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107 – Sous groupe finis de O(2) et SO(3). A.

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Academic year: 2022

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107 – Sous groupe finis de O(2) et SO(3). A.

« Là, c’est le pôle Ouest. Obama. »

Un petit commentaire avant de commencer : Qu’est-ce que je suis bien content de ne pas être tombé sur cette leçon ! SO(3) est simple ne trouve pas sa place dans cette leçon, et je vous conseille de le remplacer par un développement sur les sous-groupes finis de SO(3) ! Le plan :

I) Préliminaires

Etude de SO(n) et 0(n). Topologie : compacité, connexité. Actions transitives sur la sphère unité. Forme réduite d’un endomorphisme orthogonal. Générateurs. Eléments de SO(2), O

-

(2) et de SO(3). SO(3) est simple.

II) En dimension deux.

Tout sous groupe fini de SO(2) est cyclique. Ecriture d’un sous groupe fini de O(2) non inclus dans SO(2). Notion de groupe diédral. Polygones réguliers. Notion d’angle. Groupes qui préservent les polygones réguliers. Groupe qui préserve un rectangle.

III) En dimension trois.

Présentation des polyèdres réguliers : formule d’Euler et les 5 solides de Platon. Groupes d’isométrie des polyèdres réguliers. Sous-groupes finis de SO(3).

Les développements :

A10 : SO(3) est simple

A18 : Groupe des isométries du cube La bibliographie :

[Per]-[Cmb]-[Aud]

Références

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