2.2 DÉRIVÉE PARTIELLE

(1)

cours 10

2.2 DÉRIVÉE

PARTIELLE

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

Au dernier cours, nous avons vu

Fonctions à plusieurs variables

(4)

Au dernier cours, nous avons vu

Fonctions à plusieurs variables Les courbes de niveau

(5)

Au dernier cours, nous avons vu

Limite de fonction à deux variables

(6)

Au dernier cours, nous avons vu

Limite de fonction à deux variables Continuité

(7)

Aujourd’hui, nous allons voir

(8)

Aujourd’hui, nous allons voir

Dérivées partielles.

(9)

Aujourd’hui, nous allons voir

Dérivées partielles d’ordre supérieur.

(10)

Aujourd’hui, nous allons voir

Dérivées partielles d’ordre supérieur.

Équations aux dérivées partielles.

(11)

La dérivée d’une fonction à une variable est f ⁰(x) = lim f (x + x) f (x)

x

(12)

La dérivée d’une fonction à une variable est f ⁰(x) = lim

x!0

f (x + x) f (x) x

On veut généraliser cette idée à une fonction ^z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> ⁼ ^f ^{(x, y}⁾

(13)

x!0

f (x + x) f (x) x

La première idée pourrait ressembler à quelque chose comme

(14)

x!0

f (x + x) f (x) x

( x, ylim)!(0,0)

f (x + x, y + y) f (x, y) x y

(15)

x!0

f (x + x) f (x) x

( x, ylim)!(0,0)

f (x + x, y + y) f (x, y) x y

Mais malheureusement, comme on a vu au dernier cours, pour

qu’une limite existe il faut qu’elle donne la même valeur, peu importe le chemin.

(16)

x!0

f (x + x) f (x) x

( x, ylim)!(0,0)

f (x + x, y + y) f (x, y) x y

Mais malheureusement, comme on a vu au dernier cours, pour

qu’une limite existe il faut qu’elle donne la même valeur, peu importe le chemin.

Or ici, ce n’est presque jamais le cas!

(17)

On va donc plutôt essayer de faire apparaitre des dérivées de fonctions à une variable.

(18)

Pour faire ça, on va regarder l’intersection de la surface

(19)

Pour faire ça, on va regarder l’intersection de la surface z = f (x, y)

(20)

Pour faire ça, on va regarder l’intersection de la surface z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = f (x, y)

avec les plans

(21)

avec les plans x = k

(22)

avec les plans x<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = k

et avec les plans

(23)

avec les plans x<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = k

et avec les plans y = k

(24)

y<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = k

x<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = k

x<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

y

z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

f (x, k)

f (k, y)

(25)

x = k

y

f (x, k)

f (k, y)

(26)

f<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> (x, k)

Pour chaque valeur fixe de z = f (x, k)

<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> est une fonction à une variable

(27)

On peut donc calculer sa dérivée.

est une fonction à une variable

(28)

On peut donc calculer sa dérivée.

est une fonction à une variable

f ⁰(x, k)

(29)

y

z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> f<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> (k, y)

f ⁰(k, y)

y z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

Et aussi pour

(30)

y

z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> f<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> (k, y)

f ⁰(k, y)

y

Et aussi pour

(31)

Définition

Les dérivées partielles de la fonction sontf (x, y)

(32)

Définition

par rapport à x<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

(33)

Définition

@

@x f (x, y) = lim f (x + x, y) f (x, y) x

(34)

Définition

@

@x f (x, y) = lim

x!0

f (x + x, y) f (x, y) x

(35)

Définition

@

@x f (x, y) = lim

x!0

f (x + x, y) f (x, y) x

par rapport à ^y

(36)

Définition

@

@x f (x, y) = lim

x!0

f (x + x, y) f (x, y) x

@

@y f (x, y) = lim

y!0

f (x, y + y) f (x, y) y

par rapport à ^y<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

(37)

Définition

@

@x f (x, y) = lim

x!0

f (x + x, y) f (x, y) x

@

@y f (x, y) = lim f (x, y + y) f (x, y) y

par rapport à ^y<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit>

(38)

Notations

(39)

Notations z = f (x, y)

(40)

Notations z<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> = f (x, y)

@z

@x = @f

@x

(41)

@z

@x = @f

@x

@z

@y = @f

@y

(42)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

@z

@y = @f

@y

(43)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y)

(44)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

(45)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y) = f_y⁰

(46)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

(47)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y) = f_y⁰ = f_y⁰ (x, y)

(48)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

= f_y⁰ (x, y)

(49)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y) = f_y⁰ = f_y⁰ (x, y) = f₂⁰

(50)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

= f_y⁰ (x, y)

= f₂⁰

(51)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y) = f_y⁰ = f_y⁰ (x, y) = f₂⁰ = D_yf

(52)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

= f_y⁰ (x, y)

= f₂⁰

= D_yf

(53)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y = @

@y f (x, y) = f_y⁰ = f_y⁰ (x, y) = f₂⁰ = D_yf = D₂f

(54)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

= f_y⁰ (x, y)

= f₂⁰

= D_yf

=<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> D₂f

Pour l’évaluation en un point.

(55)

@z

@x = @f

@x

= @

@x f (x, y)

= f_x⁰

= f_x⁰ (x, y)

= f₁⁰

@z

@y = @f

@y

= @

@y f (x, y)

= f_y⁰

= f_y⁰ (x, y)

= f₂⁰

= D_yf

=<latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit><latexit sha1_base64="(null)">(null)</latexit> D₂f

@

@x f (x, y) = f_x⁰ (a, b)

Pour l’évaluation en un point.