permet également l’obtention d’un théorème d’existence d’une solution, appelé théorème H. Toutefois, puisque nous nous inté-ressons à la résolution d’un système isentropique où la pression n’est fonction que de la masse volumique, nous déterminerons nos distributions d’équilibre à l’aide des contraintes de consistance définies antérieurement.
Comme nous ne nous préoccupons que des moments conservés, le nombre de contraintes sera restreint et nous ne pourrons pas choisir des réseaux de vitesses discrètes trop imposants. Cette dépendance a cependant l’avantage de limiter les coûts numériques.
• Cela nous amènera également à envisager l’utilisation de plusieurs jeux de distributions, chacun lié à un réseau. On s’intéressera uniquement à l’emploi d’un jeu de distributions pour chacune des équations du système initial. Cette approche multi-réseaux nous permettra de gagner en robustesse pour les écoulements présen-tant de forts ratios de densité entre les deux fluides.
• Nous présenterons les difficultés posées par l’extension bifluide des méthodes Lattice Boltzmann. On remarquera que les termes de convection ne sont pas traités correctement. Nous nous tournerons alors vers une méthode Lattice Boltzmann uti-lisée dans un référentiel mobile pour résoudre cet écueil. Nous projetterons ensuite les variables obtenues sur le maillage initial cartésien imposé par les méthodes LBM. Ainsi, nous avons développé une méthode Lattice Boltzmann Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) [26] avec projection.
• Nous chercherons par la suite à améliorer la précision de cette méthode. On augmentera ainsi l’ordre de la projection à 2, à l’aide d’une reconstruction MUSCL et de limiteurs de pentes monodimensionnels.
−1 −0.5 0 0.5 1
−0.5 0 0.5
Fraction massique de gaz Y au temps t=0
x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Un exemple d’application
Notre méthode permet ainsi de modéliser de manière précise, stable et robuste des instabilités comme celles de Kelvin-Helmholtz. Le schéma utilisé est un schéma Lattice Boltzmann basé sur plusieurs jeux de distributions, le D2Q5Q3Q3. Il a été développé par rapport à un référen-tiel mobile se déplaçant à une vitesse quasi-lagrangienne. Une projection d’ordre 2 a été mise
en place pour revenir à un maillage eulérien à chaque itération. L’état initial est pré-senté ci-contre et les résultats obtenus sont tracés ci-dessous. La simulation a été réalisée avec un ratio de densité de 50, une discrétisation spatiale de 500∗ 250, des conditions aux limites périodiques horizontalement et de type "murs" verticalement. Le temps de relaxation κ valait 1, la gravité était prise nulle et la vitesse horizontale ux valait ±0.2 suivant dans quel fluide elle se situait. La pression est calculée avec
une équation d’état du gaz parfait dans chacun des deux fluides avec continuité au niveau de l’interface.
Fraction massique de gaz Y au temps t=1.5173
x y −1 −0.5 0 0.5 1 −0.5 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fraction massique de gaz Y au temps t=3.0346
x y −1 −0.5 0 0.5 1 −0.5 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fraction massique de gaz Y au temps t=4.5519
x y −1 −0.5 0 0.5 1 −0.5 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fraction massique de gaz Y au temps t=5.9006
x y −1 −0.5 0 0.5 1 −0.5 0 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 1 – Développement d’instabilités de Kelvin-Helmholtz pour un ratio de densité de 50, obtenu avec le schéma LBM D2Q5Q3Q3 ALE + Projection, bifluide avec une interface gaz-gaz, un temps de relaxation κ= 1, une discrétisation 500×250, une vitesse U = 0.2, des conditions aux limites périodiques suivant l’axe horizontal et de type murs suivant l’axe vertical. La gravité est prise nulle dans ce cas.
Plan du manuscrit
La présentation de la méthode classique et de l’état de l’art feront l’objet de la première partie (A) de mon manuscrit. La seconde partie (B) sera consacrée à l’analyse d’une approche multi-distributions pour des écoulements monofluides et les avantages qui en découlent. Nous verrons ensuite, en partie (C), que l’extension naïve des méthodes Lattice Boltzmann pour les écoulements bifluides ne permet pas d’obtenir les bons flux à travers l’interface. On développera donc une nouvelle méthode, basée sur l’utilisation d’un référentiel mobile, que l’on présentera en partie (D). Le chapitre (10) sera consacré à l’amélioration de la précision de cette méthode Lattice Boltzmann ALE + projection. Celle-ci sera ensuite testée sur des cas tests et les résultats seront présentés dans le chapitre (11). Un travail sur les limiteurs de pentes multidimensionnels, réalisé en collaboration avec l’équipe de recherche, a été placé en annexe (I).
Première partie
État de l’art des méthodes de
Boltzmann sur réseau (Lattice
Chapitre 1
Principe de la méthode
Contents
1.1 Origine des méthodes Lattice Boltzmann . . . 20
1.1.1 Théorie cinétique des gaz à vitesses discrètes . . . 20
1.1.2 Gaz sur réseau (Lattice Gas Cellular Automata) . . . 21
1.2 Équation de Boltzmann . . . 23
1.3 Développement de Chapman-Enskog . . . 24
1.4 Théorème H . . . 25
1.5 Discrétisation = Lattice Boltzmann Method . . . 25
1.5.1 Discrétisation temporelle . . . 25
1.5.2 Restriction de l’espace des vitesses . . . 26
1.5.3 Discrétisation de l’équilibre . . . 27
1.6 Opérateurs de collision . . . 28
1.6.1 Opérateur de Bhatnagar, Gross et Krook (BGK) . . . 28
1.6.2 Multiple Relaxation Time (MRT) . . . 28
1.7 Conditions aux limites . . . 29
1.7.1 Conditions aux limites périodiques . . . 29
1.7.2 Conditions aux limites de rebond "Bounce-back" . . . 30
1.7.3 Conditions aux limites d’Inamuro . . . 31
1.7.4 Conditions aux limites de Zou& He . . . 32
1.8 Lattice Boltzmann compressible . . . 33
1.1
Origine des méthodes Lattice Boltzmann
Commençons par un historique des méthodes de Boltzmann discrètes et mé-thodes de gaz sur réseau qui ont abouti sur la formulation moderne des mémé-thodes Lattice Boltzmann. Elles découlent finalement de deux approches différentes, la théo-rie cinétique des gaz à répartition discrète de vitesses [35], et les gaz sur réseaux (Lattice gas cellular automata, LGCA en anglais).
1.1.1
Théorie cinétique des gaz à vitesses discrètes
En théorie cinétique des gaz, l’idée de réduire l’espace des vitesses à un ensemble fini revient à Maxwell en 1867 [66]. Les vitesses qu’il choisit constantes et égales en module, sont au nombre de 6 et définissent des axes orthogonaux (deux vitesses opposées dans chacune des trois directions d’espace). Il définit un modèle pour un fluide constitué de particules toutes identiques et ne pouvant se déplacer qu’à ces vitesses. Ce modèle lui permet de prédire l’équation d’état et les propriétés de trans-port pour ce fluide.
En 1955, Krook [55] approcha la solution de l’équation de Boltzmann en re-streignant les vitesses des molécules du gaz qu’il considérait à un ensemble fini. Il travaillait alors sur les problèmes de transfert radiatif et de telles approximations existaient déjà [12].
Parallèlement, en 1957, Carleman [11] établit un théorème H pour un système présentant des propriétés proches de l’équation de Boltzmann et qu’il a obtenu en ne prenant que deux vitesses discrètes, qui s’interchangent quand les particules s’en-trechoquent.
En 1960, Gross [42] insiste sur l’intérêt de la discrétisation des vitesses qui permet de passer de l’équation intégro différentielle de Boltzmann à un système d’équations non linéaires couplées. Il applique également cette technique mais seulement aux écoulements de Couette et Rayleigh avec un petit nombre de Mach.
Quatre ans plus tard en 1964, Broadwell décide d’adopter cette approche aux ondes de choc (nombre de Mach élevé) pour des cas de gaz raréfiés à vitesses dis-crètes. Il utilise seulement six vitesses, deux dans chacune des trois dimensions d’es-pace, comme Maxwell, et résout le système de manière exacte. Il conclut en précisant que le nombre de vitesses était trop faible mais que la facilité d’obtention et la rai-sonnabilité de ces résultats encourage à continuer dans cette voie.
En 1975, Gatignol remarquant qu’aucune des méthodes de discrétisation des vitesses n’a donné lieu à un développement systématique, décide de construire une théorie générale, la théorie cinétique des gaz à répartition discrète de vitesses [35]. Cette théorie n’est pas destinée à être implémentée numériquement. Elle avait pour but l’analyse théorique des propriétés de gaz ou de fluides, ainsi que des solutions analytiques de l’équation de Boltzmann pour des fluides simples ou des chocs.
1.1.2
Gaz sur réseau (Lattice Gas Cellular Automata)
Un gaz sur réseau est un automate cellulaire développé pour simuler le compor-tement d’un fluide. C’est à dire une grille structurée de cellules chacune dans un état (vide ou plein) et dont l’état peut évoluer au cours du temps. Contrairement à la théorie cinétique des gaz où l’espace et le temps sont continus et où seul l’espace des vitesses est "discret", le LGCA est complètement discret.
En 1973, Hardy, Pomeau et Pazzis [47] présentent leur schéma appelé HPP. Dans ce modèle, l’espace est représenté par un réseau carré et les particules "sautent" de leur position vers la position voisine dans la direction de leur vitesse en un pas de temps. Il existe des équilibres thermodynamiques pour ce modèle et la relaxation est établie numériquement. Cependant, les propriétés macroscopiques ne sont pas satisfaisantes. Il est impossible de retrouver les équations de Navier-Stokes et des comportements non physiques sont observés comme pour un écoulement de Couette où le profil de vitesse est non linéaire. Ces problèmes sont principalement dûs au manque de symétrie du réseau qui implique un manque d’isotropie des tenseurs dé-crivant l’écoulement. De plus, l’invariance galiléenne n’est pas vérifiée.
En 1986, Frisch, Hasslacher et Pomeau (FHP) révolutionnent le sujet en pré-sentant le lattice gas cellular automata (LGCA) appliqué à l’équation de Navier Stokes [33]. Pour pallier au manque de symétrie du modèle précédent, ils utilisent un réseau hexagonal (D2Q6, voir fig. 1.1). Il devient alors possible de retrouver les équations de Navier Stokes à la limite macroscopique pour des écoulements in-compressibles à faible vitesse. C’est le premier modèle qui possède des propriétés physiques. Il développe les instabilités de Kelvin Helmholtz et de Rayleigh Taylor. Il fonctionne pour des nombres de Reynolds allant de 100 à 700. À cette époque, il est perçu comme l’analogue du modèle d’Ising pour la turbulence, et fait même la couverture du Washington Post (computational speed). En 1987, la preuve de l’existence d’un théorème H [50] et l’extension du modèle à une troisième dimension d’espace [32] finissent d’établir la valeur de ce modèle.
v1
v2
v3
v4 v5
v6
Figure 1.1 – Réseau D2Q6 utilisé dans le modèle FHP
Ce modèle repose sur quelques règles simples : des particules identiques, toutes de même masse ; des règles de collision pour deux ou trois particules respectant la conservation du nombre de particules et leur quantité de mouvement ; et un prin-cipe d’exclusion, c’est-à-dire que deux particules sur le même site au même instant ne peuvent pas aller dans la même direction. Ces quelques principes suffisent pour retrouver les principales caractéristiques hydrodynamiques d’un écoulement. Ces modèles, alternant collision et propagation, souffrent cependant d’un fort bruit sta-tistique. Les méthodes Lattice Boltzmann seront donc développées pour réduire cet effet indésirable.
Figure 1.2 – Cette figure issue du manuscrit de thèse de Simon Marié [65] résume bien l’histoire des méthodes Lattice Boltzmann. "Chronologie récapitulative des moments historiques importants dans l’avènement de la méthode Boltzmann sur Réseau. Les cadres en pointillés indiquent les premiers modèles à vitesses discrètes sans discrétisation spatiale et temporelle."
En 1988, McNamara et Zanetti [67] remplacent les booléens ni correspondant
à l’occupation d’un site par une particule de vitesse i, par la population moyenne fi =< ni > de ces particules en ce site. fi est alors appelée distribution de densité.
Les règles déterminant les collisions sont également remplacées par un opérateur de collision. Ces changements ont donné les méthodes Lattice Boltzmann.
En 1997, He et Luo [49] montrent que ces méthodes peuvent être dérivées rigou-reusement depuis l’équation de Boltzmann. Ce sera l’objet des prochaines sections. Pour plus de détails concernant l’historique des méthodes Lattice Boltzmann, se référer à l’article [5].
1.2
Équation de Boltzmann
L’équation de Boltzmann, établie comme son nom l’indique par Boltzmann en 1872 [8], est une équation intégro-différentielle de la théorie cinétique. Elle décrit le comportement statistique d’un système thermodynamique hors d’équilibre. La question de l’existence et de l’unicité de la solution de cette équation (1.1) est toujours ouverte.
∂tf + v· ∇xf + a· ∇vf = Q(f, f ) , x∈ Ω ⊂ R3, v∈ R3, a∈ R3, t > 0. (1.1)
L’inconnue f est la fonction de distribution des particules sur l’espace des phases.Ω est un domaine de l’espace, x la position,v la vitesse et t le temps. Plus précisement, f correspond au nombre de particules dN situées à l’instant t dans un petit volume d3xd3v centré en(x, v) :
dN = f (x, v, t) d3xd3v.
a correspond à l’accélération et est donc liée via le principe fondamental de la dynamique à la somme des forces extérieures. On considérera principalement des systèmes où aucune force extérieure n’est appliquée donc l’accélération sera nulle. Cependant, il faudra en tenir compte quand on voudra rajouter l’effet de la gravité au modèle (voir section (11.1.1)).
Le terme v· ∇xf correspond au transport des particules quand la collision est,
elle, modélisée par Q(f, f ). L’opérateur de collision le plus simple mais aussi le plus couramment utilisé est celui de Bhatnagar-Gross et Krook :
Q(f, f ) = f
eq− f
κ∆t , (1.2)
où κ est le temps de relaxation vers la distribution d’équilibre feq. Cet opérateur sera détaillé ultérieurement en compagnie d’opérateurs de collision différents (voir section (1.6))
Pour retrouver les variables macroscopiques à partir de la densité de distribution f , on impose : R f(x, v, t) dv =R feq(x, v, t) dv = ρ R vf (x, v, t) dv =R vfeq(x, v, t) dv = ρu R v⊗ vf(x, v, t) dv =R v⊗ vfeq(x, v, t) dv = ρu⊗ u + pI (1.3)
Si l’opérateur de collision utilisé est celui présenté précédemment en (1.2), ceci im-plique également que :
Z
(1, v, v⊗ v)Q(f, f) dv = 0.
Ainsi, en intégrant l’équation (1.1) par rapport à v, on obtient : R ∂tf dv + R v· ∇xf dv = R Q(f, f ) dv ∂t R f dv + ∇x· R vf dv = 0 ∂tρ + ∇x· (ρu) = 0
De la même manière, on peut retrouver l’équation de conservation de la quantité de mouvement, en multipliant par la vitessev puis en intégrant par rapport à cette dernière. R v∂tf dv + R v⊗ v · ∇xf dv = R vQ(f, f ) dv ∂t R vf dv + ∇x· R v⊗ vf dv = 0
∂t(ρu) + ∇x· (ρu ⊗ u + pI) = 0
On a ainsi retrouvé les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement. En rajoutant des contraintes sur les moments de la distribution f , il est aussi possible d’obtenir l’équation de conservation de l’énergie.
1.3
Développement de Chapman-Enskog
La méthode Lattice Boltzmann classique est utilisée pour simuler les équations de Navier Stokes. Pour retrouver ces équations depuis l’équation de Boltzmann, le développement de Chapman-Enskog [13] est utilisé. Considérons des distributions peu éloignées de l’équilibre feq = f(0) et effectuons un développement asymptotique
en ε.
f = f(0)+ εf(1)+ ε2f(2)+O(ε3)
ε est un petit paramètre sans dimension, correspondant au temps de relaxation κ dans le cas BGK et aussi appelé nombre de Knudsen Kn. Il correspond au rapport entre le libre parcours moyen d’une particule et son diamètre.
— Si Kn <10−2 : le régime est visqueux
— Si 10−2 < Kn <0, 2 : le régime est standard — Si Kn >0, 2 : le régime est moléculaire
La validité des équations de Navier-Stokes est mise en défaut pour un nombre de Knudsen dépassant 0,01.
On développe aussi les opérateurs en fonction de ε pour introduire une séparation des échelles. Deux échelles sont nécessaires pour le temps. Une en temps court pour la diffusion et une en temps long pour la convection. En revanche, une seule échelle d’espace suffit pour retrouver les équations de Navier-Stokes.
∂t= ε∂t1 + ε
2∂
t2 +O(ε
3),
∇ = ε∇1 +O(ε2)
En arrêtant le développement à l’ordre 0, on retrouve les équations d’Euler compres-sibles tandis que l’ordre 1 nous permet de retrouver les équations de Navier-Stokes
compressibles.
Celui ci nous donne aussi une relation entre le temps de relaxation κ utilisé dans l’opérateur de collision de Bhatnagar Gross et Krook (1.2) et la viscosité cinématique ν du fluide. ν= ∆t c2s κ−1 2
où cs est la vitesse du son dans le milieu.
Les calculs sont complètement détaillés dans l’appendice A de cette référence [84].
1.4
Théorème H
Boltzmann démontra en 1872 [8] que lorsqu’un gaz hors de son état d’équilibre relaxe vers cet équilibre, une certaine grandeur liée à l’entropie varie de manière monotone au cours du temps. Selon le second principe de la thermodynamique, l’en-tropie d’un système isolé ne peut que croître. À l’équilibre thermodynamique, le système est stable et l’entropie est maximale.
En considérant que R f = 1 et f > 0 pour chaque particule, l’entropie de la distribution de densité s’écrit :
H(f (x, v)) =− ZZ
Ω,RN
f(x, v) ln(f (x, v)) dvdx (1.4)
La méthode Lattice Boltzmann classique ne vérifie cependant pas le second prin-cipe de la thermodynamique. Ce défaut sera expliqué et corrigé dans la section (1.9) sur le Lattice Boltzmann entropique (ELBM). Chercher un maximum pour H re-vient à chercher un minimum pour −H. La fonction f 7→ f ln(f) est convexe sur [0,∞[ (f00 = 1
f > 0, f > 0), donc il existe un minimum f
eq. Cet équilibre
thermo-dynamique est défini par la distribution de Maxwell-Boltzmann (1.5)
feq(v) = D√ ρ 2πRT e
−|v − u| 2
2RT , (1.5)
où T correspond à la température, R est la constante des gaz parfaits, ρ est la masse volumique du système, u est la vitesse du gaz et D est la dimension de l’espace.
En 1973, Lanford [59] a démontré de manière rigoureuse que l’équation de Boltz-mann entraîne le théorème H.
1.5
Discrétisation = Lattice Boltzmann Method
1.5.1
Discrétisation temporelle
On connaît l’équation continue de Boltzmann avec l’opérateur de collision BGK qu’on a vu précédemment.
∂tf + v· ∇xf =−
f− feq
κ∆t (1.6)
Pour l’avoir sous sa forme discrète, il suffit d’écrire f(x + v∆t, t + ∆t) à l’aide d’un développement de Taylor et on trouve :
f(x + v∆t, t + ∆t) = f (x + v∆t, t) + ∆t∂tf(x + v∆t, t) + ∆t2 2 ∂t2f(x + v∆t, t) +O(∆t 3) = f (x, t) + ∆tv· ∇xf(x, t) + ∆t2vT · ∇2xf(x, t)· v + ∆t∂tf(x, t) + ∆t∆tv· ∇x∂tf(x, t) + ∆t2 2 ∂t2f(x, t) +O(∆t 3) = f (x, t) + ∆t ∂tf + v· ∇xf (x, t) +∆t 2 2 vT · ∇2 xf · v + 2v · ∇x∂tf + ∂t2f (x, t) +O(∆t3)
où la variable vitessev a été omise pour alléger les calculs. En considérant les termes de second ordre comme une viscosité artificielle, on retrouve bien
f(x + v∆t, v, t + ∆t)− f(x, v, t) = −f(x, v, t)− f
eq(x, v, t)
κ (1.7)
1.5.2
Restriction de l’espace des vitesses
La résolution numérique de l’équation de Boltzmann s’avère très coûteuse. Quand on se place en trois dimensions d’espace, l’équation est à sept dimensions. Pour pallier à cet inconvénient, l’espace des vitesses est réduit à un ensemble restreint. Quelques vitesses sont suffisantes pour obtenir le comportement dynamique de l’écou-lement.
Cependant, ces vitesses ne doivent pas être choisies aléatoirement. Le choix du ré-seau (lattice en anglais) est très important. Il faut qu’il soit suffisamment symétrique pour pouvoir retrouver le comportement de l’écoulement au niveau macroscopique mais pas trop complexe pour garder une certaine performance. Tout est toujours une affaire de compromis. Il est d’usage d’utiliser le réseau D1Q3 en une dimension, le D2Q9 en deux dimensions et le D3Q15 en trois dimensions mais tout dépend de l’application. Les notations DdQq signifient qu’il y a d dimensions et q vitesses discrètes. v− v0 v+ D1Q3 v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 D2Q9 D3Q19 = D2Q9 dans
Ainsi les équations (1.1) et (1.7) deviennent :
∂tfi+ vi· ∇xfi = Q(fi, fi), x∈ Ω, vi ∈ L, t > 0.
et, dans le cas d’une collision utilisant l’opérateur BGK, on a :
fi(x + v∆t, t + ∆t)− fi(x, t) =−
fi(x, t)− fieq(x, t)
κ
On connaît la distribution d’équilibre feqmais pas sa version discrétisée fieq. Ce sera l’objet de la section suivante.
1.5.3
Discrétisation de l’équilibre
Pour cela, une première approximation est faite, celle d’un faible nombre de Mach. feq(v) = √D ρ 2πRT exp −|v − u| 2 2RT = √D ρ 2πRT exp − v 2 2RT exp (v· u) RT − u2 2RT = √D ρ 2πRT exp − v 2 2RT 1 + (v· u) RT + (v· u)2 2(RT )2 − u2 2RT +O(u3)
Pour pouvoir retrouver les variables macroscopiques, il sera nécessaire de calculer les moments de la distribution f à l’équilibre. Ils prennent la forme suivante : Z ψ(v)feqdv' √D ρ 2πRT Z ψ(v) exp − v 2 2RT 1 + (v· u) RT + (v· u)2 2(RT )2 − u2 2RT dv
où ψ(v) vaudra 1, v, v⊗ v, ... Ces intégrales peuvent être approchées à l’aide de la quadrature de Gauss-Hermite (voir Annexe (V)).
La distribution d’équilibre discrète est donc projetée sur la base des polynômes d’Hermite et tronqué à l’ordre 2 :
fieq= feq(v i) = ρωi 1 + u· vi c2 s +(u· vi) 2 2c4 s − |u| 2c2 s (1.8)
où cs est la vitesse du son dans l’air telle que c2s = ∂p∂ρ. Puisque l’air est considéré
comme un gaz parfait, on a, en thermodynamique c2s = RT avec T la température, R = NAkB = 8, 3144621 J.K−1.mol−1 la constante universelle des gaz parfaits où
NA est la constante d’Avogadro et kB la constante de Boltzmann.
Les poids ωi dépendent du choix du réseau L et peuvent être retrouvés via la
quadrature de Gauss-Hermite. On a par exemple pour le D2Q9 et le D3Q19 les vi-tesses vi et les poids ωi suivants.
i 0 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8 vi (0,0) (0,±1) (±1, ±1) (±1, 0) ωi 4/9 1/9 1/36 i 0 1− 8 9− 18 vi (0,0,0) (±1, 0, 0) (0, ±1, ±1) (0,±1, 0) (±1, 0, ±1) (0, 0,±1) (±1, ±1, 0) ωi 1/3 1/18 1/36 D2Q9 D3Q19
1.6
Opérateurs de collision
1.6.1
Opérateur de Bhatnagar, Gross et Krook (BGK)
En 1954, bien avant l’apparition du Lattice gas automata et donc de la mé-thode Lattice Boltzmann, Bhatnagar, Gross et Krook [7] définissent un opérateur de collision qui prendra leurs noms. Il s’écrit de la façon suivante :
∂f ∂t =
feq(x, v)− f(x, v, t) κ
où κ correspond au temps de relaxation pour que la densité de distribution f revienne à l’équilibre feq. Les avantages de cet opérateur sont qu’il est linéaire et donc très simple à analyser et implémenter. Il est donc très apprécié et très utilisé par la communauté Lattice Boltzmann. C’est d’ailleurs celui que nous utiliserons dans la suite de nos travaux. Qian est le premier à l’avoir utilisé pour cette méthode en 1992 [70]. En revanche, cet opérateur impose un nombre de Prandtl fixe et égal à 1. Cela implique que les effets thermiques et visqueux sont du même ordre. Dans certains cas, cette limitation est trop restrictive et ne permet pas de rendre compte de phénomènes physiques ne retrouvant pas leur équilibre simultanément. Cette entrave peut être évitée si on utilise une méthode dite MRT pour Multiple Relaxation Time et qui fait l’objet de la section suivante.
1.6.2
Multiple Relaxation Time (MRT)
Contrairement au cas précédent, la méthode MRT présente le cas de distributions qui ne relaxent pas toutes à la même vitesse vers leur équilibre. Dans son papier de 1992 [25], Dominique D’Humières propose un nouveau cadre, où il y a autant de temps de relaxation κi que de distributions fi.
Comme pour les méthodes Lattice Boltzmann à un seul temps de relaxation (SRT pour Single Relaxation Time), les variables macroscopiques sont calculées à partir des distributions, à l’aide de la relation :
m = Mf , et réciproquement, f = M−1m
Contrairement au LBM-SRT, cette matrice doit être carrée donc il faut autant de moments que de distributions et donc de vitesses discrètes. Certains moments sont conservés, ce sont les moments hydrodynamiques, tels que la masse et la quantité de mouvement notamment. Mais tous ne seront pas conservés. Les moments non conservés sont appelés moments cinétiques.
L’équation de Boltzmann sur réseau associée à ce modèle s’écrit ainsi :
f (x + v∆t, t + ∆t)− f(x, t) = −M−1S(f (x, t)− feq(x, t))
où S est une matrice diagonale composée de l’inverse de chacun des temps de relaxa-tion si = κ−1i . Dans le cas d’une méthode a un temps de relaxation, S est la matrice
identité multipliée par l’inverse du temps de relaxation κ. On peut retenir que la col-lision s’effectue sur les moments tandis que la propagation implique les distributions.
Pendant la collision, les moments conservés restent inchangés donc les temps de relaxation qui leur sont associés peuvent être choisis nuls. Une comparaison de ces deux modèles a été effectuée par Aslan et al. en 2014 pour le cas test de la cavité entraînée [4].
La méthode TRT (pour Two-Relaxation-Time) de Ginzburg et al. [41] est un cas particulier de méthode MRT.
1.7
Conditions aux limites
Le choix des conditions aux limites utilisées ne doit pas être pris à la légère. Elles jouent un rôle important dans la stabilité et la précision du modèle. Cependant, les conditions sont imposées sur les variables macroscopiques et il n’est pas toujours évident de les transposer sur les distributions de densité. Il existe une multitude de manière d’imposer une même condition limite. Dans cette section, je présenterai les plus utilisées ainsi que leur implémentation.
1.7.1
Conditions aux limites périodiques
Les conditions aux limites périodiques permettent de modéliser des domaines "non bornés", par exemple toriques. Ainsi, tout ce qui sort à une extrémité du domaine, rentre par l’extrémité opposée, comme dans la figure (1.3). Ainsi, pour un réseau D1Q3 sur un domaine de N cellules, on aura :
(f−n+1)N = g(f−)1,
(f+n+1)1 = g(f+)N.
où g(f.) correspond à la distribution f.après la collision. (f.)k correspond à la valeur
de la distribution f. dans la k-ième cellule.
t T ransp ort CL p ério diques t+ ∆t
Figure 1.3 – Illustration de conditions aux limites périodiques pour un réseau D2Q9.
J’utiliserai ces conditions aux limites, notamment pour le cas test en deux di-mensions du tube à chocs, pour vérifier que les intéractions entre les fronts de chocs n’entraînent pas d’oscillations. Elles seront également utiles pour la simulation du développement des instabilités de Kelvin-Helmholtz.
1.7.2
Conditions aux limites de rebond "Bounce-back"
Les conditions aux limites de rebond, aussi appelées "Bounce-back", sont prin-cipalement utilisées pour modéliser des murs stationnaires (conditions aux limites de Dirichlet homogènes). Comme leur nom l’indique, quand une particule atteint la frontière, elle "rebondit" et repart dans le sens opposé suivant sa direction d’ar-rivée. Aucun flux ne passe à travers le mur, il est imperméable. Il existe plusieurs versions de ces conditions mais je me concentrerai sur les deux principales, à savoir le rebond complet ("full-way bounce-back") et le rebond à mi chemin ("half-way bounce-back"). Dans la première, les conditions aux limites sont appliquées entre l’étape de collision et la propagation, tandis que dans la seconde, elles sont appli-quées après la propagation et avant la collision. On peut donc considérer que dans le rebond complet, c’est l’étape de collision qui est modifiée alors que dans le rebond à mi-chemin, c’est la propagation qui varie.
Il faut cependant faire très attention, plusieurs articles utilisent l’appelation "full-way bounce-back" mais en y référant des procédures différentes. Notamment, le re-bond complet ("full-way bounce-back") ne s’effectue pas nécessairement sur la grille (frontière mouillée), alors que le rebond à mi-chemin ("half-way bounce-back") s’ef-fectue forcément sur une frontière fictive à mi chemin entre les nœuds (frontière sèche). L’adjectif ’full’ peut servir à indiquer que toutes les distributions sont rem-placées et pas seulement celles qui sont inconnues. Le manuscrit de thèse d’Édouard Walther [86] explique très bien les confusions à éviter. Mes figures sont très inspirées des siennes.
Les distributions entrantes (et donc inconnues), en bleu sur la figure (1.4), sont déterminées à partir de celles en rouge, de sorte que la vitesse au niveau du mur soit nulle. Les distributions en vert peuvent être remplacées également par leurs opposées. Pour un bord gauche, comme on peut le voir ici, on a alors : (f1)−1,j = −(f3)1,j,
(f8)−1,j+1 =−(f6)1,j−1 et (f5)−1,j−1 =−(f7)1,j+1. T ransp ort Collision + CL + T ransp ort
Figure 1.4 – Illustration du rebond (bounce-back) sur une frontière mouillée au bord gauche du domaine.
Le traitement des distributions sortantes sera explicité séparement pour le rebond complet et celui à mi chemin, à l’aide d’un petit schéma.
Rebond complet ou "Full-way" bounce-back (figure (1.5))
Celui-ci peut s’effectuer sur une frontière mouillée (’on-grid’) ou sèche (’mid-grid’). Dans le cas d’une frontière sèche, les nœuds à l’extérieur du domaine ne font pas partie du fluide ou du solide et les équations macroscopiques ne s’y appliquent donc pas.
t temps T ransp ort t+ ∆t CL reb on d t+ ∆t T ransp ort t+ 2∆t
Figure 1.5 – Illustration d’un full-way bounce-back avec frontière sèche sur le bord gauche du domaine. Les distributions sortantes rebondissent hors du domaine et retournent dans celui ci en sens opposé suivant leur direction d’impact.
Rebond à mi-chemin ou "half-way" bounce-back (figure (1.6))
t temps T ransp ort 1/2 t+ ∆t/2 CL reb ond t+ ∆t/2 T ransp ort 2/2 t+ ∆t
Figure 1.6 – Illustration d’un half-way bounce-back avec frontière sèche sur le bord gauche du domaine. Les distributions sortantes rebondissent sur la frontière physique et repartent en sens opposé suivant leur direction d’impact.
En 2001, Succi [77] montra que les conditions aux limites de rebond avec fron-tières mouillées ou ’on-grid’ (resp. sèches ou ’mid-grid’) ont une précision d’ordre 1 (resp. 2) vis-à-vis du champ des vitesses.
D’autres méthodes permettent d’apporter plus de précision dans les résultats. On peut trouver une review de ces méthodes dans l’article [61]. Je vais en présenter les deux plus connues et utilisées, celles d’Inamuro et de Zou& He. Elles sont toutes les deux basées sur une frontière mouillée, où les bords du domaine sont confondus avec des nœuds de la grille (’on-grid’). Elles ne s’intéressent qu’aux distributions inconnues au bord et conservent toutes celles connues, ce qui rend leurs résultats vraiment précis.
1.7.3
Conditions aux limites d’Inamuro
En 1995, Inamuro et son équipe [53] envisagent une nouvelle méthode pour gérer les conditions aux limites. Ils ont remarqué que l’approximation de réflexion diffuse utilisée dans le cadre de la théorie cinétique des gaz donne des résultats intéressants et se proposent de l’exporter aux méthodes Lattice Boltzmann tout en en corrigeant les erreurs.
L’approximation de la réflexion diffuse consiste à supposer que les particules qui frappent le mur en repartent avec une vitesse calculée à partir de l’équilibre
Maxwellien avec la vitesse et la température du mur. Cette vitesse n’est cependant pas égale à la vitesse du mur. La vitesse normale est bien celle attendue mais la vitesse tangentielle au mur est shiftée. La méthode d’Inamuro et al. se base donc sur l’idée que les distributions inconnues seront calculées avec leur distribution équilibre en utilisant une densité ρ0 et une vitesse u0 telle que la vitesse finale obtenue soit bien égale à la vitesse du mur. On choisit u0 = u + s. La composante normale au mur de s sera nulle, mais pas sa composante tangentielle.
Le système à résoudre est le suivant : ρmur ρmurumur ! =X i 1 vi ! fieq(ρ0, u0) (1.9)
Les inconnues de ce système sont ρmur, ρ0 et la composante tangentielle au mur de
s. On a donc bien trois équations pour trois inconnues et on peut résoudre ce système.
Cette méthode a quelques difficultés pour gérer les coins du domaine. Il est possible de calculer les distributions inconnues de chaque côté du coin et d’en prendre la moyenne mais cette approche produit des erreurs. L’extension en 3 dimensions peut s’avérer compliquée et les géométries complexes sont à bannir (puisqu’il faut connaître la normale au bord). Elle est exceptionnellement précise sur la plupart des benchmarks 2D mais pas très stable numériquement pour de grands nombres de Reynolds.
1.7.4
Conditions aux limites de Zou
& He
En 1997, Zou et He [88] développent une nouvelle approche pour calculer les distributions en bordure de domaine. Ils veulent pouvoir imposer la vitesse ou la pression (ou densité) au niveau du "mur". Supposons qu’on connaisse umur = (u, v).
Si on s’intéresse au mur gauche avec un schéma D2Q9, après l’étape de propagation, les distributions f0, f2, f3, f4, f6 et f7 venant de l’intérieur du domaine sont connues
tandis que les distributions f1, f5 et f8 sont inconnues, tout comme la densité ρ. En
utilisant les contraintes sur les moments, ils expriment :
f1+ f5+ f8 = ρ− (f0+ f2+ f4+ f3 + f6+ f7),
f1+ f5+ f8 = ρu + (f3+ f6 + f7),
f5 − f8 = ρv− f2+ f4− f6+ f7.
C’est un système de trois équations pour 4 inconnues. Il manque donc une quatrième équation pour clore le système. On peut cependant déterminer ρ grace aux deux premières équations. On a ainsi
ρ= 1
1− u[(f0 + f2+ f4+ 2(f3+ f6+ f7)].
L’astuce utilisée par les auteurs est qu’ils considèrent que la règle du rebond ("bounce-back") reste valable même hors équilibre pour la distribution normale à la bordure. Ainsi leur quatrième contrainte (toujours dans le cas du mur gauche) est
f1− f1eq = f3− f3eq.
On aurait la même contrainte pour le mur droit, sauf que l’inconnue serait alors f3
aurait f2− f2eq = f4− f4eq, alors pour inconnue f2 en bas et f4 en haut. On a alors : f1 = f3 + f1eq− f eq 3 , f5 = f7 − 1 2(f2− f4) + 1 2(f3− f1) + 1 2(ρu + ρv), f8 = f6 + 1 2(f2− f4) + 1 2(f3− f1) + 1 2(ρu− ρv).
Ils ont ainsi été capables de définir toutes les distributions en bord de domaine dans le cas d’une vitesse imposée au mur. Pour le cas d’une pression imposée, le processus est similaire. On considère qu’on connaît ρmur et une des deux vitesses u ou v au mur. On retrouvera la deuxième vitesse en utilisant le même cheminement que dans le cas précédent.
Il est, en revanche, impossible d’imposer et la pression et la vitesse au mur. Le système serait alors trop contraint. Cette méthode permet d’obtenir des résultats précis sur une grande majorité de benchmarks notamment en deux dimensions. Elle est cependant difficilement généralisable aux géométries complexes et devient in-stable pour de grands nombres de Reynolds.
Il existe de nombreuses autres conditions aux limites, telles que l’anti-bounce-back de d’Humières et Ginzburg [40], ou celles implémentées par Bouzidi et son équipe [9]. Celles citées ont notamment été étudiées par Dubois, Lallemand et Te-kitek dans [29].
1.8
Lattice Boltzmann compressible
Les méthodes Lattice Boltzmann classiques fonctionnent pour des petits nombres de Mach (pour respecter une contrainte sous caractéristique, les informations ne peuvent pas se déplacer plus vite que la vitesse du son.) On est donc dans un ré-gime de proche incompressible. Il existe cependant des méthodes Lattice Boltzmann développées pour des simulations d’écoulements compressibles. C’est le cas de la méthode introduite par Dellar en 2008 [22].
L’auteur cherche à résoudre les équations de Navier-Stokes-Fourier. ∂tρ +∇ · (ρu) = 0,
∂t(ρu) +∇ · (ρu ⊗ u + p(ρ, T )I) =∇ · S(T, ∇u),
∂t(ρs(ρ, T )) +∇ · (ρs(ρ, T )u) + ∇ · q(T,∇T ) T = σ. (1.10)
où T est la température, s est l’entropie spécifique, S est le tenseur des contraintes visqueuses,q est le flux de chaleur et σ est le taux de production d’entropie. Finale-ment, ces trois équations correspondent à la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Le tenseur des contraintes vérifie la loi de Newton.
S(T,∇u) = µ(T )T(∇u)+η(T )∇·(uI), où T(∇u) = ∇u+(∇u)T−2
Quant au flux de chaleurq, il satisfait la loi de Fourier.
q =−λ(T )∇T (1.12)
où µ est la viscosité dynamique, η est la viscosité volumique et λ est la conducti-vité thermique du fluide. Le système (1.10) et les lois (1.11) et (1.12) qui l’accom-pagnent, décrivent l’écoulement d’un fluide newtonien (donc visqueux), compressible et conducteur de chaleur.
Pour cela, il ajoute des énergies internes aux particules et un deuxième set de distributions. Ainsi, il utilise deux sets de distributions de particules : fi et gi. Le
premier set permettra de retrouver la conservation de la masse et de la quantité de mouvement. Tandis que le second vérifiera la conservation de l’énergie. Les énergies internes ajoutées dans ce modèle n’interviennent que dans cette seconde partie. Les deux sets de distributions n’ont pas forcément les mêmes réseaux (donc pas forcé-ment les mêmes vitesses), ni les mêmes temps de relaxation.
Le couplage entre la quantité de mouvement et l’énergie est nécessaire pour ob-tenir une bonne thermodynamique et un nombre de Prandtl réaliste. Ce couplage est assuré à travers l’opérateur de collision.
Il teste son modèle sur le cas test du tube à chocs de Sod avec un réseau D1Q4 pour les distributions fiet un D1Q3 pour les distributions gi. Il compare ses résultats
avec ceux qu’il obtient pour un schéma utilisant un seul réseau D1Q7. Les instabilités dûes aux vitesses discrètes supérieures à 2 ont disparues.
1.9
Lattice Boltzmann entropique (ELBM)
Les méthodes Lattice Boltzmann standards ne sont pas capables de gérer les écoulements à trop faibles viscosités à cause des instabilités numériques engendrées. Les simulations pour de grands nombres de Reynolds ne sont donc pas possibles. Restaurer le second principe de la thermodynamique, à savoir que l’entropie d’un système isolé ne peut qu’augmenter ; résout ce problème. La méthode développée par Karlin et Ansumali [3], appelée Lattice Boltzmann entropique (ELBM) est non linéairement stable numériquement.
Rappelons l’équation de Boltzmann discrète utilisant l’opérateur de collision BGK.
∂fi
∂t + vi· ∇fi = Qi =−
fi− fieq
κ?
Dans ce cas, le temps de relaxation κ? a la dimension d’un temps. L’astérisque est là pour le différencier du κ classique adimensionné. En intégrant cette équation le long de la caractéristique sur un pas de temps ∆t, on obtient :
fi(x + vi∆t, t + ∆t)− fi(x, t) = ∆t
Z
0
En intégrant suivant la règle des trapèzes, on a ∆t Z 0 Qi(x + vit0, t+ t0) dt0 = ∆t 2 [Qi(x, t) + Qi(x + vi∆t, t + ∆t)]
L’équation devient alors implicite. Le changement de variable suivant ˆfi = fi−∆t
Qi
2 permet de rendre l’équation de nouveau explicite.
ˆ fi(x + vi∆t, t + ∆t)− ˆfi(x, t) = − 2∆t 2κ?+ ∆t ˆ fi(x, t)− fieq(x, t)
L’équation résolue dans le cas du Lattice Boltzmann entropique est la suivante :
fi(x + vi∆t, t + ∆t) = fi(x, t) + αβ (fieq(x, t)− fi(x, t)) où β= ∆t 2κ?+ ∆t, κ ? = ∆t(1− β) 2β
On reconnaît l’équation précédente mais l’opérateur de collision est stabilisé avec un α à la place du 2. Le coefficient β est lié à la viscosité cinématique ν via κ?.
ν = c2sκ? = c 2 s∆t(1− β) 2β = c 2 s∆t 1 2β − 1 2
β doit donc être compris entre0 et 1 pour que la viscosité reste positive. La viscosité nulle est obtenue quand β vaut 1.
feq
f
f? Soit H la grandeur dont la monotonie a
été démontrée par Boltzmann en 1872 dans son théorème H [8]. Cette grandeur est souvent vue comme l’opposée de l’entropie et est donc une fonction convexe. feq est défini comme l’argu-ment du minimum de cette fonction. Comme on peut le voir sur la figure ci-contre,
f? = f + α(feq− f)
est la "position" maximale autorisée dans l’étape de collision pour que H reste dé-croissante (donc l’entropie dé-croissante).
On détermine donc α comme la racine non triviale de
H(f?) = H(f + α(feq− f)) = H(f)
Quand les populations fi tendent vers l’équilibre, α tend vers 2. Si α= 2, on retrouve
le Lattice Boltzmann classique. Il existe différentes formes possibles pour H mais la plus utilisée est
H= N X i=1 filn fi ωi
où les poids ωi sont ceux qui apparaissent dans l’expression des distributions
d’équi-libre.
Une fois α et f? déterminés, nous pouvons mettre à jour les distributions avec
fn+1 = (1− β)f + βf? = f + αβ(feq− f)
L’ordre entre la discrétisation et la minimisation est important. Si on discrétise H puis qu’on en cherche le minimum (pour connaître les distributions d’équilibre), on obtient le Lattice Boltzmann entropique (ELBM). Si on commence par minimiser H, on obtient la distribution de Maxwell-Boltzmann et la discrétisation nous redonne le lattice Boltzmann classique. Chikatamarla a grandement participé au développement de cette méthode, en aidant au choix des conditions aux limites [18], en ajoutant le respect de l’invariance galiléenne [16], en l’étendant à une troisième dimension d’espace [17] et récemment aux écoulements multiphasiques [19]. Cette méthode est particulièrement adaptée pour la turbulence et ne sera donc pas étudiée plus dans ce manuscrit.
Chapitre 2
État de l’art des extensions LBM
pour les écoulements multiphasiques
Contents
2.1 Color based model . . . 38 2.2 Modèle de Shan et Chen . . . 39 2.3 Modèle avec énergie libre . . . 40 2.4 Récapitulatif . . . 41
Il existe différentes extensions assez récentes des méthodes Lattice Boltzmann pour prendre en compte les écoulements multiphasiques. Le sujet de ce chapitre est de présenter les trois plus importantes d’entre elles, à savoir le color based model, le modèle de Shan et Chen et le modèle à énergie libre.
2.1
Color based model
En 1988, Rothman et Keller [73] étendent le modèle de gaz sur réseau développé par Frisch et al. (FHP) en 1986 [33] aux fluides non miscibles. Ils utilisent la mé-thode du gaz sur réseau séparément pour chacune des phases, qu’ils différencient en ajoutant une couleur (rouge ou bleu) aux particules.
En 1991, Gunstensen et al. [44] étendent cette démarche aux méthodes Lattice Boltzmann. Il y a donc un set de fonctions de distributions pour chacun des fluides,
fi(b)
i liées aux particules bleues et
fi(r)
i liées aux rouges. La densité globale du
fluide est calculée comme
ρ= X k={r,b} X i fi(k)=X i fi, où fi = fi(r)+ f (b) i .
La tension de surface est ajoutée par le biais d’une force externe greffée sur l’opé-rateur de collision et impose ainsi une séparation des phases. On a ainsi l’équation discrète pour chacune des phases k ∈ {r, b}
fi(k)(x + vi∆t, t + ∆t) = fi(k)(x, t) + Ω (k) i (x, t) avec Ω(k)i =Ω(k)i 1+Ω(k)i 2 où Ω(k)i 1 =−f (k) i − f (k),eq i τk∆t , Ω(k)i 2 = Ak 2 |F | (vi· F )2/|F |2− 1/2 , (2.1) F(x) =X i vi(ρr(x + vi∆t)− ρb(x + vi∆t)) .
τk est le temps de relaxation vers les distributions d’équilibre
fi(k),eq
i de la
phase k, les vi sont les vitesses discrètes du réseau choisi, ∆t est le pas de temps,
Ak est un paramètre pour déterminer l’influence de la tension de surface entre les
phases et F est le gradient de couleur local.
L’interface entre les fluides est calculée à chaque itération. L’interface obtenue est fine mais elle est très coûteuse numériquement. De plus, son calcul entraîne des anisotropies dans la tension de surface qui introduisent des tourbillons non physiques autour de l’interface. Ce modèle est également instable pour des ratios de densité trop importants, à cause des différences entre les vitesses du son dans les phases [54].
Les premières améliorations sont apportées par Grunau et son équipe [43] en 1993. Leur modèle permet de modéliser des fluides ayant des densités ou des vis-cosités différentes. En 1994, D’Ortona et al. [27] remplacent l’étape de recolorisa-tion par une équarecolorisa-tion d’évolurecolorisa-tion et permettent à la méthode de gagner en effi-cacité. En 2002, Ginzburg et Steiner [39] reformulent le schéma original de Guns-tensen pour l’accélérer. Au lieu d’appliquer la méthode aux distributions
fi(b) i et fi(r)
i, ils considèrent les distributions
fi(b) i et (fi)i = fi(b) i + fi(r) i. Ainsi fi(r) i = (fi)i− fi(b)
i. En 2008, Ahrenholz et al. introduisent le Multiple
Relaxa-tion Time (MRT) color based model [1].
2.2
Modèle de Shan et Chen
Le schéma développé par Shan et Chen [75] introduit un pseudopotentiel entre particules pour retrouver les comportements multiphasiques. Il est une nouvelle fois ajouté au modèle comme une force extérieure via l’opérateur de collision. (2.1) de-vient Ω(k)i 2 = vi· Fk où Fk(x) = −X k0 X i Vkk0(x, x + vi∆t)vi
modélise les intéractions entre particules voisines. Le pseudopotentiel Vkk0 est défini
à l’aide d’une fonction de Green G.
Vkk0(x, x0) = Gkk0(x, x0)ψk(x)ψk0(x0).
Cette fonction de Green module l’intensité de l’intéraction tandis que ψ repré-sente la densité effective. Quand ψ s’écrit sous la forme ψ = ρ0[1− exp(−ρ/ρ0)],
où ρ0 est un paramètre libre, il a été montré qu’on obtient une équation d’état non
idéale qui sépare les phases. Dans leurs travaux de 1995, Qian et son équipe [71] ont démontré que d’autres formes de pseudopotentiels, comme celui de van der Waals par exemple, auraient permis d’obtenir les mêmes résultats.
En revanche, ce nouvel opérateur de collision ne conserve plus la quantité de mouvement, contrairement à celui proposé par Gunstensen. Cette non-conservation peut expliquer certaines incohérences physiques autour de l’interface. Cependant, la recherche de l’interface à chaque itération, très coûteuse dans le color-based modèle, est désormais inutile. Chen montra en 1993 [14] que la séparation des phases se fait automatiquement. Cela augmente radicalement l’efficacité du modèle. Ce modèle est simple à implémenter et permet de modéliser différents problèmes, allant de la formation de gouttelettes au processus d’ébullition. Dans ce schéma, seules les inté-ractions avec les plus proches voisins sont prises en compte. Toutes les opérations étant locales, ce schéma est hautement parallélisable.
Cependant, ce modèle n’est pas parfait. Malgré une amélioration de l’isotropie de la tension de surface, les auteurs ont constatés des vitesses anormales au niveau
