Mélanges à quatre ondes dans les vapeurs atomiques : des propriétés quantiques aux applications à la gyrométrie et à la réalisation de nouveaux miroirs

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Marc Vallet

To cite this version:

Marc Vallet. Mélanges à quatre ondes dans les vapeurs atomiques : des propriétés quantiques aux applications à la gyrométrie et à la réalisation de nouveaux miroirs. Physique Atomique [physics.atom-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 1991. Français. �tel-00011881�

THESE

de

DOCTORAT

de

l’UNIVERSITE PARIS

6

Spécialité:

OPTIQUE

et

_PHOTONIQUE

présentée

par

Marc VALLET

Pour obtenir le titre de DOCTEUR DE

L’UNIVERSITE

PARIS 6

Sujet:

MELANGE A _QUATRE ONDES DANS LES VAPEURS _{ATOMIQUES :} DES

PR OPRIETES _QUANTIQUES AUX APPLICATIONS A LA GYROMETRIE ET A

LA REALISATION DE NOUVEAUX MIROIRS.

Soutenue le 17 Juillet 1991 devant le

_{jury composé}

de:

MM. B. CAGNAC

(Président)

C. BORDE A. BRUN C. FABRE R. FREY G. GRYNBERG M. PINARD

THESE

de

DOCTORAT

de

l’UNIVERSITE

PARIS 6

Spécialité:

OPTIQUE

et

_PHOTONIQUE

présentée

par

Marc VALLET

Pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PARIS 6

Sujet:

MELANGE A _QUATRE ONDES DANS LES VAPEURS _{ATOMIQUES :} DES PROPRIETES _QUANTIQUES AUX APPLICATIONS A LA GYROMETRIE ET A

LA REALISATION DE NOUVEAUX MIROIRS.

Soutenue le 17 Juillet 1991 devant le

_{jury composé}

de:

MM. B. CAGNAC

(Président)

C. BORDE A. BRUN C. FABRE R. FREY G.GRYNBERG M. PINARD

reconnaissance pour ce _que, l’un comme

_l’autre,

ils m’ont

_apporté.

Je veux aussi remercier

les autres membres de

_{l’équipe, Philippe}

_Verkerk,

Jean-Yves Courtois et Artem

_Petrossian,

avec

_{qui j’ai}

_{pris grand plaisir}

à travailler.

Je remercie tous les chercheurs du Laboratoire

_qui

m’ont

_toujours

fait

_profiter

de leur

expérience.

En

_{particulier, j’aimerais}

remercier Antoine Heidmann et

_Dominique

Delande pour l’aide en

informatique

_qu’ils

m’ont constamment

_prodiguée

et _{le groupe}

_d’optique

quantique

dans sa _{totalité pour} tous leurs conseils.

Je tiens aussi à remercier Bernard

_Cagnac,

Christian

Bordé,

Alain

_Brun,

Claude Fabre et

Robert

_{Frey qui}

ont

_accepté

de

_participer

au

jury.

La

_{majeure partie}

de ce travail étant de nature

_{expérimentale,}

il _{n’aurait pu aboutir} sans

l’aide des

_personnels

_techniques

du Laboratoire. Je remercie donc Francis

_Tréhin,

Jean

Quilbeuf,

Marc Thommé,

Guy Flory,

Bernard

_Clergeaud

et Ali

_Maizia,

_qui

ont

_permis

_que

les

_"manips

tournent sans

_trop

d’accrocs". J’aimerais aussi remercier le

_personnel

du

secrétariat,

Marie-Noëlle Ollivier et

_{Brigitte Enrique,}

_{ainsi que} Mlle Gazan et M. Manceau

qui

ont assuré le

_tirage.

Je veux enfin

_souligner

_que ce travail a _{pu s’effectuer dans de bonnes conditions}

In the second

_part,

we

_study

some

_properties

of

ring

four-wave

mixing

oscillators. The

gain

medium of these oscillators is made of an atomic vapor submitted to two external pump beams. Above

threshold,

two

travelling

counterpropagating

waves _appear in the

cavity.

We have shown and

_{experimentally}

verified that the beat

_frequency

between the

two waves

depends

on

non-reciprocal

effects,

such as the

_Sagnac

effect,

and the oscillator

may be therefore used as a rotation sensor.

Moreover,

there are

_strong

correlations

between the waves. We have shown that the noise in the

_{difference of}

the intensities is

below the shot-noise. level.

In the third

_part,

we

give

some results

concerning

four-wave

mixing

_{processes with}

cross-polarized

beams. We made a

_simple

theoretical model based on the

_{optical pumping}

formalism. This model allows one to

_interpret

the

_large

observed non-linearities as an

optical activity

process. This

geometry

leads to the observation of a two-wave

_mixing

process, which consists of a redistribution of

_photons

between two

_{copropagating}

beams of different

_frequencies.

_{This process is very close} to the new

cooling

mechanisms. We have

also realized a

phase-contrast

mirror and a

self-pumped

mirror

by using

sodium and

rubidium vapors.

Lastly,

in Annexe A and

_B,

we

_present

two other nonlinear _{oscillators which may be}

Remerciements

Abstract

INTRODUCTION... 1

PARTIE I:

_Optique

non-linéaire dans les milieux Kerr... 5

I.A.

_Mélange

a

_quatre

ondes ... 5

1.

_Expression

de la

_{polarisation...}

5

2.

_{Approximation}

de

_{l’enveloppe}

lentement variable... 6

I.B. Discussion... 7

1. Conservation de

_{l’énergie ...}

7

2. Accord de

_phase...

8

3. Processus

_possibles...

9

a. Phase non-linéaire... 9

b.

_Mélange

à

_quatre

ondes vers l’arrière... 9

c.

_Mélange

à

_quatre

ondes vers l’avant... 10

d.

_Répartition

distribuée... 10

I.C. Références... 12

PARTIE

_{II:Application}

de l’oscillateur à

_mélange

à

_quatre

ondes à la

gyrométrie

et à la

_génération

de faisceaux

_jumeaux...

13

II.A. Généralités ... 14

1.

_Principe...

14

a. Mode

_{quasi-dégénéré...}

15

II.B.

_Application

des oscillateurs à

_mélange

à

_quatre

ondes à la

_{gyrométrie....}

21

1.

_{Gyrométrie optique...}

21

a. Effet

Sagnac...

21

b.

_{Gyromètre passif}

à fibre... 22

c.

_Gyromètre

actif ou

gyrolaser...

23

2. Etude

_théorique

et

_{expérimentale}

des

_propriétés

_{gyrométriques}

d’un oscillateur à

_mélange

à

_quatre

ondes ... 25

3. Discussion des résultats... 49

a. Influence de la

_pression

... 49

b. Autofocalisation des faisceaux ... 53

c. Autres processus de

_mélange

à

_quatre

ondes... 54

d. Effet des classes de vitesse résonante... 54

4. Conclusion... 55

compléments

II.B 5. Influence de la

_phase

non linéairesur le

_profil

des

_champs

... 56

6.

_Condition

d’accord de

_phase

du _processus de

_répartition

distribuée... 62

II.C.

_Application

des oscillateurs à

_mélange

à

_quatre

ondes à la

_génération

de

_photons

_jumeaux...

67

1.

_Rappel

sur les états

comprimés...

67

a.

Représentation semi-classique...

67

b. Etats

_{comprimés...}

68

c. Photons

_jumeaux...

69

d. Méthode

_{semi-classique...}

71

2. Utilisation de

_l’optique

non linéaire pour

_générer

des états

comprimés

et des faisceaux

_jumeaux

... 71

3. La méthode

_{semi-classique appliquée}

à l’oscillateur à

_mélange

à

quatre

ondes... 73

a.

_Hypothèses

et

notations ...

73

b. Résolution des

_équations

_par

_{l’approche temporelle...}

74

4.

_{Montage expérimental...}

86

a. Détecteurs... 86

b. Mesure du bruit de

_photon

standard... 89

1. Utilisation d’un interféromètre de Mach-Zehnder... 90

2. Cas où un seul faisceau est incident sur le Mach-Zehnder... 91

3. Cas où deux faisceaux sont incidents sur le Mach-Zehnder... 93

c. Oscillateur utilisé... 94

d.

_Description

du Mach-Zehnder utilisé ... 98

5. Résultats

_{expérimentaux...}

99

a. Courbes

_{expérimentales...}

99

b.

_Comparaison

avec la valeur

_théorique

obtenue par la méthode

semi-classique...

101

c. Diffusion

_Rayleigh...

102

d. Saturation des diodes ... 102

6. Conclusion... 102

II.D. Références... 103

PARTIE III: Etude du

_mélange

d’ondes en

polarisations

linéaires

orthogonales...

107

III.A.

_{Description théorique...}

107

1.

_Mélange

de deux ondes de

_polarisation

linéaire

_orthogonale:

cas d’une transition

1/2

~

_1/2...

107

a.

_Description

du modèle... 107

b. Calcul des variables

_atomiques

_{par les}

_équations

du _pompage

optique...

110

c. Polarisation de la _vapeur

_atomique...

114

1. Cohérences

_optiques...

114

2.

_Expression

de la

_{polarisation...}

115

b.

_{Interprétation}

dans le formalisme de

_l’optique

non linéaire... 124

1.

_Mélange

à

_quatre

ondes... 125

2.

_Mélange

à deux ondes... 126

c. Lien avec le refroidissement radiatif... 128

4.

_Mélange

à

_quatre

ondes en

_polarisation

linéaire

_{orthogonale...}

129

a.

Description

du

_système...

129

b. Orientation du milieu... 130

c.

_Expression

de l’onde réfléchie... 131

d. Coefficient de réflexion... 132

e. Miroir à contraste de

_phase...

132

1.

_Amplitude

réfléchie... 132

2. Ouverture

_{numérique...}

133

f. Auto-oscillation... 135

5. Conclusion... 136

III.B. Cas d’une transition

_{quelconque...}

137

III.C. Etude

_{expérimentale ...}

163

1.

_Mélange

multi-onde... 163

a.

_Montage

et

_{paramètres expérimentaux...}

163

b. Résultats

_{expérimentaux...}

163

2.

_Mélange

à

_quatre

ondes ... 166

a.

_Description

_{expérimentale ...}

166

b. Mesure du coefficient de réflexion... 167

c. Auto-oscillation d’une cavité et instabilités

_spatiales...

169

d. Contraste de

_{phase ...}

173

1.

_Rappel

sur le Rubidium... 173

2. Source lumineuse... 174

ANNEXE A:Génération d’instabilités dans une cavité en anneau

contenant un milieu de Kerr et _{alimentée par deux}

_champs

de

_fréquence

différente... 195 ANNEXE B: Oscillateurs à deux fois deux ondes... 201

INTRODUCTION

L’étude des non-linéarités

_optiques

a débuté au début des années soixante

[1]

avec

l’avènement des

lasers,

ceux-ci

_permettant

d’atteindre les _{intensités nécessaires pour} étudier ces effets. Les

applications

des _processus non-linéaires sont

multiples:

création de

nouvelles sources lumineuses

(par

_exemple

_par

doublage

de

fréquence [1]),

correction des

aberrations

_(conjugaison

de

_{phase [2]),}

_génération

_{d’impulsions}

courtes

_{(automodulation}

de

_phase

[3]),

etc.

Même si la

_plupart

des

_applications

utilisent en

_pratique

des milieux

denses,

les _vapeurs

atomiques présentent

néanmoins de

_multiples

_avantages

au niveau de la

_{compréhension}

des processus non-linéaires. En

effet,

les

_systèmes

_atomiques

sont

_{généralement}

bien

connus et leurs non-linéarités

_peuvent

être évaluées avec une très

_grande

confiance. En outre, la

_possibilité

offerte par les lasers accordables de travailler au

voisinage

d’une résonance

_atomique

_permet

_{d’exploiter}

la très forte non-linéarité de ces

_systèmes.

Il est

ainsi

_possible

avec des faisceaux laser continus d’intensité modérée d’obtenir des

non-linéarités

_gigantesques

dans les _vapeurs

_atomiques.

Ceci

_explique

_pourquoi

de nombreuses

équipes

dans le monde continuent de travailler avec ces milieux

[4]

et c’est aussi _pour cette

raison que nous avons été amené à

_développer

plusieurs

expériences

dans des _vapeurs

atomiques.

Hormis cette

_{introduction,}

ce mémoire est constitué de trois

_parties:

Dans la

_partie

_I,

nous

_rappelons

les

_équations

de base de

l’optique

non linéaire dans un

milieu de Kerr et nous

_présentons

les notions

indispensables

à la lecture des

parties

suivantes.

Dans la

_partie

II,

nous décrivons

_plusieurs

résultats

_originaux

concernant les oscillateurs à

_mélange

à

_quatre

ondes

_[5].

Ces derniers

_systèmes

consistent en un milieu non linéaire

_placé

à l’intérieur d’une cavité et soumis à deux ondes _pompes extérieures à la

cavité,

et se

_propageant

dans des directions

_opposées.

Au delà d’un certain

seuil,

une

oscillation se construit dans la

cavité,

le _processus de

_gain

étant le

mélange

à

_quatre

ondes.

Notre étude

_porte

_plus

_{particulièrement}

sur le cas où les ondes _pompes et l’oscillation ont

la cavité sont fortement corrélés.

Dans le

_premier

cas, nous avons observé que l’existence d’un

_phénomène

non-réciproque

conduit à une levée de

_{dégénérescence}

entre les

_fréquences

des ondes oscillantes tournant dans les direction

_opposées

de la cavité. La

_fréquence

de battement

entre ces ondes

_permet

de mesurer et de contrôler la

_{non-réciprocité}

entre les deux sens de

rotation. Cette

_{non-réciprocité}

_pouvant

être due à l’effet

_Sagnac,

l’oscillateur à

_mélange

à

quatre

ondes

_peut

donc être utilisé comme senseur de rotation. Notons que deux autres

processus non-linéaires

susceptibles

d’application

en

gyrométrie

ont été étudiés dans ce

travail. Ils sont

_présentés

dans les annexes A et B.

Le second _processus est directement associé au fait que le processus de

_gain,

le

_mélange

à

_{quatre ondes,}

est associé à une émission simultanée de

_paires

de

_photons,

les

photons

de la

_paire

étant émis en sens

_opposé.

Nous avons effectivement _pu montrer

_qu’il

existait une

remarquable

corrélation entre les intensités des deux faisceaux issus de la cavité

_puisque

la

différence

entre ces intensités

_présente

des

_{fluctuations plus petites}

_{que la limite de}

grenaille

(shot-noise).

Dans la

_partie

III,

nous

_présentons

_plusieurs

résultats concernant le

_mélange

à

_quatre

ondes

_quand

les

_{polarisations}

des ondes incidentes sont linéaires et

_{orthogonales.}

Nous

avons d’abord

_développé

un modèle

_théorique

basé sur les

_équations

du _pompage

_optique

qui

permet

de

_comprendre

_l’origine

des très

_grandes

non-linéarités observées dans cette

géométrie.

Parmi les illustrations

_{expérimentales}

_que nous avons faites et

_qui

sont décrites dans

cette

_partie,

citons d’abord l’étude du

_mélange

à deux ondes. Ce _{processus consiste} en une

redistribution de

_photons

entre deux ondes se

_propageant

dans le milieu et

_ayant

des

fréquences

voisines mais différentes. L’étude de ce _processus nous a montré

_qu’il

existait une

_{grande parenté}

entre cet effet et les nouveaux _processus de refroidissement radiatif

permettant

d’obtenir des

_{températures sub-Doppler [6].}

Nous avons

_également

montré _que la

_géométrie

dans

_laquelle

le milieu non-linéaire

interagit

avec deux ondes _pompes de même

_polarisation

et se

_propageant

en sens

_opposé

et

une onde sonde de

_polarisation

_orthogonale

conduit par

_mélange

à

_quatre

ondes à la

génération

d’un

_champ

réfléchi

_qui

n’a ni la

_phase

de l’onde

incidente,

ni la

_phase

de l’onde

_conjuguée

mais

_qui

est en fait une

_{superposition}

linéaire avec des

_amplitudes

sensiblement

_égales

de ces deux ondes. A cause de l’interférence de ces deux _ondes, ce

système

se

_comporte

comme un miroir à contraste de

_phase

dont nous décrivons

_quelques

propriétés.

En

_particulier,

nous

_présentons

les résultats de

_plusieurs

_expériences

montrant comment il est

_possible

d’étudier des déformations de front d’onde ou des aberrations

dire ne nécessitant _{pas d’onde pompe extérieure} et donc alimenté

_uniquement

_{par l’onde}

incidente,

le coefficient de réflexion de ce miroir étant de l’ordre de 20%.

[1]

P.A.

Franken,

A.E.

Hill,

C.W. Peters and G.

Weinreich,

Phys.

Rev.

Lett., 7,

118 (1961).

N.

_Bloembergen,

"Non Linear

_Optics",

_Benjamin

New-York

(1965).

[2]

A. Yariv and D.M.

_{Pepper, Optics}

Lett., 1, 16

(1977).

[3]

S.A.

_Akhmanov,

R.V. Kholkhlov and A.P.

Sukhorukov,

in Laser Handbook Vol

_2,

1151

(1972)

Ed.

_by

F.T. Arecchi and E.O. Schulz-Dubois

(North-Holland

Publ.

Comp.

Amsterdam).

[4]

Voir par

exemple

les travaux de D. Steel et J.F. Lam

_(Hugues

Laboratories,

Malibu),

R.W.

_{Boyd (Université}

de

Rochester),

H. Gibbs

(Université

d’Arizona).

Au laboratoire de

_Physique

des Lasers

(Université

Paris-Nord),

D.

Bloch,

Thèse d’état

(1984).

Dans notre

laboratoire,

E. Le

Bihan,

Thèse de 3ème

_cycle

(1986)

et

D.

Grandclément,

Thèse Université Paris VI

(1987).

[5]

D.

_{Grandclément,}

M. Pinard and G.

_{Grynberg, Phys.}

Rev.

Lett.,

59,

44

_(1987).

D.

_{Grandclément,}

M. Pinard and

_G.Grynberg,

I.E.E.E., 25, 580

(1989).

I.

OPTIQUE

NON-LINEAIRE DANS LES MILIEUX KERR

Dans cette

_{introduction,}

nous

_rappelons

les

_{équations qui}

sont à la base de la théorie de

l’optique

non linéaire en nous limitant _pour

_simplifier

aux termes d’ordre trois en

_champ.

I.A. MELANGE A

QUATRE ONDES

Le _{calcul des processus} non linéaires se fait en deux

_étapes.

Tout

d’abord,

on calcule la

polarisation

du _{milieu induite par} le

_champ

incident. Puis on calcule le

_champ

_rayonné

_par

la

_polarisation

du milieu. Nous _{supposons dans} ce

_paragraphe

_{que la}

_polarisation

du milieu

est connue et nous nous intéressons

_uniquement

au calcul du

_{champ rayonné}

_par cette

polarisation.

I.A.1.

_Expression

de la

_polarisation

Dans le

_cas

d’une faible

_{non-linéarité,}

la

_polarisation

P

_peut

se

_développer

en série de

Taylor

sous la forme:

où

_~

_(i)

est le tenseur de

_{susceptibilité}

non linéaire d’ordre i et

E

le

_champ

total

interagissant

avec le milieu. Nous _supposons de

_plus

_que le

_champ

est

_polarisé

linéairement.

Dans les milieux

_isotropes,

tels _que les _vapeurs

_atomiques,

seuls les termes

_impairs

sont non nuls

[1] .

La

_polarisation

s’écrit alors:

Pour des intensités suffisamment

_faibles,

le

_{développement}

_précédent

_peut

être limité à l’ordre

_3,

nous _supposerons dans la suite de cette

_partie

_que cette condition est vérifiée.

L’équation

de

_propagation

du

_champ

s’écrit:

On suppose que le

_champ

_peut

s’écrire sous la forme d’une somme d’onde

_{plane E}

_i

et

que les

angles

entre les différentes directions de

_propagation

sont tous très

_petits

devant un.

De

_plus,

les sources utilisées dans nos

_expériences

étant des sources

_continues,

_{l’amplitude}

des

_champs

est

_{supposée indépendante}

du

_temps

en

_régime

stationnaire.

La relation

_(1.3)

s’écrit alors:

L’approximation

de

_{l’enveloppe}

lentement variable

[2]

consiste à _{supposer que} c’est-à-dire que l’échelle des variations

_spatiales

de

_{l’onde E}

_i

est

grande

devant la

_longueur

d’onde.

fréquence positive

de la

_{polarisation:}

Les dimensions du volume V sont telles _{que la}

_{première intégrale}

de

(I.6)

est nulle si i

_{# j.}

On obtient alors

_{l’équation}

d’évolution de la

_{composante E}

_i

_:

En utilisant

_{l’expression}

de la

_{polarisation (I.2)}

limitée à l’ordre

trois,

on obtient alors

l’expression

du terme source de l’évolution

_{de E}

_i

:

I.B. DISCUSSION

A

_partir

de la relation

(I.8),

on

_peut

étudier les différents termes

_qui

contribuent à la

polarisation

rayonnant

l’onde

E

i

et déduire les différentes relations _que doivent vérifier les

fréquences

et les vecteurs d’ondes des

_champs

_{pour que le} terme

(I.8)

soit non nul.

I.B.1. Conservation de

_l’énergie

Pour _que le traitement soit

cohérent,

il _{faut que} la relation

(I.8)

soit

_{indépendante}

du

temps,

c’est-à-dire que 039403C9 soit nul. Les

_fréquences

des ondes d’indice

_{j,k,l}

_participant

au terme de la

_{polarisation qui}

_rayonne une onde de

_fréquence

_03C9i vérifient alors la relation:

Cette relation décrit la conservation de

_l’énergie

lors de l’interaction avec les différents

Figure

I.1

C’est-à-dire

_qu’un

_photon

de l’onde

_E

_j

et de l’onde

E

l

sont absorbés et

_qu’un

_photon

de l’onde _Eket

_E

_i

sont émis.

I.B.2. Accord de

_phase

Le terme source

(I.8)

est constitué d’une

_intégrale

sous

laquelle

se trouve un terme

e

i0394k.r

.

_{L’intégrale}

est maximum

_quand

ce dernier terme est nul. Dans ce cas, on obtient la

relation:

Lorsque

cette relation est

_vérifiée,

tous les

_dipôles

sont en

phase

et

_rayonnent

des

_champs

qui

vont interférer de

_façon

constructive _{pour former le} terme source dans

_{l’équation}

d’évolution de _Ei. On dit _que le _processus est accordé en

_phase

(phase-matching)

[1] [2].

Dans le cas

_contraire,

les

_champs

émis _par les

_dipôles

vont interférer de

_façon

partiellement

destructive ce

_qui

va diminuer le

_{champ global rayonné}

dans la direction de E

i .

Soulignons

que ce _processus est un

phénomène global qui

dépend

du volume

d’intégration

Pour limiter le nombre de cas

_possible,

nous _supposons

_qu’au

moins deux ondes ont le même axe de

_propagation,

ce

_qui

est

_toujours

le cas dans les différentes

configurations

étudiées dans ce mémoire. On suppose par

_exemple

_{que deux ondes}

_E

₁

_{et E}

₂

_se

contrepropagent

et _que

_E

₃

se _propage selon une direction faisant un

_angle

03B8

_petit

avec

E

1

(figure

1.2).

Figure

I.2

On remarque dans

_{l’expression}

(I.8)

que les

indices j

et 1

_jouent

le même rôle dans

l’intégrale.

Les différentes contributions à la

_polarisation

_rayonnant

l’onde

_E

_i

_peuvent

être associées par

paire qui

ne diffèrent que par l’ordre d’interaction des atomes avec les ondes

E

j

et _El.

_Néanmoins,

les deux termes d’une

_paire

_peuvent

avoir des

_poids

différents,

~

(3)

(03C9

j

,03C9

k

,03C9

l

)

n’étant pas nécessairement

égal

à

_~

₍₃₎

_(03C9

_l

_,03C9

_k

_,03C9

_j

_).

a. Phase non-linéaire

Ce cas

correspond

à

_i=j

et k=1

_(Figure

_1.3.a).

Ce terme est

_toujours

accordé en

_phase

(I.10).

On

_peut

_cependant

différentier la

_phase

non linéaire auto-induite

(i=j=k=l)

responsable

de l’autofocalisation des faisceaux

_[3]

de la

_phase

non linéaire induite par une

autre onde

_(i=j#k=1).

La

_fréquence

et la

_{phase (à}

un facteur constant

_près)

du

_champ

rayonné

E

4

sont les mêmes _que celles du

_champ

_E

₃

_.

b.

_Mélange

à _quatre ondes vers l’arrière

Ce cas

_correspond

à

_j=1,

_k=3,

1=2 et i=4

_(Figure

I.3.b).

_{Pour que}

_l’énergie

soit

conservée,

la

_fréquence

de

_E

₄

est

_égale

_{à 03C9-03C9. 312+03C9=03C94} De

_plus,

_{pour que} le _processus soit accordé en

_phase,

les

_champs

_E

₃

et

_E

₄

se

_{contrepropagent.}

On remarque

_d’après

la

relation

(I.8)

que la

phase

de

E

4

est

_conjuguée

de celle de

E

3

.

Ce processus est _{utilisé pour}

Ce cas

_correspond

à

_j=l=1,

1=3 et i=4

_(Figure

I.3.c).

La conservation de

_l’énergie

impose

que

03C9

4

=203C9

1

-03C9

3

.

De

_plus,

la relation d’accord de

_{phase impose}

_que la direction de

_propagation

de

_E

₄

soit

symétrique

à celle de

_E

₃

_par

_rapport

à la direction de

_E

₁

ce

_{qui supprime}

le désaccord de

phase

dans les directions transversales. Dans ce cas,

_{l’intégrale}

(I.8)

est

_égale

à:

où 1 est la

_longueur

du milieu non linéaire. L’émission n’est donc

optimum

_{que pour} un

angle

03B8 nul. Dans le cas

contraire,

le

phénomène

est désaccordé en

_phase

et l’émission est

très

faible,

le

_produit

k03B8

2

1

étant

_grand

devant

l’unité,

même _pour des

_angles

_petits.

Comme pour le

mélange

à

quatre

ondes vers

l’arrière,

l’amplitude

du

champ

E

4

est

_conjuguée

de celle du

_champ

_E

₃

_.

d. _Répartition distribuée

Ce cas

_correspond

à

j=2,

k=1,

1=3 et i=4

_(Figure

1.3.d).

La

_fréquence

du

_champ

_E

₄

vérifie alors

_{l’égalité,}

déduite de

(I.9):

03C94=03C92+03C93-03C91.

De

_plus,

la relation d’accord de

_{phase impose}

la même _{condition que pour le}

_mélange

à

quatre

ondes vers l’avant.

C’est-à-dire que si

l’angle

03B8 n’est _pas

nul,

la

_polarisation

est

_pondérée

_par un coefficient

sinc Par contre,

_{l’amplitude}

du

_champ

_E

₄

est

_{proportionnelle}

à

_{l’amplitude}

de

_E

₃

[1]

Y.R.

Shen,

"The

_Principles

of Non Linear

_{Optics", Wiley-Interscience}

(1984).

[2]

J.A.

_Amstrong,

N.

_Bloembergen,

J.

_Ducuing

and P.S.

Pershan,

_Phys.

Rev.

127, 1918

(1961).

[3]

R.Y.

Chiao,

E. Garmire and C.H.

Townes,

_Phys.

Rev. Lett.,

13,479

(1964).

II.

APPLICATION

DE

L’OSCILLATEUR

A

MELANGE

A

QUATRE ONDES

A

LA

GYROMETRIE

ET A LA

GENERATION DE FAISCEAUX JUMEAUX

Les

_premiers

travaux sur les oscillateurs à

_mélange

à

_quatres

ondes

(

en

_anglais

four-wave

_mixing

oscillators)

ont débuté dans le laboratoire en 1985. Les oscillateurs à

mélange

à

_quatre

ondes constitués d’une cavité linéaire ont été étudiés au cours de la thèse de

D. Grandclément

_[1].

L’étude des oscillateurs à

_mélange

à

_quatre

ondes constitués d’une cavité en anneau a débutée en 1987.

Les deux

_applications

des oscillateurs à

_mélange

à

_quatre

_{ondes que} nous avons

étudiées nécessitant des cavités en _anneau, nous nous limiterons à ce cas dans toute cette

II.A.

GENERALITES

II.A.1.

_Principe

Notre oscillateur à

_mélange

à

_quatre

ondes est constitué d’une cavité en anneau dans

laquelle

est

_placée

une cellule contenant une _vapeur

_atomique

(figure

II.1).

Deux ondes

pompes

E

1

et

E

2

,

se

_propageant

en sens

opposé

et de même

_polarisation

linéaire

interagissent

avec la _{vapeur pour}

_générer,

_par un _processus de

mélange

à

_{quatre ondes,}

deux ondes tournant en sens

opposé

dans la

cavité,

notées

E

3

et

_E

₄

[2].

Il est

_possible

de montrer

(Voir

II.B.2 pour une

_{approche plus quantitative}

de la

théorie)

que l’oscillation se

produit lorsque

le coefficient de réflexion _par

conjugaison

de

phase

R

c

est

_supérieur

au carré des

_pertes

de la cavité

[3].

La

polarisation

des ondes oscillantes est

identique

à celle des ondes _pompes, car les fenêtres à incidence de Brewster de la cellule

introduisent des

_pertes

_importantes

_{pour la}

_polarisation

_orthogonale.

De

_plus,

dans nos

conditions

_{expérimentales,}

le coefficient

_R

_c

est

_{toujours petit}

devant

l’unité,

ce

qui

empêche

tout

_phénomène

d’auto-oscillation

_[4].

Soulignons

tout de _{suite que la} relation

_(II.1)

_impose

_{que les} deux ondes contrarotatives

_E

₃

et

_E

₄

s’établissent simultanément et n’entrent _pas en

_compétition

comme dans les lasers en

anneau

_classique

[6] [7].

Une autre condition sur _03C93 et 03C94 est

_imposée

_par le _{fait que} le

_déphasage

sur un tour

soit le même _{pour les deux ondes oscillantes}

_E

₃

et

_E

₄

_.

Ceci

_implique

la relation:

où

_03A9

₃

et

03A9

4

sont les

_fréquences

_propres de la cavité les

_{plus proches}

des

_fréquences

des deux ondes oscillantes.

Notons _que les

_fréquences

_{propres de la cavité}

_{correspondant}

aux deux sens de rotation ne sont _pas forcément

_égales.

En

effet,

une levée de

_{dégénérescence}

_peut

être induite _par

des effets non

_réciproques

(comme

_par

_exemple

l’effet

_Sagnac

[13]

ou des différences

d’indice dans la cellule _pour

_E

₃

et

₄

_E

_[8]).

En

_posant

039403A9 cette levée de

_{dégénérescence,}

la relation

(II.2.a)

peut

s’écrire sous la forme:

où _p est un entier

relatif,

L le

_périmètre

de la cavité et

203C0 c L

l’intervalle

_spectrale

libre. Les différents modes de fonctionnement de l’oscillateur à

_mélange

à

_quatre

ondes se

déduisent des relations

(II.1)

et

(II.2)

et

_{correspondent}

aux différentes valeurs

_pouvant

être

prises

par l’indice p. La valeur de p

dépend

de la

_position

relative du

_barycentre

_03C9

_p

de la

fréquence

des ondes _{pompes par}

_rapport

aux

fréquences

_propres de la cavité.

a. Mode

_{quasi-dégénéré}

Si

_03C9

_p

est

_proche

d’une

_fréquence

_propre de la

cavité,

p est

pair

et l’on

obtient,

en

_posant

représenté

figure

figure,

correspond

au sens de

propagation

de

E

4

et la courbe en

_pointillée

au sens de

_propagation

de

_E

₃

_.

Ce mode de fonctionnement est

_appelé

_par la suite mode

_{quasi-dégénéré.}

b. Mode non

_dégénéré

Si

_03C9

_p

est

_proche

du

_barycentre

des

_fréquences

de deux modes

_adjacents

de la

cavité,

p

est

_impair

et la condition sur la différence des

_fréquences

des ondes oscillantes s’écrit:

Seuls les cas

_q=0

et

_q=-1

ont été observés

_{expérimentalement.}

Ils sont

_{représentés}

sur la

figure

II.2.b. Ces modes de fonctionnement sont

_appelés

modes

_{non-dégénérés}

ou

modes B.

a. Milieu non linéaire

La non-linéarité utilisée est due à la saturation d’une transition

_atomique.

Les

non-linéarités

_atomiques

_étant,

à l’heure

actuelle,

_parmi

les

_{plus grandes}

connues, leur

utilisation facilite l’observation des effets recherchés. Nos

_expériences

ont été réalisées

avec la _vapeur de sodium. La

_{configuration}

électronique

du sodium dans l’état fondamental

est

(1s

2

2s

2

_2p

₆

3s

1

),

notée

_3S

_1/2

_.

Nous nous intéressons aux deux transitions

_qui

relient le

niveau

_3S

_1/2

aux deux niveaux

_3P

_1/2

et

_3P

_3/2

de structure fine de la

_première

_{configuration}

excitée. Ces deux

transitions,

appelées

D

1

et

_,

_D

₂

sont

_{représentées}

sur la

_figure

II.3.

Figure

II.3

Les différentes

_fréquences

_qui

entrent

_{en jeu}

dans le

_problème

sont:

-

Largeur

naturelle du niveau excité 0393:

r = 10 MHz _{pour les} transitions

_D

₁

et

_D

₂

-

polarisation

des

_champs.

_Typiquement,

_pour un faisceau de 200

mW,

focalisé sur 250 03BCm,

polarisé

linéairement,

on obtient à

partir

de

l’expression

des forces d’oscillateurs

[10]:

03A9

r

= 700 MHz _pour la transition

D

1

.

03A9

r

= 1 GHz _pour la transition

D

2

.

- Désaccord à résonance :

Le désaccord 03B4 entre la

_fréquence

de la transition

_atomique

et la

_fréquence

des ondes est

en valeur absolue de l’ordre de 3 GHz. Le

système

est donc dans la situation:

Ceci

_permet,

d’une

_part,

d’effectuer un

_{développement}

perturbatif

en 03A9

r

03B4

de la

polarisation

et d’autre

_part

de

_négliger

le nombre d’atomes

_{interagissant}

de

_façon

résonante avec le

champ.

Les structures

_hyperfines

du niveau fondamental et des niveaux excités sont

_négligées.

Les deux transitions

_D

₁

et

_D

₂

sont donc assimilées à deux transitions

(J=1 2

~ J=1 2)

et

Deux autres

_{paramètres importants}

interviennent

_lorsque

l’on effectue des

_expériences

d’optique

non linéaire.dans les _gaz. Il

_s’agit

des

_{susceptibilités}

linéaire _~o et non linéaire

d’ordre trois

_~

₍₃₎

définies _par:

où P est la

_polarisation

du milieu

(Voir

I).

On obtient _{pour ~o,} à 175°C et _pour 03B4=3 GHz:

~ o= 6

10

-6

pour la transition

D

1

.

~ o=

1,2

10

-5

pour la transition

D

2

.

pour la transition

D

2

.

Le milieu est donc

_optiquement

_épais

au sens de la

dispersion.

L’ordre de

_grandeur

de

_~

₍₃₎

est obtenu en

appliquant

la formule suivante démontrée _pour

un atome à deux niveaux

[11] :

Une

_application

_numérique

effectuée _{pour les mêmes conditions que ~o}donne:

b. Source lumineuse

La source utilisée est un laser à colorant continu monomode en anneau mis au

_point

au

laboratoire

[12]

_(figure

II.4),

pompé

par un laser Ar+. Le colorant utilisé est la Rhodamine 6G.

La

_puissance

de sortie est de 600 mW et le

_jitter

est de l’ordre de 1 MHz. La

_fréquence

est asservie sur un interféromètre de

_{Fabry-Perot balayable}

_par

_pression,

notée FP3 sur la

figure

II.4. Un isolateur

_optique

est

_placé

à la sortie du laser à colorant. Il est formé d’un

prisme

de

_Glan,

d’un rotateur de

_Faraday

faisant tourner une

_polarisation

linéaire de 45°

dans son

_plan,

et d’une lame demi-onde. Il évite tout retour

_{qui perturberait}

le fonctionnement du laser.

II.B.1.

_{Gyrométrie optique}

a. Effet

_Sagnac

La

_gyrométrie

_optique

_repose sur l’effet

_Sagnac,

découvert en 1913

[13].

Celui-ci

_peut

s’énoncer comme suit:

Deux ondes

_{électromagnétiques,}

se

_propageant

en sens

_opposé

sur un contour

_(L)

fermé et

imprimé

d’une rotation de vitesse

_{angulaire 03A9}

auront

_acquis

un

_déphasage

relatif

_après

avoir parcouru un tour.

Une démonstration

_rigoureuse

de l’effet

_Sagnac

_peut

être trouvée dans les références

_[7]

et

_[14],

mais on

_peut

intuitivement se

_représenter

l’effet

_Sagnac

en considérant que, dans le

référentiel tournant, les deux ondes mettent un

_temps

différent _pour

parcourir

le contour

selon _{que l’onde} se _propage dans le "sens" de la rotation ou dans le "sens

_opposé".

A cette

différence de

_temps

_correspond

une différence de marche entre les deux ondes

_qui

vaut, en

supposant

que le contour est situé dans un

_{plan orthogonal}

à 03A9 :

où S est la

surface

_{délimitée par} le contour.

La

_figure

d’interférence des deux ondes contrarotatives

_permet

alors de mesurer 03A9

(figure

II.5).

Pour évaluer la sensibilité de l’interféromètre de

_Sagnac,

notons _{que pour} mesurer la rotation terrestre

(10°.h

-1

),

Michelson et Gale durent utiliser un contour

_{rectangulaire}

de 2

10

5

m

2

de _{surface intérieure pour obtenir} une différence de marche de

03BB/4,

ce

qui

correspond

à une translation de la

_figure

d’interférence d’un

_quart

de

_{frange [15].}

De telles

dimensions sont

_prohibitives

_pour la

_plupart

des

_applications

et

_plusieurs

solutions ont été

Figure

II.5: Interféromètre de

_Sagnac

b.

_{Gyromètre passif}

à fibre

L’idée est

_{d’augmenter}

la surface S sans accroître la taille de

l’interféromètre,

en utilisant comme bras de l’interféromètre une fibre

_optique

enroulée sur

plusieurs

centaines de tours.

La rotation

_produit

un

déphasage

mesuré par un

_déplacement

des

_franges

sur un détecteur

[16].

Ces

_gyromètres

ont actuellement une sensibilité maximale de

0,1°.h

-1

,

insuffisante pour

des

_systèmes

de

_navigation

inertielle. De

_plus,

de tels

_gyromètres

sont sensibles à tout effet

non

réciproque

dans les fibres

(effets

dus à la

température,

aux

_champs

_{magnétiques,}

à la

biréfringence...).

Leur domaine

_{d’application}

reste donc la mesure de

_grande

vitesse de

rotation où leur

_compacité

en font de bons

gyromètres.

Soulignons cependant

que l’utilisation de la

conjugaison

de

phase

permet

d’éliminer l’influence des effets

_{non-réciproques}

des fibres

_[16].

moyen

d’augmenter

gyromètre optique

placer

milieu actif dans la cavité afin d’obtenir une oscillation bidirectionnelle

(figure

II.6)

[17].

Le milieu

_{amplificateur}

le

_{plus généralement}

utilisé est un

_mélange

Hélium-Néon. Afin

d’obtenir une oscillation

bidirectionnelle,

il est nécessaire d’utiliser un

_mélange

_isotopique

de

_proportion

_égale

de Néon 20 et Néon 22

[17].

Aucune source extérieure n’est alors

nécessaire. La différence de marche modifie la condition d’accord de la cavité et donc induit entre les deux ondes lasers contrarotatives une différence de marche de

fréquence

[7] :

où L est la

_longueur

de la cavité. Le facteur K =

4S 03BBL

est

_appelé

facteur d’échelle. Pour S = 1

m

2

,

03A9 =

10°.h

-1

_et 03BB =

0,633

03BCm, on obtient 039403BD = 765 Hz,

fréquence

théoriquement

facilement mesurable. De

_plus,

le battement

_peut

être mesuré très

précisément.

Les effets

_qui

_augmentent

les fluctuations de la

_fréquence

d’oscillation étant presque tous

_{réciproques,}

s’éliminent si on mesure la différence des deux

_fréquences

contrarotatives. De

_fait,

la sensibilité actuelle est de l’ordre de

10

-3

o

.h

-1

;

cette sensibilité

est très

_proche

de la sensibilité ultime limité _par le bruit

_quantique

[18].

_Cependant,

pour atteindre de telles

_{sensibilités,}

il faut d’abord s’affranchir du

_problème

de la zone

_aveugle.

En

_effet,

_lorsque

deux oscillateurs de

_fréquences

très

_proches

coexistent,

des termes de

couplage

dus à la rétrodiffusion des

_champs

sur les miroirs les forcent à osciller à des

fréquences identiques

(phénomène

de

_{"verrouillage}

de

_phase").

Le senseur inertiel devient

alors

_"aveugle"

à toute rotation inférieure à une certaine vitesse de rotation minimum

_03A9

_a

_,

nécessaire pour déverrouiller les deux

_fréquences.

L’intervalle

_203A9

_a

est

_appelé

zone

_aveugle

et reste de l’ordre de

0,01°.s

-1

_pour les meilleurs

_gyrolasers.

Pour s’affranchir de cette zone

_aveugle,

la solution

_adoptée

_{par la}

_majorité

des

constructeurs est

_{d’appliquer}

en _permanence au bloc senseur une rotation

_{d’amplitude}

100°.s

-1

,

alternative _pour résoudre les

_problèmes

de stabilité. Cette activation est obtenue à

partir

d’une résonance

_mécanique

entretenue. Il

_persiste

néanmoins une zone

_aveugle

résiduelle,

source d’erreur à

_{chaque période}

d’oscillation de la

_mécanique.

Pour minimiser l’erreur

_qui

s’accumule à

_chaque

oscillation de

l’activation,

il convient de bruiter cette

résonance pour rendre cette erreur aléatoire et ainsi obtenir sur la mesure une erreur de

type

marche au hasard. La mesure est alors effectuée sur un

_temps

_long

devant la

_période

Figure

II.6 :

_Principe

d’un

_gyrolaser

La

_réponse

au

_problème

de la zone

_aveugle

_{par l’activation}

mécanique

nécessite des

réalisations

_mécaniques

et

_{électroniques complexes}

et donc coûteuses. Bien _que les

gyrolasers

soient commercialisés et

_{représentent}

un marché relativement

important,

les

recherches se

_poursuivent

encore _pour

simplifier

la

technologie

de ces

appareils

et

améliorer leurs

_{performances.}

En

_particulier,

il a été montré _{que l’utilisation} de la

Classification Physics Abstracts 42 65F

Etude

_théorique

et

_{expérimentale}

des

_propriétés

_{gyrométriques}

d’un oscillateur à

_mélange

à

_quatre

ondes

en anneau

M. _Pinard, M. Vallet et G. _Grynberg

Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de _{l’E.N.S ,} Université Pierre et Mane Cune, Tour 12,

75252 Pans Cedex 05

(Reçu le 22 mars 1990, _accepté le 6 juin 1990)

Résumé. 2014

Nous étudions les _propriétés d’un oscillateur en anneau utilisant le _mélange à _quatre ondes dans une _{vapeur atomique} comme _{processus de gain} Notre étude concerne ici le mode de fonctionnement quasi dégénéré L’étude théorique est faite au _moyen des _équations de Lamb Nous montrons que le système se _comporte comme un _gyromètre et que son facteur d’échelle est identique à celui des _gyrolasers. Nous calculons la zone _aveugle de ce _gyromètre, zone _{aveugle qui}

est due à la rétrodiffusion sur les miroirs. Nous montrons aussi que l’utilisation d’une

non-linéarité intrinsèque permet de s’affranchir du _problème de la zone _{aveugle par} un _moyen purement optique. Finalement nous décrivons les _expériences faites en utilisant une _vapeur de

sodium qui nous ont _permis de mettre en évidence ces _{propriétés gyrométnques}

Abstract. 2014 We

present a theoretical and _{expenmental study} of the _{steady-state regime} of a _ring

four-wave mixing oscillator We study here the _properties of the _{quasi-degenerate} mode The theory is _{developped using the Lamb equations} We show that the four-wave mixing oscillator can

be used as a _gyrometer and that its scale factor is identical to the _gyrolaser scale factor We calculate the lock-in _band, which is due to _{backscattering} on the mirrors, and show that an

intrinsic _{non-linearity} can be used to circumvent this _{problem by optical} means _{only Finally} we

describe the _experiments we have _{performed using} sodium _vapor to observe these gyrometric

properties

1. Introduction.

L’étude du _melange à _quatre ondes a suscité _beaucoup d’intérêt depuis plusieurs années Cet intérêt est stimulé à la fois _par les _{applications possibles} en _conjugaison de _{phase [1]} et _par la

possibilité de _générer soit des états _comprimés du _{rayonnement [2-6],} soit des faisceaux de

photons jumeaux [7] De nombreuses études ont _porté sur les _propriétés de l’auto-oscillation

de cavité utilisant le _mélange à _quatre ondes comme processus générant les photons

Toutefois la _plupart des études réalisées avec _{des vapeurs atomiques} utilisent le milieu conjuguant la phase comme miroir _{amplificateur [8]} Nous nous intéressons dans cet article à

l’étude de l’auto-oscillation d’une cavité en anneau où le milieu _conjuguant la _phase est utilisé

comme _{amplificateur} et est _placé dans un des bras de la cavité Dans ce domaine, de

étude, le milieu non linéaire, _mélangeant les ondes est constitué _par une vapeur atomique.

Nous avons montré récemment que les résultats obtenus dans le cas des solides

_{photoréfractifs}

ne _{s’appliquent} pas

toujours

aux _{vapeurs atomiques.} Par _exemple, dans le cas d’un solide

photoréfractif, la

_fréquence

de l’oscillation diffère _légèrement de la _fréquence des pompes

[10-14] tandis que dans le cas _{d’une vapeur de sodium pure les deux fréquences généralement}

coincident _[15-18].

En fait, l’analyse des résultats _{expénmentaux [17]} montrent _que l’oscillation dans le cas

d’une vapeur de sodium pure a des _propriétés similaires à celles d’un oscillateur paramétrique

dégénéré [19]. Il existe néanmoins des différences entre les deux _dispositifs, nous avons _par

exemple observé que l’oscillation est presque toujours bistable dans le cas du _mélange à quatre ondes [17] tandis qu’une telle _{propriété n’est pas} observée dans le cas d’un oscillateur

paramétrique dégénéré.

Pour étudier _{théoriquement} les

_propriétés

de l’oscillation d’une cavité utilisant une _vapeur

atomique conjuguant la _phase comme amplificateur, nous utilisons la méthode de Lamb [20].

Nous _{l’appliquons} ici à l’étude d’un oscillateur en anneau. Après avoir décrit le modèle (§ 2), nous _étudions, dans le _paragraphe 3 l’influence des collisions sur le fonctionnement quasi

dégénéré. Nous montrons _{qu’en présence} de collisions et _{pour des ondes pompes} d’intensité différente il est _possible de lever la _{dégénérescence} entre les _fréquences des deux ondes contrarotatives. Dans le paragraphe 4 nous décrivons _{l’expérience qui} nous a _permis de

mettre en évidence cette _propriété et de tracer la _{réponse gyrométnque} d’un oscillateur

paramétrique

atomique. Dans le _paragraphe 5 nous décrivons les résultats obtenus en

utilisant pour lever la dégénérescence une méthode _plus conventionnelle, cette méthode

consistant à _placer dans la cavité un rotateur de Faraday. Il faut aussi souligner que l’étude

théorique que l’on fait ici peut avoir des _applications dans le cas d’autres dispositifs

gyrométriques où le _mélange à _quatre ondes se manifeste comme un effet secondaire _[21].

2. _Description du modèle.

L’oscillateur étudié est constitué d’une cavité en _{anneau, cette} cavité contient un milieu non

linéaire _qui la _{remplit totalement,} ce milieu non linéaire _interagit avec _{deux ondes pompes}

E

1 et _E2se _propageant en sens _opposé On posera

_E

_p

= E1 + _E2. Le milieu non linéaire est une

vapeur atomique qui est _{décrite par} un ensemble d’atomes à deux niveaux a et b _{(Fig 1).} La fréquence atomique est _03C90 et N est le nombre d’atomes par unité de volume. L’élément de

matrice de _{l’opérateur dipolaire}

_électrique

entre les deux niveaux est d. Les deux faisceaux pompes E1 et _E2 ont même _{fréquence 03C9} et même _polarisation linéaire _{ex. On suppose que}

Fig 1. 2014 Schéma du

système atomique a deux niveaux

l’excitation est non résonante, le désaccord 03B4 =

03C9 0

201403C9 entre la

fréquence

atomique et la fréquence des pompes est _{beaucoup plus grand que la largeur} naturelle _03B3abet _{que la largeur}

Doppler ku. Les _fréquences de Rabi résonantes des atomes dans les ondes _pompes sont

supposées très

_petites

devant le

_désaccord

_|03B4|.

Nous sommes ainsi dans une situation où un

calcul _perturbatif peut être utilisé pour calculer la réponse atomique. La méthode utilisée consiste _{à supposer} connu le _champ intra-cavité _{Ec(r, t) puis} à calculer la _polarisation

atomique P(r, t ) induite par le champ total _{E(r, t )} = Ec(r, t ) ₊

E

P

(r,

t ) interagissant avec

les atomes. En utilisant la _{polarisation P(r, t )} comme terme source dans les _équations de Maxwell on calcule le _{champ rayonné par les} atomes et en _particulier le _{champ rayonné} dans

la cavité. La condition d’auto-cohérence de ce calcul _{impose que} ce dernier _champ coïncide avec _Ec.

Dans toute _{la suite,} nous _{supposons que} tous les champs ont la même

_polarisation

linéaire

e x

, par conséquent nous omettons cette _polarisation et raisonnons comme si ces _champs

étaient scalaires. Le _champ pompe total s’écrit :

avec

Nous supposons que le champ intra-cavité est une _{superposition} linéaire d’un _petit nombre

de _{modes propres spatiaux} de la cavité. La _composante de

_fréquence

_positive de

E c

(r, t ) s’écrit donc :

avec

Dans le

cas

d’une cavité en anneau immobile de _longueur L _{les modes propres} normés

s’écrivent

avec

L’ensemble des _{champs appliqués} va créer dans le milieu une _{polarisation P(r, t )} qui

s’écrit

Cette polarisation qui est non linéaire contient deux _types de _composantes des

composantes dont la _phase totale coincide avec celle d’un des _{champs appliqués} et des

composantes dont la phase totale ne coincide avec aucune des _phases des ondes _appliquées.

Les _composantes de P _{(r, t )} du second type sont _responsables de l’émission d’onde dans des directions _qui ne coincident ni avec les directions de la cavité ni avec la direction des ondes

pompes On ne _{tiendra pas compte} de ces _{dernières composantes} car on _peut montrer _que

leurs contributions sont _{négligeables.}

La _{dépendance spatiale} du _champ intra-cavité étant connue on _peut établir _{l’équation}

d’évolution _temporelle des _03B5n(t). Ces _équations d’évolution s’obtiennent à _partir des