BACCALAUREAT BLANC
Session 2017
Série : S
Épreuve : Mathématiques
(candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages
Commun à tous les candidats
Les valeurs approchées des résultats seront données à 10−4 près.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées MAet MB. La machine MA fournit 65 % de la production, et la machine MB fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :
• à la sortie de la machine MA, 8 % des ampoules présentent un défaut ;
• à la sortie de la machine MB, 5 % des ampoules présentent un défaut.
On définit les évènements suivants :
• A : « l’ampoule provient de la machine MA» ;
• B : « l’ampoule provient de la machine MB » ;
• D : « l’ampoule présente un défaut ».
1. On prélève une ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.
a) Construire un arbre pondéré représentant la situation.
b) Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0,930 5.
c) L’ampoule tirée est sans défaut. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine MA. 2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine MA. La taille du stock permet de considérer les prélèvements comme indépendants et de les assimiler à des tirages avec remise.
Calculer la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
Partie B
1. On rappelle que si T suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ étant un réel strictement positif) alors pour tout réel positifa, P(T 6a) =
Za
0
λe −λxdx.
a) Montrer que P(T >a) =e −λa.
b) Montrer que si T suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifst eta, on a PT>t(T >t+a) =P(T >a).
2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle d’espérance 10 000.
a) Déterminer la valeur exacte du paramètre λ de cette loi.
b) Calculer la probabilité P(T >5 000).
c) Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant 7 000 heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse 12 000 heures.
Exercice 2 7 points Commun à tous les candidats
b bb
b
b b
b b bbb
O B A
B′
C
C′
D
D′
I J
Une municipalité a décidé d’installer un mo- dule de skateboard dans un parc de la com- mune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C, et OAB′B sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD′ = 10, sa lon- gueur OD est de 20 mètres.
Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par
f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1)−3x+ 7.
On note f′ la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J).
Partie A
1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f′(x) = ln(x+ 1)−2.
2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.
3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
La valeur absolue de ce coefficient est appe- lée l’inclinaisondu module de skateboard au point B.
C
D B
C
O IJ
4. On admet que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g(x) = 1
2(x+ 1)2ln(x+ 1)−1
4x2− 1 2x
a pour dérivée la fonction g′ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g′(x) = (x+ 1) ln(x+ 1).
Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].
Partie B
Les trois questions de cette partie sont indépendantes.
1. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
P1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
3.
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points Bk(k ; f(k))pour k entier naturel variant de 0 à 20.
Ainsi, B0 =B.
O B A
B′
C
C′
D
D′
I B1
B1′
B2
B′2
Bk
Bk′
Bk+1
B′k+1
J
On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de Bk à Bk+1 par le segment
BkBk+1
. Ainsi l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type BkBk+1Bk+1′ Bk′ (voir figure).
a) Montrer que pour tout entier naturel k variant de 0 à 19, BkBk+1 =
q
1 + (f(k+ 1)−f(k))2.
b) Compléter l’algorithme donné en annexe pour qu’il affiche une estimation de l’aire de la partie roulante.
Exercice 3 3 points
Commun à tous les candidats
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes. Indiquer si la proposition est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte et correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Affirmation 1 : ln√
e7
+ln (e9)
ln (e2) = eln 2+ln 3 eln 3−ln 4 2. Affirmation 2 :
L’équationln(x−1)−ln(x+ 2) = ln 4 admet une solution unique dansR.
3. Affirmation 3 :
On définit une suite (un) de réels strictement positifs par
u0 = 1 et pour tout entier naturel n, ln (un+1) = ln (un)−1.
La suite (un)est géométrique.
Exercice 4 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f(x) =xe−x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en+∞.
2. Déterminer la dérivée f′ de la fonction f sur [0 ; +∞[.
En déduire le tableau de variations def sur [0 ; +∞[.
On donne en annexe la courbe Cf représentative de la fonction f dans un repère du plan. La droite
∆ d’équation y=x a aussi été tracée.
Partie B
Soit la suite (un) définie paru0 = 1et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).
1. Placer sur le graphique donné en annexe, en utilisant la courbe Cf et la droite ∆, les points A0, A1etA2 d’ordonnées nulles et d’abscisses respectivesu0, u1etu2. Laisser les tracés explicatifs apparents.
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un >0. 3. Démontrer que la suite (un)est décroissante.
4. a) Montrer que la suite (un) est convergente.
b) On admet que la limite de la suite (un)est solution de l’équation xe−x =x.
Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
Partie C
On considère la suite (Sn) définie pour tout entier naturel n par
Sn = Xk=n
k=0
uk =u0+u1+· · ·+un. Compléter l’algorithme donné en annexe afin qu’il calcule S100.
Annexe Nom : Classe : Exercice 2
Variables S : réel K : entier
Fonction f : définie par f(x) = (x+ 1) ln(x+ 1)−3x+ 7 Traitement S prend pour valeur 0
PourK variant de . . . à . . . S prend pour valeur . . . . Fin Pour
Sortie Afficher . . . Exercice 4
0,5 1,0
1 2
∆
Cf
Déclaration des variables :
S etu sont des nombres réels k est un nombre entier
Initialisation :
u prend la valeur . . . . S prend la valeur . . . . Traitement :
Pour k variant de 1 à . . . . u prend la valeuru×e−u S prend la valeur . . . . Fin Pour
Afficher . . . .
