Composition A – X-ENS 2011 - MP

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2011 FILIÈRE

MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – A – (XLC)

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

? ? ?

Valeurs singulières d’une matrice et inégalités de traces Notations et conventions

Dans ce problème l’espace vectorielCⁿest muni du produit scalaire hermitien usuel noté(.|.); on rappelle qu’il est linéaire à droite, semi-linéaire à gauche et que la base canonique(e1, . . . , en) deCⁿ est orthonormale. On noteMn(C)l’espace vectoriel surCdes matrices ànlignes etn colonnes à coefficients complexes qu’on identifie à l’espace vectoriel des endormorphismes deCⁿ etIn la matrice identité deMn(C) . Le coefficient de lai-ième ligne et j-ième colonne d’une matriceA est noté A_ij. On note A^∗, appelée adjointe de la matriceA de Mn(C), la matrice définie pour tous16i, j6nparA^∗_ij=Aji.

On définit les sous-ensembles deMn(C)suivants : Hn={A∈ Mn(C)|A^∗=A}

H⁺n ={A∈ Hn|(∀x∈Cⁿ),(x|Ax)>0}

Un={A∈ Mn(C)|(∀x, y∈Cⁿ),(Ax|Ay) = (x|y)}

Nn={A∈ Mn(C)|AA^∗=A^∗A}

Dn désigne l’ensemble des matrices diagonales dansMn(C)

Enfin, pour tout sous-espace vectorielF de Cⁿ,F^⊥ désigne le sous-espace orthogonal pour le produit hermitien usuel.

Ce problème a pour but l’étude de quelques inégalités de traces sur les matrices carrées à coefficients complexes via l’introduction de la décomposition en valeurs singulières et le calcul de la distance minimale pour la norme de Frobenius entre deux matrices deHndéfinies à équivalence près par des changements de bases dansUn.

Première partie : étude deNn

1. SoitAune matrice deMn(C). Montrer pour tout couple(x, y)de vecteurs deCⁿ×Cⁿ: (A^∗x|y) = (x|Ay).

2a. Montrer queA∈ Un si et seulement siA^∗A=AA^∗=In.

2b. Montrer queA∈ Unsi et seulement si les colonnes deAforment une base orthonormale deCⁿ.

3a. Montrer que si A ∈ Nn, A((kerA)^⊥) ⊂(kerA)^⊥. En déduire que si λ est une valeur propre deAet siEλest le sous-espace propre associé, alorsA(E^⊥_λ)⊂E_λ^⊥.

3b. En déduire queNn={U DU^∗, U∈ Un, D∈ Dn}.

4. SoitA une matrice de Mn(C). On note λ1, λ2,· · ·, λn les racines du polynôme carac- téristique (non nécessairement distinctes) de A. Montrer que si A ∈ Nn, alors ^Pn_i=1|λi|² = Pn

i,j=1|Ai,j|². (On pourra calculer la trace deAA^∗.)

5a. SoitAune matrice deMn(C). Montrer que siA∈ Nn, alorsAetA^∗ ont même noyau.

5b. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i)A∈ Nn.

(ii) Tout vecteur propre deAest vecteur propre de son adjointeA^∗.

Pour(ii)⇒ (i), on pourra procéder par récurrence sur la dimension net pour un vecteur proprexdeAconsidérer l’orthogonal de l’espace vectoriel engendré parx.

6a. Prouver que si la matriceA∈ Nn, son adjointeA^∗peut s’exprimer comme un polynôme enAà coefficients complexes. (On pourra utiliser les polynômes d’interpolation de Lagrange.)

6b. Prouver que siAetBsont dansNnet commutent alorsAB∈ Nn.

7. Prouver que siAest une matrice deMn(C)les deux propositions suivantes sont équiva- lentes :

(i)A∈ Nn

(ii) Il existe une matriceU∈ Uncommutant avecAtelle queA^∗=AU.

On pourra construireU à partir des valeurs propres deAet raisonner dans une base ortho- normale bien choisie.

Deuxième partie : valeurs singulières d’une matrice

8. Montrer queA ∈ Hn (resp.H⁺n) si et seulement siA est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont réelles (resp. réelles positives).

9. Montrer que siA ∈ H⁺n il existe une unique matriceS ∈ H⁺n telle queS² =A. (Pour l’unicité, on pourra se ramener au cas où A est un multiple de l’identité en considérant les sous-espaces propres deA.)

SiAest une matrice deMn(C) on dit queA=U Sest une décomposition polaire deAsi S ∈ H_n⁺ et U ∈ Un. Dans la suite du problème, on admettra l’existence d’une décomposition polaire pour toute matriceAdeMn(C).

Si Aest une matrice de Mn(C) on dit que A =U DW est une décomposition en valeurs singulières deAsiU, W∈ UnetD∈ Dn est à coefficients réels positifs ou nuls.

10. Prouver que toute matriceAdeMn(C)admet une décomposition en valeurs singulières.

(On pourra commencer par écrire une décomposition polaire deA.)

11. SoitA∈ Mn(C). Montrer qu’il existe une décomposition en valeurs singulières deApour laquelle les coefficients diagonauxα_i=D_ii deD vérifientα1 >· · ·>α_n et que ces coefficients sont alors déterminés de façon unique. On les appelera les valeurs singulières deA.

Troisième partie : inégalités de traces

12. SoitP∈ Mn(C)une matrice vérifiant

(Pk) P²=P=P^∗, rang(P) =k.

12a. Montrer que les coefficients deP vérifient : (i)06Pii61pour tout entierientre1etn, (ii)^Pn_i=1P_ii=k.

12b. Soitλ1 >λ2 >· · ·>λ_n des réels etD la matrice diagonale telle queD_ii =λ_i pour tout entierientre 1etn. Montrer queTr (P D)6^Pk_i=1λi. Trouver une matriceP vérifiant les conditions(Pk)telle queTr (P D) =^Pk_i=1λi.

12c. Montrer que siP1, P2sont deux matrices vérifiant les conditions (Pk), il existeU ∈ Un

telle que P2 = U P1U^∗. En déduire que ^Pki=1λi = max

U∈Un

Tr (U P U^∗D) où P est une matrice vérifiant(Pk).

On dit qu’une matriceAdeMn(C)estdoublement stochastiquesiAest à coefficients réels positifs et vérifie^Pn_i=1Aik = 1 et^Pn_j=1Akj = 1, pour tout entierk compris entre 1etn. On noteDSnl’ensemble des matrices doublement stochastiques dansMn(C).

13. Montrer que si U ∈ Un, la matrice dont les coefficients sont les |Ui,j|² est doublement stochastique.

14. SoitAune matrice doublement stochastique deMn(C)et soient α1>α2>· · ·>αn, β1>β2>· · ·>βn

des réels. On suppose queAn’est pas la matrice identitéIn et on notekle plus petit entier tel queAkk6= 1.

14a. Montrer qu’il existe deux entiersmet `vérifiantk < m 6n,k < `6net tels que A_mk6= 0,A_{k`</sub>6= 0,A<sub>m`}6= 1.

14b. Construire une matrice doublement stochastiqueA⁰deMn(C)vérifiant : (i)A⁰_ij=A_ijsi(i, j)∈ {(k, k),/ (m, k),(k, `),(m, `)},

(ii)A⁰_mkouA⁰_k`est nul,

(iii)^Pni,j=1A⁰_i,jαiβj>^Pn_i,j=1Ai,jαiβj. En déduire que max

A∈DSn

Pn

i=1,j=1Ai,jαiβj=^Pn_i=1αiβi. 15. SoientAetB deux matrices dansMn(C).

15a. Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux αi =Dii sont les valeurs singulières deAet soitT la matrice diagonale dont les coefficients diagonauxβi=Tii sont les valeurs singulières deBtelles que

α1>α2>· · ·>αn, β1>β2>· · ·>βn.

Montrer qu’il existeU etV dansUntelles queTr (AB) = Tr (U DV T).

15b. Montrer queTr (AB) =^Pn_i,j=1UijVjiαjβiet en déduire que

|Tr (AB)|6 Xn i=1

αiβi.

15c. SoientAetB dansH_n⁺. Montrer que|Tr (AB)|6Tr (A)Tr (B).

16. SoientAetB dansHnet soient

α1>α2>· · ·>αn, β1>β2>· · ·>βn.

leurs valeurs propres.

Montrer que

Umin∈Un

kA−U^∗BUk= ÃXn

i=1

(αi−βi)²,

où la norme surMn(C)est donnée parkAk²= Tr (A^∗A). On pourra commencer par déterminer

U∈Umaxn

Tr (AU^∗BU).

∗ ∗

∗

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PARTIE I - étude de N_n

1. Soitx ety dansCⁿ, on a hA^∗x|yi=^t(A^∗x)y =^txAy et donc hA^∗x|yi=hx|Ayi.

2a. Par définition de U_n et d’après ce qui précède, on a A ∈ U_n si et seulement si, pour tous x et y dans Cⁿ, on a hx | yi = hA^∗Ax | yi et donc, puisque le produit scalaire est défini, si et seulement si pour tout x dans Cⁿ x =A^∗Ax ou encore si et seulement siA^∗A= I_n, i.e.

A est inversible d’inverse A^∗. Puisque l’inverse à gauche est aussi l’inverse à droite, il vient A∈ U_n⇔A^∗A=AA^∗ =In.

2b. On note (xi)_1≤i≤n les colonnes deA etδ le symbole de Kronecker. AlorsA^∗Aest la matrice (hx_i|x_ji)_1≤i,j≤net doncA”∗A=I_nsi et seulement sihx_i |x_ji=δ_i,j, i.e. (x_i) est une famille orthonormée. Par cardinalité c’est alors une base.

Aappartient àU_n si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormée deCⁿ. 3a. Soit AdansN_n,xdans Ker(A) ety dans (Ker(A))^⊥. Puisque A^∗ commute avecA,A^∗ laisse

stable Ker(A). Il vient alorshAy|xi=hy|A^∗xi= 0 puisqueA^∗x∈Ker(A) ety∈(Ker(A))^⊥. Par conséquent A((Ker(A))^⊥)⊂(Ker(A))^⊥.

Soit λune valeur propre deA, alorsA−λI_n commute avecA^∗ et donc aussi avecA^∗−λI_n. Comme (A−λIn)^∗ =A^∗−λIn, il résulte de ce qui précède queA−λIn laisse stable E_λ^⊥ et donc Aaussi, i.e. A(E_λ^⊥)⊂E_λ^⊥.

3b. On démontre par récurrence sur nque si Aappartient à N_n, alors Aest diagonalisable dans une base orthonormée. Le casn= 1 est direct puisque toute base est alors orthonormée. Soit n ≥2 etA dans N_n. Puisqu’on travaille dans C,A admet au moins une valeur propre, que l’on note λ. SiE_λ =E, alors toute base orthonormée de Cⁿ convient.

Sinon la restriction de A à E_λ^⊥ est un endomorphisme B de cet espace vectoriel. Pour x et y dans E_λ^⊥, on a hA^∗x |yi =hx|Ayi =hx |Byi et donc, par unicité de l’adjoint B^∗ est la restriction de A^∗ à E_λ^⊥. Il en résulte BB^∗ = B^∗B et donc si B est diagonalisable dans une base orthonormée de E_λ^⊥, il en va de même pour A en adjoignant à la base précédente une base orthonormée quelconque de E_λ. Le principe de récurrence permet de conclure que tout élément de N_n s’écrit U DU⁻¹ avec D dans D_n et U dans U_n, d’après 2b. On a donc alors U DU⁻¹ =U DU^∗.

Réciproquement si A=U DU^∗ avec Ddans D_n et U dans U_n, il vient A^∗ =U D^∗U^∗ et donc AA^∗ =U DD^∗U^∗ =U D^∗DU^∗ = A^∗A puisque D et D^∗ sont diagonales et donc commutent entre elles. On conclut N_n={U DU^∗|U ∈ U_n, D∈ D_n}.

4. D’après ce qui précède on dispose deD dans D_n etU dans U_n tels qu’on ait A =U DU^∗ = U DU⁻¹. On a donc AA^∗ = U DD^∗U⁻¹ et donc Tr(AA^∗) = Tr(DD). Comme la matrice diagonale Dest formée des valeurs propres de A et que la diagonale deAA^∗ est formée des normes des vecteurs lignes de A, il vient

Tr(AA^∗) =

n

X

i=1 n

X

j=1

|A_i,j|²= Tr(DD^∗) =

n

X

i=1

|λ_i|²,

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i.e.

n

X

i=1

|λ_i|² =

n

X

i=1 n

X

j=1

|A_i,j|².

5a. Si A appartient à N_n, on dispose de D dans D_n et U dans U_n tels qu’on ait A = U DU^∗ = U DU⁻¹. On a alors A^∗ =U D^∗U⁻¹ et donc Ker(A) =U(Ker(D)) =U(Ker(D^∗)) = Ker(A^∗) puisque D et D^∗ sont diagonales et ont même noyau, à savoir l’espace engendré par les vecteurs de la base canonique associés à un terme nul sur la diagonale de D ou D^∗. Il en résulte Ker(A) = Ker(A^∗).

5b. En reprenant le raisonnement de la question 3a., siAappartient àN_n, alors il en va de même de A−λI_n pour tout scalaireλ dans C. Il en résulte que le noyau de A−λI_n est celui de A^∗−λIn et donc tout vecteur propre de A pour la valeur propre λ est également vecteur propre de A^∗ pour la valeur propreλ.

Réciproquement soit A dansMn(C) dont tout vecteur propre est un vecteur propre de son adjointe. Comme on travaille sur C, on dispose d’une valeur propre de A et d’un vecteur propre unitaire x de A, donc aussi de A^∗. On note F l’orthogonal de Cx. Puisque Cx est stable par A,F est stable par A^∗. De mêmeCx est stable par A^∗ doncF est stable par A.

Par le raisonnement conduit en 3b. et par unicité de l’adjoint, il en résulte que l’adjoint de la restriction deA à F est la restriction deA^∗ à F. En particulier ces deux endomorphismes de F ont mêmes vecteurs propres. De plus si la restriction de A àF est diagonalisable dans une base orthonormée, il en va de même pour Aen adjoignant xà cette base. Le principe de récurrence permet donc de conclure que A est diagonalisable dans une base orthonormée et donc A∈ N_n d’après 3b.

Au final (i)⇔(ii).

6a. Soit A dans N_n. On note (λ_i)_1≤i≤r l’ensemble de ses valeurs propres comptées sans multi- plicité. Puisque 1 ≤ r ≤ n, on dispose d’un polynôme P de Cr−1[X] vérifiant ∀i ∈ J1, rK, P(λi) =λi, par exemple donné par la formule d’interpolation de Lagrange. Soit alorsDdans D_n et U dans U_n tels qu’on ait A = U DU^∗ = U DU⁻¹. Il vient P(D) = D = D^∗ et donc P(A) =U P(D)U⁻¹ =U D^∗U^∗ =A^∗ et donc A^∗ est un poynôme en A.

6b. SiAetBcommutent, tout polynôme enAcommute avec tout polynôme enB. Par conséquent, en utilisant la question précédente, si A et B sont dans N_n les quatre matrices A, A^∗,B et B^∗ commutent entre elles et donc AB commute avec B^∗A^∗, ce qui n’est autre que (AB)^∗. Il en résulte AB∈ N_n.

7. Soit A dans Mn(C) et U dans U_n tels qu’on ait A^∗ =AU etAU =U A, alors A^∗ commute avec A en tant que produit de deux telles matrices et doncA∈ N_n.

Réciproquement soit A dans N_n. On dispose de D dans D_n et V dans U_n tels qu’on ait A =V DV^∗ = V DV⁻¹. Soit W la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont égaux à 1 si le terme correspondant dans D est nul et à λ/λ s’il est égal à λ non nul. Alors W appartient à U_n puisqu’elle est diagonale à diagonale unitaire et on a DW = D = D^∗. On pose alors U =V W V^∗ de sorte qu’on a

A^∗ =V D^∗V^∗=V DW V^∗=V DV^∗V W V^∗ =AU .

De plus, puisque D et W sont diagonales, elles commutent entre elles et donc A etU aussi.

Enfin on a U U^∗=V W W^∗V^∗ =V V^∗=I_n et doncU ∈ U_n. Au final (i)⇔(ii).

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PARTIE II - valeurs singulières d’une matrice

8. On remarque tout d’abord H⁺_n ⊂ H_n ⊂ N_n et donc toutes les matrices de ces ensembles sont diagonalisables dans une base orthonormée d’après la question 3b. et, si Aest une telle matrice, on dispose de Ddans D_n et U dans U_n tels qu’on ait A=U DU^∗ =U DU⁻¹. Ainsi on aA=A^∗ si et seulement siD=D^∗, i.e.Dest réelle, ce qui signifie que les valeurs propres de A sont réelles puisque la diagonale de Dest constituée de ces valeurs propres.

De plus si A=A^∗,A∈ H⁺_n si et seulement si pour tout vecteur x de Cⁿ, on a hx|Axi ≥0, i.e. hU^∗x | DU^∗xi ou encore, puisque U^∗ est bijective, si et seulement si pour tout vecteur y de Cⁿ, on a hy |Dyi ≥ 0. Cette dernière condition s’écrit ^Pn_i=1λ_i|y_i|² en notant (λ_i) la diagonale de Det (yi) les coordonnées dey et cette quantité est positive pour toutes valeurs de (yi) dansCⁿ si et seulement si tous les λi le sont. Ainsi

Aappartient à H_n, respectivementH⁺_n si et seulement si elle est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles, respectivement réelles positives.

9. Soit A et S dans H⁺_n telles que S² = A alors A et S sont diagonalisables et commutent.

Soit λ une valeur propre de S et Eλ l’espace propre associé, alors λ est réel positif d’après ce qui précède, et la restriction de A à E_λ est λ²Id_Eλ puisque A=S². Comme l’application carré est injective sur R₊ et que les valeurs propres de A sont réelles positives, d’après la question précédente, il en résulte que Eλ est l’espace propre de A pour la valeur propre λ² puisqu’on a démontré l’inclusion et que l’inclusion réciproque résulte de considérations de dimension sachant que les espaces propres de Asont en somme directe. Il en résulte queS est nécessairement égal à l’endomorphisme ^X

µ∈Sp(A)

√µpµ oùpµdésigne le projecteur sur l’espace propre deAassocié à la valeur propreµ. Comme, réciproquement, un tel endomorphisme est d’une part diagonalisable dans une base orthonormée avec des valeurs propres réelles positives et d’autre part de carréA, on en déduit qu’il existe un uniqueS dansH⁺_n vérifiantS² =A.

10. SoitAdansMn(C). On dispose d’une décomposition polaire deAet donc deU dansU_net de S dansH⁺_n tels qu’on aitA=U S. D’après la question 8. on dispose également deDdansD_n et à coefficients réels positifs et de V dansU_n avec S=V DV^∗. On en déduitA= (U V)DV^∗ et donc, puisque V^∗ etU V appartiennent à U_n (car U_n est un groupe de par la question 2a.

et qu’on a V^∗ =V⁻¹), A admet une décomposition en valeurs singulières.

11. Les matrices de permutations sont dansU_nd’après 2b. et donc si une matriceAadmetU DW comme décomposition en valeurs singulières, (U P^∗)(P DP^∗)(P W) en est une aussi. On peut donc choisirDde sorte que ses coefficients diagonaux soient ordonnés de façon décroissante : une telle décomposition en valeurs singulières existe. De plus, pour toute décomposition en valeurs singulières A = U DW, il vient A^∗A = W^∗D^∗DW = W⁻¹D²W, de sorte que la diagonale de D est formée est racines carrées positives des valeurs propres deA^∗A. On peut remarquer au passage que A^∗A appartient àH⁺_n et admet donc des valeurs propres positives puisqu’on a (A^∗A)^∗=A^∗A et que, pour toutx dansCⁿ,

hx|A^∗Axi=kAxk² ≥0.

L’ensemble des éléments de la diagonale de D est donc unique et donc, si on impose qu’ils soient ordonnés de façon décroissante, ces coefficients sont déterminés de façon unique.

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PARTIE III - inégalités de traces

12a. PuisqueX²−X annuleP, son spectre est inclus dans{0,1}et donc on a Tr(P) = rg(P) =k, i.e.

n

X

i=1

P_ii=k.

Pour idans J1, nK, on a, puisque P =P² etP^∗ =P,

Pii=he_i |P eii=he_i |P²eii=hP^∗ei|P eii=kP e_ik²

et donc 0≤Pii≤ kPk². De plus, commeP est diagonalisable dans une base orthonormée, la norme de P est majorée par le plus grand module de ses valeurs propres car, si (ui) est une base orthonormée de diagonalisation et (λ_i) les valeurs propres associées, on a pour tout x dans C

kP xk²=

n

X

i=1

|λ_i|²he_i|xi² ≤ max

1≤i≤n|λ_i|²kxk² .

Il en résulte kPk ≤1 (en fait il y a égalité sauf siP est nul) et donc 0≤Pii≤1.

12b. Soit (x₁, . . . , x_n) des réels vérifiant 0 ≤ x_i ≤ 1 pour 1 ≤ i ≤ n et

n

X

i=1

x_i = k. Soit j dans J1, kKtel que xj <1 alors on dispose de ` dans Jk+ 1, nK vérifiant x<sub>`</sub> >0 (sinon on aurait

n

X

i=1

xi ≤k−1 +xj < k) et donc aussi deεstrictement positif tel quexj+ε <1 etx`−ε >0.

De plus on a

X

i=1

λixi≤

n

X

i=1

λixi+ (λj−λ`)ε et donc la somme

n

X

i=1

λ_ix_i est maximale lorsque x₁ =· · · =x_k = 1 et x_k+1 =· · · =x_n = 0.

Elle vaut alors

k

X

i=1

λ_i.

Puisque Tr(P D) =^P_i=1λ_iP_ii, il en résulte Tr(P D)≤

k

X

i=1

λ_i.

De plus siP est la matriceI_n,kdéfinie comme diagonale dont leskpremiers termes diagonaux sont égaux à 1 et les autres nuls, on a P²=P =P^∗, rg(P) =k et Tr(P D)≤

k

X

i=1

λ_i.

12c. Si une matrice P vérifie la condition (P_k), elle appartient àH_n et son spectre est inclus dans {0,1}, donc on dispose de D dans D_n et U dans U_n tels qu’on ait A =U DU^∗ = U DU⁻¹. Quitte à multiplier par une matrice de permutation comme dans la question 11. on peut supposer que les valeurs propres de D sont ordonnées de façon décroissante et il en résulte D=In,kavec les notations de la question précédente. Par conséquentP1etP2sont semblables

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à In,k via une matrice de U_n et elles le sont donc entre elles : il existe U dans U_n tel que P2 =U P1U^∗.

La question précédente montre que

k

X

i=1

λ_i est le maximum des Tr(P D) pour P vérifiant (P_k) et donc, d’après ce qu’on vient de démontrer, en fixant P vérifiant cette condition,

k

X

i=1

λ_i = max

U∈Un

Tr(U P U^∗D).

13. SoitU dansU_n, alorsU^∗ appartient aussi àU_net donc, d’après la question 2b. leurs colonnes sont des vecteurs unitaires. Il en résulte

n

X

i=1

|U_ik|²=^X

j=1

|U_kj|² = 1

pour tout entier k entre 1 et n. Comme les modules sont des nombres réels positifs, il en résulte que (|U_ij|²)_1≤i,j≤n est doublement stochastique.

14a. Puisque les colonnes de A avant la k-ème ont des 1 en position diagonale, tous leurs autres termes sont nuls, et de même pour les lignes, puisqueAest doublement stochastique. Comme Akkest distinct de 1, lak-ème ligne et lak-ème colonne ont des termes non nuls en dehors de A_kket on en déduit l’existence dem et`strictement supérieurs àktels queA<sub>k`</sub> etA_mk sont non nuls. Il en résulte alors A<sub>m`</sub> 6= 1 car sinon ces deux termes seraient nuls par stochasticité, i.e. Ak` 6= 0,Amk 6= 0 etAm` 6= 1.

14b. On pose

A⁰ =A+ min(Am,k, Ak,`) (Ekk−Ek`−Em,k+Em,l) .

Alors A⁰ est à coefficients réells par construction et aussi à termes positifs puisque tous ses termes sont supérieurs à ceux correspondants dans Aà l’exception des termes d’indices (k, `) et (m, k) qui sont positifs par définition d’un minimum. De plus A⁰ vérifie les conditions (i) et (ii) par construction et définition du minimum. Enfin

n

X

i,j=1

A⁰_ijα_iβ_j−

n

X

i,j=1

A_ijα_iβ_j = min(A_m,k, A_{k,`</sub>) (α<sub>k</sub>β<sub>k</sub>−α<sub>k</sub>β<sub>`}−α_mβ_k+α_mβ_`)

= min(Am,k, Ak,`)(αk−αm)(βk−β`)≥0 et donc A⁰ vérifie les conditions (i), (ii) et (iii).

Il en résulte que la somme

n

X

i,j=1

Aijαiβj est maximale parmi les matrices doublement stochas- tiques lorsque A est l’identité et donc max

A∈DSn

n

X

i,j=1

Aijαiβj =

n

X

i=1

αiβi.

15a. D’après la question 11. on dispose deU₁,W₁,U₂ etW₂ dansU_n tels queA=U₁DW₁ etB= U2T W2. Il vient alors Tr(AB) = Tr(U1DW1U2T W2) = Tr(W2U1DW1U2T) par commutativité de la trace. Comme U_n est stable par multiplication, en posant U =W₂U₁ etV =W₁U₂, il vient Tr(AB) = Tr(U DV T) avecU etV dans U_n.

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15b. Pouridans J1, nK, on a en notant δ le symbole de Kronecker (U DV T)_ii=

n

X

j,k,`=1

U_ijD_j,kV_{k,`</sub>T<sub>`,i}=

n

X

j,k,`=1

U_ijα_jδ_jkV_{k,`</sub>β<sub>i</sub>δ<sub>`,i}

et donc Tr(AB) =

n

X

i,j=1

UijVjiαiβj.

15c. Par positivité des réelsαietβj, il résulte de l’inégalité triangulaire et de l’inégalité de Cauchy- Schwarz

|Tr(AB)| ≤

n

X

i,j=1

|U_ij||V_j,i|α_iβj ≤





n

X

i,j=1

|U_i,j|²αiβj





1/2



n

X

i,j=1

|V_j,i|²αiβj





1/2

et donc, d’après 13 et 14b., puisque U etV^∗ appartient à U_n, |Tr(AB)| ≤

n

X

i=1

α_iβ_i.

15d. D’après le calcul effectué à la question 11, les valeurs singulières deAsont les racines carrées des valeurs propres de A^∗A. Donc, pour une matrice dans H⁺_n, ce sont ses valeurs propres puisque A^∗A=A² et qu’on a affaire à des valeurs propres réelles positives. Par positivité on a aussi

n

X

i=1

αiβi ≤

n

X

i,j=1

αiβj et donc |Tr(AB)| ≤Tr(A) Tr(B).

16. Soit λ= max(−α_n,−β_n). On note A⁰ = A+λIn et B⁰ =B+λIn alors A⁰ et B⁰ sont dans H_n et toutes leurs valeurs propres sont positives, donc elles sont dansH⁺_n d’après la question 8. Pour U dans U_n, U^∗B⁰U appartient à H_n et ses valeurs propres sont celles de B⁰, donc U^∗B⁰U appartient à H_n⁺ et donc, d’après la question 15b.,

Tr(A⁰U^∗BU)≤

n

X

i=1

(αi+λ)(βi+λ)

puisque les valeurs propres de U^∗B⁰U sont celles de B⁰ et que les valeurs singulières des matrices dans H_n sont leurs valeurs propres. Il en résulte, puisqueU^∗B⁰U =U^∗BU +λIn,

kA−U^∗BUk² = A⁰−U^∗B⁰U²=A⁰²+B⁰²−2 Tr(A⁰U^∗B⁰U)

≥

n

X

i=1

(α_i+λ)²+ (β_i+λ)²−2(α_i+λ)(β_i+λ)=

n

X

i=1

(α_i−β_i)². De plus on dispose de U1 etU2 dans U_n tels qu’on aitA⁰ =U1(D+λIn)U₁^∗ etB⁰ =U2(T+ λIn)U₂^∗ de sorte qu’avec U dansU_ndéfini par U =U₂U₁^∗, il vient

A⁰−U^∗B⁰U =U₁(D+λI_n−U₂^∗U₂(T+λI_n)U₂^∗U₂)U₁^∗=U₁(D−T)U₁^∗ et donc, pour ce choix deU, il y a égalité l’inégalité précédente et il en résulte

U∈Uminn

kA−U^∗BUk= v u u t

n

X

i=1

(αi−βi)².