Opérations sur les nombres relatifs

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Opérations sur les nombres relatifs

I) Rappels :

a) Définition :

………

b) Définition :

………

Exemples :

+ 7 est un nombre relatif positif : son signe est + et sa partie numérique est 7.

– 5 est un nombre relatif négatif : son signe est – et sa partie numérique est 5.

c) Définition :

………

Exemples :

+ 3 et – 3 sont deux nombres relatifs opposés.

II) Addition de deux nombres relatifs :

a) Propriété :

………

(2)

Exemples :

Exemple n°1 : (+ 8) + (+ 11) :

• on reporte le signe +.

• on ajoute les parties numériques 8 et 11.

On conclut : (+ 8) + (+ 11) = + 19.

Exemple n°2 : (– 6) + (– 11) :

• on reporte le signe –.

• on ajoute les parties numériques 6 et 11.

On conclut : (– 6) + (– 11) = – 17.

Exemple n°3 : (+ 5) + (– 9) :

• on reporte le signe – car – 9 est le nombre relatif qui a la plus grand partie numérique (9 > 5) .

• on effectue la différence entre la plus grande et la plus petite partie numérique : 9 – 5 = 4.

On conclut : ( + 5) + ( – 9) = – 4.

b) Propriété :

………

Exemple : (+ 4) + ( – 4) = 0.

III) Soustraction de deux nombres relatifs :

Propriété :

………

Exemples :

(+ 5) – (+ 8) = (+ 5) + (– 8) = – 3.

(+ 7) – (– 2) = (+ 7) + (+ 2) = + 9.

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IV) Somme algébrique : a) Définition :

………

Exemple :

S = (+ 4) + (– 7) – (– 3) + (+ 11) – (+ 8) est une somme algébrique.

b) Méthode pour calculer la valeur d’une somme algébrique : S = (+ 4) + (– 7) – (– 3) + (+ 11) – (+ 8)

• On transforme les soustractions en additions : S = (+ 4) + (– 7) + (+ 3) + (+ 11) + (– 8)

• On regroupe les termes positifs entre eux puis les termes négatifs entre eux :

S = (+ 4) + (+ 3) + (+ 11) + (– 7) + (– 8)

• On ajoute les nombres relatifs positifs puis les nombres relatifs négatifs : S = (+ 18) + (– 15)

• On effectue la dernière addition : S = + 3

La valeur de l’expression S est 3.

c) Simplification d’écriture :

Règle : pour simplifier l’écriture d’une somme de nombres relatifs ( uniquement des additions ), on peut enlever les parenthèses en suivant les règles suivantes :

+ ( + 3 ) par exemple se simplifiera en + 3.

+ ( – 3 ) par exemple se simplifiera en – 3.

Ainsi, en appliquant cette règle :

(+ 4) + (– 5) + (+ 3) + (– 7) se simplifie en + 4 – 5 + 3 – 7

7 – 3 + 9 – 11 est l’écriture simplifiée de (+ 7) + (– 3) + (+ 9) + (– 11)

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V) Multiplication de deux nombres relatifs :

a) Propriété ( multiplication de deux nombres relatifs ) :

………

Exemple n°1 : (+ 3) × (+ 2) :

• le signe du produit est ‘+’ car les deux nombres relatifs ont le même signe.

• on multiplie les parties numériques 3 et 2.

On conclut : (+ 3) × (+ 2) = + 6.

Exemple n°2 : (– 4) × (– 5) :

• le signe du produit est ‘+’ car les deux nombres relatifs ont le même signe.

On conclut : (– 4) × (– 5) = + 20.

Exemple n°3 : (+ 2) × (– 7) :

• le signe du produit est ‘–’ car les deux nombres relatifs ont des signes contraires.

On conclut : (+ 2) × (– 7) = – 14.

Remarque :

Multiplier un nombre relatif par (– 1) revient à prendre son opposé. En effet : (– 1) × (– 6) = + 6 => l’opposé de – 6 est bien + 6.

(– 1) × (+ 4) = – 4 => l’opposé de + 4 est bien – 4.

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b) Propriété ( multiplication de plusieurs nombres relatifs ) :

………

Exemple n°1 : (+ 2) × (– 5) × (+ 1) × (– 4) × (+ 3) :

• le signe du produit est ‘+’ car il y a 2 facteurs négatifs (– 5) et (– 4).

• On multiplie les parties numériques : 2 × 5 × 1 × 4 × 3 = 120 On conclut : (+ 2) × (– 5) × (+ 1) × (– 4) × (+ 3) = + 120.

Exemple n°2 : (+ 3) × (– 2) × (+ 4) × (– 6) × (– 1) :

• le signe du produit est ‘–’ car il y a 3 facteurs négatifs (– 2), (– 6) et (– 1).

• On multiplie les parties numériques : 3 × 2 × 4 × 6 × 1 = 144 On conclut : (+ 3) × (– 2) × (+ 4) × (– 6) × (– 1) = – 144.

VI) Division de deux nombres relatifs :

a) Propriété ( division de deux nombres relatifs ) :

………

Exemple n°1 : :

• le signe du quotient est ‘+’ car les deux nombres relatifs ont le même signe.

• on divise les parties numériques 6 et 2.

(6)

On conclut : = + 3.

Exemple n°2 : :

• le signe du quotient est ‘+’ car les deux nombres relatifs ont le même signe.

On conclut : = + 4.

Exemple n°2 : :

• le signe du quotient est ‘–’ car les deux nombres relatifs ont des signes contraires.

On conclut : = – 3.

Remarques :

1) Diviser un nombre relatif par (-1) revient à prendre son opposé. En effet :

•

= – 5 => l’opposé de + 5 est bien – 5.

• = + 3 => l’opposé de – 3 est bien + 3.

2) Le quotient de deux nombres relatifs opposés est égal à -1 :

• = – 1 => le quotient des nombres opposés + 7 et – 7 est égal à – 1.

• = – 1 => le quotient des nombres opposés – 5 et + 5 est égal à – 1.

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VII) Priorités des calculs avec les nombres relatifs :

Ce sont les mêmes priorités que celles vues en classe de cinquième, à savoir : Propriété :

………

Exemple :

A = (– 4) × ( 3 × 5 + (– 12) ÷ (–3) )

On applique la propriété : l’expression A contient des parenthèses, on commence par effectuer les calculs situés entre parenthèses.

On a écrit en rouge les calculs prioritaires : A = (– 4) × ( 3 × 5 + (– 12) ÷ (– 3) )

A = (– 4) × ( 15 + 4 ) A = (– 4) × 19

A = – 76

La valeur de l’expression A est – 76.

Remarque :

Si une expression ne contient que des multiplications et des divisions alors on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

Exemple :

A = (– 6) × (– 3) ÷ 2 × 4 ÷ (– 12) A = 18 ÷ 2 × 4 ÷ (– 12)

A = 9 × 4 ÷ (– 12) A = 36 ÷ (– 12) A = – 3

La valeur de l’expression A est – 3.

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VIII) Inverse d’un nombre : a) Définition :

……….

Exemple :

• L’inverse du nombre + 2 est =

.

• L’inverse du nombre – 4 est = −¹ 4

.

Propriété :

……….

L’inverse du nombre 3 est le nombre => 3 ×

=

×

=

^×

× = = 1.

L’inverse du nombre −5 est le nombre => −5 ×

=

×

=

^×

×( ) = = 1.

Propriété :

……….….

Exemple n°1 : montrer que l’inverse de la fraction est la fraction .

D’après la propriété, Il suffit de montrer que le produit de ces deux nombres est égal à 1 :

× = ^×

× = = 1.

Comme × = 1, on en déduit que l’inverse de la fraction est la fraction .

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Exemple n°2 : montrer que l’inverse de la fraction est la fraction .

D’après la propriété, Il suffit de montrer que le produit de ces deux nombres est égal à 1 :

× = ^×

×( )= = 1.

Comme × = 1, on en déduit que l’inverse de la fraction est la fraction .

Propriété :

……….

On note :

=

.

Exemple n°1 : l’inverse de la fraction est la fraction . On note

= .

Exemple n°2 : l’inverse de la fraction est la fraction . On note

= .

Remarque :

Les trois écritures suivantes sont équivalentes :

= = −

^.

Cependant, c’est la dernière écriture qui est la plus utilisée à savoir

− .

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Application : détermination de l’inverse d’un nombre décimal à l’aide d’une fraction.

Déterminons l’inverse du nombre décimal 2,8 : D’après la définition, son inverse est

,

.

Or 2,8 = ce qui permet d’écrire que ,

=

!

= =

.

Conclusion : l’inverse du nombre décimal 2,8 est la fraction