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Chap.11 :
DROITES ET SYSTEMES
Partie 1 : lien entre fonction affine et équation réduite de droite
Une fonction affine définie sur ℝ de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝 correspond à une équation de droite de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝
Voir la playlist Fonctions affines pour revoir la notion
De la même manière que celle vue au précédent chapitre, on peut :
§ Lire graphiquement l’équation réduite d’une droite (en déterminant l’ordonnée à l’origine 𝑝, puis le coefficient directeur 𝑚).
§ Tracer l’équation d’une droite (tableau de valeurs à deux colonnes ou utilisation de 𝑝 et 𝑚).
§ Déterminer si un point appartient à une droite (si les coordonnées du point vérifient l’équation).
§ Déterminer par le calcul l’équation réduite de la droite (𝐴𝐵) (on trouver 𝑚 =-1./-0
./10 puis 𝑝 grâce à l’appartenance d’un point à cette droite).
§ Créer le tableau de signes de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
Partie 2 : équation cartésienne de droite et vecteur directeur.
Une droite est certes définie par deux de ces points, mais pas seulement…
Définition : vecteur directeur d’une droite.
Soit (𝑑) une droite, et 𝐴 et 𝐵 deux points de (𝑑).
On appelle vecteur directeur de (𝑑) tout vecteur 𝑢4⃗ non-nul colinéaire à 𝐴𝐵44444⃗. Autrement dit : le vecteur 𝑢4⃗ donne la direction de la droite (𝑑).
Remarque : un vecteur directeur n’est donc pas unique : ici, 𝑢4⃗ et 𝑣⃗ sont des vecteurs directeurs de la droite (𝐴𝐵) ; on remarquera que 𝑢4⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires.
Propriété : équation cartésienne d’une droite
Une équation cartésienne de la droite passant par le point 𝐴(𝑥7; 𝑦7) et de vecteur directeur 𝑢4⃗ 9−𝑏𝑎 = est de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Démonstration : un point 𝑀(𝑥; 𝑦) appartient à cette droite ssi 𝐴𝑀444444⃗ 9𝑥 − 𝑥7
𝑦 − 𝑦7= et 𝑢4⃗ 9−𝑏𝑎 = sont colinéaires c’est-à-dire ssi detD𝐴𝐵44444⃗; 𝑢4⃗E = 0 ou encore 𝑎(𝑥 − 𝑥7) − (−𝑏)(𝑦 − 𝑦7) = 0
qui peut s’écrire 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + (−𝑎𝑥7− 𝑏𝑦7) = 0.
Ce qui correspond à la forme annoncée avec 𝑐 = −𝑎𝑥7− 𝑏𝑦7.
Remarque : une équation cartésienne n’est pas unique : 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 équivaut à −2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
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Propriété (réciproque) : si les coordonnées (𝑥; 𝑦) d’un point 𝑀 vérifient l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, alors 𝑀 appartient à la droite dont un vecteur directeur est 𝑢4⃗ 9−𝑏𝑎 =.
Exemples :
1) Soit (𝑑) la droite passant par 𝐴(2; −1) et de vecteur directeur 𝑢4⃗ 9−32 =.
Alors 𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝑑) ⟺ 𝐴𝑀444444⃗ K𝑥 − 2𝑦 + 1L et 𝑢4⃗ 9−32 = sont colinéaires
⟺ det( 𝐴𝑀444444⃗ ; 𝑢4⃗) = 0 ⟺ 2(𝑥 − 2) − (−3)(𝑦 + 1) = 0 ⟺ 2𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0
2) On cherche à tracer une droite dont une équation cartésienne est :
−3𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0
§ Soit on trouve deux points dont les coordonnées vérifient l’équation, par exemple 𝐴(1; 1) et 𝐵(6; 4).
§ Soit on trouve un point 𝐴(1; 1) et on utilise un vecteur directeur, 𝑢4⃗ 9−5−3= par exemple.
Méthodes : déterminer l’équation cartésienne d’une droite passant par deux points 𝑨(𝟐; 𝟑) et 𝑩(𝟒; −𝟏).
Méthode 1 : 𝐴𝐵44444⃗ 9 2−4= dirige la droite (𝐴𝐵) d’équation cartésienne de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Ainsi, (𝐴𝐵): −4𝑥 − 2𝑦 + 𝑐 = 0. De plus, 𝐴(2; 3) ∈ (𝐴𝐵) ⟺ −4 × 2 − 2 × 3 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑐 = 14 Donc (𝐴𝐵): −2𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0 ou encore 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 (en divisant tout par −2)
Méthode 2 : soit 𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵). Alors 𝐴𝑀444444⃗ K𝑥 − 2𝑦 − 3L et 𝐴𝐵44444⃗ 9 2−4= sont colinéaires
⟺ det( 𝐴𝑀444444⃗ ; 𝐴𝐵44444⃗) = 0 ⟺ 2(𝑦 − 3) − (−4)(𝑥 − 2) = 0 ⟺ 2𝑦 − 6 + 4𝑥 − 8 = 0 ⟺ 4𝑥 + 2𝑦 − 14 = 0
Partie 3 : systèmes de deux équations à deux inconnues.
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues c’est trouver le ou les couples
(𝒙; 𝒚)
qui vérifie(nt) à la fois les deux équations.Exemple : le couple (2; 3) vérifie les équations 5𝑥 − 2𝑦 = 4 et – 𝑥 + 𝑦 = 1 car
………. et . ……….
On écrit que (2; 3) est une solution du système d’équations ^5𝑥 − 2𝑦 = 4
−𝑥 + 𝑦 = 1. a) Résolution graphique
On se ramène à deux équations de droites que l’on trace.
L’unique solution du système est alors ……….………
Exemple : résoudre dans IR le système ^5𝑥 − 2𝑦 = 4
−𝑥 + 𝑦 = 1.
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b) Résolution algébrique
Il y a deux méthodes pour résoudre un système.
- Méthode par ……….
Exemple : résoudre dans IR ^𝟐𝒙− 3𝑦 = 9 𝟐𝒙+ 𝑦 = −1
- Méthode par ……….
Exemple : résoudre dans IR ^6𝑥 − 7𝑦 = 1 𝒙− 3𝑦 = −2
