Prof : Boukadida Tahar Durée : 2 heures coefficient : 4

(1)

Lycée Farhat Hached Msaken Classe : 4^ème Maths

Prof : Boukadida Tahar Durée : 2 heures coefficient : 4

Exercice 1

(3,5 points) :

1) Soit u la fonction définie sur IR par u(x) 3x 2cos x 

Montrer que l’équation u(x) 0 admet une unique solution  𝛃 dans IR.

A l’aide d’une calculatrice, vérifier que 0,56 β 0,57 2) On considère f la fonction définie sur ^{IR \}

 

^β ^par^f(x)^ _{3x 2cos x}^{3x 2}_ ^

a) Montrer que pour tout  2

x 3 on a : ^  



3x 2 f(x) 1 3x 2

b) En déduire



xlim f(x) et interpréter graphiquement le résultat. 3) Soit g une fonction définie sur ^{IR \ 1}

 

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction composée gof.

Exercice 2

(5 points) :

Soit f la fonction définie sur 1, par 1

 1

f(x) x ^.

1) Vérifier que ¹

2 f '(x)

  x x pour tout réel x ≥1 puis dresser le tableau de variation de f.

2) Montrer que l’équation f(x) x admet une unique solution α dans 1 2, . 3) On considère la suite u définie sur IN par u₀ 2 et u_n_₁f(u )_n . a) Montrer que pour tout n ∈ IN , on a u_n 1 2, 

b) En appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis, montrer que pour tout n∈IN , on a : ₁ 1

n 2 n

u _    u   c) En déduire que pour tout n∈IN, on a : ¹

n 2n

u    puis calculer

 n nlim u 4) On considère la fonction 1 ¹ 

 

h : x tan

 x

La fonction h est-elle bien définie sur 1, ? Justifier.

Devoir de Contrôle N°1

28 Octobre 2017

(2)

Exercice 3

(6 points) :

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O , u , v

Pour tout ^b^^^{* \ 2i,2i}



^



, on considère l’équation (E ) : z_b ² 2bz b ² 4 0 1) a) Résoudre dans

ℂ,

l’équation (E )_b .

b) Soit z₁ et z₂ les solutions de l’équation (E )b et θ un argument de b.

Montrer que z z_{1 2} 4 est un réel si et seulement si θ kπ où k

2 

2) On désigne par M1 et M2 les points d’affixes respectives : z₁ b 2i et z₂  b 2i a) On pose b x iy  où x et y sont deux réels. Vérifier que     

  

2 2

b 2i x y 4ix 4

b 2i x (y 2) .

b) Montrer que les points O, M1 et M2 sont alignés si et seulement si b est imaginaire.

c) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe b tels que OM₁OM₂ .

d) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe b tels que OM1M2 soit un triangle rectangle en O.

3) Déduire les valeurs possibles de b pour lesquelles OM1M2 soit rectangle et isocèle en O .

Exercice 4

(5,5 points) :

On désigne par A et B les points d’affixes respectives −

i

et

3i .

Soit l’application f qui à tout point M d’affixe z ≠ −i associe le point M’ d’affixe ^

 iz 3 z' z

i 1) Montrer que OM '  MB

MA et



^u,OM'



^



^MA,MB



^{  }π 2π 2

   

2) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit imaginaire pur.

3) Soit M un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B, A quel ensemble appartient le point f(M) ? Justifier

4) Soit C le point tel que ABC soit un triangle équilatéral indirect.

a) Donner un procédé de construction du point C’ image de C par l’application du plan f.

b) Construire sur l’annexe les points C et C’. ( On laissera les traits de construction)

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