Introduction à l’étude de marches aléatoires
Problème des moutons :
Un mathématicien insomniaque compte les moutons dans son semi-sommeil…
Au départ, il y a autant de moutons de chaque de côté de la barrière.
Chaque nuit, 5% des moutons de gauche et 8% de ceux de droite sautent la barrière.
Comment va évoluer, à long terme, la proportion de moutons de chaque côté de la barrière ?
I. Modélisation
1. Compléter le schéma ci-dessous qui résume le processus d’évolution du système :
On décide de noter 𝑔𝑛 et 𝑑𝑛 les proportions respectives de moutons, à gauche et à droite, au bout de n nuits. 𝑔𝑛 et 𝑑𝑛 sont aussi les probabilités, pour un mouton quelconque, de se trouver à gauche et à droite, au bout de n nuits.
2. Préciser les valeurs de 𝑔0 et 𝑑0, et donner une relation liant 𝑔𝑛 et 𝑑𝑛 pour tout 𝑛 ≥ 0.
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3. Ecrire deux relations traduisant les mouvements de moutons, d’une journée à la suivante.
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Au vu des relations précédentes, on dit que les suites 𝑔𝑛 et 𝑑𝑛 sont des suites récurrentes imbriquées.
On décide de poser 𝑈𝑛= ( 𝑔𝑛 𝑑𝑛).
4. Traduire les écritures précédentes sous la forme 𝑈𝑛+1= 𝑈𝑛𝐴 en précisant la matrice 𝐴.
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Définition :
Si (𝑈𝑛)𝑛≥0 est une suite de matrices lignes vérifiant 𝑈𝑛+1= 𝑈𝑛𝐴, où 𝐴 est une matrice carrée, alors :
• 𝑈𝑛 est appelée matrice de distribution au rang 𝑛.
• 𝐴 est appelée matrice de transition.
Propriété :
Dans le cas d’une marche aléatoire entre deux états, la matrice de transition s’écrit sous la forme :
𝐴 = (
___ ___
___ ___ )
En particulier, les sommes de chaque ligne de 𝐴 valent 1.
Remarque : Parfois on peut aussi traduire ce type de situation avec des matrices colonne 𝑊𝑛 = (𝑔𝑛
𝑑𝑛) et une égalité du type 𝑊𝑛+1= 𝐴′𝑊𝑛 , où les sommes de chaque colonne de 𝐴 valent 1. Ici, on aurait : (𝑔𝑛+1
𝑑𝑛+1) =
Les questions marquées de ce symbole concerneront l’exemple proposé dans ce problème. Les autres questions devront être traitées dans le cas général.
CHEVRIER – Tale Math Expertes– 2020/2021
0,05
G D
p
G D
q Définitions :
Le schéma ci-dessus est un graphe probabiliste.
G et D sont les sommets du graphes, reliés par des arêtes orientées.
Ces arêtes sont pondérées par des valeurs, qui sont des probabilités.
Propriété :
La somme des poids des arêtes issues d’un sommet vaut 1.
Schéma à compléter
II. Recherche des formules explicites, étude asymptotique (pour 𝒏 ⟶ +∞)
1. a. Démontrer par récurrence que 𝑈𝑛= 𝑈0𝐴𝑛.
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b. A l’aide de la calculatrice, en déduire la situation des moutons au bout de 10 nuits.
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Les outils numériques permettent d’obtenir des valeurs (approchées) des matrices 𝐴𝑛 et donc de 𝑈𝑛, mais on souhaiterait obtenir une expression explicite exacte donnant 𝐴𝑛 en fonction de 𝑛.
2. On pose 𝑃 = (1 −1
8 5 ) et 𝐷 = (0,87 0 0 1).
Démontrer que 𝑃 est inversible et que 𝑃−1𝐷𝑃 = 𝐴.
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Théorème : Si 𝐷 = (𝑎 0
0 𝑏) est une matrice diagonale, alors 𝐷𝑛= (𝑎𝑛 0
0 𝑏𝑛) pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗. 3. Démontrer le théorème à l’aide d’un raisonnement par récurrence.
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4. a. Démontrer par récurrence que si 𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃, alors 𝐴𝑛= 𝑃−1𝐷𝑛𝑃 . _
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b. En déduire l’expression explicite, en fonction de 𝑛, de 𝐴𝑛 puis de 𝑈𝑛. _
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c. Donner les expressions, en fonction de 𝑛, de 𝑔𝑛 et 𝑑𝑛, et en déduire les limites de ces suites.
Donner une interprétation concrète de ces résultats.
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Remarques : (hors programme)
Il existe des méthodes permettant de déterminer les matrices 𝑃 et 𝐷 vérifiant 𝑃−1𝐷𝑃 = 𝐴 dans le cas général.
• 𝐷 est une matrice diagonale.
• 𝑃 est la matrice de passage de 𝐴 vers 𝐷.
III. Etat stable d’une marche aléatoire et lien avec l’étude asymptotique
Définition :
Une matrice 𝑆 = (𝑥 𝑦) qui vérifie : • 𝑥 + 𝑦 = 1
• 𝑆 = 𝑆𝐴
est appelée matrice de distribution invariante (ou répartition stable).
1. Démontrer que, pour le problème donné en exemple, il existe une unique matrice 𝑆 de distribution invariante.
Quelles valeurs semble-t-on retrouver ? Cette matrice dépend-t-elle de la distribution initiale 𝑈0 ? _
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Théorème :
Si 𝐴 = (1 − 𝑝𝑞 1 − 𝑞𝑝 ) où 𝑝 et 𝑞 ne sont ni tous deux nuls ni tous deux égaux à 1, alors :
• il existe une unique matrice de distribution invariante, qui est définie par 𝑆 = (___ ___) • Quelle que soit la valeur de 𝑈0, la suite de matrice (𝑈𝑛) converge vers 𝑆.
2. Démontrer la première partie du théorème, et compléter le théorème. (La deuxième assertion sera admise)
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