IRMA, Univ ersité de Str asbourg Str asbourg, Fr ance ENSAI 3 e Année 2017-2018

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Plansfactorielscomplets Principedesplansfractionnaires Étudedesconfusionsdesplansfractionnaires Choixetdépouillementd’unplanfractionnaire

Plans factor iels complets ,plans fractionnaires Cas des facteurs ay ant deux modalités Frédér ic Ber trand 1

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IRMA, Univ ersité de Str asbourg Str asbourg, Fr ance ENSAI 3 e Année 2017-2018

FrédéricBertrandPlansfactorielscomplets,plansfractionnaires

Sommaire 1 Plans factor iels complets Données ,notations Estimation Analyse des résultats 2 Pr incipe des plans fractionnaires Introduction Constr uction en trois étapes Propr iétés du plan proposé

FrédéricBertrandPlansfactorielscomplets,plansfractionnaires Plansfactorielscomplets Principedesplansfractionnaires Étudedesconfusionsdesplansfractionnaires Choixetdépouillementd’unplanfractionnaire

Sommaire 3 Étude des confusions des plans fractionnaires Une confusion en engendre d’autres Lister les confusions induites par une confusion donnée Choix des confusions ;cas de plusieurs confusions 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire Nombre de facteurs étudiés et nombre d’essais Dépouillement des résultats Essais complémentaires

Sources Ce cours s’appuie sur les références : D .Collombier , Plans d’e xpér ience factor iels :constr uction et propr iétés des fractions de plans ,aux éditions Spr inger , 1996. F. Husson et J. P agès , Statistiques génér ales pour utilisateurs ,aux PUR, 2005. le livre de Douglas C .Montgomer y, Design and Anal ysis of Experiments ,7 th Edition, aux éditions Wile y, 2009.

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Données,notations Estimation Analysedesrésultats

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Sommaire 1 Plans factor iels complets Données ,notations Estimation Analyse des résultats 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Notations ,modèles et matr ice des eff ets Introduction Introduction Ces plans présentent les car actér istiques suiv antes : ce sont les plus simples sur le plan technique ;ils se prêtent donc bien à l’introduction d’éléments méthodologiques ; ils sont souv ent utilisés ; il est nécessaire de les connaître pour aborder les plans fractionnaires .

Introduction Considérons le plan complet à 3 facteurs ay ant chacun 2 modalités . Ce plan compor te 2 3 essais et est souv ent noté 2 3 . Plus génér alement, le plan complet à p facteurs à 2 modalités est noté 2 p .

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Introduction Voici la seconde : F 1 F 2 F 3 Y 1 1 1 y 111 1 1 2 y 112 1 2 1 y 121 1 2 2 y 122 2 1 1 y 211 2 1 2 y 212 2 2 1 y 221 2 2 2 y 222 T A B LE – 1. Notations pour le plan 2 3 .

Choix d’un modèle et matr ice des eff ets Deux modèles pour analyser ces données Le modèle complet Il contient tous les eff ets :3 eff ets pr incipaux, 3 inter actions d’ordre 2 et l’inter action d’ordre 3. Puisqu’il n’y a pas de répétitions ,ce modèle est saturé (autant de par amètres que de données ,ici 8 = 7+ la constante). Soit : y ijk = µ + α i + β j + γ k + ( α β ) ij + ( α γ ) ik + ( β γ ) jk + ( α β γ ) ijk Utiliser un tel modèle re vient à considérer que la var iance résiduelle est négligeab le de vant les eff ets des facteurs .De façon pr agmatique ,ce peut-être une première étape dans l’analyse des résultats .

Le modèle réduit d’ordre 2 Il ne contient que les eff ets pr incipaux et le s inter actions d’ordre 2. Il re vient à négliger a pr ior itoute inter action d’ordre supér ieur à 2, ce qui s’a vère raisonnab le en pr atique .L ’inter action d’ordre 3 du modèle précédent est vue maintenant comme le résidu. Soit : y ijk = µ + α i + β j + γ k + ( α β ) ij + ( α γ ) ik + ( β γ ) jk + ijk Dans ce modèle à 3 facteurs ,la var iance résiduelle est estimée av ec un seul deg ré de liber té.

Le modèle réduit d’ordre 2 (suite) Ceci est très peu :pour s’en con vaincre ,on peut consulter quelques valeurs de la loi de Student (utilisée pour le test de signification d’un coefficient) :les deux valeurs suiv antes t 1 ; 0 , 975 = 12 , 71 et t 3 ; 0 , 975 = 3 , 18 montrent une gr ande différence entre 1 et 3 deg rés de liber té.

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Le modèle réduit d’ordre 2 (suite) En raccourci, on peut dire que pour être significatif ,un coefficient doit être 4 fois plus gr and av ec 1 ddl qu’a vec 3 ddl. A ussi, les tests sont-ils beaucoup moins puissants (i.e .aptes à mettre en évidence des eff ets significatifs) av ec 1 ddl qu’a vec 3 :ces deux situations sont donc très différentes en pr atique . Dès que le nombre de facteurs p croît au-delà de trois ,les résidus du modèle réduit d’ordre 2 présentent rapidement beaucoup plus de deg rés de liber té (5 ddl pour p = 4 ;16 ddl pour p = 5).

Matr ice des eff ets On appelle matr ice des eff ets la matr ice X de l’écr iture du modèle Y = X β + .Dans le cas de facteurs à deux modalités , cette matr ice présente des propr iétés remarquab les . Eff ets pr incipaux Pour les eff ets pr incipaux, par ex emple F 1, la contr ainte P i α i = 0 conduit à α 2 = − α 1 ;chaque eff et pr incipal est représenté par une seule colonne qui ne contient donc que les valeurs 1 et -1.

Inter actions Pour les inter actions ,par ex emple entre F 1 et F 2, les contr aintes P i ( α β ) ij = 0 et P j ( α β ) ij = 0 conduisent à expr imer tous les par amètres en fonction d’un seul (d’où un seul deg ré de liber té associé à une inter action et donc une seule colonne dans X ), en l’occurrence ( α β ) 11 (cf .T ab leau 12.2). En outre ces contr aintes illustrent bien la notion d’inter action : si, pour F 1 = 1, c’est la modalité 1 de F 2 qui est meilleure ( ( α β ) 11 > 0) alors c’est l’in verse pour F 1 = 2 ( ( α β ) 21 = − ( α β ) 11 < 0).

Matr ice des eff ets Il en résulte que dans la matr ice des eff ets ,la colonne correspondant à une interaction s’obtient en m ultipliant entre elles les colonnes des eff ets principaux correspondants , propr iété très utilisée en pr atique . Plus génér alement, la colonne d’une inter action d’ordre quelconque est obten ue en m ultipliant entre elles toutes les colonnes des eff ets pr incipaux correspondant. Tout ceci n’est valab le que pour des facteurs à deux modalités : pour des facteurs à plus de modalités ,plusieurs colonnes (autant que de ddl) sont nécessaires pour représenter un eff et.

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Matr ice des eff ets F 2 1 2 P F 1 1 ( α β ) 11 − ( α β ) 11 0 2 − ( α β ) 11 ( α β ) 11 0 P 0 0 0 T A B LE – 2. Relations entre les coefficients d’inter action dans le cas de facteurs à deux modalités

Matr ice des eff ets Dans le cas du plan 2 3 ,on obtient ainsi la matr ice du tab leau 3 reproduit sur le transparent suiv ant. Les trois premières colonnes (qui correspondent aux eff ets pr incipaux) sont celles de la matr ice des essais à condition de coder 2 (dans le tab leau 1) par − 1. Matr ice des eff ets Les colonnes représentant les inter actions sont obten ues par m ultiplication de celles des eff ets pr incipaux correspondants . On ajoute à la fin la colonne constante .

Matr ice des eff ets Eff ets 1 2 3 12 13 23 123 I 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 2 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 3 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 4 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 6 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 7 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 8 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 T A B LE – 3. Matr ice X associée au modèle saturé du plan 2 3

Matr ice des eff ets Cette matr ice possède une propr iété remarquab le :le pr oduit scalaire entre deux colonnes quelconques est égal à 0 . Lorsque l’une de ces colonnes est celle de la constante ,cela montre que les autres colonnes sont centrées (de mo yenne nulle). Étant de mo yenne nulle ,le fait que leur produit scalaire soit nul montre que les autres colonnes sont deux à deux non corrélées .

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Matr ice des eff ets Enfin, le carré de la norme euc lidienne d’une colonne est égal au nombre d’essais n . Toutes ces propr iétés peuv ent être résumées dans l’écr iture matr icielle : ( X 0 X ) = ( XX 0 ) = nId ,en notant Id la matr ice identité de bonne dimension.

Matr ice des eff ets Une matr ice qui vér ifie cette propr iété est dite matr ice de Hadamard. Il n’e xiste des matr ices de Hadamard que pour n m ultiple de 4. Pour n = 2 p ,la matr ice du modèle saturé du plan 2 p est une matr ice de Hadamard. Pour les autres valeurs de n les matr ices de Hadamard se trouv ent dans des tab les .

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Estimation Lorsque X est une matr ice de Hadamard, l’estimation des par amètres est par ticulièrement simple .En eff et : X 0 X − 1 = ( 1 / n ) I d . L’estimation des coefficients β de vient alors : b β = ( 1 / n ) X 0 Y . A u coefficient 1 / n près ,un coefficient est estimé en m ultipliant la colonne de X correspondante par le vecteur Y .

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Ex emple Y =             y 111 y 112 y 121 y 122 y 211 y 212 y 221 y 222

           

=             26 18 8 8 6 6 4 4

            b β =

              c α 1 c β 1 bγ 1 \ ( α β ) 11 \ ( α γ ) 11 \ ( β γ ) 11 \ ( α β γ ) 111 bµ

             

=            

5 4 1 3 1 1 1 10

           

T A B LE – 4. Ex emple numér ique d’estimation des par amètres dans le cas d’un plan 2 3

Ex emple Chaque ter me du vecteur b β est obten u en eff ectuant le produit scalaire entre Y et la colonne correspondante de X puis en divisant par n = 8. Ce produit scalaire s’inter prète simplement. Ainsi l’estimation de α 1 ,obten ue par le produit scalaire entre Y et la première colonne du tab leau 4, s’écr it : c α 1 = 1 8 [ y 111 + y 112 + y 121 + y 122 − y 211 − y 212 − y 221 − y 222 ] = 1 2 [ y 1 ·· − y 2 ·· ] = y 1 ·· − y ··· (1)

Ex emple On reconnaît, au coefficient 1/2 près ,la différence de mo yenne de Y entre les modalités 1 et 2 de F1. L’inter prétation du coefficient d’un eff et pr incipal est donc très simple .

Ex emple Pour un coefficient d’inter action, par ex emple α β 11 ,on obtient, par le produit scalaire entre Y et la 4 e colonne du tab leau 4 : \ ( α β ) 11 = 1 / 8 [ y 111 + y 112 − y 121 − y 122 − y 211 − y 212 + y 221 + y 222 ] = 1 / 4 [ y 11 · − y 12 · − y 21 · + y 22 · ] = 1 / 2 [( y 11 · − y 1 ·· ) − ( y · 1 · − y ··· )] dans laquelle on reconnaît la notion d’inter action usuelle .

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Ex emple Comme les estimations précédentes ,celle du coefficient de l’inter action d’ordre 3 noté ( α β γ ) 111 ,s’obtient par le produit scalaire entre Y et la colonne du tab leau 4 correspondant à 123. Soit : ( α β γ ) 111 = 1 / 8 [ y 111 − y 112 − y 121 + y 122 − y 211 + y 212 + y 221 − y 222 ] = 1 / 8 [( y 111 − y 112 − y 121 + y 122 ) − ( y 211 − y 212 − y 221 + y 222 )] La seconde écr iture aide à comprendre ce que représente une inter action d’ordre 3. On reconnaît la différence entre l’inter action entre F 2 et F 3 lorsque F 1 = 1 et cette même inter action lorsque F 1 = 2.

Inter prétation Il n’en reste pas mois que ,en pr atique ,lorsque l’on met en œuvre des plans qui per mettent de tester la signification des inter actions d’ordre 3 celles-ci sont rarement significativ es . Pour toutes ces raisons ,la plupar tdes utilisateurs négligent les inter actions d’ordre 3. A for tior i, il en est bien sûr de même pour les inter actions d’ordre supér ieur à 3.

Var iance des estimateurs Elles se trouv ent sur la diagonale de la matr ice σ 2 ( X 0 X ) − 1 qui, pour une matr ice de Hadamard, vaut ( σ 2 / n ) Id .T outes ces var iances sont donc égales à σ 2 / n . Théorème Cette var iance est la plus petite possib le :aucun autre plan en n essais ne four nit de meilleurs estimateurs .

Var iance des estimateurs On peut av oir une intuition de ce résultat en remarquant que cette var iance est celle de l’estimateur d’une mo yenne à par tir d’un échantillon de taille n ,situation dans laquelle toutes les données ne ser vent à estimer qu’une seule mo yenne . Ce qui est remarquab le ici est que ,à par tir du même ensemb le de données ,on estime tous les eff ets av ec cette même précision. Cette idée ser a étendue av ec les plans fractionnaires .

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Propr iété remarquab le La relation b β = ( 1 / n ) X 0 Y montre clairement que l’estimation d’un coefficient par ticulier ne dépend pas de la présence ou non des autres eff ets dans le modèle . Ainsi, les estimations { 5 , 4 , 1 } des eff ets pr incipaux sont les mêmes ,que l’on utilise le modèle saturé ou le modèle réduit aux seuls eff ets pr incipaux.

Propr iété remarquab le Cette propr iété est attendue par l’utilisateur .Les plans qui la possède sont appelés plans or thogonaux et elle est toujours vr aie dans le cas d’un plan complet (quels que soient les nombres de modalités des facteurs), ce qui est l’un des attr aits des plans complets . Cette propr iété repose sur le résultat suiv ant :l’estimation des coefficients de F 1 ne dépend pas de la présence ou non de F 2 dans le modèle lorsque F 1 et F 2 ne sont pas liés .

Propr iété remarquab le En pr atique ,cette liaison peut s’apprécier en calculant le tab leau de contingence croisant les modalités de F 1 (en lignes) av ec celles de F 2 (en colonnes) dans lequel, à l’intersection de la ligne i et de la colonne j ,on trouv e le nombre d’essais réalisés selon ces modalités (cf .T ab leau 5 à gauche). Si le tab leau des eff ectifs est constant, ce qui est le cas dans notre ex emple ,mais aussi plus génér alement pour tout plan complet et ce quel que soit le couple de facteurs ,les deux facteurs ne sont pas liés :on dit qu’ils sont or thogonaux.

Propr iété remarquab le Plan 2 3 Plan [P] F 2 F 2 1 2 1 2 F 1 1 2 2 F 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 T A B LE – 5. Tab leau d’eff ectifs croisant les facteurs F 1 et F 2. À gauche pour le plan 2 3 ,chaque combinaison de modalités est représentée par le même nombre d’essais .Ce n’est pas le cas ,à droite ,pour le plan [P].

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Propr iété remarquab le A contr ar io ,il y aur ait liaison si, par ex emple ,la modalité 1 de F 1 était plus souv ent présente en conjonction av ec la modalité 1 de F 2 qu’a vec la modalité 2 de F 2 ;c’est le cas av ec le pl an [P] du tab leau 5 dans lequel, par rappor tau plan 2 3 du tab leau 1, au lieu de réaliser l’essai 3 ( F 1 = 1, F 2 = 2, F 3 = 1), on av ait réalisé un 3 e essai semb lab le aux deux premiers ( F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 1). Intuitiv ement, on « sent » bien que ,dans ce cas ,une valeur éle vée de Y pour la modalité F 1 = 1 (par rappor tà la valeur de Y pour F 1 = 2) est peut-être imputab le à de plus for tes valeurs de Y pour la modalité F 2 = 1.

Propr iété remarquab le En compar ant les estimations four nies par un prog ramme exécuté pour chacun des deux modèles ,on peut constater que les estimations de α 1 ne sont pas les mêmes selon que l’on introduit ou non F 2 dans le modèle (plus prof ondément, on peut comparer les estimateurs b β = ( X 0 X ) − 1 X 0 Y dans les deux cas).

Propr iété remarquab le L’estimateur b β gère bien ce prob lème si F 2 est dans le modèle (il est sans biais) et, bien sûr ,ne le gère pas si F 2 n’est pas dans le modèle .Ce prob lème est appelé « confusion » en tre facteurs expér imentaux. La confusion est ici par tielle ;en pr atique ,de telles confusions sont gênantes et on essaie d’éviter de se mettre dans ces situations par une planification rigoureuse .

Propr iété remarquab le Un autre type de confusion, dite totale ,est utilisé dans des str atégies expér imentales :c’est l’objet du par ag raphe suiv ant. Remarquons enfin que l’intérêt de disposer de 2 facteurs non conf ondus entre eux est ann ulé si un troisième facteur est conf ondu par tiellement av ec chacun d’eux.

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Analyse des résultats Remarquons tout d’abord que ,dans le cas d’un facteur à deux modalités ,il re vient au même de tester le facteur dans son ensemb le par un test F de Fisher ou l’unique coefficient de ce facteur par un test t de Student. Il est facile de constater que ,dans ce cas , F obs = ( t obs ) 2 .En outre ,la loi F 1 ; ν (a yant un seul deg ré de liber té au numér ateur) et la loi t ν sont liées par la relation suiv ante :si L ( X ) = t ν alors L ( X 2 ) = F 1 ; ν .

Analyse des résultats Dès lors que les facteurs sont un tant soit peu nombreux, on peut hésiter quant à la str atégie de dépouillement des résultats . Ce prob lème a donné lieu à de nombreux tra vaux, conduisant à des propositions de str atégie plus ou moins sophistiquées . Nous donnons ci-après quelques points de repères simples .

Démarche inférentielle classique C’est celle que nous av ons adoptée jusqu’ici. On postule un modèle a pr ior i(c’est-à-dire av ant de réaliser l’e xpér ience ou, tout au moins ,indépendamment des résultats Y ), modèle compor tant un ter me d’erreur . On réalise les tests et on prend en compte ,dans la décision finale ,uniquement des eff ets significatifs .Cette démarche est la plus pure sur le plan statistique . Dans l’e xemple ,elle consiste par ex emple à postuler le modèle compor tant les eff ets pr incipaux et les inter actions d’ordre 2 et conduit à la conclusion qu’aucun eff et n’est significatif (cf . Tab leau 6, ligne 3 -modèle 1 :toutes les probabilités cr itiques sont supér ieures à 5%).

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Tab leau de résultats de l’e xemple Eff et α 1 β 1 γ 1 α β 11 α γ 11 Coeffs ∀ le modèle 5 4 1 3 1 probabilité Mod. 1 0,126 0,156 0,500 0,205 0,500 cr itique Mod. 2 0,007 0,016 0,040 Eff et β γ 11 α β γ 111 c σ 2 ddl t ν ; 0 , 975 Coeffs ∀ le modèle 1 1 probabilité Mod. 1 0,500 8 1 12 ,71 cr itique Mod. 2 8 4 2,776 T A B LE – 6. Analyse des données du tab leau 4 par deux modèles . Estimation des coefficients (ligne 1) et probabilités cr itiques (lignes 2 et 3) ;les cases vides sont « sans objet »

Démarche non inférentielle On utilise le modèle saturé, ce qui per met de disposer de l’estimation du coefficient de chaque eff et. On sélectionne les eff ets les plus impor tants uniquement d’après la valeur de leur coefficient ;év entuellement on peut disposer d’un seuil a pr ior ie xpr imé en valeur de Y :par ex emple , Y étant un rendement expr imé en %, on peut considérer qu’un eff et qui se traduit par un coefficient infér ieur à 2% ne nous intéresse pas (même s’il est significatif) car il est négligeab le d’un point de vue économique .

Démarche non inférentielle Dans l’e xemple ,cela re vient à considérer uniquement les eff ets pr incipaux des facteurs 1 et 2 ainsi que leur inter action (cf . Tab leau 6, ligne 2 :coefficients). Ce cas est bien sûr facile (il a été constr uit pour !) puisqu’il mo ntre clairement deux groupes de coefficients .

Démarche inférentielle empir ique On considère d’abord un modèle compor tant beaucoup d’eff ets ,le cas extrême étant celui du modèle saturé. On sélectionne les eff ets les plus impor tants comme précédemment et on constr uit un nouv eau modèle av ec ces seuls eff ets (on peut aussi retirer un à un les eff ets les plus faib les). On réalise alors les tests av ec la nouv elle var iance résiduelle .

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Démarche inférentielle empir ique Dans l’e xemple ,après av oir analysé le modèle 1 ou le modèle saturé, on est conduit, selon cette démarche ,à tester le modèle 2 (restreint aux eff ets dont les coefficients sont supér ieurs à 1 dans le modèle 1) : Y ijk = µ + α i + β j + ( α β ) ij + ε ijk . Les 3 eff ets sont maintenant significatifs (cf .T ab leau 6). Que s’est-il passé ?

Démarche inférentielle empir ique P ar rappor tau modèle 1, on incor pore dans la var iance résiduelle du modèle 2 trois eff ets supplémentaires :la SC R s’accroît donc mécaniquement. Mais le nombre de deg rés de liber té augmente aussi. Dans ce cas très par ticulier où les eff ets que l’on ajoute sont chacun équiv alents à celui qui s’y trouv ait déjà (cf .les coefficients indiqués dans la première ligne), l’augmentation du nombre de deg rés de liber té compense exactement l’augmentation de la SC R .

Démarche inférentielle empir ique Finalement, dans ce cas très par ticulier ,l’estimation de σ 2 est constante et, par voie de conséquence ,la var iance des estimateurs aussi (elle vaut, pour n’impor te quel coefficient de chacun des deux modèles : c σ 2 / n = 1). Toujours dans ce cas par ticulier ,la statistique de test d’un coefficient est égale au coefficient lui-même puisque les var iances des estimateurs sont égales à 1. Dans ces données ,un seul élément change donc d’un modèle à l’autre dans les tests des coefficients :le nombre de deg rés de liber té qui passe de 1 à 4, ce qui a une influence énor me sur le seuil de signification t ν ; 0 , 975 qui passe de 12 , 71 à 2 , 776.

Démarche inférentielle empir ique Cet ex emple illustre très bien la faib le puissance des tests av ec un seul deg ré de liber té et le gain appréciab le appor té par 3 deg rés de liber té supplémentaires . En pr atique ,f ace à ces données ,on aur ait conclu à l’influence des trois eff ets F 1, F 2 et F 1 F 2. En quoi cette pr atique est-elle empir ique et cr itiquab le du point de vue de la théor ie des tests ?

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Démarche inférentielle empir ique Le pr incipe même de changer de modèle jusqu’à obser ver des eff ets significatifs engendre un risque 0 :réel sûrement supér ieur à celui annoncé même si on ne peut le calculer . Plus précisément, en choisissant de ne faire entrer dans la résiduelle que des eff ets petits ,on a tendance à sous-estimer 0-2 ;mais ,d’un autre côté ,on améliore sensib lement la puissance des tests du fait de l’augmentation des deg rés de liber té :la str atégie est donc raisonnab le .Elle reste néanmoins empir ique car on ne peut afficher av ec cer titude les risques associés aux tests .

Introduction Constructionentroisétapes Propriétésduplanproposé

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Pr incipe des plans fractionnaires Introduction Introduction Soit le prob lème suiv ant :proposer un plan d’e xpér ience per mettant d’étudier 3 facteurs à 2 modalités à l’aide de 4 essais . Il est clair que si l’on n’était pas limité par le nombre d’essais ,le plan complet 2 3 s’imposer ait. Ce cas très simple illustre la difficulté la plus fréquemment rencontrée en expér imentation :le plan complet est intéressant de par ses propr iétés statistiques mais conduit à un nombre d’essais prohibitif dès lors que le nombre de facteurs est un tant soit peu gr and (2 p dans le cas de p facteurs à 2 modalités).

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Introduction Indiquons d’emb lée que l’on ne peut pas espérer faire en 4 essais aussi bien qu’a vec 8. Mais le prob lème ne se pose pas en ces ter mes puisque nous ne pouv ons pas ,pour des raisons économiques ,f aire plus de 4 essais . Le prob lème est donc :peut-on en 4 essais ,mettre en évidence des inf or mations utiles voire suffisantes ?

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Constr uction en trois étapes Étape 1

1

On considère le nombre de facteurs maxim um tel que le plan complet limité à ces facteurs est compatib le av ec le nombre d’essais .Ces facteurs sont dits « facteurs de base » et désignés par F 1 et F 2. Ex emple Dans l’e xemple considéré précédemment, nous av ons n = 4, on peut donc constr uire un plan complet av ec 2 facteurs .

Étape 2

2

On considère le modèle saturé (modèle compor tant autant de par amètres que de données et dont les erreurs et les résidus sont, de ce fait, nuls par constr uction) pour ce plan, soit : Y ij = µ + α i + β j + ( α β ) ij . On constr uit alors la matr ice des eff ets (matr ice X de Y = X β + ε )associée à ce modèle (cf .T ab leau 7).

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Ex emple Matr ice des essais Matr ice des eff ets n o essai F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 I 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 + 1 − 1 + 1 − 1 − 1 + 1 3 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 4 − 1 − 1 − 1 − 1 + 1 + 1 T A B LE – 7. Plan 2 2 :matr ice des essais et matr ice des eff ets pour le modèle saturé. Les modalités des facteurs ne sont plus notées 1 et 2 mais + 1 et − 1.

Étape 2

2

On décide de faire var ier le facteur F 3 comme l’inter action F 1 F 2. Le facteur F 3 est dit conf ondu (totalement) av ec l’inter action F 1 F 2. On obtient ainsi, la matr ice d’un plan en 4 essais à 3 facteurs ,plan que l’on note 2 3 − 1 expr imant qinsi qu’il met en jeu 3 facteurs à deux modalités ,l’un des facteurs étant conf ondu av ec un eff et issu des deux autr es (cf .T ab leau 8).

Ex emple n o essai F 1 F 2 F 3 1 + 1 + 1 + 1 2 + 1 − 1 − 1 3 − 1 + 1 − 1 4 − 1 − 1 + 1 T A B LE – 8. Matr ice des essais du plan 2 3 − 1

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires Introduction Constr uction en trois étapes Propr iétés du plan proposé 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

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Propr iétés du plan proposé Or thogonalité La qualité majeure de ce plan est que tous ses facteurs sont or thogonaux deux à deux. Cette or thogonalité peut être vér ifiée en calculant les tab leaux croisant les modalités de deux facteurs (comme cela a été fait dans le cours sur les plans factor iels complets). L’or thogonalité entre F 1 et F 2 est acquise par constr uction puisque le point de dépar test le plan complet av ec F 1 et F 2 ; pour les autres ,on vér ifie que les tab leaux croisés contiennent un essai par case .

Modèle et précision de l’estimation Pour dépouiller ce plan, le seul modèle possib le est : Y ijk = µ + α i + β j + γ k . Ce modèle est saturé :4 par amètres sont estimés à par tir de 4 essais . On ne peut pas faire de test de signification des eff ets . La var iance de l’estimation de chaque coefficient est optimale (cf .cours sur les plans factor iels complets) et vaut :1 / 4 × σ 2 .

Confusions Il est facile de voir que la matr ice X des eff ets de ce modèle est exactement celle du modèle à 2 facteurs av ec inter action (cf . Tab leau 9 à droite) :c’est la même colonne qui représente dans un cas F 3 et dans l’autre F 1 F 2. Il résulte donc de la confusion entre F 3 et F 1 F 2 que les deux par amètres ne sont pas estimab les séparément. A utrement dit, lorsque l’on estime γ k à par tir du modèle ci-dessus ,on estime en fait la somme : γ k + ( α β ) ij .

Confusions Il en résulte que le plan 2 3 − 1 est intéressant en pr atique uniquement si l’on a de bonnes raisons a priori de négliger l’inter action F 1 F 2. Pourquoi la dénomination de fractionnaire ? P arce que ce plan est une fraction du plan complet 2 3 (cf . Tab leau 9).

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Ex emple n o 1 2 3 n o 1 2 3 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 2 + 1 + 1 − 1 4 + 1 − 1 − 1 3 + 1 − 1 + 1 6 − 1 + 1 − 1 4 + 1 − 1 − 1 7 − 1 − 1 + 1 5 − 1 + 1 + 1 8 − 1 − 1 − 1 6 − 1 + 1 − 1 5 − 1 + 1 + 1 7 − 1 − 1 + 1 3 + 1 − 1 + 1 8 − 1 − 1 − 1 2 + 1 + 1 − 1 T A B LE – 9. Le plan 2 3 et ses deux fractions 2 3 − 1 for mées des lignes (1,4,6,7) ou des lignes (8,5,3,2). Les deux fractions sont dites opposées car se déduisent l’une de l’autre par m ultiplication par − 1.

Uneconfusionenengendred’autres Listerlesconfusionsinduitesparuneconfusiondonnée Choixdesconfusions;casdeplusieursconfusions

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires Une confusion en engendre d’autres Lister les confusions induites par une confusion donnée Choix des confusions ;cas de plusieurs co nfusions 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Une confusion en engendre d’autres Modèle complet Ecr iv ons le modèle complet (i.e .incluant tous les eff ets possib les) d’un plan à 3 facteurs . Y ijk = µ + α i + β j + γ k + ( α β ) ij + ( α γ ) ik + ( β γ ) jk + ( α β γ ) ijk Ce modèle n’est évidemment pas estimab le à par tir du plan 2 3 − 1 (8 par amètres pour 4 données).

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Confusions On peut tout de même calculer la matr ice X associée à ce modèle et au plan 2 3 − 1 (cf .T ab leau 10). Elle per met de constater que F 3 est conf ondu av ec F 1 F 2 (les colonnes correspondantes de X sont les mêmes) ; F 2 est conf ondu av ec F 1 F 3 ; F 1 est conf ondu av ec F 2 F 3 ; l’inter action d’ordre 3 F 1 F 2 F 3 est conf ondue av ec la constante .

Ex emple n o 1 2 3 12 13 23 123 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 3 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 1 4 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 1 T A B LE – 10. Matr ice X des eff ets du modèle complet pour le plan 2 3 − 1 .

Confusions Ainsi, lorsque l’on décide de conf ondre F 3 av ec F 1 F 2, cela engendre implicitement d’autres confusions . A vec ce plan de petite taille ,il est facile d’obser ver ces nouv elles confusions sur la matr ice X . Mais ,dès que le nombre d’essais est éle vé (16 et au-delà), l’e xamen visuel de X de vient très difficile et il est nécessaire de disposer d’une méthode génér ale .

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Lister les confusions induites par une confusion donnée Définition On définit la m ultiplication entre deux colonnes comme leur m ultiplication ter me à ter me .

Loi de composition Ainsi, dans le tab leau 10, la m ultiplication entre la colonne 1 et la colonne 2, m ultiplication notée 12 (lire « un deux » et non pas « douz e » !), conduit à la colonne d’inter action entre 1 et 2, notée elle aussi 12 (ce qui tombe bien !). Ainsi, pour écr ire que l’on conf ond F 3 av ec F 1 F 2 on écr it : 3 = 12.

Loi de composition Cette opér ation de m ultiplication est comm utativ e (12 = 21) ; la colonne I joue le rôle d’élément neutre ( I 2 = 2) ; comme les colonnes ne compor tent que les valeurs + 1 et − 1 le produit d’une colonne par elle-même donne I (par ex emple 22 = 2 2 = I ).

Én umér ation des confusions Munie de cette opér ation, la méthode pour én umérer les confusions engendrées par une confusion donnée est la suiv ante : Expliciter l’eff et conf ondu av ec la constante :dans l’e xemple ,de 3 = 12 on déduit 33 = 123 soit I = 123. Cette confusion est appelée génér ateur d’alias ,le ter me « alias » étant synon yme de « confusion ». On m ultiplie les deux ter mes du génér ateur d’alias par chacun des eff ets du modèle saturé dér iv ant des seuls facteurs de base .

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Ex emple Dans le cas 2 3 − 1 ,ces eff ets sont 1, 2 et 12. Soit : 1 I = 1123 = 23 ⇒ 1 = 23 2 I = 2123 = 13 ⇒ 2 = 13 12 I = 12123 = 3 ⇒ 3 = 12 . On résume ces confusions par le tab leau 11.

Ex emple eff ets du plan 2 2 1 2 12 I eff ets impliquant F 3 23 13 3 123 T A B LE – 11. Confusions dans le plan 2 3 − 1 .Les eff ets conf ondus entre eux sont dans une même colonne .

Ex emple A vec R ,on calcule aisément X 0 X av ec X correspondant au modèle complet (cf .T ab leau 12). À l’intersection de la ligne i et de la colonne k on trouv e n si les eff ets i et k sont conf ondus et 0 sinon. Dans cette matr ice ,les ter mes de la ligne et de la colonne correspondant à la constante sont les sommes des colonnes de X ;les autres ter mes sont, au coefficient n près ,les coefficients de corrélation entre les colonnes de X .

Ex emple 1 2 3 12 13 23 123 I 1 4 0 0 0 0 4 0 0 2 0 4 0 0 4 0 0 0 3 0 0 4 4 0 0 0 0 12 0 0 4 4 0 0 0 0 13 0 4 0 0 4 0 0 0 23 4 0 0 0 0 4 0 0 123 0 0 0 0 0 0 4 4 I 0 0 0 0 0 0 4 4 T A B LE – 12. Matr ice X 0 X correspondant à la matr ice X du tab leau 10.

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Én umér ation des confusions Cette propr iété est très utile pour découvr ir les propr iétés d’un plan que l’on a pas soi-même constr uit et dont on ne connaît pas les confusions de base (ou les génér ateurs d’alias).

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires Une confusion en engendre d’autres Lister les confusions induites par une confusion donnée Choix des confusions ;cas de plusieurs co nfusions 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Choix des confusions ;cas de plusieu rs confusions Pr incipe On étudie p facteurs (à 2 modalités) ;on ne peut réaliser que n essais ; n = 2 q . Procédure On choisit q facteurs de base . Il reste donc à conf ondre les k = p − q autres facteurs av ec des inter actions entre facteurs de base .Comment choisir ces confusions ? Le pr incipe est de conf ondre les nouv eaux facteurs av ec des inter actions a pr ior inégligeab les ,c’est-à-dire d’ordre éle vé.

Ex emple 1 :Plan 2 4 − 1 On étudie p = 4 facteurs ( F 1, F 2, F 3, F 4) av ec n = 8 essais . Les trois premiers sont les facteurs de base .Les eff ets du modèle saturé impliquant ces facteurs de base sont sur la première ligne du tab leau 13. On choisit de conf ondre F 4 av ec l’inter action d’ordre 3. Il en résulte le génér ateur d’alias I = 1234 dont on déduit les autres confusions .

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Ex emple 1 :Plan 2 4 − 1 eff ets plan 2 3 1 2 3 12 13 23 123 I eff ets av ec F 4 234 134 124 34 24 14 4 1234 T A B LE – 13. Confusions dans le plan 2 4 − 1 .Les eff ets conf ondus entre eux sont dans une même colonne .

Ex emple 1 :Plan 2 4 − 1 Dans ce plan, les eff ets pr incipaux sont conf ondus av ec des inter actions d’ordre 3 ;celles-ci éta nt génér alement négligeab les ,les eff ets pr incipaux seront donc bien estimés . « bien » est ici à comprendre au sens de « non conf ondu av ec un autre eff et » c’est à dire sans biais .Un plan dont les eff ets pr incipaux sont conf ondus av ec des inter actions d’ordre supér ieur ou égal 3 est dit plan de résolution IV .Ce chiffre est celui de l’ordre le moins éle vé des eff ets conf ondus av ec la constante .

Ex emple 1 :Plan 2 4 − 1 En re vanche ,les inter actions d’ordre 2 sont conf ondues entre elles deux à deux ;des ambiguïtés pourront sur venir lors du dépouillement. A vant d’appliquer ce plan, il reste à aff ecter les facteurs réels aux numéros (par ex emple F 1 est le facteur matière première , F 2 est le facteur process ,etc.). Si l’on a des idées a pr ior isur les inter actions les plus impor tantes ,on réaliser a cette aff ectation de façon à ce que ces inter actions ne soient pas conf ondues entre elles (i.e .ne figurent pas dans la même colonne).

Ex emple 2 :Plan 2 5 − 2 On dispose toujours de n = 8 essais mais cette fois pour étudier 5 facteurs . Nous repar tons du plan précédent 2 4 − 1 ;il faut choisir à quelle colonne aff ecter F 5. Cette colonne ne doit pas ,bien sûr ,contenir d’eff et pr incipal ce qui exclut les colonnes 1, 2, 3 et 123. A pr ior i, celles qui restent sont équiv alentes ;si l’on choisit la colonne incluant 12 et 34, ceci induit deux génér ateurs d’alias : I = 125 et I = 345.

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Ex emple 2 :Plan 2 5 − 2 Le tab leau 14 explicite l’ensemb le des confusions de ce plan. On obtient : la 3 e ligne en m ultipliant le génér ateur d’alias I = 125 par les eff ets du plan 2 3 ; la 4 e ligne en m ultipliant I = 345 par les eff ets du plan 2 3 .

Ex emple 2 :Plan 2 5 − 2 eff ets du plan 2 3 1 2 3 12 conf gén par I = 1234 234 134 124 34 conf gén par I = 125 25 15 1235 5 conf gén par I = 345 1345 2345 45 12345 eff ets du plan 2 3 13 23 123 I conf gén par I = 1234 24 14 4 1234 conf gén par I = 125 235 135 35 125 conf gén par I = 345 145 245 1245 345 T A B LE – 14. Confusions dans le plan 2 5 − 2 .Les eff ets conf ondus entre eux sont dans une même colonne .

Ex emple 2 :Plan 2 5 − 2 Le plan obten u compor te bien sûr plus de confusions que le précédent. Mais sur tout plusieurs de ces confusions concer nent un eff et pr incipal et une inter action d’ordre 2. Un tel plan, dont seuls les eff ets pr incipaux ne sont pas conf ondus entre eux, est dit de résolution III.

Ex emple 2 :Plan 2 5 − 2 L’aff ectation de facteurs réels aux numéros de 1 à 5 reste à faire .Si une inter action par ticulière est attendue ,on s’arr anger a pour qu’elle ne soit pas conf ondue av ec un eff et pr incipal. Remarque Lorsque l’on doit ajouter plusieurs facteurs ,il est génér alement plus av antageux de les conf ondre av ec les inter actions d’ordre le plus éle vé moins 1.

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Nombredefacteursétudiésetnombred’essais Dépouillementdesrésultats Essaiscomplémentaires

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire

Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire Nombre de facteurs étudiés et nombre d’essais Dépouillement des résultats Essais complémentaires

Choix et dépouillement d’un plan Nombre de facteurs étudiés et nombre d’essais Introduction L’e xemple précédent montre que l’on peut ajouter un nouv eau facteur tant qu’il reste une colonne disponib le c’est-à-dire non occupée par un eff et pr incipal. Ainsi, av ec n = 8 essais ,on peut étudier sim ultanément 7 facteurs .C’est bien le maxim um possib le puisque dans ce cas , le modèle ne compor tant que les eff ets pr incipaux est saturé (8 par amètres ,incluant la constante ,estimés av ec 8 données).

Résolution et eff ectif Si l’on augmente le nombre d’essais ,le nombre de facteurs que l’on peut étudier sim ultanément augmente d’autant. Mais dans ce cas ,on néglige a pr ior itoutes les inter actions . On peut souhaiter se limiter à des plans de résolution IV .Dans ce cas ,le nombre de facteurs que l’on peut étudier sim ultanément est n / 2.

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Résolution et eff ectif Enfin, on peut être encore plus exigeant quant aux confusions et souhaiter que ni les eff ets pr incipaux ni les inter actions d’ordre 2 ne soient conf ondus entre eux. Un tel plan est dit de résolution V. En eff et, on constate que le génér ateur I = ABCDE (qui met en jeu une inter action d’ordre 5) ne peut conduire qu’à des confusions de type A = BCDE ou AB = CDE .Ce type de plan est évidemment très conf or tab le dans l’inter prétation de ses résultats à tel point que cer tains considèrent que ,dans beaucoup d’applications ,réaliser plus d’essais que le nombre exigé par un plan de résolution V n’est pas nécessaire .

Résolution et eff ectif Le nombre maxim um de facteurs à deux modalités que l’on peut étudier av ec un plan fractionnaire est donné tab leau 15. Ex emple av ec 16 essais ,on peut étudier 5 facteurs en résolution 5, 8 facteurs en résolution 4 et 15 facteurs en résolution 3.

Résolution et eff ectif nombre d’essais Nombre maxim um de facteurs r n = 2 r Résol. V Résol. IV Résol. III 3 8 3 4 7 4 16 5 8 15 5 32 6 16 31 6 64 8 32 7 128 11 8 256 17 9 512 23 T A B LE – 15. Nombre maxim um de facteurs selon le nombre d’essais et la résolution.

Remarque Le choix de la résolution d’un plan dépend génér alement de l’état de connaissance du prob lème que l’on examine . Dans une étude préliminaire ,on souhaite génér alement tester beaucoup de facteurs ce que per met un plan de résolution III. Dans une étude finale ,les facteurs influents ont été sélectionnés et l’on s’intéresse à leurs inter actions :un plan de résolution III ne peut con venir .

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Sommaire 1 Plans factor iels complets 2 Pr incipe des plans fractionnaires 3 Étude des confusions des plans fractionnaires 4 Choix et dépouillement d’un plan fractionnaire Nombre de facteurs étudiés et nombre d’essais Dépouillement des résultats Essais complémentaires

Dépouillement des résultats Estimation et confusions Compte ten u des confusions entre eff ets ,le dépouillement par analyse de var iance d’un plan fractionnaire pose des prob lèmes spécifiques . La difficulté fondamentale est que l’on ne peut estimer les eff ets isolément :chaque estimation de coefficient correspond en fait à une somme d’eff ets . Ainsi, dans l’analyse de la var iance du plan 2 3 − 1 l’estimation qu’un prog ramme indiquer ait comme étant celle de γ k est en fait celle de la somme γ k + α β ij .

Sélection des facteurs influents Nous ne reprenons pas ici la discussion sur la sélection des eff ets ,à par tir des seules estimations ou de tests de signification. Nous nous plaçons dans la situation où, à l’issue du traitement statistique ,cer tains eff ets sont considérés négligeab les (parce qu’ils sont petits et/ou non significatifs) et d autre non. Le prob lème qui demeure est alors dû au fait que ces eff ets représentent en fait une somme d’eff ets .

Sélection des facteurs influents Nous indiquons cinq règles de dépouillement qui relèv ent à la fois de la nécessité (sans elles on ne peut rien dire) et de l’impor tance des eff ets obser vés en pr atique .Nous illustrons ces règles à par tir d’une succession de cas types résumés dans le tab leau 16. Un cas type est réduit à l’essentiel :il indique les eff ets (ou, plus rigoureusement les sommes d’eff ets que l’on doit prendre en compte car ils sont non négligeab les (g rands et/ou significatifs ;on dit aussi influents) ce qui est noté NN. Ainsi la 3 e ligne ,cas n o 1, correspond a une situation dans laquelle l’analyse statistique n’a conduit à aucun eff et significatIf .