El Amine I Dérivabilité

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Dérivabilité

^{M : Zribi}

4 ^èmeMaths Fiche

El Amine I

¹

O I

J

(T)

O I

J (T)

Dérivabilité en un point x0 :

Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x0,

 On dit que f est dérivable en x0 si et seulement si ⁰

x x0 0

f ( x ) f ( x )

lim x x





 est une

limite finie l. le réel l s'appelle le nombre dérivé de f au point x₀ . on note l=f '(x0).

Dérivabilité à droite, dérivabilité à gauche:

 f est dérivable à droite en x₀ si et tellement si ⁰

x x0 0

f ( x ) f ( x )

lim l( finie )

x x

 

 

 .

Le réel l s²appelle le nombre dérivé à droite au point x0 et on note f ( x )_d^' ₀ l

 f est dérivable à gauche en x0 si et seulement si ⁰

x x0 0

f ( x ) f ( x )

lim l' ( finie )

x x

 

 

 .

Le réel l' s'appelle le nombre dérivé à gauche au point x₀ et on note f ( x )_g^' ₀ l'

 f est dérivable en x₀ si et seulement si f ( x )_d^' ₀  f ( x )_g^' ₀ . Interprétation géométrique du nombre dérivé:

 f est dérivable en x0 (  f'(x0)=l) si et seulement si  f admet au point d'abscisse x0 une tangente T de vecteur directeur

0

u 1

f '( x )

 

 

 

 T est d'équation : y=f '(x0)(x-x0)+f(x0).

 Cas particulier : f'(x0)=0  T: y=f(x0) (la tangente est dite horizontale)

f'(x0)

f(x0 1 f(x0)

x0 x0

 f est dérivable à droite en x₀ (  fd'(x₀)=l) si et seulement si  f admet au point d'abscisse x0 une demie tangente Td de vecteur directeur _d _'

d 0

1 u

f ( x )

 

 

 

 Td d'équation:

d' 0 0 0

0

y f ( x )( x x ) f ( x )

x x

   



  .

 f est dérivable à gauche en x₀ (  f_g'(x₀)=l') si et seulement si  _f admet au point d'abscisse x₀ une demie tangente T_g de vecteur directeur _g _'

g 0

1 u f ( x )

 

 

 

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Dérivabilité

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El Amine I

²

O I

J

(Td)

O I

J

(T)

O I

J

(T)

O I

J

(Tg)

 Tg d'équation:

g' 0 0 0

0

y f ( x )( x x ) f ( x )

x x

   



  .

f 'd(x0) f 'g(x0)

1 1

f(x0) f(x0)

x0 x0

 Si ⁰

x x 0 0

f ( x ) f ( x )

lim x x



  

 (respectivement – )

alors  f admet au point d'abscisse x0 une demie

tangente verticale dirigée vers le haut f(x0)

(respectivement vers le bas) . x0

 Si ⁰

x x0 0

f ( x ) f ( x )

lim x x



  

 (respectivement + )

alors  f admet au point d'abscisse x0 une demie f(x0)

tangente verticale dirigée vers le haut x0 (respectivement vers le bas)

Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle:

 f est dérivable sur ]a,b[ si et seulement si f est dérivable en tout x0 de ]a,b[.

 f est dérivable sur [a,b] si et seulement si f est dérivable sur ]a,b[, à droite en a et à gauche en b.

Formules de dérivation:

 Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors f+g; f×g ,  f et fⁿ sont dérivable sur I et on a:

 (f+g)'= f'+g'.

 (f.g)'= f '. g+ g'. f

 ( f)'=  f '

 (fⁿ)'=n f ' f ^n-1

 Si f est dérivable sur in intervalle I et f'x) > 0; pour tout xI alors f est dérivable sur I et on a: ( f )' ^{f '}

2 f

 .

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El Amine I

³

 Si f et g sont dérivables sur I et g(x)0 pour tout xI alors 1 f g et g sont dérivables sur I et on a :

1 g' f f ' g g' f

( )' et ( )'

g g² g g²

 

  .

Dérivabilité des fonctions composées:

 Si g est dérivable sur I et f est dérivable sur g(I)=J alors fog est dérivable sur I

Et on a: (fog)'= g ' ×( f ' (g)).

Dérivée de la réciproque:

 f une bijection continue de I sur J; si f est dérivable sur I et f'(x)0 pour tout xI alors f ^-1 est dérivable sur J et on a:

 

¹ ^' 1

f ( x ) 1 ; x J

f '[ f ( x )]

   

Accroissements finies:

 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b) alors il existe un réel c]a,b[ tel que f '(c)=0.

 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ alors il existe un réel c]a,b[ tel que f(b)-f(a)=(b-a)f'(c).

 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I , a et b deux réels de I tel que a<b et s'il existe deux réels m et M tel que m  f '(x)  M pour tout xI alors m(b-a)  f(b)-f(a)  M(b-a).

 Si f est dérivable sur un intervalle I et s'il existe kIR tel que |f '(x)|  k pour tout xI alors : pour tout a et b de I on a : |f(b)-f(a)  k |b-a|