état de l’art
Dans cette annexe nous comparons nos sources de paires de photons à plusieurs autres sources de paires de photons reportées dans la littérature. Nous comparons d’abord celle reposant sur un guide droit à des réalisations similaires utilisant des guides en silicium. Ensuite, nous comparons la source reposant sur le guide et celle reposant sur la cavité à une gamme plus large de sources de paires de photons reposant sur un processus paramétriqueχ(2)ouχ(3)dans un guide d’onde.
Génération de paires de photons dans des guides en silicium
Excepté notre étude, toutes les réalisations reportées [76, 115–119] dans des guides en silicium reposent sur un schéma de pompage impulsionnel. Cela rend la comparaison plutôt difficile car cela réduit la présence de bruit. En effet, au pic de la distribution spectrale de flux, la densité spectrale de flux est donnée par
f= 1 4γ
2
KP2L2τdc où τdc=τrepT0 (G.1) oùτdc est le duty cycle, c’est-à-dire le produit de la durée des impulsions T0 par leur taux de ré-pétitionτrep (pour des impulsions rectangulaires) ; τdc = 1 en régime continu. Dès lors, pour un même flux de photons générés, la puissance crête est nettement plus élevée en régime impulsion-nel. Comme la génération de paires croît quadratiquement avecP alors que le le flux parasite croît linéairement, ce régime permet une diminution relative du bruit. Notons toutefois que dans ce ré-gime, les pertes non linéaires peuvent devenir conséquentes, ce qui peut induire une réduction du rapport signal sur bruit.
Le tableau G.1 résume les paramètres clés des études réalisées par deux autres groupes : la collaboration entre l’université de Cornell et celle de Northwestern d’une part, et l’institut de re-cherche de NTT d’autre part. Dans les différentes réalisations, les paires de photons sont générées aux longueurs d’ondes des télécommunications (autour de 1550 nm) et tous les guides utilisés ont une longueur d’environ 1 cm. À côté de ces points communs, les trois groupes se distinguent par des régimes de pompage optique relativement différents. En outre, les bandes spectrales sur lesquelles les paires de photons sont collectées diffèrent également. Notons que ces bandes sont spectralement plus éloignées de la bande réservée au faisceau pompe que dans notre étude. Or, nous avons montré que c’est dans cette zone spectrale que se situe de bruit de photons. Il n’est donc pas étonnant de voir que le signal sur bruit est plus faible dans notre étude.
Nous comparons dans le tableau G.2 nos deux principales sources de photons (guide droit et cavité) aux deux principales sources de paires de photons aux longueurs d’ondes des télécommuni-cations : il s’agit des fibres optiques et des guides d’ondes PPLN.
Les guides d’ondes en Lithium de Niobate périodiquement polés (PPLN) présentent une non-linéaritéχ(2). À la différence des guides en silicium, il n’est pas possible de générer efficacement des paires de photons sans qu’une condition d’accord de phase y soit vérifiée. Le guide est alors polé périodiquement afin d’obtenir un quasi accord de phase. L’avantage manifeste de cette source est sa grande efficacité et l’absence de bruit de photon. Un désavantage est qu’elle est moins compatible avec les composants des télécommunications (laser en particulier) que ne le sont les sourcesχ(3). Par ailleurs, les guides en Lithium de Niobate ne permettent pas la création de circuits optiques complexes similaires à ceux réalisés grâce au matériau SOI.
Les sources fibrées reposent sur le même processus que celui que nous avons étudié. En effet, c’est la non-linéarité Kerr de la silice qui est exploitée. La différence essentielle par rapport aux guides en silicium est que la silice présente un spectre de diffusion Raman qui est large (15-20 THz) et qui n’est pas séparé spectralement de la fréquence de pompe. Néanmoins, la non-linéarité Raman s’annule pour les petits décalages fréquentielsω et ce plus rapidement que ne croît la population thermique de phonons1. Le bruit généré dans les fibres optiques a été étudié [113, 139]. Dès lors, nous pouvons comparer notre étude à une réalisation hypothétique équivalente qui serait effectuée avec une fibre optique. La figure G.1 présente une comparaison entre le bruit généré dans une fibre optique et celui généré dans un guide en silicium. Dans les deux cas, la dispersion est supposée telle que la densité spectrales de paires de photons corresponde au plateau de la fonction sinc (eq. 4.5) sur une largeur spectrale de 18 nm décalée de 2 nm par rapport à la fréquence de pompe. Les valeurs du produitγP Lsont identiques. Les valeurs déduites pour le guide en silicium résultent d’ajustements similaires2à ceux présentés dans la figure 3.7. La composante quadratique est identifiée au flux de paires produites alors que la composante linéaire est identifiée au flux de photons parasites. Pour la fibre, le bruit issu de la diffusion Raman dans la silice est déduit des expressions présentées dans la référence [113]. Dans cette gamme spectrale qui est la plus désavantageuse en terme de bruit généré dans le guide en silicium, la fibre génère 10 fois plus de bruit que le guide en silicium pour un même flux de paires de photons. Une étude purement expérimentale [118] corrobore notre analyse en montrant clairement la supériorité des guides en silicium sur les fibres optiques pour la génération de paires de photons.
1. Nous avons déjà discuté ce point suite à l’étude spectrale résumée par la figure 3.11 2. Les données de cette expériences sont reprises dans la référence [140].
F lu x de br u it de ph ot on s (H Flux de paires généré (Hz) 102 104 106 108 105 106 107 108
FIGUREG.1 – Comparaison bruit de photons : fibres en silice vs SOI. Flux de photons attribués au bruit en fonction du flux de paires générées dans le guide en silicium (bleu), et dans la fibre optique (noir).
[76, 115] [116, 119] [117, 118] [114] Section (nm2) 600×300 460×220 460×220 500×220
Longueur (mm) 9,1mm 10,9mm 11,5 11,2
Taux de répétitionτrep 50MHz 100MHz 100MHz /
Durée des impulsionsT0 5ps 90ps 90ps continu
Duty cycleτdc 2,5×10−4 9×10−3 9×10−3 1
Temps de détection n.c. 1,4ns/gate n.c. 50ns/gate Efficacité des détecteurs 0,2×0,2 0,1×0,1 0,1×0,1 0,1×0,1
Taux de déclenchement 781kHz 10−5MHz 100MHz 100kHz Probabilité de coups sombres 2 10−3/gate [1,4−3,2]10−5/gate [6−21]10−6/gate [1,4−3] 10−5/ns Pertes par filtrage (Stokes + anti-S.) 2 + 2dB 1 + 1,2dB 5,2 + 5,3dB 3,2 + 4,2dB
Pertes par couplage 11dB 4dB 2dB 8dB
Pertes à la propagation 1,1dB 3,1dB 1dB 4dB Pertes totalesa(Stokes + anti-S.) 2×13dB 6 + 6dB 7,2 + 7,3dB 11,2 + 12,2dB Efficacité de collection (S.×anti-S.)b 1,3 10−2
×1,3 10−2 2,5 10−2 ×2,5 10−2 1,9 10−2 ×1,9 10−2 6 10−3 ×7,6 10−3 Flux généré maxc 350 kHzd n.c. 7MHz 80MHz Puissance crête (mW) 200−1800 60 5−120 0,2−6 Largeur spectrale 1nm 0,2nm 0,2nm 18nm du filtrage
Ecartement spectral minimum 5nm 3,2nm [1,6−80]nm 1,5nm
SNR max 25 50 320 11,3
Luminosité max (nm−1s−1) 3,5 105 n.c. 3,5 107 4,4 106
TABLEG.1 – Génération de paires dans des guides en silicium : comparaison des différentes mises en évidences.
a. Les pertes totales n’incluent pas les pertes à la propagation.
fibre fibre refroidie guide PPLN guide PPLN guide SOI anneau SOI
[14] [118] [141] [142] [114] [114]
Taux de répétitionτrep 75MHz 100MHz / / / /
Durée des impulsionsT0 3ps 100ps c.w. c.w. c.w. c.w.
Duty cycleτdc 2,5×10−4
×10−2 1 1 1 1
Temps de détection 1ns n.c. n.c. continu 50ns/gate 50ns/gate
Efficacité des détecteurs 0,2×0,25% 0,10×0,1 0,1×0,1 n. c. 0,1×0,1 0,10×0,15
Taux de déclenchement 588kHz 100MHz n. c. continu 100kHz 100kHz
Probabilité de coups sombres [2,2−2,7] 10−3/gate [6−21]10−6/gate 22kHz/gate n.c. [5,6−4,4] 10−5/ns [1,4−3]10−5/ns Pertes par filtrage (S+a-S) 4.8 + 4,6dB 5 + 5,8dB n.c. 2×(3±0.5)dB 3,2 + 4,2dB 3,2 + 4,2dB
Pertes par couplage n.c. 0,5dB n.c. 5,2dB 8dB 7,5dB
Pertes par propagation n.c. 1dB n.c. 1dB 4dB /
Pertes totalesb(S+anti-S) ≈4,8 + 4,6dB 5,5 + 6,3dB n.c. 8,8 + 8,8dB 11,2 + 12,2dB 10,7 + 11,7dB Efficacité de collection (S.×anti-S.) 6,2 10−2 ×8,7 10−2 2,8 10−2 ×2,3 10−2 n.c. n.c. 6 10−3 ×7,6 10−3 13 10−3 ×7 10−3 Flux généré max 2,2MHz 8MHz 7,5MHz 4MHz 80MHz 0,6MHz Puissance (mW) 9000 n.c. <1µW 7mW 0,2−6mW 0,4mW Largeur spectrale 0,46nm 0,2nm / 10pm 18nm 0,9nm
du filtrage émission30nm émission150pm
Ecartement spectral minimum 9nm 3,2nm / 2nm 1,5nm 12nm
SNR max 25 70 n.c.c n.c. 11,3 32
Luminosité max (nm−1s−1) 4,8 106 4 107 5 105 3,9 108 4,4 106 4 106
TABLEG.2 – Génération de paires dans des guides d’ondes : comparaison a. Cette première démonstration produit des photons à une longueur d’onde de 1314 nm
b. Les pertes totales n’incluent pas les pertes à la propagation.
Annexe H
Notations
ˆ
a,ˆa† opérateurs d’annihilation, création de photons
A(z, t) enveloppe lentement variable du champ électrique (en W1/2; voir éq. 1.1)
ˆ
A(z) opérateur d’enveloppe lentement variable (voir 1.45 + redéfinition)
Aeff section modale efficace (voir éq. 1.4 ;0,064µm2)
α pertes à la propagation en (en m−1)
α0 pertes linéaires à la propagation (en m−1, 55/m)
b(z, ω) perturbation spectrale à la pulsationωde la solution continue propagative suivantzde l’équation NLS
βtpa coefficient d’absorption à 2 photons (4,4−9×10−12m/W)
β(ω) nombre d’ondeβ(ω) = ω c′(ω)
βi iièmeordre de dispersion :βi=h∂i∂ωβ(ω)i i
ω=ω0 β0 constante de propagation (en rad/m)[β(ω)]ω=ω0
β1 inverse de la vitesse de groupe (en rad.s/m)h∂β(ω) ∂ω
i
ω=ω0 β2 dispersion de la vitesse de groupe (en s2/m)h∂2β(ω)
∂ω2
i
ω=ω0 ca nombre de coïncidences accidentelles
cp nombre de coïncidences attribuables aux paires de photons
Cρ produit capacité calorifique×densité (1,6×10−23K−1m−1sW)
χ(3) non-linéarité du3ièmeordre
χ(5) non-linéarité du5ièmeordre
χr fonction de réponse spectrale (susceptibilité) Raman (voir éq. 1.11)
F finesse de cavité
γe probabilité de génération de photons par unité de temps
γk non-linéarité Kerr (en W−1m−1)
γk,tpa non-linéarité instantanée (kerr + tpa ; en W−1m−1)
γr non-linéarité Raman (voir sec. 1.1.3 ; en W−1m−1)
Γr largeur à mi-hauteur de la lorentzienne Raman (voir sec. 1.1.3, 105 GHz)
gr gain Raman (voir sec. 1.1.3 ;4,3−76×10−11m/W)
hr fonction de réponse temporelle Raman (voir sec. 1.1.3)
hk,r fonction de réponse globale du3ièmeordre (Kerr+Raman+TPA)
hfc fonction de réponse porteurs
κt coefficient de changement d’indice de réfraction avec la température (1,8×10−4K−1)
µ rapport entre la FCI et la FCA
λ(z, δω) gain par instabilité de modulation (voir 1.26)
˜
N Solution modale a-dimensionnée N Solution modale= ˜N(µ0/ǫ0)1/2
2n0Aeff
1/2
Ne Densité de porteurs libres
Nb(T, δω) distribution de Bose-Einstein
n indice de réfraction du silicium n˛ nombre de photons
n0 indice de réfraction linéaire du silicium (3,45)
n2 indice de réfraction non linéaire (3−14×10−18 m2/W)
ω0 pulsation de la porteuse de l’enveloppeA(z, t)(en rad.Hz ; voir éq. 1.1)
Ωr fréquence de résonance Raman (15,57 THz)
ps,a probabilité de détection de photon Stokes (s) et anti-Stokes (a) durant un intervalle de tempsτb
pts,a probabilité de détection par unité de temps
Sr efficacité de diffusion Raman spontanée (8,5×10−2m/sr)
τeff tau effectif de recombinaison (1−5ns)
τt taux de dissipation thermique
τr temps de la réponse Raman (3 ps)
τk temps de la réponse Kerr (fs)
τb intervalle d’échantillonnage temporel outime-bin
τdk taux de coups sombres
t le temps (parfois le temps translatét−zc)
T température (en K)
T0 durée d’une impulsion, en général la largeur de l’enveloppe gaussien de l’enveloppe du champ (e−t2/2T0, en secondes)
ˆ
U Hamiltonien de propagation linéaire dans un guide dispersif
ˆ
Uk Hamiltonien non linéaire Kerr
vg vitesse de groupe (en m/s)
z la variable de position le long de l’axe de propagation (en m) ———————————————————————————————
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