HAL Id: hal-00572721
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Contribution à la modélisation des interférences dans les
systèmes cellulaires
Benoît Pijcke
To cite this version:
Benoît Pijcke. Contribution à la modélisation des interférences dans les systèmes cellulaires : Appli-cation à l’optimisation des débits. Sciences de l’ingénieur [physics]. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, 2010. Français. �NNT : 2010VALE0054�. �hal-00572721�
N° d'ordre: 10-50
THÈSE
présentée à
l'université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis
pour l'obtention du grade de
DOCTEUR ÈS SCIENCES
Discipline : micro- et nanotechnologies, acoustique et télécommunications Spécialité : électronique
École doctorale : sciences pour l'ingénieur (072)
par
Benoit Pijcke
Contribution
à
la modélisation des interférences dans les
systèmes cellulaires. Application
à
l'optimisation des débits.
soutenue le 14 décembre 2010 devant le jury composé de
Rapporteurs M. Gilles Burel M. Jean-François Diouris Examinateurs M. François-Xavier Coudoux M. Bernard Cretin M. David Dereudre M. Jérôme Louveaux Co-encadrante
Mme Marie Zwingelstein-Colin
Directeur de thèse
M. Marc Gazalet
Professeur, université de Bretagne occidentale
Professeur, École polytechnique de l'université de Nantes
Professeur, université de Valenciennes
Professeur, École nationale supérieure de mécanique et des microtechniques de Besançon
Maitre de conférences, université de Valenciennes Professeur, université catholique de Louvain
Maitre de conférences, université de Valenciennes
N° d'ordre: 10-50 THÈSE
présentée à
l'université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis
pour l'obtention du grade de
DOCTEUR ÈS SCIENCES
Discipline: micro- et nanotechnologies, acoustique et télécommunications Spécialité : électronique
École doctorale : sciences pour l'ingénieur (072)
par
Benoit Pijcke
Contribution
à
la modélisation des interférences dans les
systèmes cellulaires. Application
à
l'optimisa
t
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n
d
es
débit
s
.
soutenue le 14 décembre 2010 devant le jury composé de
Rapporteurs M. Gilles Burel M. Jean-François Diouris Examinateurs M. François-Xavier Coudoux M. Bernard Cretin M. David Dereudre M. Jérôme Louveaux Co-encadrante
Mme Marie Zwingelstein-Colin
Directeur de thèse
M. Marc Gazalet
Professeur, université de Bretagne occidentale
Professeur, École polytechnique de l'université de Nantes
Professeur, université de Valenciennes
Professeur, École nationale supérieure de mécanique et des microtechniques de Besançon
Maitre de conférences, université de Valenciennes Professeur, université catholique de Louvain
Maitre de conférences, université de Valenciennes
Introduction générale
1 Communications sans fil point à point
1.1 Mécanismes de propagation des ondes électromagnétiques 0 1.2 Étude du phénomène des évanouissements 0 0 0 0 0 0 0
l.2o1 Évanouissements à grande échelle 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l.2ol.1 Modèle de propagation en espace libre 0 1.201.2 Modèles déterministes 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.201.3 Modèle simplifié du gain en puissance du canal
1.201.4 Effet masque 0 0 0 0 0 0 0 10202 Évanouissements à petite échelle
1.20201 Approche déterministe
1.20202 Approche statistique 0 0 0
103 La capacité comme mesure de performance du canal sans fil
1.301 Transmission fiable de l'information
1.302 Connaissance de l'état du canal
1.303 Capacité dans le cas CSIR 0 0 0 0 l.3o3o1 Canal à évanouissements lents
l.3o3o2 Canal à évanouissements rapides
l.3o4 Capacité dans le cas full-CSI 0 0 0 0 0 0 0 0 103.401 Canal à évanouissements lents
1.3.402 Canal à évanouissements rapides
1.4 Conclusion 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 7 9 9 9 12 13 14 16 17 22 25 25 26 26 27 28 30 30 31 32
iv
2 Allocation des ressources dans les systèmes cellulaires 33
35 35 36 37 37 38 38 39 40 43 43 2.1 Communications sans fil monocellulaires . . . .
2.1.1 Du réseau cellulaire à la voie descendante au sein d'une cellule 2.1.2 Diversité multiutilisateurs . . . .
2.1.3 La capacité somme comme mesure de performance 2.1.3.1 Région de capacité et capacité somme 2.1.3.2 Capacité somme dans le cas CSIR .. 2.1.3.3 Capacité somme dans le cas full-CSI
2.2 Allocation des ressources . . . 2.2.1 Approche traditionnelle
2.2.2 La tendance actuelle :vers une meilleure efficacité spectrale 2.2.2.1 Description du problème . . . .
2.2.2.2 FFR: une technique de réduction des interférences entre cellules 44
2.2.3 Gestion centralisée . 46
2.2.4 Gestion distribuée . 48
2.3 Une stratégie distribuée qui optimise le débit somme 49
2.3.1 Modèle de réseau . . . 49
2.3.2 Partage équitable des ressources 50
2.3.3 Contrôle de puissance . . . 50
2.3.4 Ordonnancement optimal . . . . 53
2.4 Modèles existants pour les interférences entre cellules 54
2.5 Conclusion . . . 56
3 Interférences en présence d'évanouissements à petite échelle 57
3.1 Contexte de travail . . . 58
3.1.1 Topologie du réseau 58
3.1.2 Modèle de canal. . . 59
3.1.3 Scénarios de réutilisation des ressources 61
3.2 Caractérisation de la puissance d'interférence . 63
3.2.1 Définition . . . 63
3.2.2 Influence de l'ordonnancement et du contrôle de puissance 63
3.3 Effet des évanouissements à petite échelle sur la puissance d'interférence 65
3.3.1 Approximation originale 65
3.3.2 Développement analytique 66
3.3.3 Comparaisons et conclusions . 68
v
3.3.3.2 Scénario FR1 70
3.3.3.3 Scénario FR3 71
3.4 Conclusion . . . 73
4 Interférences en présence d'évanouissements à petite échelle et d'effet masque 75
4.1 Estimation de l'histogramme . . . 76 4.1.1 Considérations générales . . . 77
4.1.2 Analyse de la contribution d'un seul perturbateur. 80
4.1.2.1 Formule analytique pour une seule voie 80
4.1.2.2 Nécessité d'une approche innovante 81
4.1.2.3 Méthode originale . . . 83
4.1.3 Contribution de l'ensemble des perturbateurs 86
4.1.3.1 Où il est (à nouveau) question de moments 88
4.1.3.2 Méthode Monte Carlo-panel 88
4.1.3.3 Résultats . . . 92
4.2 Modélisation de l'histogramme . 92
4.2.1 Modèle proposé: distribution de Burr modifiée 92
4.2.2 Résultats . . . 97 4.2.2.1 Lois pour les paramètres de la distribution de Burr modifiée 97
4.2.2.2 Loi empirique pour l'amplitude de troncature . 102
4.3 Conclusion . . . 104
5 Optimisation des débits dans les réseaux cellulaires 105
5.1 Considérations préliminaires 106
5.1.1 Notations utilisées . . 106
5.1.2 Capacité ergodique... . 106
5.1.3 ... d'un utilisateur mobile. 108
5.1.4 Intérêt des méthodes proposées 112
5.1.5 Conditions de simulation . . . . 113
5.2 Environnement sans contrôle de puissance 113
5.2.1 Capacité ergodique en fonction du gain en puissance moyen direct 114 5.2.2 Capacité ergodique en fonction du gain en puissance instantané direct . 115 5.3 Impact du contrôle de puissance . . . 118 5.3.1 Contrôle de puissance basé sur le gain en puissance instantané direct. 121 5.3.2 Contrôle de puissance basé sur le gain en puissance moyen direct . 122 5.3.3 Puissance limitée à l'émission . . . 128
vi
5.4 Conclusion . . . 129
Conclusions et perspectives 131
A Distribution log-normale 135
Al Définitions . . . 135
A.2 Modélisation de l'effet masque 136
B Modèle équivalent bande de base 139
C Loi de probabilité du gain d'interférence pour un perturbateur 141
D Moments de la distribution du gain d'interférence pour un perturbateur 143
D.l Variable aléatoire étudiée . . . 143
D.2 Expression générale du moment d'ordre k 144
D.3 Tableau des moments . . . 144
E Moments de la distribution du gain d'interférence pour plusieurs perturbateurs 147
E.l Expression générale du moment d'ordre k 147
E.2 Calcul de moments particuliers. 149
E.2.1 Moyenne . . . 149
E.2.2 Moment d'ordre 2. 149
E.2.3 Variance . . . 150
E.3 Tableaux des moments pour les scénarios FRl et FR3 . 150
F Facteurs correctifs de la méthode Monte Carlo-panel 153
F.l Description du problème . . 153
F.2 Calcul des facteurs correctifs 154
G Distribution de Burr modifiée 157
Bibliographie 159
Liste des tableaux
1.1 Valeurs type du coefficient d'affaiblissement y . . . 1.2 Paramètres physiques principaux du canal sans fil
1.3 Types de canaux sans fil et propriétés de définition
3.1 Gains Àn . . . · · ·
4.1 Illustration du phénomène de troncature de la fonction de répartition
4.2 Implémentation par décade de la méthode de l'inverse généralisée à partition 14 21 22 69 83 non uniforme . . . 86 4.3 Paramètres des lois empiriques des paramètres de la distribution de Burr
modifiée . . . 102 4.4 Paramètres des lois empiriques de l'amplitude de troncature (scénarios FR1
et FR3) . . . . 5.1 Valeurs numériques des paramètres utilisés dans les simulations .. 5.2 Synthèse des résultats de performance de la technologie FFR . D.1 Moments du gain d'interférence pour un seul perturbateur E.1 Moments du gain d'interférence (scénario FRl)
E.2 Moments du gain d'interférence (scénario FR3)
102 113 125 145 151 152
Table
des figures
1.1 Évanouissements à grande échelle et évanouissements à petite échelle 1.2 Illustration des mécanismes de propagation .
1.3 Représentation vectorielle schématique des interférences constructives et destructives . . . .
1.4 Le canal sans fil décrit par un système linéaire variant dans le temps 1.5 Diagramme schématique d'un système de communication
1.6 Allure de la densité de probabilité de log2 ( 1 + 1 hl2
· SNR) . 1. 7 Modèle à évanouissements par bloc . .
1.8 Stratégie de type waterfilling temporel
6 8 17 18 25 27 29 31 2.1 Cellules et stations de base d'un réseau cellulaire . . . 36 2.2 Illustration du phénomène des interférences entre cellules dans un système
cellulaire . . . . 2.3 Illustration du concept de réutilisation fréquentielle
2.4 Principe de la méthode FFR . . . . . . . 2.5 Illustration de l'intérêt de la méthode FFR
2.6 Structure de la trame et matrice d'ordonnancement des utilisateurs 3.1 Topologie du réseau cellulaire hexagonal à dix-neuf cellules . 3.2 Deux scénarios de réutilisation fréquentielle (FRl et FR3) . .
41 42 45 46 51 59 62
3.3 Symétrie de rotation et symétrie axiale du réseau hexagonal . 67
3.4 Densité de probabilité du gain d'interférence pour le perturbateur le plus proche 70 3.5 Densité de probabilité du gain d'interférence pour le perturbateur le plus éloigné 71
x 3.6 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
Densité de probabilité du gain d'interférence pour le scénario FR1 . 72 Densité de probabilité du gain d'interférence pour le scénario FR3 . 72 Principe de la méthode de l'inverse généralisée de la fonction de répartition . 80 Allure de la fonction de répartition du gain d'interférence pour une voie en présence d'effet masque important . . . 82 Principe de la méthode de l'inverse généralisée de la fonction de répartition à partition non uniforme . . . 84 Illustration de l'implémentation par décade de l'inverse généralisée à partition non uniforme . . . 85 Famille de densités de probabilité du gain d'interférence (une seule voie perturbatrice) . . . .
Illustration du principe de la méthode Monte Carlo-panel .
87 91 Famille de densités de probabilité du gain d'interférence pour le scénario FR1 . 93 Famille de densités de probabilité du gain d'interférence pour le scénario FR3 . 94 Lois empiriques des paramètres de la distribution de Burr modifiée
(scénario FR1) 98
4.10 Lois empiriques des paramètres de la distribution de Burr modifiée
(scénario FR3) 99
4.11 Comparaison des histogrammes MCP et des densités de probabilité de la distribution de Burr modifiée (scénario FR1) . . . 100 4.12 Comparaison des histogrammes MCP et des densités de probabilité de la
distribution de Burr modifiée (scénario FR3) . . . 101 4.13 Loi empirique de l'amplitude de troncature en fonction du paramètre de
feuillage (scénario FR1) . . . 103 4.14 Loi empirique de l'amplitude de troncature en fonction du paramètre de
feuillage (scénario FR3) . . . 103 5.1 Gain direct et gain croisé .
5.2 Surface circulaire équivalente d'une cellule hexagonale
5.3 Allures des densités de probabilité des gains en puissance directs 5.4 Point de croisement des capacités ergodiques Cerg,FRI et Cerg,FR3 .
5.5 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain 107 109 111 112
xi
5.6 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain en puissance moyen direct (sans contrôle de puissance et effet masque important) . . . 117 5. 7 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain
en puissance instantané direct (sans contrôle de puissance et effet masque nul) 119 5.8 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain
en puissance instantané direct (sans contrôle de puissance et effet masque important) . . . 120 5.9 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain
en puissance instantané direct (contrôle de puissance et effet masque nul) . . . 123 5.10 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du
gain en puissance instantané direct (contrôle de puissance et effet masque important) . . . 124 5.11 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain
en puissance moyen direct (contrôle de puissance et effet masque nul) . . . 126 5.12 Capacités ergodiques et rapport des capacités ergodiques en fonction du gain
en puissance moyen direct (contrôle de puissance et effet masque important) . 127 5.13 Capacités ergodiques avec contrôle de puissance sans contrainte de puissance
Notations
lettre grecque signification page
a paramètre de forme de la loi de Burr 96
f3 paramètre d'échelle de la loi de Burr 96
y coefficient d'affaiblissement l3
TJ paramètre de forme de la loi de Burr modifiée 96
À longueur d'onde 10
Àn moyenne de Gpl,n (rn) 66
J.lk moment non centré d'ordre k du gain d'interférence 78
pour un perturbateur
Vk moment non centré d'ordre k du gain d'interférence 88
pour plusieurs perturbateurs
ç
constante de conversion ln -dB, égale à 10 /ln ( 1 0) 15Pn facteur d'ajustement de la puissance 51
a dB paramètre de feuillage 16
ct> (x) fonction de répartition de la loi normale 11
lettre latine signification page
APn station de base n 49
B puissance de bruit 54
xiv Index des notations
lettre latine signification page
Cc capacité de panne à c % 28
Cerg capacité ergodique 29
Cerg ' H' • 0 Cerg ' H' pl,O Cerg fonction de H~, Cerg fonction de H' p, 10 115, 114
Csum capacité somme 37
c vitesse de la lumière 10
Cff JY (J.l,
0"2)
loi normale complexe circulaire de moyenne J.l et 23 d'écart-type aDs bande d'étalement Doppler 20
do distance en champ lointain 11
df champ lointain, région de Fraunhofer 11
dréf distance de référence 61
Fx(X) fonction de répartition de la v. a. X
FR1, FR3 scénarios de réutilisation fréquentielle 62,62
f,fc fréquence porteuse 60, 10
fr
facteur de réutilisation fréquentielle 41G gain d'interférence 65
Gn gain en puissance instantané normalisé approché 66, 78
Gn (rn) gain en puissance instantané (croisé) normalisé 61
Gf,n composante aléatoire du gain en puissance, due aux 65
évanouissements à petite échelle
Gfs,n• G~s.n produit Gf,n · Gs,n. produit G~.n · G~.n 108
Gs,n composante aléatoire du gain en puissance, due à 77
l'effet masque
Gpl,n (rn) gain en puissance moyen (croisé) normalisé 61
g vecteur d'amplitudes de gain 84
gt amplitude de troncature (loi de Burr modifiée) 96
H(r),HnCrn) gain en puissance instantané (croisé) (non 14,60 normalisé)
H~ (r~) gain en puissance instantané direct (non normalisé) 106
Hp! (r), Hp!,n (rn) gain en puissance moyen (croisé) (non normalisé) 11,60
H' pl,n (r') n gain en puissance moyen direct (non normalisé) 106
1 puissance d'interférence 54
i.i.d. indépendant et identiquement distribué
Index des notations xv
lettre latine signification page
,$ nombre d'intervalles imposés (méthode MCP) 90
K constante égale à ( c 1 ( 4n ·
f
·do ))2 13k paramètre de forme de la loi de Burr 96
log-fi (J.L, u2) loi log-normale de paramètres J.l et u 15
M nombre de voies forcées (méthode MCP) 89
MCP méthode Monte Carlo-panel 89
N nombre de perturbateurs 60
f i (p,u2
) loi normale de moyenne J.l et d'écart- type u 15
No densité spectrale du bruit blanc 26
p nombre de points par intervalle (méthode MCP) 84
Pmax puissance maximale 128
Pn, Pt,n• Pt puissance transmise par AP n 63,10
Pn Pr,n puissance utile reçue par UT ou UT n 10,52
p* puissance demandée par un utilisateur 52
p vecteur de probabilités associées à g 84
Pout probabilité de panne 27
px_(x) densité de probabilité de la v.a. X
Q(x) fonction d'erreur complémentaire de la loi normale 81
R,Rk débit, débit de l'utilisateur k 27,37
rn distance entre UTo etAPn 51
r' n distance entre UTn etAPn 106
Tc temps de cohérence 20
Tct étalement du temps de propagation 20
UTn, Un utilisateur n 49,51
v. a. variable aléatoire
w
largeur de bande, bande de fréquences 18Remerciements
Les travaux présentés dans cette thèse de doctorat ont été réalisés au sein du laboratoire d'opto-acousto-électronique (O.A.E.) de l'Institut d'électronique, de microélectronique et de nanotechnologie (I.E.M.N.) de l'université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis (U.V.H.C.). Ces travaux de recherche sont le résultat d'un projet qui me tenait à cœur et auquel plusieurs personnes ont contribué.
Je remercie tout d'abord Marc Gazalet, mon directeur de thèse, de m'avoir guidé, conseillé, encouragé tout au long de ces années, ainsi que Marie Zwingelstein-Colin, co-encadrante de cette thèse, de m'avoir accompagné au quotidien. Qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde gratitude pour leur soutien désintéressé et inconditionnel.
Je remercie Gilles Burel et Jean-François Diouris d'avoir accepté de juger la qualité de mes travaux en tant que rapporteurs. Je leur exprime ma sincère reconnaissance pour leurs encouragements.
Je remercie Bernard Cretin de m'avoir fait l'honneur de présider le jury final, ainsi que François-Xavier Coudoux, David Dereudre et Jérôme Louveaux d'avoir accepté la tâche d'examinateur. Je leur sais gré de leurs remarques et conseils avisés lors de la soutenance.
Je suis également redevable aux membres permanents de l'équipe Traitement numérique du signal et de l'image (T.N.S.I.) du groupe Communications numériques (COMNUM) de l'I.E.M.N., Patrick Corlay et Mohamed Gharbi, d'enrichissantes discussions scientifiques. J'associe à ces remerciements les membres non-permanents dont j'ai croisé le chemin : Anne-Sophie, Charlène, Christophe, David, Kahena et Marie.
Pour des raisons plus variées mais non moins importantes, je tiens à remercier tous les membres du laboratoire O.A.E. et, notamment, les secrétaires pour leur aide dans les démarches administratives. Ont également participé à la réussite de cette entreprise de
xviii Index des notations
longue haleine Boudali, Farouk, Faysal, Hamid et Mustapha. Et je ne saurais oublier Étienne et lmade, pour les moments forts que nous avons passés ensemble.
Enfin, que soient remerciés ici également mes parents et mes frère et sœurs.
Et, bien sûr, les plus importants, Céline, Clémence, Basile et Joséphine- avec tout mon amour.
Introduction générale
T
OUS LES SYSTÈMES DE COMMUNICATION SANS FIL ont ceci en commun que la puissanceproduite par chaque émetteur se propage dans l'espace, sur des distance plus ou moins importantes. De ce fait, lorsque les émetteurs utilisent les mêmes ressources temporelles et fréquentielles, le signal reçu par un utilisateur est perturbé par les signaux destinés aux autres utilisateurs du système. On qualifie ces perturbations d'interférences. Pour combattre
ce phénomène, la solution la plus efficace consiste à effectuer un contrôle centralisé de
l'ensemble des ressources du système. Toutefois, cette solution est difficile à mettre en œuvre en raison de la quantité énorme d'informations que doit gérer l'entité centrale. C'est pourquoi on se tourne vers une approche distribuée d'attribution des ressources, approche
adoptée par la plupart des systèmes sans fil actuels (systèmes cellulaires, réseaux cognitifs, réseaux ad hoc ... ).
Le travail que nous présentons dans cette thèse se situe dans le cadre de réseaux cellulaires où le partage de la ressource fréquentielle entre différents utilisateurs est géré de manière décentralisée. Dans ce contexte, l'objectif que nous poursuivons est une contribution à une meilleure prise en charge des interférences. À cet égard, nous nous intéressons à l'étude de la puissance d'interférence subie par un utilisateur mobile dans sa cellule.
En rapport avec cet objectif, nous apportons trois contributions. Notre première contribution concerne la modélisation de la puissance d'interférence dans un environnement où les phénomènes de propagation considérés sont l'affaiblissement de parcours (path loss) et les évanouissements à petite échelle (fading). Nous énonçons
et validons tout d'abord une approximation originale qui consiste à admettre que l'effet des variations aléatoires de l'affaiblissement de parcours dans le calcul de la puissance
2 Introduction générale
d'interférence est négligeable par rapport à l'effet des fluctuations des évanouissements à petite échelle. Tenant compte de cette approximation, nous pouvons alors formuler une expression analytique explicite de la loi de probabilité de la puissance d'interférence.
Notre deuxième contribution est le développement d'une méthode semi-analytique qui permet d'aboutir à une très bonne estimation de la loi de probabilité (histogramme) de la puissance d'interférence dans un environnement de propagation où sont pris en compte simultanément l'affaiblissement de parcours, les évanouissements à petite échelle et le phénomène d'effet masque (shadowing).
Partant des résultats obtenus grâce à cette deuxième contribution, nous apportons une troisième contribution relative à la modélisation de la puissance d'interférence. Pour cela, nous développons une nouvelle loi de probabilité à quatre paramètres à partir d'une distribution connue et nous obtenons un modèle statistique paramétré par le facteur qui caractérise l'importance de l'effet masque.
Nous montrons enfin l'intérêt des méthodes proposées dans le cadre de l'estimation de performances d'une technique particulière de réduction de l'interférence (FFR).
Le travail est organisé en cinq chapitres. Dans un premier chapitre bibliographique, nous présentons les principes généraux d'une communication sans fil entre un émetteur et un récepteur (communication point à point). Dans notre description des phénomènes physiques de propagation, nous insistons particulièrement sur le phénomène des évanouissements. Nous donnons ensuite un aperçu des mesures de performance des systèmes sans fil.
Dans un deuxième chapitre bibliographique, nous nous penchons sur l'allocation des ressources au sein des systèmes cellulaires et nous traitons plus particulièrement la problématique de l'attribution du spectre fréquentiel au sein des réseaux cellulaires. Nous décrivons également deux approches possibles pour l'allocation des ressources : les approches centralisée et distribuée. Dans le cadre de cette deuxième approche, nous présentons une technique d'allocation opportuniste optimale sous certaines hypothèses, technique qui sera utilisée dans les développements présentés dans les chapitres suivants.
Le troisième chapitre est consacré à notre première contribution. Nous étudions la puissance d'interférence dans la voie descendante d'un système cellulaire en présence d'évanouissements à petite échelle. Grâce à une approximation originale, nous déduisons une expression analytique de la loi de probabilité de la puissance d'interférence.
Dans le quatrième chapitre, nous développons les deux contributions suivantes. Ici, le phénomène d'effet masque est introduit en complément du phénomène des évanouissements à petite échelle. Dans une première partie, nous proposons une méthode semi-analytique permettant de construire de manière précise les histogrammes de la
Introduction générale 3
puissance d'interférence. Dans une deuxième partie consacrée à la modélisation statistique des histogrammes, nous développons une nouvelle loi de probabilité à quatre paramètres, loi paramétrée par le facteur qui caractérise l'importance de l'effet masque.
Dans le cinquième chapitre, nous mettons en évidence l'intérêt des méthodes et résultats originaux proposés au moyen d'une application où nous analysons les performances d'une technique particulière de réduction de l'interférence (FFR).
1
Cpmmunications sans fil point
à
point
D
ANS CE PREMIER CHAPITRE, nous présentons les principes généraux sous-jacents à une communication sans fil entre une antenne de transmission et une antenne de réception - on parle de communication sans fil point à point. Ce chapitre répond auxdeux objectifs suivants :il s'agit, d'une part, de fournir une information détaillée à propos des phénomènes physiques qui régissent les communications sans fil - en particulier, le phénomène des évanouissements- et, d'autre part, de donner un aperçu des mesures de
performance des systèmes sans fil.
Le premier objectif de ce chapitre est de fournir au lecteur une description des paramètres physiques d'une communication sans fil. Nous serons amené à décrire les mécanismes de propagation des ondes radio et nous accorderons une place de choix à l'étude du phénomène des évanouissements inhérents à toute communication par onde radio. Les évanouissements (fading) sont l'un des aspects fondamentaux des
communications sans fil. Ils traduisent les variations de la puissance instantanée du signal en réception en fonction de la position du récepteur et de la fréquence et peuvent être divisés en deux catégories : les évanouissements à grande échelle (large-scale fading) et les
évanouissements à petite échelle (small-scale fading). La figure 1.1 illustre ces phénomènes.
Les évanouissements à grande échelle ont pour origine deux causes. La première est la dissipation, dans le milieu de propagation, de la puissance rayonnée par l'émetteur; on qualifie ce phénomène d'affaiblissement de parcours 1
. La deuxième cause est la présence,
entre l'émetteur et le récepteur, d'obstacles qui atténuent la puissance du signal en réception; on parle alors d'effet masque2• Ce phénomène des évanouissements à grande échelle ne dépend que très peu de la fréquence du signal et ses variations se manifestent
l. On le qualifie parfois d'atténuation en fonction de la distance.
6 \ ~ ' \ \ \ '\\ •. \, •'"·
Communications sans fil point à point
·--... ...,.
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'·\.;...,
\
\, ···-, \: . ..:...·:-...,._~...:·;."":"- -~ -:-... rFIG. 1.1-Évanouissements à grande échelle et évanouissements à petite échelle. L'abscisse r représente la distance entre l'émetteur et le récepteur et l'ordonnée Prest la puissance reçue.
de façon significative lorsque le récepteur mobile se déplace sur des distances assez importantes. Il concerne plutôt la planification des systèmes sans fil où il s'agit de répondre à la question de savoir où placer les antennes de manière à couvrir le nombre le plus grand d'utilisateurs.
S'agissant des évanouissements à petite échelle, ils caractérisent les fluctuations rapides de l'amplitude du signal radio sur des distances de l'ordre de la longueur d'onde du signal. Ils sont causés par les interférences entre deux ou plusieurs répliques du signal transmis qui arrivent au récepteur à des instants légèrement espacés. Les signaux reçus ont parcouru des trajets différents et se combinent à l'antenne de réception de manière constructive (répliques en phase) ou destructive (répliques en opposition de phase) pour donner un signal qui peut varier fortement en amplitude et en phase. Ce phénomène à petite échelle doit être pris en compte lors de la conception de systèmes de communication sans fil.
Le phénomène des évanouissements des canaux radio mobiles est complexe et la modélisation de ce phénomène est une tâche cruciale dans l'étude des communications sans fil. Il est possible, et même souhaitable pour certains environnements de propagation particuliers, d'utiliser une méthode déterministe pour modéliser le canal sans fil. Mais un modèle déterministe n'est pas souvent reproductible d'un site à un autre. C'est pourquoi l'approche statistique est la plus courante [Goldsmith (2005) ]. Dans notre étude, nous
Mécanismes de propagation des ondes électromagnétiques 7
ferons usage de deux modèles statistiques classiques : le modèle basé sur la distribution log-normale pour les évanouissements à grande échelle et le modèle de Rayleigh pour les évanouissements à petite échelle.
Le deuxième objectif du chapitre propose de donner une vue plus fondamentale du problème des communications dans un canal sans fil à évanouissements [Biglieri et collab. (1998), Shamai et Wyner (l997a,b)]. Nous nous interrogeons sur les performances optimales d'un tel canal et sur les techniques à mettre en œuvre pour y parvenir. La mesure de performance de base d'un canal de communication est sa capacité. Il s'agit du débit maximal auquel une information peut être transmise sans erreur. La capacité du canal AWGN est sans doute le résultat le plus connu de la théorie des communications. Dans le cas du canal sans fil à évanouissements, nous introduirons les notions de capacité de panne et de capacité ergodique.
Ce chapitre est organisé en trois sections. La section 1.1 a pour but de décrire les différents mécanismes de propagation qui régissent les communications sans fil. Dans la section 1.2, nous approfondissons les notions d'évanouissements à grande échelle et d'évanouissements à petite échelle et nous présentons deux approches pour la modélisation de ces phénomènes : la méthode déterministe et la méthode statistique. Nous nous concentrerons sur l'approche statistique du phénomène et nous décrirons deux modèles classiques: le modèle log-normal pour les évanouissements à grande échelle et le modèle de Rayleigh pour les évanouissements à petite échelle. Dans la section 1.3, nous nous intéressons à la notion de capacité en tant que mesure de performance d'un canal sans fil.
1.1
Mécanismes
de
propagation
des
ondes
électromagnétiques
Dans un système de communication sans fil, trois phénomènes physiques ont un impact sur la propagation des ondes radioélectriques: il s'agit de la réflexion, de la diffraction et de la diffusion (fig. 1.2) [Rappaport (200 1) ]. Ces trois mécanismes de propagation servent à décrire les modèles de propagation que nous introduirons ultérieurement.
Le phénomène de réflexion (fig. 1.2a) se manifeste lorsqu'une onde électromagnétique
rencontre un objet (surface de la terre, bâtiments, murs ... ) dont les dimensions sont importantes en regard de la longueur d'onde du signal. Quand une onde radio transmise dans un milieu de propagation (milieu A) arrive à l'interface d'un autre milieu aux propriétés électriques différentes (milieu B), elle est partiellement réfléchie (onde réfléchie)
8 Communications sans fil point à point
onde incidente onde incidente onde incidente
--
...
onde réfractée
ond~~
L-lcttffusées
,
,'·.,
onde réfléchie(a) (b) (c)
FIG. 1.2-Illustration des mécanismes de propagation d'une onde électromagnétique : (a) réflexion, {b) diffraction et (c) diffusion.
milieu B est un diélectrique parfait. Si le milieu B est un conducteur parfait, alors toute l'énergie de l'onde incidente est réfléchie dans le milieu A.
La diffraction (fig. 1.2b) est due à la présence, sur le trajet parcouru par une onde
radioélectrique, d'objets qui présentent des irrégularités tranchantes (arêtes). Ces arêtes donnent naissance à un nouveau front d'ondes (ondes diffractées), ce qui permet à l'onde
incidente de se propager au-delà d'un obstacle. Cette «courbure>> de la trajectoire d'une onde explique pourquoi, même en l'absence d'un trajet direct entre deux antennes, le signal émis peut atteindre le récepteur en l'absence de réflexions sur d'autres obstacles éventuels.
Aux fréquences élevées, les phénomènes de diffraction et de réflexion dépendent aussi bien de la géométrie de l'objet que de l'amplitude, de la phase et de la polarisation de l'onde incidente à l'interface entre deux milieux ou au point de diffraction.
Quant au phénomène de diffusion (fig. 1.2c), il se traduit par la présence, dans l'environnement de propagation, d'un grand nombre d'obstacles (arbres, panneaux de signalisation ... ) : obstacles rugueux ou dont les dimensions sont petites comparativement à la longueur d'onde du signal radio. De tels objets ont tendance à disperser l'énergie du signal dans toutes les directions (ondes diffusées). C'est principalement le phénomène de
diffusion qui permet de justifier le fait que le signal que capte l'antenne en réception est souvent différent de celui prédit par les modèles ne prenant en compte que la réflexion et la réfraction.
Si un ou plusieurs des phénomènes de propagation mentionnés peuvent influencer chaque trajet considéré individuellement, c'est l'ensemble de ces mécanismes qui explique pourquoi se combinent en réception un certain nombre de répliques, atténuées et décalées dans le temps, d'un même signal émis.
Étude du phénomène des évanouissements 9
1.2
Étude du phénomène des évanouissements
Les ondes électromagnétiques se propagent à travers un environnement où elles sont réfléchies, réfractées, diffractées et diffusées à cause des murs, des bâtiments ou d'autres objets de l'environnement. Ces mécanismes complexes de propagation sont responsables des fluctuations de la puissance instantanée en réception : c'est le phénomène des
évanouissements (fading).
Les détails exacts de la propagation des ondes électromagnétiques peuvent être obtenus en résolvant les équations de Maxwell soumises à des conditions aux limites qui expriment les caractéristiques physiques du milieu de propagation et des obstacles placés sur le trajet du signal. Mais les équations de Maxwell sont, la plupart du temps, difficiles à résoudre (complexité des calculs, caractéristiques des paramètres du canal non disponibles ... ). Il est donc nécessaire de faire des approximations: c'est la tâche ardue de la modélisation du canal sans fil.
Deux approches sont proposées pour la modélisation : l'approche déterministe et l'approche statistique. Si l'approche déterministe est parfois souhaitable pour modéliser certains environnements particuliers, le modèle obtenu n'est très souvent pas reproductible d'un site à l'autre. C'est pourquoi l'approche statistique est la plus utilisée. Nous décrirons deux modèles statistiques classiques : le modèle basé sur la distribution log-normale pour les évanouissements à grande échelle, et le modèle de Rayleigh pour les évanouissements à
petite échelle.
1.2.1 Évanouissements à grande échelle
Les évanouissements à grande échelle (large-scale fading) ont pour origine la dissipation
de la puissance rayonnée par l'émetteur dans le milieu de propagation (affaiblissement de parcours) ainsi que la présence d'objets qui obstruent le trajet parcouru par le signal émis (effet masque). Ils sont (en partie) responsables des variations de la puissance utile reçue (fig. 1.1). On les qualifie d'effets à grande échelle parce que les variations de la puissance reçue se perçoivent à des distances importantes en regard de la longueur d'onde du signal émis.
1.2.1.1 Modèle de propagation en espace libre
Le modèle de propagation en espace libre est utilisé pour évaluer la puissance du signal
reçu quand l'émetteur et le récepteur sont en vue directe (trajet non obstrué) et quand aucun objet ne vient perturber la propagation du signal. Ce modèle prédit que la puissance reçue
10 Communications sans fil point à point
décroit en fonction de l'inverse du carré de la distance qui sépare l'émetteur et le récepteur. La puissance reçue en espace libre- notée Pr-est donnée par la loi de Friis [Rappaport (2001)) :
(1.1) expression dans laquelle
- r est la distance qui sépare les deux antennes ; - Pt est la puissance transmise;
- Gt est le gain linéaire de l'antenne d'émission ; - Gr est le gain linéaire de l'antenne de réception;
- Lest le facteur de perte du système (loss factor). Ce facteur tient compte des pertes dans
les filtres et les antennes, telles que les pertes par désadaptation, de dépointage ou de dépolarisation. En général, on a L ;::: 1 mais nous considèrerons 3 que les pertes sont incluses dans le gain d'antenne, ce qui revient à fixer L = 1 dans l'équation (1.1); - A est la longueur d'onde de l'onde électromagnétique.
Le gain de chaque antenne, que nous noterons G (il s'agit en l'occurence des Gt et Gr de la formule (1.1)), est relié à son ouverture efficace Ae par la formule
4n·Ae
G=
---xz-·
(1.2)L'ouverture efficace Ae dépend de la taille physique de l'antenne et la longueur d'onde A est reliée à la fréquence porteuse par la formule
(1.3)
où fe représente la fréquence porteuse etc, la vitesse de la lumière. Les valeurs de Pt et Pr
doivent être exprimées dans les mêmes unités et Gt et Gr sont des quantités sans dimension. L'équation de propagation en espace libre (1.1) montre que la puissance reçue diminue en fonction de l'inverse du carré de la distance qui sépare les antennes d'émission et de réception. On utilise souvent comme antenne de référence l'antenne de gain unitaire qui produit un rayonnement isotrope. Par la suite, nous supposerons que toutes les antennes sont isotropes et ont un gain unitaire.
L'affaiblissement de parcours (path loss) est défini par le rapport de la puissance émise
sur la puissance reçue, Pt!Pr. Dans la suite de ce travail, nous utiliserons plutôt l'inverse de
Étude du phénomène des évanouissements 11
cette quantité, à savoir Pr/Pr. que nous appellerons gain en puissance du canal4. À l'inverse de l'affaiblissement de parcours, le gain en puissance diminue lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur augmente. D'après les relations (l.l) et (1.3) et tenant compte des hypothèses L = l et G1 = Gr = l énoncées supra, le gain en puissance du canal -noté Hp! (rn) -vaut5
Hp! (r) = (
~
) 24n· ·r (1.4)
Le modèle de propagation en espace libre (1.4) ne permet d'estimer la puissance reçue P r que pour des valeurs der qui se trouvent dans le champ lointain de l'antenne d'émission. Le
champ lointain-aussi appelé région de Fraunhofer-d'une antenne de transmission est défini par la région qui se situe au-delà de la distance df définie par
(1.5) où D est la plus grande dimension linéaire physique de l'antenne. En outre, pour être dans la région de champ lointain, df doit remplir la double condition
{
df» D
df » lt
(1.6)
Enfin, il est évident que l'équation (l.l) n'est pas valable pour une distance nulle (r = 0). Pour cette raison, les modèles de propagation classiques introduisent la notion de distance en champ lointain, d0 . La puissance reçue, Pr (r), à n'importe quelle distance r;::: d0 , peut
toujours être reliée à la puissance reçue à la distance r = d0 . La valeur Pr (do) peut être tirée de l'équation (l.l) ou elle peut être mesurée pour un environnement radio particulier en calculant la moyenne de la puissance reçue en différents endroits situés à une distance radiale do de l'antenne d'émission. La distance de référence do doit être choisie de sorte qu'elle se trouve dans le champ lointain de l'antenne, c'est-à-dire do ;::: df, et il faut qu'elle soit plus petite que n'importe quelle distance pratique qui intervient dans le système de communication mobile. Donc, en utilisant l'équation (l.l), la puissance reçue en espace
4. Il convient de préciser, pour éviter toute confusion, que la notion de << gain» ou de << gain en puissance >>
que nous utiliserons très fréquemment à partir de maintenant, fera toujours référence au gain en puissance d'un canal sans fil, par opposition à la notion classique de gain d'antenne. Dans le cas contraire, nous le mentionnerons explicitement.
5. Toutes les abréviations que nous utilisons dans ce travail sont relatives aux termes anglais correspondants (pl est l'abréviation de path loss).
12 Communications sans fil point à point
libre à une distance r ::: do est donnée par
(do ) 2
Pr (r) = Pr (do)·
7 ,
dr::;; do::;; r. (1.7)Pour les systèmes réels qui utilisent des antennes fonctionnant dans la région 1-2 GHz, les valeurs du paramètre do dépendent de l'environnement de propagation (elles sont comprises entre 1 rn et quelques dizaines voire quelques centaines de mètres).
1.2.1.2 Modèles déterministes
Dans un environnement de propagation réel, la complexité des équations de Maxwell rend impossible leur résolution et il faut donc recourir à l'utilisation de modèles. Dans les paragraphes qui suivent, nous présentons succinctement les modèles déterministes les plus utilisés.
Les approximations les plus communes emploient des techniques de « lancer de rayon)) [Goldsmith (2005) ]. Ces techniques assimilent les fronts d'ondes électromagnétiques à de simples particules. Le modèle détermine les effets de la réflexion et de la réfraction sur le front d'onde mais ignore le phénomène plus complexe de diffusion prédit par les équations différentielles de Maxwell. Le modèle le plus simple est le modèle à deux rayons qui décrit de manière précise la propagation d'un signal en présence d'un trajet direct et d'un trajet réfléchi entre l'émetteur et le récepteur. Ce modèle est une bonne approximation pour analyser la propagation du signal le long des autoroutes ou des routes «rurales)) et sur l'eau. Le modèle à dix rayons [Amitay (1992)] a été développé pour l'étude des microcellules urbaines. Enfin, citons le modèle général à lancer de rayon [lkegami et collab. (1991),
Schaubach et collab. (1992)], plus compliqué que les deux précédents mais qui s'adapte à des environnements de propagation plus disparates.
Quand un environnement de propagation ne peut être caractérisé de manière précise par le modèle en espace libre ou par un modèle à lancer de rayon, on peut développer des modèles analytiques basés sur des mesures empiriques. Il s'agit de modèles qui caractérisent l'affaiblissement de parcours en fonction de divers paramètres : la distance, la hauteur des antennes, la superficie couverte par l'antenne fixe ... Ils présentent l'avantage d'inclure tous les effets du canal de propagation, y compris les évanouissements à petite échelle et les évanouissements à grande échelle. Le modèle le plus utilisé est certainement le modèle d'Okumura [Okumura et collab. ( 1968)], qui se focalise sur les macro cellules urbaines (distances entre 1 et lOO km et gamme de fréquences de 150- 1500 MHz). Le modèle de Hata [Hata (1980)] se base sur les mesures du modèle d'Okumura mais propose une
Étude du phénomène des évanouissements 13
expression analytique pour l'affaiblissement de parcours. Le modèle COST-231 [European
Cooperative in the Field of Science and Technical Research EURO-COST 231 (1991)] est une extension du modèle de Hata pour des fréquences de l'ordre de 2 GHz. Enfin, mentionnons le modèle à pentes multiples [McCune et Feher (1997)], qui décrit la propagation des signaux
dans des microcellules urbaines ou dans un environnement intérieur.
Mais le plus souvent, la complexité et la variabilité du canal radio rendent difficile l'obtention d'un modèle de canal déterministe précis. Les modèles statistiques sont, dans ce cas, d'un grand secours et nous y consacrons les paragraphes qui suivent.
1.2.1.3 Modèle simplifié du gain en puissance du canal
Nous venons de mettre en évidence le fait que la complexité de la propagation du signal rend difficile l'élaboration d'un modèle unique qui caractérise de manière rigoureuse le gain en puissane du canal quel que soit l'environnement considéré. Toutefois, pour une analyse générale de la conception d'un système, il serait intéressant de pouvoir utiliser un modèle simplifié qui capte l'essence de la propagation du signal sans recourir à des modèles d'affaiblissement complexes qui ne sont eux-mêmes que des approximations. Mais quel modèle utiliser?
Nous avons vu que la puissance moyenne reçue après propagation d'un signal en espace libre était proportionnelle au carré de la distance entre l'émetteur et le récepteur: c'est ce que traduit l'équation (1.7). Dans un milieu de propagation réel, le couple émetteur-récepteur est entouré d'objets (sol, bâtiments, arbres ... ). Si l'on tient compte des phénomènes de réflexion, réfraction, diffraction et diffusion (cf. point 1.1) causés par ces objets, le gain en puissance moyen du canal peut être approché par la loi de puissance
Hpt (r)
=
K· (~
r,
(1.8)où K est une constante sans dimension qui dépend des caractéristiques de l'antenne et des effets d'atténuation du canal de propagation, et y est un paramètre appelé coefficient d'affaiblissement6
• Les valeurs de K et y peut être obtenues à partir d'un modèle analytique
ou de mesures empiriques. On fixe bien entendu K à la valeur du gain en puissance en espace libre à la distance do pour des antennes de gain unitaire (équation (1.4)) :
(1.9)
14 Communications sans fil point à point
TABLEAU 1.1-Valeurs type du coefficient d'affaiblissement y (d'après [Goldsmith
(2005)]).
environnement valeurs de y
espace libre y = 2
macro cellule urbaine 3 :::; y:::; 5, 5 microcellule urbaine 2, 7 :::; y:::; 3, 5
milieu industriel 1, 6:::; y:::; 3, 3 bâtiment 3 :::; y:::; 6
Le coefficient d'affaiblissement y dépend de l'environnement de propagation. Par exemple,
y est égal à 2 en espace libre mais il est en général plus élevé en présence d'obstructions. Le tableau 1.1 illustre la valeur du coefficient d'affaiblissement pour différents environnements. Notons qu'une valeur de y inférieure à 2 peut paraitre surprenante mais elle s'explique par la manifestation éventuelle d'effets de type« guide d'ondes».
Nous adopterons ce modèle simplifié pour décrire le gain en puissance moyen et nous reprendrons cette notation Hp! (r) dans les chapitres 3, 4 et 5.
1.2.1.4 Effet masque
Il importe de garder à l'esprit que le modèle simplifié (1.8) du gain en puissance détermine, pour une distance r donnée, une quantité moyenne, et cette quantité inclut, par l'entremise du coefficient y, la présence d'obstacles sur le parcours du signal. La valeur instantanée du gain en puissance du canal fluctue, elle, en fonction de la « mobilité » de l'environnement de propagation. Ce phénomène est qualifié d'effet masque ou de feuillage (en anglais, shadowing) et c'est l'un des phénomènes responsables des fluctuations du gain instantané autour de sa valeur moyenne (1.8). Les mesures empiriques montrent que ce sont principalement les objets situés dans le voisinage direct de l'émetteur et du récepteur qui déterminent l'importance du phénomène. Comment modéliser au mieux l'effet masque?
Dans un environnement de propagation sans fil, le trajet du signal est souvent constitué de la mise en cascade d'un grand nombre d'éléments absorbants entre la source et le récepteur. Le gain en puissance instantané du canal, noté H (r), est le rapport entre la
Étude du phénomène des évanouissements 15
puissance émise instantanée et la puissance reçue instantanée. Il peut être mis sous la forme
N
H (r) = Hpl (r) ·
0
(1 + ei),i=l
(1.10)
où Hpl (r) est donné par l'équation (1.8), N représente le nombre d'obstacles sur le trajet du signal (en général, N » 1) et ei est une grandeur aléatoire réelle Cleïl « 1). Le terme
Tif=
1(l+eï) de l'équation (1.10) est le produit d'un grand nombre de petites contributions (l + e i) aléatoires indépendantes dont aucune n'est prédominante. Ilpeut donc être modélisé par une variable aléatoire (v.a.) distribuée suivant une loi log-normale 7 de paramètres pet a [Johnson et collab. (1994)]; nous noterons cette v.a. G8
8•
L'équation (1.10) s'écrit ainsi
H (r) = Hpl (r) · Gs (l.ll)
et, comme Hpl (r) ~lE {H (r)}, on a 9
lE {G8 } = l. (1.12)
Étant donné qu'une v. a. X-log-JY (p, a2
) a pour moyenne IE{X} =exp (p + a2 /2 ), on obtient une relation liant les deux paramètres pet a de l'effet masque
az
p= - - .
2 (1.13)
Des études expérimentales effectuées dans divers environnements de propagation permettent de déterminer les valeurs des paramètres p et a. Or, pour différentes raisons [Goldsmith (2005)], les mesures effectuées donnent accès non pas directement aux paramètres Gs ou ln(G8 ), mais au paramètre Gs,dB = 10 ·log10 (Gs)-JY (llctB·a~B) qui fournit
les valeurs
(1.14)
où Ç = 10/ln(lO) est le paramètre de conversion ln-dB. Des équations (1.13) et (1.14), on déduit que
2 a dB /ldB = - - .
2Ç (1.15)
7. Une v.a. X est dite suivre une distribution log-normale de paramètres J.1 et a si la variable ln (X) suit une loi normale de moyenne J.1 et d'écart-type a. On note: X-log-JV (p,a2)
=
ln (X)-JV (p,a2).8. La lettre G symbolise le gain et l'indices fait référence à l'anglais shadowing.
9. En effet, HpJ (r) étant déterministe et indépendant de H8 , on peut écrire lE {H (r)} = HpJ (r) ·lE {Gsl ~ HpJ (r) ~
16 Communications sans fil point à point
Le seul paramètre a dB permet donc de caractériser l'importance de l'effet masque; nous l'appellerons paramètre de feuillage. Les valeurs usuelles du paramètre de feuillage se situent
dans la plage [0 -12] dB [Gudmundson (1991), Patzold (2002), Stüber (2001)]10.
S'agissant de la loi de probabilité de G5 , nous montrons dans l'annexe A que sa densité de probabilité et sa fonction de répartition - notées respectivement PGs (x) et FGs (x)
-s'écrivent
,
(<·IO·log,o(X)+~)'
PGs (x) = rr.= ·exp -x · a dB · v 2n 2a~8
x>O, (1.16) et(
ze ·
10 ·log10 (X)+ O"~B) FG5 (X) = <1> . ;:;; , X > 0, 20"dBV 7r (1.17) où <1> (x) = 11v2ii ·
f~oo exp (-u2 12) du est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite [Johnson et collab. (1994)].Pour la suite de ce travail, nous retiendrons cette modélisation classique de l'effet masque (G8 ) par la loi log-normale.
1.2.2 Évanouissements
à
petite échelle 11Les évanouissements à petite échelle décrivent les fluctuations rapides de la puissance
d'un signal radio sur une courte période de temps ou sur une petite distance. Ils sont dus aux interférences constructives et destructives des signaux qui sont issus des nombreux trajets entre l'émetteur et le récepteur et qui arrivent au récepteur à des instants légèrement espacés (fig. 1.3); on parle de trajets multiples (multipath). Le signal résultant peut varier
fortement en amplitude et en phase. On qualifie ce type d'évanouissements d'effets à petite échelle parce qu'ils se produisent sur des distances de l'ordre de la longueur d'onde du signal.
Les facteurs de nature physique qui influencent les variations à petite échelle du signal reçu sont nombreux: le temps de propagation des différents trajets parcourus par les ondes, la vitesse du récepteur mobile, le déplacement des différents objets dans l'environnement de propagation, la largeur de bande du signal émis ...
Afin de bien comprendre le phénomène des évanouissements à petite échelle, nous en proposons, dans un premier temps, une approche déterministe. Mais la complexité et la
10. Notons qu'à partir de maintenant, nous omettrons le symbole dB pour caractériser le paramètre a dB et nous écrirons pour simplifier a dB = 0 au lieu de a dB = 0 dB.
Étude du phénomène des évanouissements signal2 signal1 (a) signal résultant signal1
ti
signffi2 1 T signal résultant (b)FIG. 1.3-Représentation vectorielle schématique du phénomène des interférences (a) interférences constructives; (b) interférences destructives.
17
variabilité du canal radio rendent difficile l'élaboration d'un modèle déterministe précis. C'est pourquoi nous présentons, dans un deuxième temps, une modélisation statistique adéquate.
1.2.2.1 Approche déterministe
Le canal sans fil vu comme un système linéaire variant dans le temps Appelons x (t),
le signal émis par une antenne de transmission, et y (t), le signal reçu par l'utilisateur.
Nous négligeons pour l'instant le bruit. En supposant, daris un premier temps, que x(t) est sinusoïdal, l'hypothèse de linéarité du système nous permet d'écrire que y ( t) est une somme de répliques de x ( t) atténuées et décalées dans le temps :
y (t) =Lai(!, t) ·x (t-ri(!, t)), (1.18)
où f représente la fréquence, t, le temps, et ai (f, t) et ri(!, t) respectivement l'atténuation
et le délai de propagation au temps t du signal parcourant le trajet i. Les longueurs des trajets (qui varient dans le temps) et les gains des antennes d'émission et de réception (qui dépendent de la fréquence) sont à l'origine des variations des paramètres ai (!, t) et ri (!, t).
Cependant, comme, en pratique, la bande de transmission des signaux est très petite par rapport à la fréquence porteuse (!if
«
fe), les atténuations et les délais de propagation varient très lentement en fonction de la fréquence; nous supposerons que ces paramètres ne dépendent que du temps et nous les noterons ai (t) et Ti (t). Ainsi, par application du18 Communications sans fil point à point
X(t,T)
---E}-
y(t)~
lh(T,t)·X(t-T)dTFIG. 1.4-Le canal sans fil décrit par un système linéaire variant dans le temps.
quelconque; cette équation devient
y(t) =.[ai (t) ·x(t-Ti (t)). (1.19)
La relation (1.19) établit une dépendance linéaire entre le signal reçu y (t) et le signal émis x(t). De ce fait, le canal peut être décrit par sa réponse impulsionnelle, notée h(r, t),
c'est-à-dire sa réponse, à l'instant t, à une impulsion transmise à l'instant t- r. La relation
générale d'entrée-sortie à temps continu (1.19) peut donc aussi s'écrire 00
y(t)=
j
h(r,t)·x(t-r)dr, (1.20)-oo
où la réponse impulsionnelle d'un canal sans fil à trajets multiples h(r, t) vaut
h(T, t)
=
.[aï(t) ·Ô(T-Tj(t)). (1.21)Il s'agit là d'une expression qui présente un intérêt certain. Elle montre en effet que la caractérisation d'un environnement de propagation sans fil, par nature complexe, peut se réduire simplement à l'étude de la relation d'entrée-sortie (1.20) d'un système linéaire variant dans le temps caractérisé par un filtre de réponse impulsionnelle (1.21) (fig. 1.4).
Modèle équivalent en bande de base Dans les applications sans fil traditionnelles, les
communications ont lieu dans une gamme de fréquences de largeur t!.f = W autour d'une fréquence porteuse fe· Cependant, il est utile de représenter le système étudié par un modèle équivalent en bande de base, afin de faciliter son analyse. Nous rappelons, dans l'annexe B, la définition de la représentation équivalente en bande de base d'un signal.
Appelons Xb (t) et Yb (t) les signaux équivalents en bande de base du signal transmis x (t)
et du signal reçu y ( t) respectivement. Nous pouvons écrire
Yb (t) =.[ai (t) ·exp(- j2nfcTi (t)) ·Xb (t- Ti (t)). (1.22)
Étude du phénomène des évanouissements 19
Sa réponse impulsionnelle en bande de base s'écrit
hb (T, t) =.[ai (t) ·exp(-j2nfcTi (t)) ·Ô (T -Ti (t)). (1.23)
Modèle en bande de base à temps discret L'étape suivante consiste à convertir le canal
à temps continu en un canal à temps discret. En utilisant l'approche classique du théorème de l'échantillonnage de Shannon [Shannon (1948)), la relation (1.20) peut se mettre sous la forme
y[m]
=
.[ht'[m]·x[m-f],(' où le coefficient ht' [m] est défini par
hl' [ml=
~ai
(:J
·exp (-j2nfcTi ( : ) ) ·sinc(e-Ti (:Jw)
1
et sinc(t) ~ sin(nt) 1 (nt).
(1.24)
(1.25)
La quantité ht' [m] est le fe coefficient (complexe) du filtre du canal au temps m. Sa valeur dépend essentiellement des atténuations ai (m/W) ·exp (-j2n fe Ti (m!W)) dont les décalages temporels Ti (m/W) sont proches de f lW. À cause de la décroissance rapide de la fonction sine, le ie trajet contribue au fe coefficient si Ti (m!W) E
[f lW -1/ (2W) ,f lW+ 1/ (2W)].
Bruit blanc additif Enfin, la dernière étape consiste à inclure, dans notre modèle d'entrée-sortie, un bruit additif. Nous utilisons l'hypothèse classique du bruit blanc gaussien (AWGN), noté w (t). L'équation à temps continu (1.19) devient
y(t) =.[ai (t) ·x(t-Ti (t)) + w(t)
et la relation équivalente à temps discret (1.24) s'écrit
y[m] = .[ht'[m]·x[m-f] + w[m], ('
(1.26)
(1.27)
où w [m] est une v.a. gaussienne complexe qui vérifie la propriété de symétrie circulaire.
L'approximation du bruit AWGN signifie que la source première du bruit se trouve au récepteur et que la puissance de bruit qu'il détecte est indépendante des trajets parcourus par le signal émis. Cette approximation est recevable dans la plupart des configurations sans fil réelles.
20 Communications sans fil point à point
Cohérence temporelle Nous nous demandons à présent à quelle vitesse évoluent les
fluctuations du canal ou, en d'autres termes, comment les coefficients hp (m] évoluent en
fonction du temps. Un examen attentif des trois facteurs intervenant dans chaque terme du membre de droite de l'équation (1.25) permet de répondre à cette question.
Le premier facteur, l'atténuation ai (m!W), change de façon significative à une cadence
de l'ordre du hertz. Le deuxième facteur, exp (-j2n fer i (m!W)), représente le terme de phase
du ie trajet. Il évolue à une cadence Di= fer~ (t) =fe· dr i (t) /dt, appelée décalage Doppler (Doppler shift) du trajet i. La modification de l'amplitude du coefficient hp [ml due aux
changements de phase a lieu à des intervalles proportionnels à la quantité Ds
=~~fe Ir~
(t)-r~
(t)l,
1,]
(1.28)
appelée bande d'étalement Doppler (Doppler spread) 12. Ces intervalles sont de l'ordre de la
centaine de hertz. Enfin, la variation temporelle du troisième facteur, sine Cf-ri (m!W) W),
se fait à une cadence proportionnelle à W alors que la cadence des changements de phase exp (-j2n fer i (m/W)) est proportionnelle à fe (nous supposons que W « fe).
Nous en concluons que ce sont les changements de phase, cadencés par le paramètre 1/D8 , qui dictent le rythme de variation temporelle du coefficient hp (rn].
Cette analyse nous a permis de mettre en avant l'un des paramètres essentiels d'un canal sans fil: il s'agit du temps de cohérence, Tc, défini par la relation 13
1
Tc=-.
Ds (1.29)
Nous terminons cette discussion sur la cohérence temporelle par deux définitions. Un canal sans fil sera considéré à évanouissements rapides si son temps de cohérence est
beaucoup plus petit que la contrainte de délai de l'application considérée; dans le cas contraire, le canal sera à évanouissements lents (on parle aussi d'hypothèse de quasistaticite).
Qu'un canal soit à évanouissements rapides ou à évanouissements lents ne dépend donc pas seulement de l'environnement mais également de l'application.
Cohérence fréquentielle Le deuxième paramètre essentiel d'un canal à évanouissements
est l'étalement du temps de propagation (multipath delay spread) 14, T d· défini par la quantité
12. On notera que le maximum porte sur les trajets qui contribuent de manière significative au coefficient he [rn].
13. On rencontre parfois d'autres définitions du temps de cohérence. Mais toutes ont en commun le fait que le temps de cohérence est inversement proportionnel à la bande d'étalement Doppler.
14. I.:étalement du temps de propagation traduit la durée de la réponse impulsionnelle. Il peut être vu aussi comme la quantité de mémoire du canal sans fil.
Étude du phénomène des évanouissements 21
TABLEAU 1.2 - Ordres de grandeur des paramètres physiques principaux du canal sans fil (d'après [Tse et Viswanath (2005)]).
paramètre physique du canal symbole ordre de grandeur
fréquence porteuse fe 1 GHz
largeur de bande du signal
w
1MHzbande d'étalement Doppler Ds 100Hz
temps de cohérence Tc= 1/D5 1ms
étalement du temps de propagation Td 1 J.IS
bande de cohérence Wc= 1/Td 1MHz
Td=~~~Tj(t)-Tj(t)l.
l,j
(1.30)
Il s'agit de la différence des temps de propagation du signal sur le trajet le plus court et sur le trajet le plus long (on ne tient compte que des trajets à énergie suffisante). Il correspond à un intervalle de temps de l'ordre de la microseconde, c'est-à-dire qu'il est bien inférieur au temps de cohérence. Les canaux qui possèdent cette propriété (T d «Tc) sont dits sous-étalés ( underspread).
Les canaux sans fil sont sujets aussi bien à des fluctuations temporelles qu'à des variations fréquentielles. Et, de la même manière que le temps de cohérence traduit la rapidité d'évolution du canal en fonction du temps, la bande de cohérence, Wc, définie par la quantité
(1.31)
reflète la rapidité d'évolution du canal en fonction de la fréquence.
Enfin, nous introduisons deux définitions liées à la bande de cohérence. Le canal sera dit à évanouissements plats lorsque la largeur de bande du signal émis est considérablement plus petite que la bande de cohérence (à chaque instant m, un seul coefficient ht[m]
=
h[m]suffit alors à le représenter) ; il sera sélectif en fréquence dans le cas contraire (il faut alors plusieurs coefficients pour représenter le canal). La propriété de sélectivité en fréquence ne dépend donc pas seulement du canal mais également de la largeur de bande du signal à l'entrée.
