Faculté des sciences
Optique quantique dans des structures guidantes en silicium
Caractérisation non linéaire, génération et manipulation de paires de photons
Promoteur de thèse : Thèse de doctorat
Serge MASSAR présentée par Stéphane CLEMMEN
Co-promoteur : en vue de l’obtention du grade
Philippe EMPLIT de docteur en sciences
Année académique 2009-2010
À mon grand-père Carmello, À Marie,
Remerciements
The most exciting phrase to hear in science, the one that heralds new discoveries, is not ’Eureka!’, but ’That’s funny ...’(Isaac Asimov)
Bien que je considère la rédaction de cette thèse comme une étape plus qu’un aboutissement, je dois reconnaître qu’elle est d’une ampleur assez inhabituelle. Surtout, elle marque la fin de quatre années fort agréables. Je ne remercierai probablement pas assez ceux qui ont permis ces quatre années et ceux qui les ont rendus aussi plaisantes.
Je souhaite remercier Serge Massar avant tout, le remercier chaleureusement. J’étais sur le point de rendre mon mémoire lorsque Serge m’a proposé plusieurs sujets de thèse presque aussi excitants les uns que les autres (je suis en particulier très content de ne pas avoir choisi la génération de tri- plets de photons), pour cela je lui suis très reconnaissant. Au-delà de cette offre, Serge a été pour moi unsuperdirecteur de thèse. En effet, l’équilibre entre la liberté qu’il m’a octroyée et l’encadre- ment qu’il m’a fourni fut remarquable. Enfin, je n’oublierai pas les nombreux resto et repas en sa compagnie.
Je remercie Philippe Emplit (Flup) pour m’avoir ouvert les portes du labo, pour être le garant de son bon fonctionnement et de la bonne humeur qui y règne. Je le remercie également pour l’atten- tion qu’il a apporté à critiquer de manière constructive mes différentes communications écrites ou orales.
Edouard Brainis (Eddy) et Kien Phan Huy (Dick) sont deux personnalités marquées et marquantes que j’aimerais également remercier particulièrement. Je remercie Eddy pour ses talents de péda- gogue, l’encadrement de mon sujet de mémoire qui m’a permis de faire mes premiers pas en optique et sans lequel rien n’eut été possible, ainsi que le partage de l’avancement de ses recherches qui régulièrement attisent ma curiosité. Merci à Kien qui m’a guidé au labo durant les premiers mois de ma thèse. Kien est la personne idéale pour apprendre très vite ce qu’il faut faire et ne pas faire au labo. Les illustrations de ce qu’il ne faut pas faire resteront à tout jamais gravées dans ma mémoire (plasticienne, mousse expansée, marche/arrêt d’un laser Tunics,. . . ). Je me dois tout de même de préciser que ces bizarreries griffées de la patte du Dick Van Huy sont en fait le résultat d’avalanches de pensées qui ne peuvent évidemment pas drainer que des idées géniales. Parmi les bonnes idées, il y a celle de faire de l’optique quantique en silicium, alors merci Kien. Merci aussi pour le Tom Yam Kai, les rouleaux de printemps, le Bi Cuon et le porc laqué.
Je remercie Anthony Perret qui en l’espace de 5 mois seulement est passé du statut de stagiaire
destine pas du tout à la recherche". Passé l’effroi que suscitèrent chez moi ces quelques mots et les deux mois de nécessaire formation intensive au labo (ceci inclut évidemment le Pickwik et le kicker), Anthony et moi avons formé un binôme dès plus productif. Des progrès enregistrés tant au labo qu’au Kicker ont alors été démontrés par la rédaction de deux articles et d’innombrables victoires. Sa prestation dekilling in the namerestera, je l’espère, gravée dans ma mémoire.
Je remercie Anh Tuan Nguyen (Toon), Pascal Kockaert (docteur K), et Simon-Pierre Gorza (Sim-π) pour m’avoir aidé à compléter ma formation au labo une fois Kien ayant retrouvé sa mère patrie.
À Pascal et Sim-π, merci surtout pour m’avoir fait découvrir l’optique en propagation libre et aidé à réaliser ce satané D-scan. Merci à Toon pour avoir partagé tout ce qu’il savait au sujet de la dé- tection des paires de photons. Toon ayant été mon vis-à-vis de bureau, nos discussions ont le plus souvent porté sur les folles aventures de LetermeIeret toute l’actualité politico-sentimentale belge.
Difficile de mieux commencer une journée qu’une tasse de café accompagnée d’une discussion avec Anh Tuan à ce sujet !
Je souhaite remercier François Léo (Sisse) et Laurent Olislager (El Lolo), avant tout pour les plus beaux match de Kicker que je n’ai jamais joués, mais aussi pour le partage régulier de leurs acti- vités de recherche respectives. À Sisse, je dis merci pour cette phrase qui résume tout "Viens boire une chope ket ! Qu’est ce que c’est une heure de temps sur une thèse de quatre ans ?".
Je remercie Marc Haelterman pour l’esprit critique dont il a fait preuve à chaque réunion semes- trielle et qui ne manquait pas de remettre certains acquis en questions. Je le remercie également pour son passionnant cours d’optique des semi-conducteurs sans lequel je n’aurais probablement pas choisi ce sujet de thèse.
Thomas Bury (Tom), Adrien Dewandre et Anh Dung, le carolo, le namurois et le Vıet de service respectivement, méritent également des remerciements pour leur grande contribution à la bonne ambiance qui réside au labo. Je retiens tout particulièrement toutes les victoires enregistrées contre Adrien au kicker (j’attends avec impatience leYamayu Santatsu, leSamouraiou leNonbe Daigaku).
Quant à Tom, sa science de la fracture en angle m’éblouit un peu plus chaque jour. Thomas et Anh Dung sont en outre les détenteurs d’un exploit puisqu’ils ont réussi à me trainer dans une salle de sport (exploit réalisé une fois auparavant) et ce de manière durable.
Je remercie également le "bureau des parents"1 : Maïté Swaelens, François Bernard (le Bernard), Yvan Paquot, Francois Duport (François le français), Mickaël Delqué (Mika), et Olivier Carrière pour leurs contributions bénéfiques à la vie au labo. Merci à François le français pour son aide en électronique et les cuisses de canard confites, merci à Olivier pour ses inlassables chutes ; merci à Maïté pour son cake au chocolat, merci à Bernard pour le fabuleux laser qu’il est en train de nous préparer.
Ibtissame Malouli, Alexandra Peereboom, Freddy Clavie et Lory Marchal jouent un rôle particulier puisqu’ils facilitent grandement les travaux des chercheurs sans réellement en tirer la satisfaction que procure une manip. qui fonctionne. Je les remercie donc chaleureusement pour leur travail.
There are a few people in Gent that I would like to thank. As I really want them to understand my acknowledgement, I will write it in English and not in Dutch. First, I want to thank Roel Baets for accepting to give his help to a project that probably sounded a bit weird for him at the first time (especially with my English level at this time). I have always felt welcome in Gent and I am sure he is greatly responsible for that.
1. La proportion de parents s’est petit à petit réduite dans ce bureau, mais le nom n’a pas évolué.
me when I was preparing gds files for each mask run in IMEC. I am especially gratefull to Wim for sharing his designs for splitters and crossing.
I thank Bart Kuyken, Gunther Roelkens and Shankar Kumar Selvaraja for the great team work during the last two monthes on amorphous silicon waveguides.
I thank Bjorn Maes and Quentin Flandroy for nice discussions we had about theory of wave propa- gation in silicon waveguides that resulted in the Quentin’s joint master thesis.
Je remercie les membres du jury d’avoir accepté d’examiner cette thèse.
Je remercie enfin mes proches qui m’ont soutenu sans défaillir pendant et même avant cette thèse : mes parents, mon frère Julien et ma chérie Marie. Mes parents d’abord, qui m’ont toujours laissé libre de choisir ce que je souhaitais faire2. Un merci particulier à Julien pour le dessin artis- tique de la figure 3.2. Merci, ou plutôt félicitation, à Marie de m’avoir supporté durant cette thèse.
Je sais que ces dernières semaines de rédaction, en particulier, ont été pénibles pour toi aussi. J’ai une bonne nouvelle tout de même, c’est les vacances !
2. A condition toutefois que ce soitétudier, ce qui était gagné d’avance étant donné mes capacités sportives et artistiques.
Publications dans des revues internationales à comité de lecture
– E. Brainis, S. Clemmen, and Serge Massar, Spontaneous growth of Raman Stokes and anti- Stokes waves in fibers, Optics Letters32, 2819-2821 (2007)
– S. Clemmen, K. Phan Huy, W. Bogaerts, R. G. Baets, Ph. Emplit, and S. Massar,Continuous wave photon pair generation in silicon-on-insulator waveguides and ring resonators, Optics Express17, 16558-16570 (2009)
– S. Clemmen, A. Perret, S. K. Selvaraja, W. Bogaerts, D. van Thourhout, R. Baets, Ph. Emplit and S. Massar, Generation of correlated photons in hydrogenated amorphous silicon wave- guides, accepté à Optics Letters
– S. Clemmen, A. Perret, W. Bogaerts, R. Baets, Ph. Emplit and S. Massar,Noise affecting photon pair generation in silicon waveguides, soumis à Optics Express
Conférences avec proceedings
– S. Clemmen, E. Brainis, Serge Massar,Quantum theory of degenerate four-wave mixing and Raman scattering in fibers, 2007 IEEE/LEOS Symposium Benelux Chapter, pp. 55-58 (oral presentation)
– S. Clemmen, Kien Phan Huy, Wim Bogaerts, Roel G. Baets, Philippe Emplit, and Serge Mas- sar, Photon pair generation in a continuous regime in nanophotonic silicon waveguide, 2008 Annual Symposium of the IEEE/LEOS Benelux Chapter, pp. 67-70 (oral presentation - best presentation award)
– S. Clemmen, K. Phan Huy, W. Bogaerts, R. G. Baets, Ph. Emplit, S.Massar, Integrated pho- ton pair source for SOI-based quantum optics, European Quantum Electronics Conference (EQEC) 2009 paper : EA5-4 (oral presentation)
– S. Clemmen, K. Phan Huy, W. Bogaerts, R. G. Baets, Ph. Emplit, S.Massar, Towards an in- tegrated narrowband source for quantum information : Photon pair generation in a silicon racetrack resonator, 2009 OSA/IPNRA/NLO/SL proceeding, IME1 (oral presentation)
– B. Kuyken, S. Clemmen, S. Selvaraja, W. Bogaerts, S. Massar, R. Baets, G. Roelkens, Self Phase Modulation in highly Nonlinear Hydrogenated Amorphous silicon, submitted to "the The 23rd Annual Meeting of the IEEE Photonics Society"
Conférences et workshop sans proceeding
– S. Clemmen, K. Phan Huy, R. G. Baets, D. Taillaert, W. Bogaerts, Ph. Emplit, S.Massar,Modu- lation instability in silicon wire waveguides, METAMORPHOSE doctoral school 2008 in Liege - Belgium (poster)
– S. Clemmen, K. Phan Huy, W. Bogaerts, R. G. Baets, Ph. Emplit, S.Massar,Photon pair genera- tion in silicon nanophotonic waveguide, METAMORPHOSE doctoral school 2009 in Louvain- la-Neuve - Belgium (oral presentation)
– S. Clemmen, R. G. Baets, W. Bogaerts, Ph. Emplit, K. Phan Huy, S. Massar, Narrowband photon pair generation in silicon ring resonator, 453.WE Heraeus Seminar on Quantum com- munication based on integrated optics, 22-25 March 2010 at the Physikzentrum Bad Honnef, Germany (poster)
2010 (invited talk - topical discussion)
Le jury chargé d’examiner la recevabilité de la présente thèse est constitué de : – Roel Baets (Universiteit Gent)
– Sébastien Tanzilli (Université Nice Sophia Antipolis) – Michele Sferrazza (Université Libre de Bruxelles) – Pierre Gaspard (Université Libre de Bruxelles)
– Serge Massar (Université Libre de Bruxelles - promoteur) – Philippe Emplit (Université Libre de Bruxelles - co-promoteur) – Michel Herman (Université Libre de Bruxelles)
Table des matières
Introduction 1
1 Fondements 5
1.1 Propriétés des guides en silicium . . . 5
1.1.1 Géométrie : Structure et modes . . . 5
1.1.2 Propagation linéaire monomode : pertes et dispersion . . . 8
1.1.3 Non-linéarités d’ordre 3 . . . 9
1.1.4 Porteurs libres et température . . . 11
1.1.5 Propagation dans des guides en silicium : vue globale NLSg . . . 13
1.1.6 Propagation : résolution de NLSg . . . 14
1.2 Notions utiles d’optique quantique . . . 17
1.2.1 Définitions propres à l’optique quantique . . . 17
1.2.2 Optique quantique linéaire . . . 18
1.2.3 Propagation non linéaire et dispersive . . . 22
1.2.4 Génération de paires de photons . . . 24
2 Caractérisation expérimentale de guides en silicium 27 2.1 Mesure des pertes linéaires . . . 27
2.2 Mesure de l’absorption à deux photons . . . 29
2.3 Mesure du temps de vie des porteurs . . . 30
2.4 Mesure de la dispersion . . . 32
2.5 Mesure de la non-linéarité Kerr : D-scan . . . 35
2.5.1 Principe . . . 35
2.5.2 Expérience . . . 36
2.6 Résumé . . . 38
3 Génération de paires de photons 41 3.1 Conception de l’expérience . . . 41
3.2 Démonstration de la génération de paires de photons . . . 42
3.3 Efficacité du processus . . . 45
3.4 Pureté du processus . . . 45
3.5 Réponse temporelle . . . 48
3.6 Spectre . . . 50
3.7 Résumé . . . 52
4 Optique quantique intégrée et manipulation de photons 53
4.1 Interféromètre de Sagnac . . . 53
4.1.1 Principe . . . 53
4.1.2 Conception et caractérisation classique . . . 55
4.1.3 Source de paires de photons . . . 56
4.2 Source de paires de photons en cavité . . . 57
4.2.1 Principe . . . 57
4.2.2 Conception . . . 58
4.2.3 Propriétés linéaires . . . 59
4.2.4 Génération de paires de photons . . . 60
4.3 Intrication à l’interface entre la puce et une fibre. . . 64
4.4 Expérience de Hong-Ou-Mandel . . . 67
4.5 Expériences intégrées . . . 69
4.6 Résumé . . . 72
Conclusions et perspectives 75
Annexes
77 A Ligne de dispersion 79 A.1 Conception . . . 79A.2 Réalisation . . . 82
B Filtrage spectral 85 C Détection 89 C.0.1 Mesure des coups sombres . . . 89
C.0.2 Mesure de l’efficacité de détection . . . 90
C.0.3 Convertisseur temps-amplitude . . . 90
C.0.4 Discussion . . . 91
D Échantillons 93 D.0.5 Puces PICMOS01-A11 . . . 93
D.0.6 Puces Rambo . . . 94
D.0.7 Puces Wonderwall . . . 94
E Split-step-Fourier 97
F Ébauche théorique pour la génération de paires en cavité 99
G Génération de paires de photons : état de l’art 101
H Notations 107
Bibliographie 109
Table des figures
1.1 Aperçu d’un guide en silicium . . . 6
1.2 Réponse spectrale du couplage par réseau . . . 7
1.3 Dispersion de vitesse de groupe dans des guides SOI (théorie) . . . 8
1.4 Spectres théoriques de l’auto-modulation de phase . . . 15
1.5 Pertes non linéaires et gain Kerr VS puissance optique . . . 17
1.6 Composants d’optique linéaire . . . 18
1.7 Expérience de Bell . . . 20
1.8 Principe de l’expérience de Hong-Ou-Mandel . . . 22
1.9 Spectres théoriques de génération de paires de photons (dispersion anormale) . . . 25
1.10 Spectres théoriques de génération de paires de photons (dispersion normale) . . . 25
1.11 Evolution de la densité spectral de flux de photon . . . 26
2.1 Banc optique d’injection . . . 28
2.2 Transmission des coupleurs . . . 29
2.3 Expérience de mesure de TPA : montage expérimental . . . 30
2.4 Pertes non linéaires (TPA) : courbe expérimentale . . . 31
2.5 Mesure du temps de recombinaison des porteurs : montage expérimental . . . 32
2.6 Courbe de recombinaison des porteurs . . . 33
2.7 Mesure de la dispersion par FWM : montage expérimental . . . 33
2.8 Conversion en longueur d’onde par FWM : mesure de la dispersion . . . 34
2.9 Schéma de principe du D-scan . . . 36
2.10 Prédictions théoriques d’un mesure de type D-scan . . . 37
2.11 Résultat de la mesure D-scan et spectre du Pritel . . . 38
3.1 Spectres de génération de paires de photons . . . 42
3.2 Schéma de principe d’une mesure de coïncidences temporelles . . . 43
3.3 Mise en évidence de la génération de paires de photons : montage expérimental . . . . 44
3.4 Histogramme caractéristique de la détection de paires de photons . . . 44
3.5 Evolution du flux de paires de photon avec la puissance de pompe . . . 45
3.6 Pureté des paires produites : rapport signal sur bruit . . . 47
3.7 Flux de photons détectés en fonction de la puissance . . . 47
3.8 Mesure de fluorescence résolue en temps : montage expérimental . . . 48
3.9 Réponse temporelle de l’émission de photons . . . 49
3.10 Mesure spectrale du flux de photon : montage expérimental . . . 50
3.11 Spectre de l’émission de photons . . . 51
4.1 Interféromètre de Mach-Zenhder pour la génération de paires de photons . . . 54
4.2 Représentation de l’interféromètre de Sagnac intégré . . . 55
4.3 Paires de photons dans un interféromètre de Sagnac : suppression du faisceau pompe 56 4.4 Génération de paires dans l’interféromètre de Sagnac : SNR et flux généré . . . 57
4.5 Cavité optique en anneau : principe . . . 58
4.6 Géométrie de la cavité en anneau intégrée . . . 58
4.7 Propriétés spectrales de la cavité en anneau . . . 59
4.8 Flux de paires générées en cavité en fonction de la puissance . . . 61
4.9 Génération de paires en cavité : rapport signal sur bruit . . . 62
4.10 Spectres de l’émission de paires en cavité . . . 63
4.11 Intrication en polarisation : schéma du circuit intégré . . . 64
4.12 Mise en évidence de l’intrication en polarisation : montage expérimental . . . 65
4.13 Intrication en polarisation : résultats . . . 66
4.14 Schéma de l’expérience de Hong-Ou-Mandel . . . 68
4.15 Expérience de Hong-Ou-Mandel (1) : interféromètre et résultat . . . 69
4.16 Expérience de Hong-Ou-Mande (2) : interféromètre et résultat . . . 70
4.17 Expériences intégrées sur puce : Schémas des circuits . . . 71
A.1 Conception d’une ligne de dispersion . . . 80
A.2 Réseau de Blaze . . . 80
A.3 Ligne de dispersion picoseconde . . . 81
A.4 Photo de la ligne de dispersion . . . 82
A.5 Calibration de la ligne de dispersion : mesure temporelle . . . 83
B.1 Caractérisation des filtres optiques : montage expérimental . . . 85
B.2 Caractérisation de filtres optiques : courbes expérimentales . . . 86
B.3 Spectres des filtres et des lignes de filtrage . . . 87
C.1 Calibration des détecteurs supraconducteurs . . . 90
C.2 Comparaison de la détection de pics de coïncidences avec APD et SSPD . . . 91
G.1 Comparaison bruit de photons : fibres en silice vs SOI . . . 103
Introduction
Ce manuscrit est le fruit de quatre années de thèse de doctorat qui ont consisté à montrer la pertinence d’une solution technologique nouvelle, la plateforme d’optique intégrée en silicium silicon-on-insulatorpour la réalisation de fonctionnalités propres à l’optique quantique.
Ce travail est le résultat d’une collaboration entre le Laboratoire d’information quantique (Serge Massar, Faculté des sciences de l’ULB), le service OPERA (Philippe Emplit, Facultés des sciences appliquées), le service INTEC (Roel Baets, Universiteit Gent) et le centre de recherche IMEC à travers la collaboration ePIXfab.
Bien que les balbutiements de l’optique intégrée en silicium remontent déjà à 1986 [1], il aura fallu attendre 2002 pour que soit reportée la première démonstration d’un effet non linéaire carac- téristique de l’optique guidée dans de telles structures [2]. Les récents développements reposent sur l’arrivée à maturation des procédés de fabrications, en particulier l’utilisation du matériauSilicon- on-Insulator(SOI) et les procédés de lithographie (photolithographiedeep UV [3] etelectron-beam etching). Les liens étroits entre cette technologie et la micro-électronique ont permis un développe- ment intense et rapide de cette plateforme. Notre travail consiste à éprouver cette plateforme pour une application jusque là inexplorée : l’optique quantique.
L’optique quantique a connu d’importantes avancées depuis les expériences pionnières des an- nées 1980 (interférences en intensité [4], violation des inégalités de Bell [5],. . . ). Beaucoup d’avan- cées reposent sur le développement de la théorie quantique de l’information [6–9]. Les gains en performance promis par le calcul quantique et le gain en sécurité promis par la distribution quan- tique de clés ont poussé le développement de technologies propres à l’optique quantique : détecteurs de photons uniques fonctionnant aux longueurs d’ondes des télécommunications [10, 11], sources de paires de photons reposant sur des structures guidantes PPKTP [12], PPLN [13] ou fibres op- tiques [14] et mémoires quantiques [15]. Ces technologies ont permis des réalisations nouvelles, telles que, récemment, une porte quantique logique Contrôle-NOT à 6 qbits [16].
La possibilité de réaliser un ordinateur quantique avec uniquement des éléments d’optique linéaire (LOQC pourlinear optical quantum computing) ainsi que des états quantiques bien préparés [7,17]
motive fortement notre travail. Une partie du défi consiste à réaliser des circuits linéaires précis, sans perte et de pouvoir les assembler en grand nombre. L’optique intégrée parait tout particuliè- rement indiquée. Un travail récent confirme cette analyse [18]. Nous montrons également dans ce travail que l’optique intégrée en silicium est également une plateforme de choix pour la seconde brique du LOQC : la préparation d’états quantiques à nombre de photons défini (états de Fock).
Pour bien comprendre la voie dans laquelle nous nous sommes engagés, il faut connaître les qualités propres à la plateforme photoniqueSilicon-on-Insulator. Celles-ci sont : la stabilité méca- nique, le grand confinement optique, la compatibilité avec le procédé de fabrication dominant en micro-électronique (CMOS) et la non-linéarité optique relativement importante.
La stabilité mécanique permet la réalisation de circuits interférométriques. Les applications utili-
mécanique doit nous permettre de réaliser des interféromètres accordables. Ce sont des éléments clés dans la réalisation d’expériences telles que celle de Hong-Ou-Mandel [4] ou celle de Fran- son [22].
Le confinement optique dans les structures guidantes en silicium est probablement la propriété qui permet à l’optique en silicium de se démarquer sensiblement de l’optique guidée dans des fibres op- tiques ou dans des guides en verre. Ce confinement extrême permet la réalisation de guides optiques de tailles sub-micrométriques et pouvant supporter de courts rayons de courbure. Les micro-cavités optiques [23], l’utilisation du champ évanescent pour le couplage avec des structures annexes [24]
ou pour la pression de radiation qu’il peut induire [25, 26] constituent certaines des réalisations les plus remarquables en optique intégrée sur silicium. Le fort confinement participe également à de nombreuses réalisations d’optique non linéaire.
La compatibilité avec le procédé de fabrication CMOS a surtout permis l’hybridation des guides optiques avec des éléments électroniques [27, 28]. De nombreuses réalisations reposent en effet sur la propriété de semi-conduction du silicium : photodiodes [29], mémoire tout-optique [30], inter- rupteur optique [31], bistabilité [32, 33], modulateurs d’intensité optique [34, 35], lasers [36–39] et sources de plasmons de surface [40].
La non-linéarité Kerr du silicium est plus importante que celle du verre, mais demeure relative- ment basse dans l’absolu. Contrastant avec cela, la non-linéarité Raman est relativement impor- tante. Dans les deux cas, c’est le fort confinement qui permet d’atteindre facilement des intensités optiques gigantesques et donc des effets non linéaires significatifs. L’effet Raman a permis l’observa- tion de l’amplification tout optique [41] et la réalisation de laser en silicium [36,37]. La non-linéarité Kerr a surtout été exploitée pour sa capacité à convertir un signal par mélange à quatre ondes dé- généré [42]. Les réalisations reposant sur le mélange à quatre ondes sont très variées : oscilloscope ultra rapide [43], compression d’impulsions [44], conversion adiabatique d’un faisceau monochro- matique [45] et dans une moindre mesure l’amplification paramétrique [46]. La non-linéarité du second ordreχ(2) est nulle dans le silicium en raison de la symétrie du cristal. Néanmoins, cette symétrie peut être brisée faisant apparaitre un effetχ(2)[47].
Nous montrons dans ce manuscrit que l’optique intégrée en silicium est également une plateforme de choix pour la seconde brique du LOQC qui est la préparation d’états de Fock. Les sources de paires de photons constituent un ingrédient important pour le LOQC. La démonstration de sources de paires de photons reposant sur la non linéaritéχ(3)de guides optiques [14] est donc également une motivation pour l’utilisation de l’optique intégrée en silicium. Enfin, un autre défi pour le LOQC concerne la détection de photons. Nous n’abordons pas ce problème dans le travail mais nous notons qu’il existe des avancées prometteuses, y compris en optique intégrée sur silicium [48].
Le travail est organisé comme suit. Le premier chapitre introduit les bases nécessaires à la com- préhension des trois chapitres de nature expérimentale. Nous y introduisons la physique et la mise en équation de la propagation dans des guides d’ondes en silicium suivant une théorie classique.
Quelques notions d’optique quantique sont également exposées. Elles doivent permettre d’appré- hender le processus de génération de paires de photons d’une part et leur manipulation linéaire d’autre part.
Le second chapitre présente des expériences destinées à caractériser les propriétés d’un guide d’onde. Les pertes linéaires et non linéaires y sont quantifiées, de même que l’effet Kerr et la dis- persion de vitesse de groupe.
paires de photons. Le processus est étudié en détail et la présence d’un bruit parasite inconnu est reportée et investiguée.
Le dernier chapitre concerne l’intégration proprement dite de la source de paires de photons pré- cédemment introduite avec un circuit d’analyse interférométrique sur la puce. La démarche pas à pas a consisté en l’amélioration de la source de paires de photons et la préparation d’expériences d’optique quantique (mesure d’intrication et expérience de Hong-Ou-Mandel).
Enfin, nous avons placé en annexe les parties du travail qui soit s’éloignent du thème principal, soit l’alourdissent. En particulier, une comparaison de nos sources de paires de photons est présentée en annexe G et des réalisations techniques essentielles sont présentées dans les annexes A et B.
Chapitre 1
Fondements
Dans ce chapitre, nous commençons par décrire la propagation lumineuse dans des guides d’onde en silicium. En particulier, nous détaillons les effets non linéaires à prendre en compte, ainsi que leur modélisation. Nous présentons également deux types de propagations bien distincts ainsi que la manière de les prédire théoriquement. Nous terminons ce chapitre en introduisant les concepts d’optique quantique nécessaires à la suite du travail 1.2.
Nous entamons logiquement la présentation par la descriptions des structures en silicium.
1.1 Propriétés des guides en silicium
Une particularité de l’optique intégrée en silicium est qu’il est possible de guider la lumière dans des structures dont la taille est légèrement inférieure à la longueur d’onde de la lumière qui s’y propage. Cette spécificité implique que certaines propriétés (dispersion de la vitesse de groupe et temps de vie des porteurs libres) considérées normalement comme intrinsèques au matériau sont en fait dépendantes de sa géométrie. Nous commençons par présenter les géométries qui nous intéressent et les propriétés linéaires qui y sont rattachées à savoir les pertes linéaires, la dispersion de vitesse de groupe et le couplage de la lumière depuis ou vers une fibre optique. Ensuite, nous discutons des propriétés non linéaires que sont l’absorption à deux photons, l’effet Kerr, la diffusion Raman, les pertes et la dispersion induites par les porteurs libres et la température.
1.1.1 Géométrie : Structure et modes
Les guides d’onde en silicium qui nous intéressent présentent une structure en trois couches illustrée par la figure 1.1. D’abord, un substrat de silicium cristallin assure la stabilité mécanique de l’ensemble. Au-dessus de ce substrat, une couche de silice épaisse de quelques microns (1-3) constitue un milieu de bas indice de réfraction (1,44 [49]). Enfin, c’est une fine (220 nm) couche de silicium cristallin qui constitue le milieu guidant. L’indice de réfraction du silicium est 3,48 [49] à la longueur d’onde caractéristique des télécommunications optiques :1550±50nm. Verticalement, le guidage est assuré par le grand contraste de l’indice de réfraction du silicium aux interfaces avec la silice (en-bas) et avec l’air (en-haut). Ce matériau sandwich est appelésilicon-on-insulator(SOI).
Nous considérons ces dimensions verticales fixées pour le reste du travail. La couche guidante est ensuite gravée de manière à dessiner les structures souhaitées. Le guidage horizontal est également assuré par réflexion interne totale aux interfaces. De fait, nous ne discutons ici que des structures
700µm 1-2µm 220 nm
6 mm
Substrat en silicium SiO2
taper réseau
Guide en silicium 10µm
accès 500 nm
x y z
FIGURE1.1 – Aperçu d’un guide en silicium utilisé dans le cadre de ce travail.
Le guide en lui-même présente une section nettement inférieure à longueur d’onde (1550 nm). Le couplage de la lumière depuis et vers l’environnement est assuré par des réseaux de diffractions aux extrémités ainsi que par des guides secondaires servant d’entonnoir lumineux (taper).
basées sur des guides en forme de ruban pour lesquels le silicium est entièrement entouré d’air ou de silice (pas de cristaux photoniques ni derib-waveguides). Les structures en silicium sont réali- sées soit par photolithographie en ultraviolets profonds (DUV) suivie d’une attaque chimique [3], soit par faisceau d’électronse-beam[50], soit récemment par oxydation spatialement sélective [51].
Dans le présent travail, nous utilisons uniquement des guides dont la section rectangulaire est gravé par DUV (voir annexe D pour plus de détails).
Les guides rectangulaires ne présentent en général pas de solution simple des équations de Max- well [52]. Par simple, nous entendons une solution modale exacte et calculable analytiquement. La prédiction des propriétés liées à la géométrie des guides reposent donc essentiellement sur la ré- solution numérique des équations de Maxwell (souvent à l’aide de programmes commerciaux tels que FimmWave). Le fait que le guide soit monomode (une seule solution spatiale dans la gamme de longueur d’onde des télécommunications[1500−1600]nm) simplifie grandement la description de l’évolution du champ lors de sa propagation. En particulier, cela évite une forte dispersion tem- porelle de sorte que la monomodicité d’un guide est généralement considérée comme une nécessité.
Pour un guide dont l’épaisseur est de 220 nm, il a été montré que la largeur ne pouvait alors ex- céder 600 nm pour un guide entouré d’air sur ses surfaces supérieure et latérales [53] (le résultat présenté dans la référence [53] souffre d’une erreur qui est partiellement corrigée dans la réfé- rence [54]). En outre, le guide cesse de confiner la lumière si sa largeur est inférieure à 270 nm [54].
Il faut également noter qu’un guide dit monomode supporte en réalité deux modes de polarisation : quasi-TE (Ez= 0) et quasi-TM (Hz= 0). Les modes TEM (Ez=Hz= 0) n’existent pas dans de telles structures et les modes TE (Ez= 0) et TM (Hz= 0) ne sont pas parfaitement séparables. Le mode quasi-TE (Ez≈0) présente un champ électrique oscillant essentiellement dans le plan de la surface de la puce, tandis que le champ électrique associé au mode quasi-TM oscille principalement suivant la hauteur du guide. L’indice de réfraction du mode TE est compris entre2,1 et2,42pour des lar- geurs de guides de respectivement 400 et 520 nm (simulations FimmWave) et tend vers 3,4 pour des guides plus grands. Nous utilisons principalement des guides dont la section de500×220nm2 repose sur une couche de silice alors que les faces supérieures et latérales sont en contact avec l’air environnant. Cela constitue un compromis entre l’assurance d’avoir un guide monomode et des pertes par propagation raisonnables. Pour un tel guide, l’aire effective du mode TE est de0,064µm2
1500 1525 1550 1575 1600 -14
-12 -10 -8 -6
Longueur d’onde (nm)
Transmission(dB)
FIGURE1.2 – Réponse spectrale de la transmission à travers un réseau de couplage (mesure effec- tuée dans notre labo). La largeur à mi-hauteur de la courbe vaut 65 nm.
(simulation FimmWave [54])).
Une conséquence immédiate de la géométrie des guides utilisés est la difficulté à coupler effica- cement la lumière dans et hors de ceux-ci. L’inefficacité du couplage tient au fait que la taille du mode guidé est nettement en-deçà de la limite de diffraction. Il existe deux solutions largement répandues pour résoudre ce problème. La première repose sur l’adaptation de mode, c’est-à-dire le couplage progressif du mode de propagation libre vers celui du guide SOI par l’intermédiaire d’une étroite section de silicium (nanotaper inversé) qui s’élargit jusqu’à atteindre la largeur du guide [55]. Cette méthode, très efficace (≈1dB de perte), demande de pouvoir façonner une pointe de silicium dont l’extrémité s’ajuste à quelques microns près au bord de la puce tout entière (ou de manière équivalente, cliver la puce à quelques microns de la pointe préalablement façonnée). Une autre méthode repose sur un réseau de diffraction gravé à l’extrémité d’un guide en silicium dont la section est large (10µm) et auquel succède un rétrécissement adiabatique (taper) menant à la section du guide [56]. L’efficacité maximale obtenue est comprise entre 25 et 30%à laquelle il faut rajouter un surplus de pertes de 20%pour le taper. Divers développements montrent d’une part la réalisation de nanotapers inversés compatibles avec une fabrication photolithographique des struc- tures [57] et d’autre part, l’amélioration significative des réseaux de couplages [58]. Le couplage par réseau ne permet de coupler que le mode TE du guide et elle est intrinsèquement limitée en bande passante. La figure 1.2 présente la réponse spectrale de l’efficacité de couplage par réseau.
La largeur à mi-hauteur de la courbe de transmission est idéalement de 60 nm [20] et la longueur d’onde centrale est de 1550 nm ; elle dépend en réalité de l’angle d’incidence du faisceau. C’est cette technique, basée sur les réseaux de couplage, qui est utilisée dans notre travail.
Ces réseaux impliquent déjà deux limitations importantes à l’utilisation des guides en silicium.
Il est en effet exclu d’utiliser les deux polarisations supportées par le guide. De même, le spectre optique est limité (pour une discussion plus complète au sujet du couplage par réseau, voir la dis- cussion dans la section 2.1)
La géométrie du guide influence également fortement les propriétés linéaires et non linéaires du guide. C’est aux propriétés linéaires de celui-ci que nous nous intéressons à présent. Sauf mention contraire, les données avancées dans la suite de ce chapitre sont celles associées au mode TE00d’un
1460 1490 1520 1550 1580 1610 1640 440
460 480 500 520 540 560
Longueur d’onde (nm)
Largeurduguide(nm)
-4,2 -3 -2.2
FIGURE1.3 – Dispersion de la vitesse de groupe en fonction de la largeur des guides et de la lon- gueur d’onde. La dispersionβ2est inférieure à−4.6ps2/m dans la zone bleu foncé (en bas) et est incrémentée par pas de0.4ps2/m. L’épaisseur est fixée à 220 nm. La simulation numérique a été réalisée grâce au logiciel FimmWave à UGent avec la participation de Bart Kuyken.
guide de section500×220nm2.
1.1.2 Propagation linéaire monomode : pertes et dispersion
Les deux propriétés linéaires qui nous intéressent sont les pertes par propagation et la disper- sion de vitesse de groupe (GVD pourgroup velocity dispersion).
Les pertes par propagation sont essentiellement dues aux défauts de surfaces du guide et aux fuites vers le substrat [59]. Il semblerait que les pertes dues à la rugosité des surfaces soient étroitement liées à des réflexions parasites [60]. Les pertes typiques dans les guides aux dimensions similaires aux nôtres sont de 2 à 3 dB/cm [3, 61].
Dans toute structure guidante, la dispersion de vitesse de groupe dépend la fois du matériau utilisé et de sa géométrie [62,63]. Dans le cas des guides nanophotoniques que nous utilisons, la dispersion induite par la géométrie du guide est prédominante. La figure 1.3 montre que la dispersion du guide est anormale (les fréquences les plus hautes sont les plus rapides) malgré le fait que celle du maté- riau soit normale (β2= 1.12ps2/m [64]). Pour nos guide, la dispersion vaut environβ2=−3ps2/m à la longueur d’onde de 1550 nm (simulation FimmWave).
De manière analogue à la propagation dans les fibres optiques, nous pouvons décrire l’évolu- tion du champ électromagnétique au cours de la propagation suivant la direction dénotéez grâce uniquement à l’enveloppe du champ électriqueE associé au mode TE00. Cette enveloppeA(z, t)est définie par
E(x, y, z, t) =N(x, y)A(z, t) exp [iβ0z−iω0t]~1y+c.c. (1.1) oùtdénote le temps,xetysont les directions perpendiculaires à l’axe de propagation décrite dans la figure 1.1,ω0est la fréquence centrale de l’oscillation du champ électrique etβ0est la constante de propagation.N(x, y)est la solution modale du champ dans des dimensions telles que|A(z, t)|2
soit la puissance optique (en Watt). Les pertes et la dispersion sont les paramètres suffisants pour décrire la propagation du champ électromagnétique dans ces guides lorsque l’intensité optique est suffisamment faible :
∂A(z, t)
∂z =−iβ2
2
∂2A(z, t)
∂t2 −α0
2 A(z, t) (1.2)
oùα0représente les pertes par propagation (en m−1) etβ2la dispersion (en s2/m). Pour établir cette équation, nous avons implicitement utilisé une variable de tempst qui est en fait une translation du temps réelt1. les deux sont relié par l’intermédiaire de l’inverse de la vitesse de groupeβ1=v−g1 par la relationt =t1−zβ1. Notons que β1 etβ2sont les premiers ordres du développement de la constante de propagationβ(ω), il est donc évident que siβ2est petit, la validité de cette description ne peut être assurée qu’en prolongeant ce développement par les termesin+1n!βn∂t∂nn pourn >2avec βn =dnβ(ω)
dωn
ω=ω0
.
Après les propriétés linéaires des guides, nous abordons les propriétés non linéaires en commen- çant par les non-linéarités d’ordre trois (pour une description complète [65–67]).
1.1.3 Non-linéarités d’ordre 3
Alors qu’il n’existe pas de non-linéarité du second ordre1dans le silicium, il y a au moins trois non-linéarités du troisième ordre (dénotéeχ(3)) : l’effet Kerr, l’effet Raman et l’absorption à deux photons (TPA pourTwo-Photon Absorption).
Effet Kerr
L’effet Kerr induit un changement d’indice de réfractionndont l’amplitude dépend de l’intensité optiqueIet de l’indice non linéairen2:
n(I) =n0+n2I (1.3)
oùn0est l’indice de réfraction linéaire. L’intensité optique dépend de la puissance guidée ainsi que de l’aire effective du modeAeff. Cette dernière est définie comme
Aeff =
R|N(x, y)|2dxdy2
R |N(x, y)|4dxdy (1.4)
oùN(x, y) est la solution modale etAeff vaut environ0,064µm2 pour un guide de500×220nm2 (simulation FimmWave [69]).
D’un point de vue énergétique, l’effet Kerr annihile des photons par paire pour en créer de nou- veaux instantanément (échelle de la femtoseconde) par paire également. Cette diffusion purement élastique est résumée par la relation impliquant les fréquencesν1, ν2des photons initiaux à celles ν3, ν4 des photons finaux : (ν1+ν2) = (ν3 +ν4). Dans le silicium, l’indice n2 est vraisemblable- ment [66]2 compris entre 3×10−18 et 14×10−18m2/W. En pratique, le coefficient non linéaire, défini comme3γk= 4nλA2effπ, permet d’estimer l’effet de la non-linéarité de manière plus intuitive. En
1. Une non-linéarité est dite d’ordren, lorsque la polarisabilité du milieu dépend de lanièmepuissance du champ élec- trique. Nous renvoyons au chapitre 2 de [68] pour une classification des non-linéarités.
2. Une incertitude demeure sur la valeur de l’indice non linéaire effectifn2. En effet, les mesures effectuées par différents groupes sont parfois en désaccord. Cela peut s’expliquer par la non/mal-prise en compte des autres effets non linéaires apparaissant dans les expériences ainsi que par une mauvaise estimation de l’aire effectiveAeff. Cette dernière n’est jamais mesurée dans les expériences reportées. Notons enfin que la mesure den2doit être réalisée dans un guide car c’est l’indice non linéaireeffectifqui est déterminant. L’effet de l’environnement ne peut a priori pas être négligé.
3. Notons que très souvent le paramètreγest défini comme la moitié du paramètreγkici introduit.
effet, le produitγk|A|2représente le gain maximal par instabilité de modulation en m−1[70]. L’évo- lution de l’enveloppe du champ dans un milieu Kerr et où tous les autres phénomènes peuvent être négligés est donnée par
∂A(z, t)
∂z =iγk
2 |A(z, t)|2A(z, t) (1.5)
L’effet Kerr est responsable de l’auto-modulation de phase, du mélange à quatre ondes et de la gé- nération de paires de photons. Ces différentes manifestations d’un même processus ont été étudiées théoriquement [71–74] et démontrées expérimentalement dans des guides en silicium [2,46,75–81].
Absorption à deux photons
L’absorption à deux photons est une absorption non linéaire qui résulte de la propriété semi- conductrice du silicium. Le gap indirect du silicium présente une énergie de 1,12 eV, par conséquent il est transparent aux longueurs d’ondes des télécommunications. Néanmoins, cette énergie est bien inférieure à celle de deux photons télécomh(ν1+ν2)>1,12eV. De manière analogue à l’effet Kerr, l’absorption à deux photons peut être vue comme une correction aux pertes par propagation dont l’ampleur dépend de l’intensité optiqueIet d’une constanteβtpa
α=α0+βtpaI (1.6)
Dans le silicium, l’indiceβtpa est vraisemblablement [66] compris entre0,44et0,9cm/GW. Il est commode de définir un coefficient non linéaireα2= βAtpaeff tel que le produitα2|A|2donne les pertes par propagation en W−1m−1. L’évolution de l’enveloppe du champ soumis exclusivement à l’absorption à deux photons est donnée par
∂A(z, t)
∂z =−α2
2 |A(z, t)|2A(z, t) ⇐⇒ |A(z, t)|2= |A(0, t)|−2+α2z−1
(1.7) et sature clairement la puissance transmise à travers un guide. L’absorption à deux photons crée en outre des paires électrons-trous. Nous montrons dans la section 1.1.4 que ces paires électrons-trous peuvent influer fortement la propagation.
Diffusion Raman
L’effet Raman décrit la diffusion inélastique de l’onde lumineuse avec les états de vibration du cristal de silicium. En général, ce mécanisme induit une perte d’énergie de l’onde en produisant un état de vibration, on parle du processus RamanStokes. Le mécanisme inverse est également possible, un photon peut absorber l’énergie de vibration et être converti en un de plus haute énergie, on parle de processus Ramananti-Stokes. Une caractéristique importante de l’effet Raman dans le silicium est que l’énergie échangée avec les phonons se fait suivant une distribution spectrale très étroite. La spectroscopie Raman du silicium [82] révèle une résonance marquée àΩr= 15,57THz dont la largeur à mi-hauteur vautΓr= 105±0,15GHz (à température ambiante). Le plus souvent en optique guidée, la description de l’effet Raman se borne à une description du transfert d’énergie entre une pompe à la fréquenceω0/2πet un signal à laω0/2π−Ωr[83, 84] :
d|As|2/Aeff ;s
dz =gr|Ap|2 Aeff ;p
|As|2
Aeff ;s avec gr= λ3s π~cn2s
2Sr
Γr(Nb(T,Ωr) + 1) (1.8) où les indicesp;ss’identifient aux faisceaux pompe et signal, oùgrest le coefficient de gain Raman valant7,4×10−10 W−1m à la température deT = 300K pour une efficacité de diffusion spontanée
S valant8,5×10−2 m/sr, avecΓrexprimée en unité de fréquence angulaire et la distribution de Bose-EinsteinNb(T, δω/2π) =
exp~kbδωT −1−1
. Des études récentes [66] reportent des valeurs pour gr comprises entre4,3 et76×10−11mW−1. A cette description en ondes couplées, nous préférons la description spectro-temporelle introduite par Kärtneret al.[85]. On peut en effet modéliser la réponse temporelle associée à la diffusion Raman par une oscillation harmonique amortie et causale (la causalité est explicitée par la fonction échelon de HeavisideΘ(t)) :
hr(t) = Ωr
pΩ2r−Γ2r sin 2πtp
Ω2r−Γ2r
e−πΓrtΘ(t) (1.9)
Dont la transformée de Fourierχr(ω)≡ Fω{h(t)}4est appelée la susceptibilité (réponse spectrale) Raman et est donnée par l’expression :
χr(δω) = Ωr
(Ω2r−34Γr2) +iΓr(δω/2π)−(δω/2π)2 (1.11) La partie imaginaire de cette expression est une Lorentzienne dont la largeur à mi-hauteur vaut Γr, séparée de l’origine par une valeurΩret d’amplitudeΓr. Il est intéressant de noter que des raies secondaires existent [82] mais ne sont en général pas prises en compte lors de la modélisation de la propagation en raison de leur faible amplitude relative. L’évolution de l’enveloppe du champ soumis exclusivement à la diffusion Raman peut alors être donnée par (pour un développement analogue, voir [86]) :
∂A(z, t)
∂z =iγr
2 Z t
−∞
h(t−t′)A∗(z, t′)A(z, t′)dt′A(z, t) oùγr=2grΓr
Aeff (1.12)
Enfin, notons que le gain Raman dépend de la polarisation des ondes pompe et signal et de l’orien- tation relative de la maille cristalline [83].
Remarques (a) : Nous pouvons tenir compte des trois effetsχ(3) grâce à une seule fonction de réponse temporelle
hk,r(t) = (−α2
2 +iγk
2 )δ(t) +iγr
2hr(t) (1.13)
Cette représentation met en évidence les trois paramètres importants que sont les pertes par TPA α2, le gain par instabilité de modulationγket le gain RamanIm{γr}.
Remarques (b) : Un quatrième processus χ(3) est présent dans le silicium mais n’a, à notre connaissance, jamais été observé dans des structures guidantes, il s’agit de la diffusion Brillouin [87–
89]. Celle-ci s’apparente fortement à la diffusion Raman.
1.1.4 Porteurs libres et température
Les porteurs libres sont exclusivement des paires électrons-trous (car le niveau de dopage du semi-conducteur est faible). Ces paires sont essentiellement générées par absorption à deux pho- tons. Les électrons portés dans la bande de conduction sont responsables de deux effets significatifs.
D’une part, ils modifient l’indice de réfraction (FCI pourfree-carrier-induced index change). D’autre
4. Nous prenons la convention que la transformée de FourierFωd’une fonctionf(t)est définie comme : Fω{f(t)}= 1
√2π Z∞
−∞
f(t) exp [−iωt]dt (1.10)
part, ces électrons peuvent être portés vers des états de plus haute énergie via l’absorption d’un photon supplémentaire (FCA pourfree-carrier absorption). Ces deux processus sont donc linéaires mais conditionnés à un processus non linéaire : l’absorption à deux photons. En ce sens, on peut par- ler de non-linéarité d’ordre cinqχ(5). La densité de porteurs libresNe(z, t)évolue au cours du temps et de la propagation en fonction de leur génération par TPA et de leur temps de vieτeff suivant la relation :
∂Ne(z, t)
∂t = βtpa
2A2eff~ω0|A(z, t)|4−Ne(z, t)
τeff (1.14)
La densité de porteurs à l’équilibre est donnée par le produit de la distribution de Fermi-Dirac par la densité d’états. Comme le bandgap est beaucoup plus grand que l’énergie thermique (1,12 eV contre2,5.10−2eV à 300 Kelvins), cette distribution se réduit à celle de Maxwell-Boltzmann et vaut 10−19ce qui conduit [90] à une densité de porteurs de1016cm−3.
Le temps caractéristique de recombinaisonτeff dépend du poids des différents mécanismes de re- combinaisons. Ces derniers sont liés aux propriétés intrinsèques du silicium mais aussi à celles extrinsèques telles que la pureté du matériau et ses défauts ; donc une nouvelle fois de la géomé- trie et de la fabrication du guide. Le transfert d’énergie associé aux trois différents mécanismes sont la création d’un photon, de phonons ou le transfert d’énergie cinétique à un électron (recom- binason Auger). Dans le silicium, le passage direct de la bande de conduction à celle de valence via uniquement l’émission n’est pas effective en raison du caractère indirect de cette transition.
La recombinaison peut également se faire en deux étapes grâce à un état inter-bande issu d’une impureté ou d’un défaut structurel (trap-assisted ou Shockley-Hall-Read recombination). Celle aux interfaces est analogue à la recombinaison Shockley-Hall-Read (SHR). Le mécanisme Auger (CE - coulomb enhanced - exitons) est le processus intrinsèque dominant (excepté si la densité de do- pant est extrêmement faible < 1016cm−3). Néanmoins, la recombinaison SHR (extrinsèque) est dominante dans les guides en silicium en raison de l’importance relative des surfaces. En effet, la densité surfacique de défaut est de [91]1011cm−2 pour des surfaces très propres (cela correspond à une densité volumique de plus de1016cm−3 pour des sections de guide de0,2×0.5µm2), elle domine donc la densité de dopant qui est, en général, comprise entre1012et1015cm−3 pour du si- licium pur (intrinsèque). Sans l’effet des surfaces, le temps de recombinaison serait de l’ordre de la microseconde pour un dopage de1015 cm−3[92]. Leur importance est d’autant plus marquée que la géométrie est si petite que les porteurs peuvent diffuser du centre du guide (là où ils sont générés) jusqu’aux surfaces [93].
Les valeurs deτeffsont comprises entre450ps [31] et 3 ns [94] pour des géométries similaires à celle des guides que nous considérons et jusqu’à plusieurs dizaines de nanosecondes [93] pour d’autres.
En outre, le temps de recombinaison dépend de la densité de porteurs et donc de l’intensité optique.
Pour des guides similaires à ceux que nous utilisons, ce temps évolue suivant [95] 5,3 10Ne 7 s (avecNe
en cm−3) soit5 ns pour une densité de porteurs de1016 cm−3.
Une étude récente [96] a également montré que des niveaux interbandes pouvaient peupler la bande de conduction via l’absorption successive et linéaire de deux photons. Ce phénomène ne se manifeste donc que lorsque la durée de l’impulsion optique est plus longue que celle de ce niveau interbande.
L’évolution d’une onde qui ne serait soumise qu’au seul effet des porteurs est donnée par
∂A(z, t)
∂z =−σ
2(1 +iµ)Ne(z, t)A(z, t) (1.15) oùσest le coefficient d’absorption des porteurs libres et vaut1,45×10−21m2[65], alors queµvaut 7,5 [33] (cette valeur dépend également de la densité de porteurs,7,5semble être un valeur plutôt
élevée [65]). Nous supposons ici que la densité de porteurs ne varie pas trop fortement de sorte que le temps de recombinaison soit fixé.
Nous avons vu que la génération des porteurs aussi bien que leur recombinaison fait intervenir des phonons, ceux-ci induisent potentiellement un échauffement du silicium dont il faut parfois tenir compte.
L’échauffement du silicium modifie son indice de réfraction et dilate le matériau. Dans les deux cas, cela augmente le chemin optique parcouru par le faisceau guidé. Ceci est particulièrement important lorsqu’il s’agit d’un faisceau confiné dans une cavité. Dans le silicium, la dilatation du matériau est négligeable devant la variation de l’indice de réfraction. En effet, celle-ci vaut κt = 1,8×10−4K−1[97] alors que la dilatation vaut2,6×10−6K−1. La variation d’indice de réfraction est donnée comme
∆n=κt∆T (1.16)
La variation de température dépend de la puissance optique absorbée Pa dans un volume V du guide, du temps de dissipation thermique [32]τt= 65ns [95] et du produit de la densité du matériau par sa capacité calorifiqueCρ= 1,6×10−22WsK−1m−3(2,3×10−31kgcm−3×705Jkg−1K−1) suivant l’expression [33] :
∂∆T
∂t =− Pa
V Cρ −∆T
τt (1.17)
oùPa/V =β2tpaI2=βtpa|A(z, t)|4/A2eff. La propagation lumineuse dans un guide uniquement soumis à la hausse de température induite par les différents mécanismes d’absorption non linéaires est donnée par
∂A(z, t)
∂z =i2π∆n
λ0 A(z, t) (1.18)
Comme pour les effetsχ(3), il est possible de tenir compte des effetsχ(5)grâce à une fonction de réponse temporellehfc(t). En intégrant les équations 1.14,1.16 et 1.17, nous obtenons
hfc(t) =−βtpaσ(1 +iµ) 4A2eff~ω0
exp
− t τeff
+iκt2πβtpa
A2effλ0Cρ
exp
−t τt
(1.19)
1.1.5 Propagation dans des guides en silicium : vue globale NLSg
L’évolution d’une onde qui serait soumise à tous les effets linéaires et non linéaires simultané- ment est donnée par une équation de Schrödinger non linéaire généralisée :
∂A(z, t)
∂z =
iβ2
2
∂2
∂t2−α0
2 + Z t
−∞
hk,r(t−t′)|A(z, t′)|2+hfc(t−t′)|A(z, t′)|4dt′
A(z, t) (1.20) Cette équation est compliquée : elle est différentielle suivant l’espace, différentielle suivant le temps, non linéaire d’ordre 3 et 5, et enfin elle décrit des processus sur 4 échelles temporelles très différentesτt≈1µs,τeff≈3ns,τr≈3ps, etτk.1fs. La résolution de cette équation peut se faire numériquement pour une condition initiale donnée grâce à la méthode ditesplit-step Fourier. En pratique, cette équation pourra souvent être simplifiée en négligeant certains termes et être résolue analytiquement.
Remarque : L’équation 1.20 est une description de l’enveloppe du champ se propageant suivantz.
Elle présente des limitations qu’il est important de garder à l’esprit. Dans les structures en silicium, le champ n’est pas purement transverse et donc le modèle n’est pas pleinement justifié. La prise en compte de cette particularité des guides sub-longueur d’onde a été effectuée par Truong [98]. Si cela
n’implique pas de nouvelle interaction, cela peut par contre impliquer de nouvelles manifestations des effets non linéaires déjà introduits. Par exemple, cela peut mener à une modification des courbes d’accord de phase (phase-matching).
Nous abordons maintenant deux cas pratiques en lien avec les expériences réalisées. Il s’agit de la propagation d’impulsions courtes et du mélange à 4 ondes.
1.1.6 Propagation : résolution de NLSg
Résolution numérique : split-step-Fourier
Dans les guides en silicium long deL= 1cm, les effet dispersifs significatifs sont attendus pour des durées d’impulsionsT0 de l’ordre de 100 fs puisqu’alors la longueur du guide est proche de la longueur de dispersionLD= |Tβ022|. Pour de telles distances et une non-linéarité Kerr d’environγk= 500W−1m−1, il faut une puissance de0,2W pour queLNL=LD. On peut enfin évaluer l’importance des porteurs grâce à une longueur non linéaireNNL;5= R
hf(t)|A(z, t)|4−1
où l’intégrale se fait sur la durée d’une impulsion. Si au moins deux de ces longueurs sont comparables, il est difficile, voir impossible, de résoudre l’équation 1.20 analytiquement. Dans ce cas, une méthode numérique peut être utilisée. Celle-ci, dénomméesplit-step-fourier, a été éprouvée dans le domaine de l’optique non linéaire dans des fibres optiques [70]. Elle ne nécessite que quelques ajustements pour tenir compte des non-linéarités propres au silicium.
La méthode consiste d’abord à découper la propagation en pas (step) et appliquer successivement les opérateurs liés à la dispersionDˆ et aux non-linéaritésNˆ :
∂A(z, t)
∂z =
D(z, t) + ˆˆ N(z, t)
A(z, t)⇒A(z+ ∆z) = e( ˆD+ ˆN)∆zA(z, t)≈eD∆zˆ eNˆ∆zA(z, t) (1.21) Notons que l’erreur commise par l’approximation dans 1.21 peut être drastiquement réduite en sy- métrisant la méthode (voir discussion en annexe E, en particulier l’équation E.2).
Afin d’appliquer l’exponentielle de l’opérateur dispersionD, nous passons d’une description tem-ˆ porelle à une description spectrale par une transformée de Fourier. Nous revenons ensuite dans le domaine temporel afin d’appliquer l’opérateur non linéaire. Nous obtenons donc
eD(∂ˆ 2/∂t2)∆z=F−1eD(ˆ −iω)∆zF (1.22) Auto-modulation de phase Un exemple nécessitant l’utilisation d’une telle méthode est la pro- pagation d’impulsions courtes dans un guide en silicium. Un effet bien connu lorsqu’une impulsion se propage dans un guide à non-linéarité Kerr est l’auto-modulation de phase. Comme son nom l’indique, il s’agit d’une modulation de la phase de l’onde induite par elle même. Ce phénomène survient lorsqu’une onde intense se propage dans un milieu Kerr. Au niveau microscopique, il est le résultat d’un processus dans lequel deux photons du faisceau initial sont convertis en deux pho- tons de fréquences différentes. Les relations de phase entre les photons créés et le faisceau initial conduisent in fineen une interférence constructive ou destructive. Certains se voient amplifiées alors que d’autres sont atténués.
L’auto-modulation de phase est décrite par une propagation dans un milieu Kerr [70], par consé- quent l’équation d’évolution est 1.5
∂A(z, t)
∂z = iγk
2 |A(z, t)|2A(z, t) ⇒ A(z, t) =A0(t) expiφNL(z, t) (1.23)
