IRMA, Univ ersité Louis P asteur Str asbourg, F rance Master 2ème Année 04-02-2008

Quelquesrappels Analysedelavariance TestFpartiel

Compléments sur la rég resion m ultiple F rédér ic Ber tr and et Myr iam Maum y 1

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IRMA, Univ ersité Louis P asteur Str asbourg, F rance Master 2ème Année 04-02-2008

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Testsd’hypothèses Intervallesdeconfiance

T ester l’h ypothèse n ulle : H 0 : β j = 0 contre l’h ypothèse alter nativ e : H 1 : β j 6= 0 pour un cer tain j entre 0 et p − 1. Calculer la statistique : t obs = ˆ β j s ( ˆ β j ) . Comparer t obs à la v aleur théor ique lue dans une tab le de Student à ( n − p ) ddl et à α = 0 , 05.

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Testsd’hypothèses Intervallesdeconfiance

Un inter v alle de confiance au niv eau ( 1 − α ) où α est la probabilité d’erreur pour β j est défini par : h ˆ β j − t α/ 2 , n − p × s ( ˆ β j ); ˆ β j + t α/ 2 , n − p × s ( ˆ β j ) i . Cet inter v alle de confiance est constr uit de telle sor te qu’il contienne le par amètre inconn u β j a v ec une probabilité de ( 1 − α ) .

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T ester l’h ypothèse n ulle : H 0 : β 1 = β 2 = ·· · = β p − 1 = 0 contre l’h ypothèse alter nativ e : H 1 : ∃ j pour lequel β j 6= 0 où j v ar ie de 1 à p − 1 . Si l’h ypothèse n ulle H 0 est vér ifiée alors le modèle s’écr it : y i = β 0 + ε i .

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Quelquesrappels Analysedelavariance TestFpartiel

P ar conséquent : F obs = MC reg MC res suit une loi de Fisher a v ec ( p − 1 ) et ( n − p ) ddl , où MC reg = SC reg p − 1 =

P (ˆ y i − y ) 2 p − 1 et MC res = SC res n − p =

P ( y i − ˆ y i ) 2 n − p .

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Quelquesrappels Analysedelavariance TestFpartiel

Source de SC ddl MC F obs v ar iation Rég ression SC reg =

n X i = 1 (ˆ y i − y ) 2 p − 1 SC reg p − 1 MC reg MC res Résiduelle SC res =

n X i = 1 ( y i − ˆ y i ) 2 n − p SC res n − p T otale SC tot =

n X i = 1 ( y i − y ) 2 n − 1

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T est F par tiel : la n ullité d’un cer tain nombre r de par amètres dans un modèle de p par amètres . H 0 : modèle réduit a v ec ( p − r ) par amètres H 1 : modèle complet a v ec p par amètres . Ex emples : T ester la n ullité d’un par amètre , par e x emple : β 1 . H 0 : y i = β 0 + β 2 x i 2 + ·· · + β p x ip + ε i contre H 1 : y i = β 0 + β 1 x i 1 + β 2 x i 2 + ·· · + β p x ip + ε i . T ester la n ullité de plusieurs par amètres , par e x emple les pairs : β 2 j . H 0 : y i = β 1 x i 1 + β 3 x i 3 + ·· · + β p − 1 x ip − 1 + ε i contre H 1 : y i = β 0 + β 1 x i 1 + β 2 x i 2 + ·· · + β p x ip + ε i a v ec p pair .

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La pr océdure : Calculer les v aleurs estimées ˆ y i en utilisant la méthode des MC pour chacun des 2 modèles définis par H 0 et H 1 , notées : ˆ y i ( H 0 ) et ˆ y i ( H 1 ) . Calculer ensuite SC res ( H 0 ) et SC res ( H 1 ) . Calculer la statistique : F obs = SC res ( H 0 ) − SC res ( H 1 ) SC res ( H 1 ) × n − p r Rejetter l’h ypothèse n ulle au seuil α si F obs > F α ; r , n − p où F α ; r , n − p est le ( 1 − α ) -quantile d’une loi de Fisher a v ec r et n − p ddl que l’on trouv e dans une tab le de Fisher .

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