Optimisation linéaire Exercices de modélisation

Optimisation linéaire Exercices de modélisation

But

• Choix des variables de décision

• Choix du domaine (réel ou entier ?)

• Définition de la fonction objective

• Définition des contraintes

Exercice 1 : Les pêcheurs

Les variables (réelles)

H : quantité de homards pêchés (tonne) T : quantité de tourteaux pêchés (tonne) A : quantité d’araignées pêchées (tonne)

La fonction objective

max : z = 95 0,8H ( ) ^{+ 24 0,95} ( ^T ) ^{+ 17 0,9A} ( )

Les contraintes

H + T + A ≤ 1000 (capacité maximale des bateaux) 0,8H + 0,95 T + 0,9A ≤ 900 (conditionnement)

H − ( T + A ) ^{≤ 100 ⇔ H −} ( ^{T + A} ) ^{≤ 100}

T + A − H ≤ 100

⎧ ⎨

⎩ (équilibre)

H ≥ 0,T ≥ 0, A ≥ 0

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Exercice 2 : Chaîne d’hôtels

Les variables (entières, modèle {0,1})

∀i ∈ { 1,2,3,4 } ^{, L}

⁼ 1 si l'hôtel de Lyon est contruit l'année i L

= 0 sinon

idem pour M

, H

, T

, P

, B

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

On a donc 6 × 4 = 24 variables ∈ { } 0,1 La fonction objective

Si on pose C L,i ( ) le coût de construction de l'hôtel de Lyon l'année i et de même pour M, H, P, B et T, on a :

min : z = L

× C L,i ( ) ^{+ M}

^{× C M,i} ( ) ^{+ H}

^{× C H,i} ( ) ^{+ P}

^{× C P,i} ( ) ^{+ B}

^{× C B,i} ( ) ^{+ T}

^{× C T} ( ) ^,i

i=1

∑

Les contraintes

Chaque hôtel ne peut être construit qu'une année parmi les 4 possibles : L

i=1

∑

^{≤ 1, M}

∑

^{≤ 1, H}

∑

^{≤ 1, P}

∑

^{≤ 1, B}

∑

^{≤ 1, T}

∑

^{≤ 1,}

4 hôtels sont construits : L

+ M

+ H

+ P

+ B

+ T

i=1

∑

^{≤ 4}

a. ∀i ∈ { 1,2,3,4 } ^P

^{= L}

b.

M

B

1 1

0 1

1 0

1 0

⇒ M

− B

≤ 0

c. H

= 0,B

= 0

d. ∀i ∈ ⎡⎣ ⎤⎦ 1,4 T

+ M

≤ 1

e. 150L

+ 145M

+ 195 P

+ 140H

+ 125 B

+ 100T

≤ 300

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Exercice 3 : Emploi du temps

Les variables

∀i ∈I = { 1,2,3,4 } ^{,∀cl ∈C =} { } ^{1,2 ,∀j ∈ J =} { ^{lu,ma,me, je,ve} }

C

= 1 si M.Cheese a cours avec la classe cl le jour j au créneau i

C

= 0 sinon idem pour les autres profs p ∈P = { I,Ma,Ef ,D,El ,Be,Mu,Bi }

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

On a donc 4 × 2 × 5 × 9 = 360 variables ∈ { } 0,1

Les contraintes

Un seul prof pour une classe fixée 1 jour, 1 créneau :

∀i ∈I,∀j ∈ J,∀cl ∈C , P

p∈P

∑ ^{≤ 1}

Un prof ne peut être qu'à un seul endroit à la fois :

∀j ∈ J,∀i ∈ J,∀p ∈ P, P

cl∈C

∑ ^{≤ 1}

Respecter la répartition pour M. Cheese :

C

= 1

j∈J

∑

^{et C}

^{= 1}

j∈J,i∈I

∑ idem pour les autres p ∈ P

Cours de sport :

Mu

= 1 Bi

= 1

M. Efdehicks absent le lundi matin :

Ef

= 0 Ef

= 0

Mme Insuline ne travaille pas le mercredi :

∀cl ∈C I

= 0

∑

Pas plusieurs cours de la même matière la même journée :

∀cl ∈C ,∀j ∈ J ,∀p ∈P p

≤ 1

∑

La fonction objective

min : z = p

+ p

cl∈C,

∑

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