IRMA, Univ ersité de Str asbourg Str asbourg, Fr ance ENSAI 3

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Modèle,sommedescarrésetdegrésdeliberté Règlesdecalculdel’espérancedescarrésmoyens TestsF,puissancesetpseudotestsF

Pr incipes fondamentaux de l’analyse des expér iences Règles génér ales pour les modèles d’analyse de la var iance Frédér ic Ber trand 1

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IRMA, Univ ersité de Str asbourg Str asbourg, Fr ance ENSAI 3

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Année 2015-2016

/130FrédéricBertrand

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens

2/130FrédéricBertrand Modèle,sommedescarrésetdegrésdeliberté Règlesdecalculdel’espérancedescarrésmoyens TestsF,puissancesetpseudotestsF

Sommaire 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

/130FrédéricBertrand Modèle,sommedescarrésetdegrésdeliberté Règlesdecalculdel’espérancedescarrésmoyens TestsF,puissancesetpseudotestsF

Référence Ce cours s’appuie essentiellement sur

1

le livre de Hardeo Sahai et Mohammed I. Ageel, The Anal ysis of Variance :Fix ed, Random and Mix ed Models ,aux éditions Bir khäuser ,2000.

2

le livre de Hardeo Sahai et Miguel Ojeda, Anal ysis of Variance for Random Models , Volume I: Balanced data , aux éditions Bir khäuser ,2004.

3

le livre de Hardeo Sahai et Miguel Ojeda, Anal ysis of Variance for Random Models , Volume II: Unbalanced data ,aux éditions Bir khäuser ,2005.

4/130FrédéricBertrand

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Généralités Règlesdeconstructiondumodèle Sommesdescarrésetdegrésdeliberté

1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

FrédéricBertrand Modèle,sommedescarrésetdegrésdeliberté Règlesdecalculdel’espérancedescarrésmoyens TestsF,puissancesetpseudotestsF

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

alités Introduction Dans cette section, nous nous intéressons aux règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance dans le cas équilibré. Ces règles s’appliquent aux plans qui vér ifient les deux conditions suiv antes :

1

si le plan compor te des facteurs croisés ,alors pour chacune des combinaisons possib les de leurs modalités , le nombre des obser vations est identique ;

2

si le plan est complètement ou par tiellement emboîté, alors un même facteur emboîté a un nombre de modalités constant lorsque les niv eaux du ou des facteurs dans lequel il est emboîté var ient.

Génér alités Cas des plans sans répétitions Pour appliquer les résultats qui suiv ent lorsqu’il n’y a pas de répétition, il ne faut pas oub lier de faire appar aître l’indice associé aux répétitions . Il ne faudr a pas être sur pr is par le fait que la somme des carrés des erreurs ser a nulle (la valeur mo yenne par cellule coïncide par la seule valeur obser vée !) ; il ne ser a pas possib le de tester tous les ter mes appar aissant dans le modèle puisque nous ne pouv ons estimer la var iance des erreurs .

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Génér alités Cas des plans sans répétitions (suite) En par ticulier ,il n’est jamais possib le de tester le ter me de plus haut deg ré (celui qui implique tous les indices sauf celui associé aux répétitions). Pour pouv oir se ramener à une situation plus fa vor ab le ,nous de vons supposer que le ter me de plus haut deg ré n’a pas d’eff et (h ypothèse d’additivité). Le carré mo yen qui lui est associé de vient ainsi un estimateur sans biais de la var iance des erreurs et prend la place du carré mo yen résiduel dont nous nous ser vons en présence de répétitions .

Génér alités Modèles restreints et non-restreints Les modèles restreints ne peuv ent s’utiliser que dans le cas des plans équilibrés et dans cette situation ils correspondent naturellement av ec la logique av ec laquelle nous cherchons à modéliser les expér iences et en par ticulier av ec celle liée à l’introduction des ter mes d’erreurs dans le modèle . Un modèle restreint est un modèle pour lequel les ter mes d’inter action entre des eff ets aléatoires et des eff ets fix es hér itent des contr aintes des eff ets fix es .Ces eff ets aléatoires ne sont donc pas indépendants puisque ,pour toute combinaison fixée des modalités des facteurs à eff ets fix es , leur somme suiv ant les modalités des facteurs à eff ets aléatoires est nulle .

Génér alités Modèles restreints et non-restreints (suite) Les modèles non restreints sont adaptés au cas des plans déséquilibrés et doiv ent nécessairement être utilisés dans cette situation (Sear le 1971). Un modèle non-restreint est un modèle pour le lequel les ter mes d’inter action entre des eff ets aléatoires et des eff ets fix es n’hér itent pas des contr aintes des eff ets fix es .Ces eff ets aléatoires sont donc indépendants .

Génér alités Modèles restreints et non-restreints (suite) De nombreux logiciels de statistique utilisent par déf aut et/ou exclusiv ement les modèles non-restreints .C’est le cas de la PROC GLM de SAS ou de la fonction aov de R . Ce choix par déf aut est compréhensib le puisque les modèles restreints ne sont adaptés qu’au cas des plans équilibrés .

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alités Modèles restreints et non-restreints (suite) Toutef ois ,la plupar tdes man uels consacrés au modèle linéaire et à l’analyse d’e xpér ience ,ainsi que de nombreux statisticiens de premier plan, recommandent l’utilisation des modèles restreints si le plan est équilibré. P ar conséquent, il nous faut apprendre à constr uire les tab leaux d’analyse de la var iance qui sont associés à ces modèles afin de pouv oir procéder à l’analyse eff ectiv e des expér iences puisque les logiciels de statistique ne vous les four niront génér alement pas . L’objectif de ces suppor ts est de vous four nir tous les éléments pour par venir à réaliser cet objectif .

Génér alités Modèles restreints et non-restreints (suite) La différence entre les modèles restreints et les modèles non-restreints se manif este lors du calcul de l’espér ance des carrés mo yens . P ar conséquent, les statistiques de Fisher dédiées aux tests des différents ter mes du modèle peuv ent différer d’un modèle à l’autre ,les hypothèses testées ne s’inter prétant pas dans la pr atique de la même manière .

alités Modèles restreints et non-restreints (suite) Cer taines des techniques détaillées par la suite pour le cas des modèles restreints sont également adaptées aux modèles non-restreints : trouv er les ter mes du modèle ; trouv er l’e xpression des sommes des carrés ; trouv er les deg rés de liber té des sommes des carrés . P ar contre le calcul de l’espér ance des carrés mo yens proposé, et tout ce qui en découle ,tests et puissances ,n’est adapté qu’au cas des modèles restreints .

Les coquillages Ex emple Nous illustrerons les règles de constr uction av ec l’e xemple d’un modèle mixte d’analyse de la var iance compor tant trois facteurs à la fois croisés et emboîtés ,c’est-à-dire un plan par tiellement emboîté. Les facteurs A et C sont croisés et le facteur B est emboîté dans le facteur A et croisé av ec le facteur C .

1

Le facteur A a a niv eaux et est à eff ets fix es .

2

Le facteur B a b niv eaux et est à eff ets aléatoires .

3

Le facteur C a c niv eaux et est à eff ets fix es .

4

Il y a n répétitions .

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Les coquillages Ex emple Le jeu de données ,reproduit sur les vignettes suiv antes , compor te ,comme réponse expér imentale Y la densité de peuplement, expr imée en √ · cm − 2 ,de lar ves Semibalan us balanoides ,un petit cr ustacé qui se trouv e en abondance sur les plages rocheuses européennes . Ces cr ustacés ne peuv ent se déplacer qu’au stade lar vaire . La question est de sa voir si le nombre de cr ustacés présents sur un rocher influe sur le nombre de lar ves venant s’y accrocher . Il est également vr aisemb lab le que le taux de peuplement des rochers voisins puisse influencer ce nombre .

Les coquillages Ex emple Plusieurs rochers ,ont été netto yés des cr ustacés les habitant à l’e xception d’un emplacement centr al où deux, huit ou 32 adultes n’ont pas été touchés .Ce facteur est le Facteur Traitement . Pour déter miner la possib le influence de la densité de peuplement des rochers voisins ,qui est une car actér istique globale de la plage donc comm une à tous les rochers de celle-ci, ces emplacements ont été préparés dans des conditions similaires sur différentes plages pour lesquels cette densité est éle vée ou faib le (F acteur Recrutement ). Pour chacune de ces densités deux plages (F acteur Pla ge ), ont été utilisées .

Les coquillages Ex emple Cette situation expér imentale ,qui s’appelle un plan split plot (en parcelles divisées), correspond bien au modèle ci-dessus puisque : les facteurs Recrutement et Traitement sont croisés à eff ets fix es ; le facteur Pla ge est à eff ets aléatoires et emboîté dans le facteur Recrutement .

Les coquillages Ex emple Recr utement éle vé T Co w es Sea vie w 2 0,386 0,397 0,432 0,279 0,411 0,260 8 0,484 0,482 0,514 0,625 0,531 0,478 32 0,484 0,520 0,569 0,738 0,570 0,620 Recr utement faib le T Totland Ventnor 2 0,190 0,177 0,300 0,304 0,302 0,278 8 0,268 0,261 0,396 0,402 0,351 0,254 32 0,384 0,319 0,334 0,244 0,401 0,324

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1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Objectif Les règles qui vont suivre vont vous per mettre de constr uire tous les ter mes du modèle à par tir des obser vations faites sur les rappor ts entre les facteurs .Il suffit de connaître : les facteurs qui sont croisés ; les facteurs qui sont emboîtés et dans quels facteurs ceux-ci sont emboîtés .

I.1 La constante Tout modèle doit contenir un ter me constant, qui s’inter prète comme la mo yenne génér ale ,et qui est noté µ . Ex emple Pour l’e xemple précédent, le ter me µ appar tient au modèle .

FrédéricBertrand

Règle I.2 Les eff ets pr incipaux Tout modèle doit contenir un eff et pr incipal pour chacun des facteurs qui est désigné par la lettre min uscule grecque correspondante ,s’il est à eff ets fix es ,ou la majuscule romaine correspondante ,s’il est à eff ets aléatoires ,a vec un indice indiquant la modalité du facteur à laquelle est associé cet eff et. Si un facteur est emboîté dans un autre ,cette relation est précisée par l’utilisation de parenthèses dans les indices décr iv ant les modalités . Ex emple Pour l’e xemple précédent, les eff ets pr incipaux des facteurs A , B et C sont : α i , B j ( i ) , γ k ,1 6 i 6 a ,1 6 j 6 b et 1 6 k 6 c .

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Règle I.3 Les inter actions entre facteurs croisés Tout modèle doit contenir tous les ter mes d’inter action associés à tous les facteurs croisés .Il n’y a pas de ter me d’inter action entre un facteur emboîté et celui dans lequel ce facteur est emboîté. Le ter me d’inter action est noté dans le modèle par un ensemb le de lettre min uscules grecques et/ou de majuscules romaines entre parenthèse av ec un indice indiquant la combinaison des modalités des facteurs à laquelle est associé cet eff et.

Règle I.3 Ex emple Le modèle contient donc les inter actions A × C et B × C mais ne compor te ni le ter me d’inter action A × B ni le ter me d’inter action A × B × C puisque le facteur B est emboîté dans le facteur A . Pour l’e xemple précédent, les ter mes d’inter action A × C et B × C sont : ( α γ ) ik et ( B γ ) jk ,1 6 i 6 a ,1 6 j 6 b et 1 6 k 6 c .

Règle I.4 Les inter actions av ec des facteurs emboîtés Les inter actions entre un facteur emboîté et un facteur av ec lequel ce facteur emboîté est croisé doiv ent toujours être considérées comme étant emboîtées . Si un ter me d’inter action est emboité dans un autre ter me , l’emboîtement est indiqué par la présence de parenthèses dans l’indice associé à ce ter me .Il est donc être nécessaire de compléter les indices de cer tains ter mes créés lors de l’application de la Règle I.3.

Règle I.4 Ex emple Le facteur B est emboîté dans le facteur A et est croisé av ec le facteur C ,ainsi l’inter action B × C doit être considérée comme étant, elle aussi, emboîtée dans le facteur A .Nous de vons donc compléter l’indice du ter me ( B γ ) jk . Pour l’e xemple précédent, le fait que le ter me d’inter action B × C est emboîté dans le facteur A est précisé par la présence de parenthèses dans la notation suiv ante : ( B γ ) jk ( i ) ,1 6 i 6 a , 1 6 j 6 b et 1 6 k 6 c .

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I.5 Le ter me d’erreur Le der nier ter me à ajouter au modèle est le ter me d’erreur qui est considéré comme étant emboité dans tous les facteurs . Ex emple Pour l’e xemple précédent, le ter me d’erreur est ε l ( ijk ) ,1 6 i 6 a , 1 6 j 6 b ,1 6 k 6 c et 1 6 l 6 n .

Règle I.6 Le modèle final Le modèle final s’écr it comme une équation reliant la var iab le réponse ,génér alement notée y ou x ,compor tant tous les indices utilisés précédemment et appar aissant dans le membre de gauche ,à la somme de tous les ter mes constr uits lors de l’application des Règles I.1 à I.5. Ex emple Pour l’e xemple précédent, le modèle final reten u est : y ijkl = µ + α i + B j ( i ) + γ k + ( α γ ) ik + ( B γ ) jk ( i ) + ε l ( ijk ) av ec 1 6 i 6 a ,1 6 j 6 b ,1 6 k 6 c et 1 6 l 6 n .

I.7 facultativ e Différences entre blocs complets ,split plot et mesures répétées En présence de facteurs à eff ets aléatoires ,il est souv ent fait la distinction entre les deux situations expér imentales suiv antes qui sont associées aux mêmes modèles statistiques . Les blocs complets ,les split plots ; Les mesures répétées . Ex emple Un eff et « bloc » est par ex emple celui qui aff ecte tous le s traitements réalisés au sein d’une même parcelle ,ou dans notre ex emple tous les rochers d’une même plage .Il n’est pas contrôlab le et ses causes ne peuv ent pas être précisément déter minées .

Règle I.7 facultativ e Différences entre blocs complets ,split plot et mesures répétées Cer tains man uels et statisticiens recommandent d’adopter le compor tement suiv ant. Blocs complets ou split plot Lorsqu’un facteur à eff ets aléatoires est associé à un eff et « bloc » ou « parcelle », il con vient d’ en visa ger des interactions entre ce facteur à eff ets aléatoires et les autres facteur s car l’eff et du bloc est génér alement la somme de div ers eff ets qu’il est impossib le de connaître et donc de maîtr iser ;

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Règle I.7 facultativ e Différences entre blocs complets ,split plot et mesures répétées Mesures répétées Lorsqu’un facteur à eff ets aléatoires est introduit dans le modèle pour modéliser des mesures répétées ,les cr itères d’inclusion des sujets dans les études sont souv ent suffisamment précis et str ictes pour qu’il ne soit pas nécessaire d’en visa ger des interactions entre ce facteur à eff ets aléatoires et les autres facteur s . Il n’y a pas de consensus réel sur ce plan au sein de la comm unauté statistique .

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Expression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Introduction Dans cette section, nous nous intéressons aux règles de constr uction des sommes des carrés et de calcul des deg rés de liber té pour les modèles d’analyse de la var iance .Ces règles s’appliquent aux plans équilibrés :

1

si le plan compor te des facteurs croisés ,alors pour chacune des combinaisons possib les de leurs modalités , le nombre des obser vations est identique ;

2

si le plan est complètement ou par tiellement emboîté, alors un même facteur emboîté a un nombre de modalités constant lorsque les niv eaux du ou des facteurs dans lequel il est emboîté var ient.

Expression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Ex emple Nous illustrerons les règles de constr uction av ec l’e xemple d’un modèle mixte d’analyse de la var iance compor tant trois facteurs à la fois croisés et emboîtés ,c’est-à-dire un plan par tiellement emboîté. Les facteurs A et C sont croisés et le facteur B est emboîté dans le facteur A et croisé av ec le facteur C .

1

Le facteur A a a niv eaux et est à eff ets fix es .

2

Le facteur B a b niv eaux et est à eff ets aléatoires .

3

Le facteur C a c niv eaux et est à eff ets fix es .

4

Il y a n répétitions .

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II.1 Déter miner le modèle à utiliser Écr ire le modèle en suiv ant les règles étab lies à la Section précédente . Ex emple Pour l’e xemple précédent, le modèle final constr uit est : y ijkl = µ + α i + B j ( i ) + γ k + ( α γ ) ik + ( B γ ) jk ( i ) + ε l ( ijk ) av ec 1 6 i 6 a ,1 6 j 6 b ,1 6 k 6 c et 1 6 l 6 n .

Règle II.2 Produit symbolique Pour chacun des ter mes du modèle ,à l’e xception de la constante ,écr ire un produit symbolique compor tant chacun des indices ,soit égal à lui-même si l’indice appar aît entre parenthèses ,soit égal à lui-même moins un si l’indice n’appar aît pas entre parenthèses . Dév elopper le produit symbolique . Ex emple Pour l’e xemple précédent, le produit symbolique de α i est i − 1, celui de ( B γ ) jk ( i ) est i ( j − 1 )( k − 1 ) = ijk − ij − ik + i ,. ..

II.3 Ter me génér al des sommes des carrés L’e xpression à mettre au carré pour obtenir le ter me génér al de la somme des carrés associée à l’un des ter mes du modèle est for mée de mo yennes des valeurs de la réponse .Ces mo yennes sont associées aux ter mes du dév eloppement du produit symbolique constr uit à la Règle II.2 :la mo yenne est réalisée par rappor taux indices qui n’appar aissent pas dans le produit symbolique qui sont donc remplacés par des points • . Le nombre 1 est associé à la mo yenne génér ale c’est-à-dire celle pour laquelle tous les indices ont été remplacés par des points • .

Règle II.3 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le produit symbolique :

1

de α i est i − 1 et l’e xpression à mettre au carré puis à sommer est y i ••• − y •••• ;

2

de ( B γ ) jk ( i ) est i ( j − 1 )( k − 1 ) = ijk − ij − ik + i et l’e xpression à mettre au carré puis à sommer est y ijk • − y ij •• − y i • k • + y i ••• ,. ..

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Règle II.4 Somme des carrés La somme des carrés pour l’un des ter mes du modèle s’obtient en mettant au carré l’e xpression obten ue à la Règle II.3, puis en sommant par rappor taux indices qui appar aissent dans cette expression et enfin en m ultipliant le résultat par le produit du nombre des niv eaux des facteurs dont les indices n’appar aissent pas dans le ter me du modèle considéré.

Règle II.4 Ex emple Pour l’e xemple précédent, la somme des carrés :

1

pour α i est obten ue en mettant au carré y i ••• − y •••• puis en sommant par rappor tà i et enfin en m ultipliant par bcn : bcn a X i = 1 ( y i ••• − y •••• ) 2 ;

Règle II.4 Ex emple

2

pour ( B γ ) jk ( i ) est obten ue en mettant au carré y ijk • − y ij •• − y i • k • + y i ••• puis en sommant par rappor tà i , j , k et enfin en m ultipliant par n : n a X i = 1

b X j = 1

c X k = 1 y ijk • − y ij •• − y i • k • + y i ••• 2 ,. ..

Règle II.5 Somme des carrés de la mo yenne génér ale La somme des carrés pour la mo yenne génér ale s’obtient en mettant au carré la mo yenne génér ale y •••• puis en m ultipliant le résultat par le nombre total d’obser vations abcn : abcn ( y •••• ) 2 . Cette somme des carrés ne figure génér alement pas dans les tab leaux d’analyse de la var iance .

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II.6 Somme des carrés totale La somme des carrés totale est la somme pour tous les indices , c’est-à-dire pour toutes les obser vations ,des carrés des écar ts entre les valeurs obser vées et la mo yenne génér ale : a X i = 1

b X j = 1

c X k = 1

n X l = 1 y ijkl − y •••• 2 .

FrédéricBertrand

Règle II.7 Deg rés de liber té Les deg rés de liber té associés à une somme des carrés s’obtiennent en remplaçant dans le produit symbolique ,calculé à la Règle II.2, les indices par le nombre de modalités des facteurs qui leur sont associés . Ex emple Pour l’e xemple précédent, le produit symbolique de α i est i − 1, les deg rés de liber té sont donc a − 1, celui de ( B γ ) jk ( i ) est i ( j − 1 )( k − 1 ) = ijk − ij − ik − i ,les deg rés de liber té sont donc a ( b − 1 )( c − 1 ) ,. ..

II.8 Deg rés de liber té total Le nombre de deg rés de liber té pour la mo yenne génér ale est égal à 1 et le nombre total de deg rés de liber té est défini comme égal au nombre total d’obser vations moins un.

FrédéricBertrand

Expression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Relation fondamentale de l’ANO VA Nous utilisons les quantités SC α , SC B | α , SC γ , SC B γ | α , SC αγ , SC R et SC TO T introduites précédemment. Pour ce modèle ,la relation fondamentale de l’ANO VA est la suiv ante : SC TO T = SC α + SC B | α + SC γ + SC B γ | α + SC αγ + SC R .

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Espérancedescarrésmoyens Estimationdescomposantsdelavariance Composantesdel’espérancedescarrésmoyens

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Introduction Le calcul de l’espér ance des carrés mo yens dans les modèles d’analyse de la var iance est cr ucial pour constr uire une statistique appropr iée au test de Fisher de l’influence de l’un des ter mes du modèle sur la réponse .Ce calcul est également d’un intérêt majeur pour déter miner des estimateurs des composants de la var iance .La difficulté mathématique associée à la déter mination des espér ances des carrés mo yens n’est pas très éle vée mais les calculs peuv ent s’a vérer longs et fastidieux. Les règles définies aux deux sections précédentes fonctionnent de manière identique av ec les facteurs à eff ets fix es et ceux à eff ets aléatoires .Il n’en va pas de même pour celles que nous allons voir maintenant.

Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Introduction Dans cette section, nous nous intéressons aux règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens pour les modèles d’analyse de la var iance dans le cas équilibré. Ces règles s’appliquent aux plans qui vér ifient les deux conditions suiv antes :

1

si le plan compor te des facteurs croisés ,alors pour chacune des combinaisons possib les de leurs modalités , le nombre des obser vations est identique ;

2

si le plan est complètement ou par tiellement emboîté, alors un même facteur emboîté a un nombre de modalités constant lorsque les niv eaux du ou des facteurs dans lequel il est emboîté var ient.

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de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Ex emple Nous illustrerons les règles de constr uction av ec l’e xemple d’un modèle mixte d’analyse de la var iance compor tant trois facteurs à la fois croisés et emboîtés ,c’est-à-dire un plan par tiellement emboîté. Les facteurs A et C sont croisés et le facteur B est emboîté dans le facteur A et croisé av ec le facteur C .

1

Le facteur A a a niv eaux et est à eff ets fix es .

2

Le facteur B a b niv eaux et est à eff ets aléatoires .

3

Le facteur C a c niv eaux et est à eff ets fix es .

4

Il y a n répétitions .

Règle III.1 Déter miner le modèle à utiliser Écr ire le modèle en suiv ant les règles étab lies à la première Section. Ex emple Pour l’e xemple précédent, le modèle final constr uit est : y ijkl = µ + α i + B j ( i ) + γ k + ( α γ ) ik + ( B γ ) jk ( i ) + ε l ( ijk ) av ec 1 6 i 6 a ,1 6 j 6 b ,1 6 k 6 c et 1 6 l 6 n .

III.1 Ex emple Les α i , γ k et ( α γ ) ik satisf ont aux contr aintes usuelles : a X i = 1 α i = c X k = 1 γ k = 0 a X i = 1 ( α γ ) ik = c X k = 1 ( α γ ) ik = 0 . Nous supposons de plus que :

1

L B j ( i ) = N ( 0 ,σ 2 B | α ) ;

2

L ( B γ ) jk ( i ) = N ( 0 ,σ 2 B γ | α ) ;

3

L ε l ( ijk ) = N ( 0 ,σ 2 e ) .

Règle III.1 Ex emple

4

Les trois groupes d’eff ets aléatoires B j ( i ) , ( B γ ) jk ( i ) et ε l ( ijk ) sont deux à deux indépendants .

5

Les eff ets aléatoires B j ( i ) sont indépendants ainsi que les eff ets aléatoires ε l ( ijk ) .

6

P ar contre ,les eff ets aléatoires ( B γ ) jk ( i ) sont corrélés à cause des contr aintes : c X k = 1 ( B γ ) jk ( i ) = 0 pout tout j ( i ) .

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Règle III.2 Matr ice inter médiaire Considérer un tab leau où il y a une ligne pour chacun des ter mes du modèle différents de la constante et une colonne pour chacun des indices qui appar aissent dans le modèle . L’ordre des lignes et des colonnes n’a pas d’impor tance .Il est toutef ois recommandé d’utiliser un « ordre naturel » pour éviter les erreurs .

Règle III.2 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le tab leau à constr uire est donc le suiv ant : i j k l α i .. . .. . .. . .. . B j ( i ) .. . .. . .. . .. . γ k .. . .. . .. . .. . ( α γ ) ik .. . .. . .. . .. . ( B γ ) jk ( i ) .. . .. . .. . .. . ε l ( ijk ) .. . .. . .. . .. .

Règle III.3 Pr ise en compte des emboîtements Dans chacune des lignes du tab leau constr uit à la Règle III.2 où un ou plusieurs indices sont entre parenthèses ,écr ire 1 dans chaque colonne qui correspond à un indice entre parenthèses .

Règle III.3 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le tab leau constr uit av ec la Règle III.2 se complète donc de la manière suiv ante : i j k l α i .. . .. . .. . .. . B j ( i ) 1 .. . .. . .. . γ k .. . .. . .. . .. . ( α γ ) ik .. . .. . .. . .. . ( B γ ) jk ( i ) 1 .. . .. . .. . ε l ( ijk ) 1 1 1 .. .

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III.4 Pr ise en compte de la nature des eff ets Dans chacune des lignes du tab leau constr uit à la Règle III.2 où un ou plusieurs indices ne sont pas entre parenthèses :

1

écr ire 1 dans chaque colonne qui correspond à un indice qui n’est pas entre parenthèses si l’indice représente un facteur à eff ets aléatoires ;

2

écr ire 0 dans chaque colonne qui correspond à un indice qui n’est pas entre parenthèses si l’indice représente un facteur à eff ets fix es .

Règle III.4 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le tab leau constr uit av ec les Règles III.2 et III.3 se complète donc de la manière suiv ante : i j k l α i 0 .. . .. . .. . B j ( i ) 1 1 .. . .. . γ k .. . .. . 0 .. . ( α γ ) ik 0 .. . 0 .. . ( B γ ) jk ( i ) 1 1 0 .. . ε l ( ijk ) 1 1 1 1

III.5 Remplissage final du tab leau Dans chacune des cellules encore vides ,repor ter le nombre de niv eaux du facteur dont l’indice correspond au nom de la colonne .

FrédéricBertrand

Règle III.5 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le tab leau constr uit av ec les Règles III.2, III.3 et III.4 se complète donc de la manière suiv ante : i j k l α i 0 b c n B j ( i ) 1 1 c n γ k a b 0 n ( α γ ) ik 0 b 0 n ( B γ ) jk ( i ) 1 1 0 n ε l ( ijk ) 1 1 1 1

(17)

Règle III.6 P ar amétr isation des eff ets

1

Pour chacun des ter mes à eff ets fix es ,le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets est défini par la somme des carrés des eff ets divisée par le nombre de deg rés de liber té associé au ter me .

2

Pour chacun des ter mes à eff ets aléatoires ,le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets est défini par le composant de var iance associé au ter me .

Règle III.6 P ar amétr isation des eff ets

1

Pour chacun des ter mes associé à un facteur à eff ets fix es , λ = Φ désigner a le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets c’est-à-dire la somme des carrés des eff ets divisée par le nombre de deg rés de liber té associé au ter me .

2

Pour chacun des ter mes associé à un facteur à eff ets aléatoires , λ = σ 2 désigner a le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets c’est-à-dire le composant de var iance associé au ter me . Ajouter les par amètres λ dans une colonne à la droite de celles du tab leau créé à la Règle III.2 et complété aux Règles III.3, III.4 et III.5. Chaque par amètre λ ser a repor té sur la ligne qui correspond au ter me du modèle auquel il est associé.

Règle III.6 Ex emple Pour l’e xemple précédent, le tab leau constr uit av ec les Règles III.2, III.3, III.4 et III.5 se complè te donc de la manière suiv ante : i j k l λ α i 0 b c n Φ( α ) B j ( i ) 1 1 c n σ 2 B | α γ k a b 0 n Φ( γ ) ( α γ ) ik 0 b 0 n Φ( α γ ) ( B γ ) jk ( i ) 1 1 0 n σ 2 B γ | α ε l ( ijk ) 1 1 1 1 σ 2 e

Règle III.7 Calcul de l’espér ance des carrés mo yens L’espér ance du carré mo yen associé à l’un des ter mes du modèle s’obtient par une combinaison linéaire des par amètres λ introduits à la Règle III.6 av ec les coefficients suiv ants :

1

le coefficient du par amètre λ est égal à zéro si les indices du ter me du modèle dans la ligne associée à ce par amètre ,qu’ils soient entre parenthèses ou non, n’incluent pas tous les indices ,y compr is ceux entre parenthèses ,du ter me pour lequel nous souhaitons déter miner l’espér ance du carré mo yen ;

(18)

III.7 Calcul de l’espér ance des carrés mo yens

2

les coefficients des par amètres λ qui ne sont pas fixés à zéro par la règle 7(1) sont obten us en commençant par suppr imer les colonnes associées aux indices qui ne sont pas entre parenthèses dans le ter me pour lequel nous souhaitons déter miner l’espér ance du carré mo yen puis en m ultipliant les valeurs présentes dans les colonnes restantes .

Règle III.7 Ex emple Pour l’e xemple précédent, l’application de la règle 7(1) donne : Espér ance du carré mo yen du ter me A B ( A ) C A C BC ( A ) Erreur λ α i B j ( i ) γ k ( α γ ) ik ( B γ ) jk ( i ) ε l ( ijk ) Φ( α ) .. . 0 0 0 0 0 σ 2 B | α .. . .. . 0 0 0 0 Φ( γ ) 0 0 .. . 0 0 0 Φ( α γ ) .. . 0 .. . .. . 0 0 σ 2 B γ | α .. . .. . .. . .. . .. . 0 σ 2 e .. . .. . .. . .. . .. . .. .

III.7 Ex emple Pour l’e xemple précédent, les coefficients des par amètres λ sont les suiv ants : Espér ance du carré mo yen du ter me A B ( A ) C A C BC ( A ) Erreur λ α i B j ( i ) γ k ( α γ ) ik ( B γ ) jk ( i ) ε l ( ijk ) Φ( α ) bcn 0 0 0 0 0 σ 2 B | α cn cn 0 0 0 0 Φ( γ ) 0 0 abn 0 0 0 Φ( α γ ) 0 0 0 bn 0 0 σ 2 B γ | α 0 0 n n n 0 σ 2 e 1 1 1 1 1 1

Règle III.7 Ex emple Pour l’e xemple précédent, les espér ances des carrés mo yens sont donc : E ( CM α ) = σ 2 e + cn σ 2 B | α + bcn

Φ( α ) z }| { 1 a − 1

a X i = 1 α 2 i , E CM B | α = σ 2 e + cn σ 2 B | α , E ( CM γ ) = σ 2 e + n σ 2 B γ | α + abn

Φ( γ ) z }| { 1 c − 1

c X k = 1 γ 2 k ,

(19)

Règle III.7 Ex emple E ( CM αγ ) = σ 2 e + n σ 2 B γ | α + bn

Φ( αγ ) z }| { 1 ( a − 1 )( c − 1 )

a X i = 1

c X k = 1 ( α γ ) 2 ik , E CM B γ | α = σ 2 e + n σ 2 B γ | α et E ( CM R ) = σ 2 e .

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Estimateurs des composants de la var iance Ex emple Remarquons que les trois relations suiv antes sont satisf aites par les espér ances des carrés mo yens . E ( CM R ) = σ 2 e E CM B | α = E ( CM R ) + cn σ 2 B | α E CM B γ | α = E ( CM R ) + n σ 2 B γ | α .

Estimateurs des composants de la var iance Ex emple Ce simple constat nous montre que mis à par tle carré mo yen résiduel et en présence de tous les eff ets du modèle ,aucun autre carré mo yen n’est un estimateur sans biais de la source de la var iance à laquelle il est attaché ; il est facile de constr uire des estimateurs sans biais des composants de la var iance .

(20)

des composants de la var iance Ex emple Les statistiques suiv antes sont des estimateurs sans biais des composants de la var iance : c σ 2 e = CM R d σ 2 B | α = 1 cn CM B | α − CM R [ σ 2 B γ | α = 1 n CM B γ | α − CM R . Il est malheureusement possib le de montrer que ces deux der niers estimateurs prennent des valeurs str ictement négativ es av ec une probabilité >0. Dans ce cas ,l’estimation du composant de la var iance est fixée égale à 0.

Estimateurs des composants de la var iance Synthèse Les résultats que nous av ons obten us sur cet ex emple sont en fait vr ais pour tous les modèles d’analyse de la var iance dans lesquels il y a au moins un facteur à eff ets aléatoires . mis à par tle carré mo yen résiduel et en présence de tous les eff ets du modèle ,aucun autre carré mo yen n’est un estimateur sans biais de la source de la var iance à laquelle il est attaché ; il est facile de constr uire des estimateurs sans biais des composants de la var iance ; ces estimateurs prennent des valeurs str ictement négativ es av ec une probabilité >0. Dans ce cas ,nous fixons à 0 l’estimation du composant de la var iance .

1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Règles III.2 à III.7 simplifiées Ter mes inter venant dans l’espér ance des carrés mo yens Une rapide étude de l’algor ithme précédent per met d’obtenir la méthode suiv ante qui pourr a vous être utile si vous n’êtes intéressé que par les ter mes qui inter viennent dans les espér ances des carrés mo yens ,pour constr uire les rappor ts de Fisher ,et non la valeur précise de ceux-ci, qui, elle ,ser tà estimer les composantes de var iance ainsi qu’à déter miner la puissance des tests .

(21)

Règles III.2 à III.7 simplifiées P ar amétr isation des eff ets

1

Pour chacun des ter mes à eff ets fix es ,le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets est défini par la somme des carrés des eff ets divisée par le nombre de deg rés de liber té associé au ter me .

2

Pour chacun des ter mes à eff ets aléatoires ,le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets est défini par le composant de var iance associé au ter me .

Règles III.2 à III.7 simplifiées P ar amétr isation des eff ets

1

Pour chacun des ter mes associé à un facteur à eff ets fix es , Φ désigner a le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets c’est-à-dire la somme des carrés des eff ets divisée par le nombre de deg rés de liber té associé au ter me .

2

Pour chacun des ter mes associé à un facteur à eff ets aléatoires , σ 2 désigner a le par amètre quantifiant l’impor tance des eff ets c’est-à-dire le composant de var iance associé au ter me . Nous obtenons la liste des composants de var iation ( Φ ou σ 2 ) estimés par chaque espér ance du carré mo yen d’un des ter mes du modèle de la manière décr ite dans les vignettes suiv antes .

Règles III.2 à III.7 simplifiées Ter mes inter venant dans l’espér ance des carrés mo yens (suite)

1

Faire la liste des ter mes du modèle dans l’ordre naturel : eff ets pr incipaux simples ; eff ets pr incipaux emboîtés ; inter actions entre facteurs non-emboîtés ; autres ter mes d’inter actions ; erreur .

Règles III.2 à III.7 simplifiées Ter mes inter venant dans l’espér ance des carrés mo yens (suite)

2

Les contr ib utions à l’espér ance d’un carré mo yen pour un ter me X donné sont à choisir par mi les var iations appar tenant aux lignes situées en dessous de celle associée à X .

3

Commencer par la ligne du bas du tab leau et remonter prog ressiv ement jusqu’à la ligne associée à l’eff et X .

(22)

III.2 à III.7 simplifiées Ter mes inter venant dans l’espér ance des carrés mo yens (suite)

4

Inclure chaque ter me dès que Tous les facteur s impliqués dans X apparaissent dans la source de var iation de la ligne considérée ; Tous les autres facteurs appar aissant dans la source de var iation, hormis ceux entre parenthèses qui décr iv ent les emboitements ,sont à eff ets aléatoires .En l’absence d’emboîtement, tous les autres facteurs doiv ent être à eff ets aléatoires .

Règles III.2 à III.7 simplifiées Ex emple Pour l’e xemple précédent, les espér ances des carrés mo yens sont donc : E ( CM α ) = σ 2 e + K 1 σ 2 B | α + K 2 Φ( α ) , E CM B | α = σ 2 e + K 1 σ 2 B | α , E ( CM γ ) = σ 2 e + K 3 σ 2 B γ | α + K 4 Φ( γ ) , E ( CM αγ ) = σ 2 e + K 3 σ 2 B γ | α + K 5 Φ( α γ ) , E CM B γ | α = σ 2 e + K 3 σ 2 B γ | α et E ( CM R ) = σ 2 e .

III.2 à III.7 simplifiées Ex emple Cer tains auteurs préfèrent utiliser la notation suiv ante : Eff et Ddl Composants E [ CM ] F 1 A a − 1 S

0

(C*B

0

(A))+B

0

(A)+A 1/2 2 B

0

(A) ( b − 1 ) a S

0

(C*B

0

(A))+B

0

(A) 2/6 3 C c − 1 S

0

(C*B

0

(A))+C*B

0

(A)+C 3/5 4 C*A ( c − 1 )( a − 1 ) S

0

(C*B

0

(A))+C*B

0

(A)+CA 4/5 5 CB

0

(A) ( c − 1 )( b − 1 ) a S

0

(C*B

0

(A))+C*B

0

(A) 5/6 6 S

0

(C*B

0

(A)) ( n − 1 ) cba S

0

(C*B

0

(A)) - Total ncba − 1 Le 0 désigna un facteur à eff ets aléatoires et ∗ une inter action.

Statistiquesdetest Puissancesdestests ApproximationdeSatterthwaite

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

(23)

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Statistiques de test Déter mination Les différents carrés mo yens crées par les Règles II.1 à II.4 sont indépendants . Les statistiques de test s’obtiennent grâce aux carrés mo yens en for mant, lorsque cela est possib le ,un rappor toù l’espér ance du numér ateur ne diffère de celle du dénominateur que par le par amètre d’eff ets dont nous voulons tester la nullité.

Statistiques de test Ex emple Pour l’e xemple précédent, nous introduisons cinq statistiques de Fisher .

1

Pour le test de l’eff et pr incipal de A posons : F α = CM α CM B | α car E ( CM α ) = E CM B | α + bcn Φ( α ) et ainsi sous H 0 : Φ( α ) = 0, F α suit une loi de Fisher à a − 1 et a ( b − 1 ) deg rés de liber té.

Statistiques de test Ex emple

2

Pour le test de l’eff et pr incipal de B , B ( A ) ,posons : F B | α = CM B | α CM R car E CM B | α = E ( CM R ) + cn σ 2 B | α et ainsi sous H 0 : σ 2 B | α = 0, F B | α suit une loi de Fisher à a ( b − 1 ) et abc ( n − 1 ) deg rés de liber té.

(24)

de test Ex emple

3

Pour le test de l’eff et pr incipal C posons : F C = CM γ CM B γ | α car E ( CM γ ) = E CM B γ | α + abn Φ( γ ) et ainsi sous H 0 : Φ( γ ) = 0, F C suit une loi de Fisher à c − 1 et a ( b − 1 )( c − 1 ) deg rés de liber té.

FrédéricBertrand

Statistiques de test Ex emple

4

Pour le test de l’eff et de l’inter action A ∗ C posons : F αγ = CM αγ CM B γ | α car E ( CM αγ ) = E CM B γ | α + bn Φ( α γ ) et ainsi sous H 0 : Φ( α γ ) = 0, F αγ suit une loi de Fisher à ( a − 1 )( c − 1 ) et a ( b − 1 )( c − 1 ) deg rés de liber té.

de test Ex emple

5

Pour le test de l’eff et de l’inter action B ∗ C ( A ) posons : F B γ | α = CM B γ | α CM R car E CM B γ | α = E ( CM R ) + n σ 2 B γ | α et ainsi sous H 0 : σ 2 B γ | α = 0, F B γ | α suit une loi de Fisher à a ( b − 1 )( c − 1 ) et abc ( n − 1 ) deg rés de liber té.

Tab leau d’analyse de la var iance Ex emple Var iation SC ddl CM F obs Fact. α sc α a − 1 cm α cm α cm B | α Fact. B | α sc B | α a ( b − 1 ) cm B | α cm B | α cm R Fact. γ sc γ c − 1 cm γ cm γ cm B γ | α Inter . α γ sc αγ ( a − 1 )( c − 1 ) cm αγ cm αγ cm B γ | α

(25)

Tab leau d’analyse de la var iance Ex emple Var iation SC ddl CM F obs Inter . B γ | α sc B γ | α a ( b − 1 )( c − 1 ) cm B γ | α cm B γ | α cm R Résiduelle sc R abc ( n − 1 ) cm R Totale sc TO T abcn − 1

Sommaire 1 Génér alités sur les modèles ,e xpression des sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té Génér alités Règles de constr uction d’un modèle d’analyse de la var iance Sommes des carrés et calcul des deg rés de liber té 2 Règles de calcul de l’espér ance des carrés mo yens Espér ance des carrés mo yens Estimation des composants de la var iance Composantes de l’espér ance des carrés mo yens 3 Tests F, puissances et pseudo tests F Statistiques de test Puissances des tests Appro ximation de Satter thw aite

Puissance des tests Introduction En premier lieu, il faut distinguer si vous cherchez à tester un ter me à eff ets fix es ou un ter me à eff ets aléatoires .Nous nous concentrerons sur le cas des statistiques suiv ant exactement un loi de Fisher sous H 0 . Dans le cas où nous aur ions dû utiliser un pseudo-test F, basé sur l’appro ximation de Satter thw aite ,pour tester l’e xistence de cet eff et, il est également possib le de calculer une puissance approchée ,v oir Scheffé, The Analysis of Var iance ,Wile y, 1959.

Puissance des tests Eff ets fix es Pour un ter me à eff ets fix es ,nous de vons calculer la puissance : Π = P F 0 ( ν 1 ,ν 2 ; λ ) > F ( ν 1 ,ν 2 ; 1 − α ) où F ( ν 1 ,ν 2 ; α ) est le quantile d’ordre α d’une loi de Fisher , centr ale ,à ν 1 deg rés de liber té au numér ateur et ν 2 deg rés de liber té au dénominateur ; F 0 ( ν 1 ,ν 2 ; λ ) est une var iab le aléatoire distr ib uée suiv ant une loi de Fisher non centrale à ν 1 deg rés de liber té au numér ateur , ν 2 deg rés de liber té au dénominateur et de par amètre de non centr alité λ ;

(26)

des tests Eff ets fix es (suite) ν 1 est le deg ré de liber té du numér ateur de la statistique de Fisher du test ; ν 2 celui du dénominateur ; λ est un par amètre de non centr alité nor malisé dont l’e xpression s’obtient à par tir de celles que nous av ons obten ues de l’espér ance des carrés mo yens .

Puissance des tests Eff ets fix es (suite) Comme le ter me testé est à eff ets fix es ,l’espér ance du carré mo yen appar aissant au numér ateur compor te un ter me du type α × Φ( eff et ) ,où α est un produit d’eff ectifs . Celui-ci est égal à la différence entre l’espér ance du carré mo yen du numér ateur E ( CM num ) et celle du dénominateur E ( CM denom ) .Le par amètre λ est ainsi égal à λ = ν 1 ( E ( CM num ) − E ( CM denom )) 2 E ( CM denom ) = α × ν 1 Φ( eff et ) 2 E ( CM denom ) ·

des tests Remarque La gr ande major ité des logiciels per met de calculer directement les quantiles des lois de Fisher non centr ales . Si ceux dont vous disposez ne le per mettent pas ,v oici deux alter nativ es . Les abaques ser vant usuellement aux calculs de puissance pour les eff ets fix es per mettent encore d’obtenir la valeur explicite de la puissance .P our s’en ser vir ,il faut utiliser le par amètre de non centr alité nor malisé φ : φ = s 2 λ ( ν 1 + 1 ) = s α × ν 1 Φ( eff et ) ( ν 1 + 1 ) E ( CM denom ) ·

Puissance des tests Remarque Il est également possib le d’utiliser l’appro ximation nor male suiv ante ,Johnson at al. 1995 p. 491-492. La var iab le Z =

q ν

1

ν

−1 2

( 2 ν

2

− 1 ) F [ ν

1

,ν

2

; λ ] − p 2 ( ν

1

+ 2 λ ) − ( ν

1

+ 2 λ )

−1

( ν

1

+ 4 λ ) q ν

1

ν

−1 2

F [ ν

1

,ν

2

; λ ] + ( ν

1

+ 2 λ )

−1

( ν

1