Etude de l'existence de solutions et de l'inégalité de Lewy-Stampacchia pour des problèmes paraboliques non linéaires avec obstacle

يمـلـعـلا ثـحبـلا و يـلاعـلا ميـلـعتـلا ةرازو

UNIVERSITE BADJI MOKHTAR ANNABA

BADJI MOKHTAR UNIVERSITY ANNABA

راتخم يجاب ةعماج

ةبانع

Faculté des Sciences

Année : 2014/2015

Département de Mathématiques

THESE

Présentée en vue de l’obtention du diplôme de DOCTORAT

Option

Analyse Fonctionnelle

Titre

Etude de l'existence de solutions et de l'inégalité de

Lewy-Stampacchia pour

des problèmes paraboliques non linéaires avec obstacle

Par

Bellal Nabila

DIRECTEUR DE THESE : Mokrane Abdelhafid Prof. E.N.S Kouba, Alger

CO-DIRECTRICE DE THESE: Amiar Rachida

MCA. U.B.M. ANNABA

Devant le jury

PRESIDENT : Rebbani Faouzia Prof. U.B.M. ANNABA

EXAMINATEURS :

Moussaoui

Mohand

Prof. E.N.S Kouba, Alger

Aibeche Aissa Prof. U. de SETIF

Djellit Ali Prof. U.B.M. ANNABA

Résumé

L’objectif de cette thèse est de prouver l’existence d’au moins une solution pour un problème non linéaire parabolique unilatéral avec obstacle ≠ 0 de la forme:

∂u

∂t  Au  g u, Du − f   dans Q    0, T

u ≥  ,  ≥ 0  u −   0 dans Q

u x, t  0 sur 

u x, 0  u0x dans 

A est un opérateur de type Leray-Lions qui opère de Lp _{0, T; W}

0 1, p

 dans son dual, f est donnée dans Lp′_{Q, gx, t, u, Du est un terme non linéaire de la forme u |Du|}q_avec

q  p − 1.

Ce travail est une généralisation des résultats obtenus par A. MOKRANE [M] pour

  0. Il constitue l’essentiel du chapitre 3. Les chapitres 1 et 2 sont consacrés à des

rappels respectivement, sur certaines notions et résultats utiles pour notre travail et sur la méthode de pénalisation.

Enfin, le chapitre 4 est consacré à l’étude de l’inégalité de Lewy-Stampacchia pour le cas particulier d’un problème parabolique linéaire avec obstacle, quelques difficultés sont soulignées aussi dans ce chapitre. Nous terminons cette thèse par des perspectives, une conclusion et une bibliographie.

Abstract

The main goal of this thesis is to prove the existence of at least one solution to a nonlinear parabolic unilateral problem with obstacle ≠ 0 in the form:

∂u

∂t  Au  g u, Du − f   in Q    0, T

u ≥  ,  ≥ 0  u −   0 in Q

u x, t  0 on 

u x, 0  u0x in 

A is a Leray-Lions type operator acting from Lp _{0, T; W}

0 1, p

 into its dual, f ∈ Lp′_{Q, g}

is a nonlinear lower order term having growth of order qq  p − 1 with respect to |Du|. This result can be seen as a generalization of the result of A. MOKRANE [M] obtained in the case where the obstacle is zero. This is the main subject of chapter 3. In Chapter 1and 2, respectively, we recall some notions and result about the penalization method.

Finally, chapter 4 is devoted to the study of the Lewy-Stampacchia’s inequality for the particular case of a linear parabolic problem with obstacle, some difficulties are also highlighted in this chapter. We end this thesis by prospects, conclusion and bibliography.

ﺺﺨﻠﻣ

ﺮﯿﻏ ﺔﯾﺮﯿﻐﺘﻟا ﺔﺤﺟاﺮﺘﻤﻠﻟ ﺎﯿﻛﺎﺒﻣﺎﺘﺳ - ﻲﻘﯿﻟ ﺔﻨﯾﺎﺒﺘﻣ و دﻮﺟﻮﻟا ﺔﺳارد ﻮھ ﺔﺣوﺮطﻷا هﺬھ ﻦﻣ فﺪﮭﻟا : ﺔﯿﻟﺎﺘﻟا ،  ≠ 0 موﺪﻌﻣ ﺮﯿﻏ ﺰﺟﺎﺣ تاذ ﺔﺌﻓﺎﻜﻤﻟا ﺔﯿﻄﺨﻟا ∂u ∂t  Au  g u, Du − f   ﻲﻓ Q    0, T u ≥  ,  ≥ 0  u −   0 ﻲﻓ Q u x, t  0 ﻰﻠﻋ  u x, 0  u0x ﻲﻓ  و ، Lp′ 0, T; W−1, p′  ﻲﻓ Lp _{0, T; W} 0 1, p  ءﺎﻀﻔﻟا ﻦﻣ ﺲﻧﻮﯿﻟ - يرﻮﻠﻟ ﺮﺛﺆﻣ A ﺚﯿﺣ . q  p − 1 ﺚﯿﺣ u|Du|q_{، ﻞﺜﻣ ﺪﯾاﺰﺘﯾ ﻲﻄﺧ ﺮﯿﻏ ﺪﺣ g و f ∈ L}p′ Q ﺎﮭﯿﻠﻋ ﻞﺼﺤﺗ ﻲﺘﻟا ﺞﺋﺎﺘﻨﻟا ﺎﻨﻤﻤﻋ ﺪﻗ نﻮﻜﻧ ﻚﻟﺬﺑ و ، هﻼﻋأ ﺔﯾﺮﯿﻐﺘﻟا ﺔﺤﺟاﺮﺘﻤﻠﻟ ﻞﺣ دﻮﺟو ﺖﺒﺜﻧ . ﺚﻟﺎﺜﻟا ﻞﺼﻔﻟا ىﻮﺘﺤﻣ ﻮھ ﻚﻟذ   0 , ﺰﺟﺎﺤﻟا ﺔﻟﺎﺣ ﻲﻓ ، A. MOKRANE [M] .ﺔﻗﺎﻋﻹا ﺔﻘﯾﺮط و ﺞﺋﺎﺘﻨﻟا و ﻢﯿھﺎﻔﻤﻟا ﺾﻌﺑ ﻲﻟاﻮﺘﻟا ﻰﻠﻋ ناﺮﻛﺬﯾ ، ﻲﻧﺎﺜﻟا و لوﻷا نﻼﺼﻔﻟا ﺎﻣأ ﺔﻨﯾﺎﺒﺘﻤﻟا هﺬﮭﻟ ﺎﻧﺎھﺮﺑ مﺪﻘﻧ ﺚﯿﺣ  ≤ f −_{, ﺎﯿﻛﺎﺒﻣﺎﺘﺳ - ﻲﻔﯿﻟ ﺔﻨﯾﺎﺒﺘﻣ ﻊﺑاﺮﻟا ﻞﺼﻔﻟا ﻲﻓ مﺪﻘﻧ اﺮﯿﺧأ و} تﺎﻌﻗﻮﺘﻟا ﺾﻌﺑ ﻚﻟﺬﻛ و ﺔﻓدﺎﺼﻤﻟا تﺎﺑﻮﻌﺼﻟا و تﻻوﺎﺤﻤﻟا ﺾﻌﺑ ﻚﻟﺬﻛ مﺪﻘﻧ و ، ﺔﺌﻓﺎﻜﻣ ﺔﯿﻄﺧ ﺔﺤﺟاﺮﺘﻣ ﺔﻟﺎﺣ ﻲﻓ . ﺔﯿﻄﺨﻟا ﺮﯿﻏ ﺔﺌﻓﺎﻜﻤﻟا تﺎﺤﺟاﺮﺘﻤﻠﻟ ﺔﻣﺎﻌﻟا ﺔﻟﺎﺤﻟا ﻲﻓ . ﻊﺟاﺮﻣ و ﺔﻤﺗﺎﺨﺑ ،ﻲﻠﺒﻘﺘﺴﻤﻟا ﻞﻤﻌﻠﻟ تﺎﺣاﺮﺘﻗﻹا ﺾﻌﺒﺑ ﺔﺣوﺮطﻷا هﺬھ ﻲﮭﻨﻧ

Table des Matières

Introduction générale 6 Chapitre 1 : RAPPELS 8 1 Notations 9 2 Espaces Lp ₁₀ 3 Espaces de Sobolev 12 3.1 Dérivée faible 12 3.2 Espace W1,p_{ 13} 3.3 Les espaces Lp_{0, T; X 15}

Chapitre 2 : METHODE DE PENALISATION 19

1 Opérateurs monotones 20

2 Opérateurs pseudo-monotones 24

3 Inéquations variationnelles 26

4 Résolution des inéquations variationnelles par la méthode de pénalisation 30

Chapitre 3 : EXISTENCE DE LA SOLUTION 35

1 Introduction 36

2 Hypothèse et résultat principal 37

3 Démonstration du theoreme 2.1 40 3.1 Approximations et pénalisation 40 3.2 Estimation de u dans Lp0, T; W01,p 41 3.3 Estimation de u−−  dans LpQ 44 3.4 Équi-intégrabilité de g_x, t, u, Du 47

3.5 Convergence presque partout de uet Du 48

3.6 Passage à la limite dans l’équation 50

3.7 Condition initiale 51

4 Commentaires sur la démonstration 53

Chapitre 4 : Inégalité de Lewy- Stampacchia par pénalisation 54

1 Introduction 55

paraboliqe linéaire avec obstacle  0

2.1 Pénalisation et estimation a priori 62

2.2 Preuve du résultat d’existence 64

2.3 Convergence forte de z_−_{dans L}2_{Q 64}

2.4 Preuve de l’inégalité de Lewy- Stampacchia 67 3 Idées pour l’obtention de l’inégalité de Lewy- Stampacchia dans le cas général 67 Schéma à suivre pour la démonstration de l’inégalité de Lewy- Stampacchia 69

Première étape 69

Deuxième étape 69

Perspectives 71

Conclusion 73

Introduction générale

L’objet de cette thèse est de montrer qu’il existe au moins une solution pour le problème non linéaire parabolique unilatéral suivant :

∂u

∂t  Au  gu, Du − f   dans Q    0, T (1.1)

u ≥ ,  ≥ 0 et u −   0 dans Q (1.2)

ux, t  0 sur  (1.3)

ux, 0  u0x dans . (1.4)

A est un opérateur de type Leray-Lions qui opère de Lp _{0, T; W}

0

1, p_{ dans son dual. f est}

donnée dans Lp′_{Q et gx, t, u, Du est un terme non linéaire dont le prototype est de la}

forme u|Du|q _{avec q  p − 1.}

Nous supposerons tout au long de notre travail que : p  2.

Dans cette thèse nous montrons que pour un obstacle qui est non nul et dépendant du

temps, la solution cherchée, satisfait l’équation après modification par une fonction

positive, et qui vérifie l’égalité complémentaire. Le terme unilatéral provient du fait que u est une solution forte au sens de l’inéquation variationnelle parabolique1. 1, 1. 2, 1. 3 et1. 4.

Dans les cinquante dernières années, les inéquations variationnelles sont devenues un outil remarquable dans l’étude mathématique de nombreux problèmes non linéaires issus de la physique et la mécanique. La complexité des conditions aux limites et la diversité des équations constitutives conduisent à des formulations variationnelles de type inéquations.

Les bases de la théorie des inéquations variationnelles ont été introduites à partir des résultats concernant les problèmes unilatéraux obtenus par SIGNORINI [S] et FICHERA [F]. Signalons par ailleurs les travaux de TING [T] concernant les problèmes

d’élastoplasticité. Les fondements mathématiques de la théorie ont été élargis par les contributions précieuses de STAMPACCHIA [St2], LIONS et STAMPACCHIA [LiS] et puis développés par l’école française et italienne: BREZIS [Br2], [Br1], STAMPACCHIA [St4], LIONS [L], MOSCO [Mo2], KINDERLEHRER et STAMPACCHIA [KS].

Concernant l’approximation des inéquations variationnelles on rappelle, pour citer quelques unes, les contributions de MOSCO [Mo1], GLOWINSKI, LIONS ET TRÉMOLIÈRES [GLT] et GLOWINSKI [G].

La modélisation de phénomènes dépendant du temps conduit à considérer des

problèmes d’évolution tenant compte d’éventuelles interactions entre objets et évènements. La préoccupation première du mathématicien confronté à ce genre de problèmes est de lui donner un sens dans des espaces fonctionnels appropriés et d’y démontrer l’existence et

l’unicité d’une solution.

La démonstration présentée dans cette thèse utilise la méthode classique de pénalisation et un nouveau théorème de compacité (voir [BM2]) qui assure que les

gradients des solutions des problèmes paraboliques non linéaires associés à des opérateurs de type Leray-Lions sont compacts dans Lq_{Q ∀q  p, lorsque les données sont bornées}

dans L1_Q.

Un résultat similaire a été établi dans le cas où g est nulle (voir par exemple [Do]). D’autre part le cas où dans l’équation associée au problème unilatéral1. 1, 1. 3 et 1. 4 la mesure complémentaire est absentée (i.e. le cas où   0 dans 1. 1, les contraintes1. 2 étant omises ) a été traité dans [BM1].

Signalons que d’après [M] le problème1. 1 − 1. 4 admet une solution pour   0. Notre travail consiste à généraliser les résultats obtenus dans [M] en employant d’autres types de techniques de résolution. Notons que plusieurs auteurs (voir par exemple [AAR], [ABBM], [KKS] ont traité ce genre de problème mais avec divers types d’hypothèses sur l’opérateur A, la fonction g ainsi que les données.

Cependant les travaux précédents n’ont pas étudié « l’égalité complémentaire »

u −   0 ainsi que l’existence d’une fonction positive  comme c’est le cas pour notre

problème.

Dans le chapitre 1 de cette thèse on rappelle les définitions de certains espaces

fonctionnels et quelques résultats utiles pour notre travail. Au chapitre 2 nous rappellerons la méthode de pénalisation ainsi que les outils nécessaires pour une bonne compréhension de cette approche.

La contribution principale de cette thèse est présentée au chapitre 3 où nous établirons un théorème d’existence pour notre problème.

Nous étudions au chapitre 4 l’inégalité de Lewy-Stampacchia dans le cas particulier d’un problème linéaire parabolique avec obstacle.

Nous y formulerons également des remarques et des perspectives pour un travail futur. Cette thèse se termine par une conclusion dans laquelle nous récapitulons les résultats de notre travail.

CHAPITRE 1

L’objectif de ce chapitre est de rappeler l’essentiel des notions et résultats utilisés tout au long de cette thèse. Nous commençons en premier lieu, par introduire quelques notations générales. Ensuite nous rappelons certains espaces fonctionnels et quelques résultats qui nous seront utiles par la suite.

1 Notations

 : ouvert de N

∂ : frontière topologique de 

x  x1, . . . , xN : point générique de N

dx  dx1dx2. . . dxN : mesure de Lebesgue sur

Q : 0, T  , t ∈ 0, T, t variable de temps, T  0

∑

: 0, T  ∂

Du : gradient de u

f _{, f} − _{: maxf, 0, max−f, 0}

D, DQ, . . . : espace des fonctions indéfiniment différentiables et à support compact dans, Q, . . .

Ck_{, C}k_{Q : espace des fonctions k-fois continûment différentiables dans , Q}

C, CQ : espace des fonctions continues dans , Q

Lp_{ : espace des fonctions de puissance p- ième intégrables sur  pour la mesure de}

Lebesgue muni de la norme ‖f‖_Lp_ 



|fx| p_dx 1p W1, p_{  u ∈ L}p_{, Du ∈ L}p_N_{; ‖u‖} W1,p_  ‖u‖_Lpp_  ‖Du‖_Lpp_ 1 p W₀1, p : adhérence de D dans W1, p_ W−1, p′_{ : espace dual de W} 0 1, p_

〈,  : le produit de dualité entre W−1, p′_{ et W} 0 1, p

 Si X un espace de Banach on pose:

Lp_{0, T; X  f : 0, T → X fortement mesurable;}



0 T ‖ft‖_Xp _{dt  } L_{0, T; X  f : 0, T → X fortement mesurable;} t∈0,T sup ess ‖ft‖_X  

Ck _{0, T; X : espace des fonctions k-fois continûment différentiables de 0, T → X.}

2 Espaces L

p

soit un ouvert de N_{, muni de la mesure de Lebesgue dx. On désigne par L}1_

l’espace des fonctions intégrables sur à valeurs dans . On le munit de la norme usuelle: ‖u‖_L1_ 



|ux|dx

Soit p ∈  avec 1 ≤ p  , on définit l’espace Lp_{ par}

Lp_{  f :  → , f mesurable et}



|fx| p_{dx  } Sa norme est ‖u‖_Lp_  



|ux| p_dx1 p

On définit aussi l’espace L_

L_{  f :  → , f mesurable, ∃c  0 , tel que |fx| ≤ c p.p sur }

Il sera muni de la norme du sup-essentiel ‖u‖_L_ 

x∈

supess |ux|  lnfc; |ux| ≤ c p.p sur 

On dit qu’une fonction f :  →  appartient à Llocp  si f |K ∈ Lp pour tout compact

K ⊂ .

Remarque 2.1

L’espace L² muni du produit scalaire

f, g 



est un espace de

Hilbert.

Théorème 2.1 (de Vitali)

Soitfn_n∈ℕ une suite de L1, fn → f p.p sur , si |fnx| ≤ gnx p.p sur ,

et , si gn → g sur L1 fort, alors fn → f sur L1 fort.

Remarque 2.2

Si g_n  g indépondamment de n, alors c’est le théorème de Lebesgue. On a le même résultat si on remplace L1_{ par L}2_{ ou L}1_{ par L}p_{, mais faux pour p  }

.

Définition 2.1

On dit que la suite f_{est équi-intégrable si}

∀, ∃  0, tq : |E| ≤  



E|f

_{|dx ≤ .}

Ici E désigne un sous ensemble mesurable de mesure |E|.

Lemme 2.1 Si f _{→ f p.p sur , quand  → 0} f_{, f ∈ L}1_, f_{bornée dans L}1_, f_{est équi-intégrable}

alors f _{→ f dans L}1_{ fort.}

La démonstration de ce lemme repose sur celui de Fatou et le théorème d’Egorov.

Lemme 2.2 (de Fatou)

Soitfn une suite de fonctions de L1telle que pour tout n, fnx  0 p.p. sur  et

n

Pour tout x ∈  on pose fx  n→ lim inf fnx. Alors f ∈ L1_{ et}



_{f ≤} n→ lim inf



fn.

Théorème 2.2 (inégalité de Hölder)

Soient f ∈ Lp_{et g ∈ L}p′ _{avec 1 ≤ p ≤  ,} 1

p  _p1_′  1. Alors f. g ∈ L1 et on a



|fg| ≤ ‖f‖_Lp‖g‖_Lp_′ (2.1) Remarque 2.3

On utilise souvent aussi (2.1) sous la forme:

ab ≤ ap _{ C}

bp′ ∀a  0, ∀b  0 avec C  −

1

p−1 . (2.2)

C’est la forme généralisée de l’inégalité de Young.

3 Espaces de Sobolev

Nous reprenons dans cette section certains énoncés de H. BREZIS [Br3] et J.L. LIONS [L] sur le sujet. Pour une présentation plus complète des espaces de Sobolev, on pourra consulter l’ouvrage de R.A. ADAMS [A].

3.1 Dérivée faible

Définition 3.1

Soit un ouvert de N_{, et 1 ≤ i ≤ N, une fonction u ∈ L} loc

1 _{ a une i-ème}

dérivée faible dans L_loc1 _{ :}

s’il existe fi ∈ Lloc1  telle que pour tout  ∈ C0 on a



_ux ∂i x dx  −



 fix x dx

Cela revient à dire que fi est la dérivée partielle par rapport à la i-ème variable, au sens

des distributions de u ∈ Lloc1 . On posera

∂iu  ∂u_∂x i  fi

3.2 Espace W

1,p

_

Soit un ouvert borné ou non de N_{, et p ∈ , 1 ≤ p ≤ , l’espace w}1, p_{ est}

défini par:

w1, p_{  u ∈ L}p_{; ∂}

iu ∈ Lp, 1 ≤ i ≤ N où ∂i est la i-ème dérivée faible de la

fonction u ∈ Lloc1 

On posera également:

H1_{  W}1,2_

Théorème 3.1 (de Fréchet-Kolmogorov)

Soient un ouvert de N _{et ⊂ .}

Soit F un sous-ensemble borné de Lp_{ avec 1 ≤ p  . On suppose que}

∀  0, ∃  0,   dist , N _{\ tel que}

‖f. h − f. ‖_Lp_   ∀h ∈ N avec |h|   et ∀f ∈ F. Alors F| est relativement compact dans Lp.

Théorème 3.2 (de Rellich-Kondrachov)

On suppose borné de classe C1_{. Si p  N, alors}

W1,p_{ ⊂ L}q_{ ∀q ∈ 1, p}∗_{, où 1}

p∗  1p − 1N

avec injection compacte. En particulier W1, p_{ ⊂ L}p_{ avec injection compacte pour}

tout p.

Voici une inégalité très utile portant sur les normes de Sobolev:

Inégalité de Poincaré

Soient 1 ≤ p   et  un ouvert borné de N_{. Alors il existe une constante C telle}

que pour tout u ∈ W01, p on ait

‖u‖_Lp_ ≤ C‖Du‖ Lp.

‖u‖_W1,p_  ‖u‖_Lpp_  ‖Du‖_Lpp_ 1 p

Définition 3.2

Soit 1 ≤ p   ; W01, p désigne la fermeture de Cc1 dans W1, p.

On note

H₀1_{  W} 0 1,2_

L’espace W₀1, pmuni de la norme induite par W1, p_{est un espace de Banach séparable ; il}

est réflexif si et seulement si 1  p  .

H₀1_{ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire de H}1_.

Remarque 3.1

Cc est dense dans W01, p. Autrement dit on peut utiliser indifféremment

C_c_{ au lieu de C}

c

1_{ dans la définition de W} 0 1, p

 (certains auteurs utilisent la notation D ou bien C0 au lieu de Cc).

Les fonctions de W₀1, p sont « en gros » les fonctions de W1, p_{ qui « s’annulent »}

sur∂  .

Définition 3.3

On désigne par W−1, p′_{ l’espace dual de W} 0 1, p

, 1 ≤ p   et par H−1_{ le dual}

de H₀1_.

On identifie L² et son dual, mais en générale on n’identifie pas H01 et son dual. On

a le schéma

H₀1_{ ⊂ L² ⊂ H}−1_.

avec injections continues et denses. Si est borné on a

W₀1, p ⊂ L² ⊂ W−1, p′_{ si 2N}

N 2 ≤ p   avec injections continues et denses.

W₀1, p ⊂ L² ⊂ W−1, p′_{ si 2N}

N 2 ≤ p ≤ 2. On peut caractériser les éléments de W−1, p′ _{par la}

Proposition 3.1

Soit F ∈ W−1, p′_{, alors, il existe f}

0 , f1 , . . . fN ∈ Lp′ telle que F ,  



f0  i 1

∑

N



_fi _dxd i ∀ ∈ W0 1, p  et ‖F‖  0≤ i ≤ N max ‖fi‖_Lp′.

Si est borné, on peut prendre f0  0.

3.3 Les espaces L

p

_{0, T; X}

On introduit maintenant des espaces de fonctions en x et t. Si x, t → x, t est une fonction définie dans Q, on posera

t : «x → x, t»,

et sera alors considérée comme fonction (ou distribution) en t à valeurs dans un espace de

fonctions (ou distributions) en x.

De façon générale, X étant un espace de Banach, on désigne par Lp_{0, T; X l’espace des}

(classes de) fonctions t → ft de 0, T → X qui sont fortement mesurables à valeurs dans

X et telles que



₀T‖ft‖p_Xdt 1/p _{ ‖f‖}

Lp_{0,T ; X}   ; (3.1) Si p  , on remplace la norme (3.1) par

‖f‖_L_{0,T ; X}  t∈0,T sup ess ‖ft‖_X; Naturellement, on a pour 1 ≤ p  : Lp_{0, T; L}p_{  L}p_{Q, où Q  0, T  } C0, T; X  u : 0, T → X continue .

Voici comment on définit, un peu plus généralement,∂f/∂t pour f ∈ Lp_{0, T; X.}

On désigne par D′_{0, T; X l’espace des distributions sur 0, T à valeurs dans X, défini}

par (cf. L. SCHWARTZ [Sc]):

D′_{0, T; X  LD0, T; X}

De façon générale LE; F désigne l’espace des applications linéaires continues de E dans

F.

Si f ∈ D′_{0, T; X, sa dérivée au sens des distributions est définie par}

∂f

∂t  −f

d

dt ∀ ∈ D0, T. (3.2)

Si f ∈ Lp_{0, T; X, il lui correspond une distribution encore notée f sur 0, T à valeurs}

dans X, par:

f 



0

T

fttdt,  ∈ D0, T,

qui est une intégrale à valeurs dans X. On peut encore définir∂f/∂t comme élément de

D′_{0, T; X}

Nous rappelons également ci-dessous quelques résultats que nous utiliserons par la suite

Proposition 3.2

Supposons X ⊂ B ⊂ Y tel que l’injection de X dans B est compact

X, B et Y sont des espaces de Banach

Soit F un borné de Lp_{0, T; X avec 1 ≤ p  , tel que ∂F}

∂t  ∂f∂t : f ∈ F est borné dans L1_{0, T; Y.}

Alors F est relativement compact dans Lp_{0, T; B}

Soit F un borné de L_{0, T; X tel que ∂F}

∂t est borné dans Lr0, T; Y (avec r  1). Alors F est relativement compact dans C0, T; B.

Proposition 3.3

Soit B un espace de Banach. Un sous-ensemble F de C0, T; B est relativement compact si et seulement si :

Ft  ft : f ∈ F est relativement compact dans B, ∀ 0  t  T, (3.3)

F est uniformément equicontinu c’est à dire :

∀   0, ∃ tel que:

‖ft2 − ft1‖_B ≤ , ∀f ∈ F,

∀ 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ T tel que: |t2 − t1| ≤ 

(3.4)

Pour une preuve de ces deux propositions on peut consulter [Si] .

Théorème 3.3 [BM2]

Soit un ouvert borné de N_{et T  0 fixé}

On considère l’équation non linéaire ∂un

∂t − div ax, t, un , Dun  fn gn dans D

′_{Q (3.5)}

Où : Au  − div ax, t, u, Du

est un opérateur de Leray-Lions défini dans Lp_{0, T; W}1,p_{ par la function de}

Carathéodory a :   0, T    N _{→ }N _{qui satisfait}

|ax, t, s, | ≤ cx, t  K1|s|p−1 K2||p−1

tel que: c ∈ Lp′_{Q, c  0, et K1, K2 ∈ }_. (3.6)

fn → f dans Lp′ 0, T; W−1, p′ fort (3.8) ax, t, s,  − ax, t, s, ∗_{ − }∗_{ } | − ∗_|p _{si p  2}   −  ∗ 2 dx,t    ∗ 2−p si p ≤ 2 p.p.x, t ∈ Q, ∀ s ∈ , ∀ , ∗ _{∈ }N (3.9)

pour un certain  0, avec d ∈ Lp_{Q, d  0.}

gnmesure de Radon bornée (3.10)

Alors

Dun → Du dans LqQNfort ∀q  p. (3.11)

Proposition 3.4

Si u ∈ W01, p et si t → Gt est une fonction uniformément lipschitzienne

(c.à.d.:|Gt′_{ − Gt}′′_{| ≤ K|t}′ _{− t}′′_|)

définie pour t ∈ R, telle que G0  0, alors Gu ∈ W01,p et

∂Gu ∂xi

 G′_{u ∂u}

∂xi

la démonstration de cette proposition se trouve, par exemple dans [St1].

Une conséquence de cette proposition est que si u ∈ W01, p alors |u|, u  max0, u et

u− _{ max0, −usont dans W} 0 1, p

CHAPITRE 2

MÉTHODE DE

PÉNALISATION

La pénalisation est un concept simple qui permet de transformer un problème d’optimisation avec contraintes en un problème ou en une suite de problèmes

d’optimisation sans contrainte. C’est un concept qui a une utilité à la fois théorique et numérique.

En analyse, l’approche par pénalisation est parfois utilisée pour étudier un problème d’optimisation dont les contraintes sont difficiles à prendre en compte, alors que le

problème pénalisé a des propriétés mieux comprises ou plus simples à mettre en évidence. Si on a de la chance ou si la pénalisation est bien choisie, des passages à la limite parfois délicates permettent d’obtenir des propriétés du problème originale (l’existence de solution par exemple).

Cette méthode intervient dans la résolution des inéquations variationnelles notamment celles qui sont étudiées aux chapitres trois et quatre. A cet effet nous avons consacré ce chapitre à rappeler la méthode classique de pénalisation ainsi que les outils nécessaires pour une bonne présentation de cette approche. Nous nous sommes basés sur l’ouvrage de J.L. LIONS [L] pour la rédaction .

1 Opérateurs monotones

Soit V un espace de Banach réflexif séparable, V′ _{sont dual.}

Définition 1.1

On dit que l’opérateur A : V → V′ _est

- monotone si

∀u, v ∈ V, 〈Au − Av, u − v ≥ 0 (1.1) - borné de V dans V′ _{si l’image d’un borné est un borné.}

- Coercif si

〈Av, v

‖v‖

V

→  si ‖v‖

V

→ .

(1.2)

- hémicontinu si

Théorème 1.1

Soit V un espace de Banach réflexif, A un opérateur monotone, borné, hémicontinu et coercif. Alors A est surjectif: c’est-à-dire quel que soit f ∈ V′ _{il existe u ∈ V tel que}

Au  f.

Exemple 1.1

V  W01,p, V′  W−1,p′ 1  p   et Au  −div|Du|p−2Du

Conséquence

∀f ∈ W−1,p′

, il existe u ∈ W01,p tel que −div|Du|p−2Du  f

Remarque 1.1

pour p  2 on a résolu −u  f avec u ∈ H01, f ∈ H−1.

Démonstration du théorème 1.1

On utilise la méthode d’approximation de Galerkin

Première étape: Problème approché

Comme V est un espace séparable, il existe une base de Galerkin de V; w1, w2, w3, . . . . .

dénombrable telle que les combinaisons linéaires finies soient denses et w1, w2, w3, . . . , wm soient linéairement indépandantes.

Proposition 1.1

Il existe une solution approchée um  j1

m

∑

jmwj,jm ∈ R, telle que:

〈Au

m

, w

j

  〈f, w

j

, j  1, . . . , m.

Deuxième étape: Estimations à priori et passage à la limite

On multiplie parjm et en sommant de j  1 à j  m, on obtient:

〈Aum, um  〈f, um ≤ ‖f‖V′‖um‖V

d’où de la coercivité

En extrayant une sous suite, on a um  u dans V faible, comme A est borné, alors

Aum est borné dans V′, en extrayant encore une sous suite on aura Aum   dans V′

faible et par suite

〈Aum, wj  〈f, wj, ∀j fixé, m  j.

d’où:〈, wj  〈f, wj. Comme les combinaisons linéaires des wj sont dense dans V cela

implique que  f.

A est monotone, donc,∀v ∈ V, on a

0 ≤ 〈Aum − Av, um− v

 〈Aum, um − 〈Av, um − 〈Aum, v  〈Av, v

 〈f, um − 〈Av, um − 〈Aum, v  〈Av, v

à la limite on obtient

〈f, u − 〈Av, u − 〈, v  〈Av, v ≥ 0 et comme f   on obtient:

〈 − Av, u − v ≥ 0. On utilise une idée qui s’appelle (Astuce de Minty): posons v  u − tw, pour t ∈ , w ∈ V, t  0, on a

〈 − Atw, tw ≥ 0. on divise par t pour avoir

〈 − Au − tw, w ≥ 0.

En utilisant le faite que A est hémicontinu, et en faisant tendre t vers 0, on obtient 〈 − Au, w ≥ 0, ∀w ∈ V

donc

〈 − Au, w  0,

ce qui donne  Au, i.e. il existe u ∈ V, tel que Au  f.

On utilise la variante du théorème de Brouwer,m _{de dimension finie; P : }m _{→ }m_,

tel que  P, (il suffit de savoir que P est définie sur || ≤ 0), continue, et tel que

P   ≥ 0, ∀ ∈ m_{, || }

0. Alors il existe, ||≤ 0 tel que: P  0.

Ici  jm/ j  1, . . . . m, P/j  〈Aum − f, wj, um  j1

m

∑

jmwj.

pour démontrer ça on aura besoin du lemme suivant:

Lemme 1.1

Si A est monotone borné hémicontinu, alors A est continu de V fort dans V′ _faible.

Démonstration du Lemme 1.1

Soit un → u dans V fort, on veut démontrer que Aun  Au dans V′ faible.

Comme A est borné on peut extraire une sous suite telle que Aun′   dans V′ faible, si on démontre maintenant que  Au c’est fini.

En effet A monotone entraine que pour tout v ∈ V, on a:

〈Aun′ − Av, u_n′ − v  〈Au_n′, u_n′ − v − 〈Av, u_n′ − v ≥ 0, ∀v ∈ V, c’est-à-dire que

〈Av, un′− v → 〈Av, u − v

et comme Aun′ →  dans V′ faible et u_n′ → u dans V fort, leur crochet de dualité converge:

〈Aun′, u_n′ − v → 〈, u − v. Par conséquent, on a:

∀v ∈ V, 0 ≤ 〈 − Av, u − v. (1.4) En utilisant un procédé caractéristique des opérateurs monotone et appelé "Astuce de

Minty" on montre que (1.4) détermine. Soit w ∈ V quelconque et t ∈ R. Appliquant à

(1.4), v  u  tw, u − v  −tw et divisant l’inégalité par t  0 on obtient: 〈 − Au  tw, w ≤ 0.

Faisons tendre t vers 0 , comme A est hémicontinu, il vient: ∀w ∈ V, 〈 − Au, w ≤ 0.

Cette inégalité est aussi vraie pour−w, donc en fait ∀w ∈ V, 〈 − Au, w  0, soit

  Au.

On conclut par unicité de la limite faible des sous suite extraite de Aun et faiblement

convergente.

2 Opérateurs pseudo-monotones

Définition 2.1

On dit que l’opérateur A : V → V′ _est:

- de type M si on a pour toute suite u_ telle que:

u  u, faible dans V

Au   faible dans V′

lim sup〈Au, u ≤ 〈, u

   Au.

- pseudomonotone au sens 1 si on a pour toute suite u_telle que:

u

_



u, faible dans V

A



u



 

 faible dans V

′

lim sup〈

A



u



,

u



 ≤ 〈

, u





  A



u



et

〈

A



u



,

u



 → 〈

A



u

,

u

.

1- A est pseudomonotone A de type M.

2- A monotone, hémicontinu A pseudomonotone.

Théorème 2.2

A de type M, borné coercif, alors∀f ∈ V′_{, il existe u ∈ V tel que Au  f.}

Remarque 2.1

Pour résoudre les équations la bonne notion c’est: A de type M.

Pour résoudre les inéquations la bonne notion c’est: A est pseudomonotone.

Démonstration du Théorème 2.2

On refait la démonstration par la méthode de Galerkin, et on prouve l’existence d’au moins d’une solution u telle que:Au  f.

Autre définition de la pseudomonotonie

On dit que A : V → V′ _{est pseudomonotone au sens 2 si pour toute suite uon a :}

u  u, faible dans V

lim sup〈Au, u ≤ 〈, u

 ∀v ∈ V, lim inf〈Au, u− v ≥ 〈Au, u − v. .

Remarque 2.2

On peut donner cette définition (et aussi la précédente) pour des opérateurs non définis sur V entier.

A : K

⊂ V → V

′

_.

Proposition 2.1

Si A : V → V′ _{est borné, alors les deux définitions de A pseudomonotone sont}

3 Inéquations variationnelles (I.V)

Soit V un espace de Banach réflexif séparable, K un convexe fermé non vide de V et soit A : K → V′ _{un opérateur pseudomonotone, borné et f ∈ V}′_{. Sous ces hypothèses on a}

les deux résultats d’existence suivants:

Théorème 3.1

Si K est borné, alors il existe au moins u, u ∈ K tel que 〈Au − f, v − u ≥ 0 ∀v ∈ K.

Théorème 3.2

Si K n’est plus nécessairement borné, mais A est supposé coercif au sens suivant: ∃v0 ∈ V telque 〈Av, v − v_‖v‖ 0

V → , si ‖v‖V → .

Alors il existe au moins une solution u de l’I.V :

u ∈ K, 〈Au − f, v − u ≥ 0 ∀v ∈ K.

Démonstration du Théorème 3.2

On suppose que le Théorème 3.1 est démontré et on approxime le convexe K non borné par un convexe KR (si R est assez grand), fermé non vide , défini par:

KR  v ∈ K /‖v‖V ≤ R

d’après le Théorème 3.1, il existe uR ∈ KR solution de l’I.V:

〈AuR − f, v − uR ≥ 0, ∀v ∈ KR,

R assez grand pour que v0 ∈ KR (v0 de la coercivité), R ≥ ‖v0‖

〈AuR − f, v − uR ≤ ‖f‖‖v0‖‖uR‖, ‖uR‖≤ C0, ∀R.

Remarque importante

Dans les inéquations variationnelles il y a toujours deux choses à vérifier 1- La fonction appartient au convexe KR.

2- L’inéquation est vérifiée pour toutes les fonctions tests de KR.

En effet,

1- soit v ∈ K fixé, w  v  1 − uR0, 0    1. Montrons que w_ ∈ KR0, on a

‖w‖V ≤ ‖v‖1 − ‖uR0‖,

comme est assez petit et ‖uR‖≤ R0, alors‖w‖V ≤ R0, donc w ∈ KR0.

2- Montrons que l’inéquation est vérifiée pour toutes les fonctions tests du convexe,〈AuR0 − f, v − uR0 ≥ 0, soit w− uR0  v − uR0  v − uR0, comme   0, alors l’I.V. suivante est vérifié

uR0 ∈ K

〈AuR0 − f, v − uR0 ≥ 0, ∀v ∈ K. Reste à montrer le Théorème 3.1

Théorème 3.1

Soit A : V → V′ _{borné, hémicontinu et monotone et soit K un convexe fermé borné}

non vide de V. Alors, pour tout f ∈ V′_{, l’inéquation variationnelle:}

Trouver u ∈ K telque : 〈Au − f, v − u ≥ 0, ∀v ∈ K, admet au moins une solution.

Démonstration du Théorème 3.1 Par la méthode de Galerkin:

V séparable alors il existe une famille dénombrable de sous espace de dimension

Vi ⊂ Vi1, eti1 Vi est dense dans V.

En fait, on peut prendre pour la construction de ces espaces une famille dénombrable wi

dense dans K. De cette façon, les convexes Ki  K ∩ Vi sont tels quei1 Ki est dense dans

K.

Lemme 3.1

L’inéquation variationnelle:

Trouver ui ∈ Ki tel que:∀v ∈ Ki, 〈Aui − f, v − ui ≥ 0 admet au moins une

solution.

Démonstration

On munit Vi d’une structure euclidienne, dont on note le produit scalaire par. , . i.

Par le théorème de représentation de Riesz dans Vi, il existe une application linéaire

continue Ji de V′ faible dans Vi telle que:

∀g ∈ V′_{, ∀v ∈ Vi, 〈g, v  Jig, vi.}

Par définition, Ki est un convexe fermé, borné, non vide de Vi pour tout i. On

introduit la projection sur Ki, noté par Priv ∈ Ki et

∀w ∈ Ki, v − Priv, Priv − wii ≥ 0. (3.1)

C’est une application (non linéaire) en général continue de Vi dans Ki. On définit

alors une application:

Ti : Ki  Ki, par

∀v ∈ Ki, Tiv  Priv − JAv  Jf (3.2)

Comme A est continue de V fort dans V′ _{faible, Ti est continue comme composé}

d’applications continues. D’après le théorème de Brouwer, Ti admet au moins un point fixe

ui ∈ Ki, donc d’après (3.1) et (3.2) on a pour tout v ∈ Ki,

ui − JAui  Jf − Tiui, Tiui − vi ≥ 0.

Soit, comme ui est un point fixe,

〈f − Aui, ui − v  Jf − JAui, ui − vi ≥ 0

par définition de J.

l’inéquation variationnelle en dimension finie (elle n’intervient que pour la continuité de

A).

Le lemme 3.1 donne l’existence d’une telle solution si V est de dimension finie, sans autre hypothèses sur A que la continuité.

Comme Ki ⊂ K, qui est borné, ui est borné dans V. Comme A est borné la suite Aui

est borné dans V′ _{donc u}

i  u dans V faible et Aui   dans V′faible. De plus comme K

est convexe fermé, u ∈ K.

Lemme 3.2

lim inf〈Aui, ui ≥ 〈, u.

Démonstration

En utilisant la monotonie de A (〈Aui − Av, ui − v ≥ 0) et la convergence faible

de ui et Aui on obtient lim inf〈Aui, ui − 〈, v − 〈Av, u  〈Av, v ≥ 0, d’ou le résultat

en prenant v  u.

Lemme 3.3

On a aussi lim sup〈Aui, ui ≤ 〈, u.

Démonstration

On utilise l’ I.V en dimension finie.

Lemme 3.4

On a:〈Aui, ui → 〈, u, Au   et u est solution de l’inéquation variationnelle.

Remarque 3.1

La difficulté essentielle: la suite ui converge faiblement, mais A est non linéaire. Il

n’y a donc aucune raison en général pour que Aui tende en dans un sens quelconque vers

Au. Il est remarquable que l’astuce de Minty et la monotonie permettent à elles seules ce passage à la limite quand ui est solution de l’I.V sur une suite de convexe dont la réunion

est dense dans K.

Théorème 3.3

Si A est strictement monotone alors la solution de l’I.V est unique.

Démonstration

conséquent, comme A est monotone,〈Au1 − Au2, u1 − u2  0  u1  u2.

Cas d’un convexe non borné (il faut la coercivité)

Définition 3.1

On dit que A est coercif s’il existe v0 ∈ K v0  0 si K  V tel que :

lim

‖v‖→

〈Av, v − v

0



‖v‖

V

 .

Théorème 3.4

Soit A : V → V′ _{borné, hémicontinu, monotone et coercif et soit K un convexe}

fermé, non vide. Alors pour tout f ∈ V′_{, l’I.V admet au moins une solution.}

Démonstration

(voir J.L. LIONS [L] p 247)

Corollaire 3.1

Soit A : V → V′ _{borné, hémicontinu, monotone et coercif. Alors A est surjectif.}

Démonstration

On prend K  V, ∀f ∈ V′_{,∃u ∈ V, ∀v ∈ V on a 〈Au − f, v − u ≥ 0.}

Prenant v  u  w, on en déduit que pour tout w ∈ V, 〈Au − f, w ≥ 0 d’ou, comme cette inégalité a aussi lieu pour−w, 〈Au − f, w ≤ 0, d’ou: Au  f et A est surjectif.

4 Résolution des inéquations variationnelles

par la méthode de pénalisation

Soit V un espace de Banach réflexif, sa norme et celle de son dual sont strictement convexes, et soit K un convexe fermé de V.

Définition 4.1

les propriétés suivantes:

 est monotone borné et hémicontinu de V dans V′ _(4.1)

v/v ∈ V, v  0  K. (4.2)

(Il existe toujours un tel opérateur: voir J.L. LIONS [L] p 370).

Exemple 4.1

1) Soit A une matrice symétrique à coefficients L_{, coercive et f ∈ H}−1_,

K  v ∈ H01, v ≥   0 dans .

On considère l’application

Jv  1₂



ADv Dudx− 〈f, v.

Alors on a J atteint son minimum sur K, i.e.

∃u ∈ K, Ju ≤ Jv, ∀v ∈ K. Ce u est caractérisé par l’inéquation variationnelle:

u ∈ K



_A Du Dv − udx ≥ 〈f, v − u, ∀v ∈ K. On peut choisir

v  lv − Pkv,

(existe grâce à J.L. LIONS [L] p 370), l c’est l’opérateur de dualité de V dans V′_,

K  v ∈ H01, v ≥ 0 p. p. dans ,

l  Id et Pkv  v(i.e. on projette sur L2), donc v  −v−, par suite l’équation

Au − 1u−  f u ∈ H01. 2) V  W01,p, 1  p  , A donné par Av  −

∑

i1 n | ∂v ∂xi | p−2 ∂v ∂xi ,

K  v ∈ W01,p, v ≥ 0 p. p. dans . On projette sur Lp et en choisissant

l’opérateur de dualité: lv  |v|p−2_{v, on obtient:}

v  lv − Pkv  −|v−|p−2v−,

et l’équation pénalisée correspondante est alors:

Au − 1|u−|p−2u−  f

u ∈ W01,p.

Applications Proposition 4.1

Soit A : V  V′_{, borné, pseudomonotone et coercif au sens suivant:}

∃v0 ∈ K telque 〈Av, v − v_‖v‖ 0

V → , si ‖v‖V → .

Alors pour tout f ∈ V′_{, il existe u ∈ K tel que:}

〈Au, v − u ≥ 〈f, v − u, ∀v ∈ K.

Démonstration

On démontre cette proposition par la méthode de pénalisation. Soit  un opérateur

∀  0, il existe u ∈ K, telque :

Au  1u  f.

Pour cela on utilise les remarques suivantes: i) l’opérateur v  Av  1

v est pseudomonotone.

ii)

〈Av, v − v0  1_〈v, v − v0

 〈Av, v − v0  1〈v − v0, v − v0 ≥ 〈Av, v − v0,

car v0 ∈ K  v0  0, et  est monotone

et donc 1

‖v‖〈Av, v − v0  1 〈v,v − v0  , si ‖v‖→ .

d’ou l’existence de uqui vérifie: Au  1u  f, (qui est dit: problème pénalisé

associé à〈Au, v − u ≥ 〈f, v − u, donc, on peut choisir usolution du problème pénalisé

telle que: udemeure dans un borné de V lorsque → 0. Comme A est borné, Au

demeure dans un borné de V′ _et

u  f − Au → 0, quand  → 0 dans V′.

On a même‖u‖V′ ≤ C₁. On peut extraire une sous-suite, encore noté u_, telle que

u  u, faible dans V

Au  , faible dans V′.

Vérifions queu  0, on déduit de 〈u − , u −  ≥ 0, pour tout  que

−〈, u −  ≥ 0, pour tout . Prenant   u − ,   0,  ∈ V, on en déduit que 〈u − ,  ≤ 0. Faisant tendre  vers 0, on a donc 〈u,  ≤ 0, pour tout , d’où

u  0, donc u ∈ K.

〈Au − f, v − u ≥ 1 〈v − u, v − u ≥ 0. (4.3)

On en déduit

lim sup

→0 〈Au, u− u ≤ lim sup→0 〈f, u− u  0. (4.4)

Donc comme u converge faiblement vers u dans V et d’après4. 4 on a →0

lim sup 〈Au, u− u ≤ 0, ce qui implique (car A est pseudomonotone) que:

lim inf

→0 〈Au, u − v ≥ 〈Au, u − v.

d’où d’après4. 3, 〈f, v − u ≥ 〈Au, v − u, ∀v ∈ K. , i.e. 〈Au, v − u ≥ 〈f, v − u, ∀v ∈ K.

Remarque 4.1

Cette démonstration fournit un procédé d’approximation de u par u. A vrai dire ce

procédé n’est constructif que si u_et u sont définis de façons unique. Ce qui est le cas si, par exemple A est strictement monotone.

CHAPITRE 3

EXISTENCE DE

1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons montrer qu’il existe au moins une solution du problème non linéaire parabolique unilatéral suivant :

∂u

∂t  Au  gu, Du − f   dans Q    0, T (1.1)

u ≥ ,  ≥ 0 et u −   0 dans Q (1.2)

ux, t  0 sur  (1.3)

ux, 0  u0x dans . (1.4)

Où A est un opérateur du type Leray-Lions qui opère de Lp_{0, T; W}

0 1, p

 dans son dual,

f∈ Lp′_{Q , gx, t, u, Du  est un terme non linéaire de la forme u|Du|}q _avec

q  p − 1.Nous supposons ici p  2.

Nous employons dans cette démonstration la méthode de pénalisation et un nouveau théorème de compacité (voir [BM2]) qui affirme que les gradients des solutions des problèmes paraboliques non linéaires associés à des opérateurs de Leray-Lions sont compacts dans Lq_{Q pour tout q  p, lorsque les seconds membres de ces équations sont}

bornés dans L1_Q.

Un résonnement analogue a déja été utilisé dans le cas où g est nulle (voir par exemple [Do]). D’autre par l’équation associée au problème unilatérale1. 1, 1. 3 et 1. 4 (i.e. le cas où   0 dans 1. 1, les contraintes 1. 2 étant omises ) a été traitée dans

[BM1].

Signalons que d’après [M] le problème1. 1 − 1. 4 admet au moins une solution pour

  0. Notre travail consiste à généraliser les résultats obtenus dans [M] en employant

d’autres techniques de résolutions.

Notons que Plusieurs auteurs (voir par exemple [AAR], [ABBM], [KKS] ) ont traité ce genre de problème mais avec divers types d’hypothèses sur l’opérateur A, la fonction

g ainsi que les données.

Cependant les travaux précédents n’ont pas étudié l’égalité complémentaire

 u −   0 ainsi que l’existence d’une fonction positive  qui la vérifie .

Le chapitre est organisé comme suit :

en premier lieu, nous introduisons les hypothèses nécessaires pour montrer le théorème 2. 1 qui représente l’originalité de notre travail.

Ensuite nous présentons une démonstration de ce théorème basée sur la méthode de pénalisation qui consiste à construire une famille de solution approchée et de montrer a partir des estimations a priori qu’une suite extraite converge vers une solution de notre problème.

2 Hypothèse et résultat principale

Soit un ouvert borné de N_{, ayant une frontière lipchitzienne notée∂ (i.e.  est}

de frontière "suffisamment régulière"). On désigne par Q le cylindre de N _{ ; Q  }

0, T, (T fini) et par

∑

la frontière latérale de Q :

∑

 ∂  0, T. Soit A L’opérateur non linéaire défini de Lp_{0, T; W}

0 1, p

 avec 2  p    dans son dual Lp′

0, T; W−1, p′

 (p′ _{désigne l’exposant conjugué de p i.e. 1p } 1

p′  1 ), A est

défini par :

Au  −divax, t, u, Du

où A est de type Leray-Lions, et a x, t, s,  est une fonction de Carathéodory vérifiant :

i :∀ s,  ∈   N_{, x, t → ax, t, s,  est mesurable.}

ii: Pour presque tout x, t dans Q, s,  → ax, t, s,  est continue. On supposera vérifiées les hypothèses ci-dessous

ax, t, s,  ≤ |s|p−1 _{ ||}p−1_{ k x, t, k x, t ∈ L}p′

Q,   0 ax, t, s,  − ax, t, s,  −   0, ∀ ≠ ,

ax, t, s,  ≥ ||p_{,   0.}

(2.1)

gx, t, u, Du est un terme non linéaire qui possède une croissance d’ordre

q,q  p − 1 en |Du| , et une autre d’ordre m 1  m  p − q et qui vérifie également une condition de signe. Plus précisément nous supposons que g est une fonction de Carathéodory telle que :

g x, t, s,  ≤ b|s| h x, t  ||q

où 1  q  p − 1, h ∈ L_{Q, et b : R} _{→ R}_,

une fonction croissante continue non négative qui possède une croissance d’ordre

m1  m  p − q en |u| :

(2.2)

b|u| ≤   |u|m_{;  0; 1  m  p − q (2.3)}

g_{x, t, s, s ≥ 0 ∀x, t, s,  ∈   R}2 _{ R}N_{. (2.4)}

Les hypothèses sur u0, f,  sont :

u0 ∈ L2 (2.5) f ∈ Lp′ Q (2.6)  ∈ Lp_{0, T; W}1,p_{ avec  ≤ 0 sur  (2.7)} 0 ≤ u0 p.p.sur  (2.8)  _{∈ L}_{Q (2.9)} ∂ ∂t ∈ Lp ′ Q (2.10)

div a x, t, u, D ∈ Lp′

Q pour u ∈ Lp_{0, T, W}

0 1, p

 et est borné dans Lp′

Q sur tout ensemble borné de

Lp_{0, T, W}

0 1, p

.

(2.11)

Notre résultat principal est le suivant:

Théorème 2.1

Sous les hypothèses2. 1 − 2. 11 il existe au moins u et  solution du problème 1. 1 − 1. 4 vérifiant u ∈ L_{0, T; L}2_{ ∩ L}p_{0, T; W} 0 1, p  (2.12) ∂u ∂t  1 2 avec1 ∈ Lp ′ 0, T; W−1,p′  et 2 ∈ L1Q (2.13) u ≥  dans Q (2.14)  ∈ Lp′ Q (2.15)  ≥ 0 (2.16) g x, t, u, Du ∈ L1_{Q et ug x, t, u, Du ∈ L}1_{Q (2.17)} ∂u

∂t  Au  g x, t, u, Du − f   dans Q (2.18)

u −   0 dans Q. (2.19)

u ∈ C 0, T; W−1, r_{ pour r  inf p,} p

ux, 0  u0x sur . (2.21)

3 Démonstration du theoreme 2.1

3.1 Approximations et pénalisation

Pour tout  0 nous définissons la fonction g x, t, s,  

g x, t, s, 

1  g x, t, s,  (3.1)

Désignons par ula solution du problème approché et pénalisé suivant :

∂u ∂t − divax, t, u, Du  gx, t, u, Du − 1 p−1 |u−  −_|p−2_u − −  f, dans Q. ux, 0  u0x, x ∈ , u  0 sur  u_ ∈ Lp _{0, T; W} 0 1, p  (3.2)

Le problème3. 2 admet une solution faible d’après un résultat classique (voir par exemple J.L. LIONS [L], F. DONATI [Do])

u ∈ Lp0, T , W01, p ∩ C0, T, L2, ∂u ∂t ∈ Lp ′ 0, T; W−1, p′  et u_x, 0  u0x,



₀T〈∂u ∂t , vdt 



Qax, t, u, DuDvdxdt 



_Qgx, t, u, Duvdxdt − 1 p−1



_Qu − −p−2u− −vdxdt 



Qfv dxdt, ∀v ∈ L p_{0, T, W} 0 1, p_ (3.3)

3.2 Estimation de u



dans L

p

0, T; W

01, p



Multiplions l’équation3. 2 par la fonction test u −  et intégrons de 0 à t  T.



₀t ∂u− ∂t , u −  dt′ 



0 t



_ ax, t′_{, u} , DuDu − dxdt′ 



₀t



_g_x, t′_{, u} , Duu− dxdt′ − 1 p−1



0 t



_ |u − −|p−2u − −u− dxdt′





0 t



_ f − ∂_∂t u − dxdt′. (3.4) Ceci implique

1 2 ‖ut − t‖L22_ 



0 t



_a x, t′_{, u , Du Dudxdt}′ 



₀t



_u_g_x, t′_{, u} , Dudxdt′_p−11



₀ t ‖u− −t′‖_Lpp_dt′  1 p−1



0 t



_|u − −|p−1 −dxdt′  1_{2 ‖}u0− 0‖_L22_ 



0 t



_ f− ∂ ∂t udx dt′ −



₀t



_ f− ∂_∂t _dxdt′ _

_

0 t



_ax, t′_{, u, DuD}_dxdt′ 



₀t



__{gx, t}′_{, u, Dudxdt}′ (3.5)

D’après les conditions2. 1, 2. 2, 2. 3, 2. 4, 2. 9, nous pouvons avoir les estimations suivantes en utilisant les inégalités de Hölder et de Poincaré.



_Q|ax, t, u, DuD|dxdt ≤ 



Q|u| p−1_|D_{|dxdt }



Q|Du| p−1_|D_|dxdt 



_Q|kx, t||D_|dxdt ≤ 



_Q|Du|pdxdt M1  M2, et



_Q_g x, t, u, Du dxdt ≤ 3



₀t‖Du‖Lpp_dt′  M₃ (3.6)



₀t



_a x, t′_{, u, Du Dudxdt}′ ≥ 



0 t



_|Du|pdxdt′  



t₀‖Du‖_Lpp_dt′. (3.7)

où est un nombre réel positif et M1, M2 et M3sont fonctions de de T ainsi que des

données.

Comme f, ∂ ∂t ∈ Lp

′

Q et u0 ∈ L2 nous déduisons d’après 2. 9 et l’inégalité de

Hölder



₀t



_ f− ∂ ∂t u dxdt′ −



0 t



_ f− ∂ ∂t dx dt′  1_{2 ‖}u0− 0‖_L22_ ≤ M4 



₀t‖Du‖Lpp_dt′. (3.8)

En résumé3. 6, 3. 7, 3. 8 nous permettent d’écrire 3. 5 comme suit

1 2 ‖ut − t‖L22_   − 5



0 t ‖u‖_W 0 1,p_ p _dt′ 



₀t



_u_g_ x, t′_{, u} , Du dx dt′  1 p−1



0 t ‖u− −t′ ‖_Lp_ p dt′  1 p−1



0 t



_|u − −|p−2u − −−dxdt′ ≤ M1  M2 M3  M4. (3.9)

On choisit alors assez petit de sorte que  − 5  0. (par exemple   

10)