Dénombrabilité des classes d'équivalences dérivées de variétés algébriques.

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Dénombrabilité des classes d’équivalences dérivées de

variétés algébriques.

Mathieu Anel, Bertrand Toen

To cite this version:

Mathieu Anel, Bertrand Toen. Dénombrabilité des classes d’équivalences dérivées de variétés al-gébriques.. Journal of Algebraic Geometry, American Mathematical Society, 2008, 18, pp.257-277. �10.1090/S1056-3911-08-00487-6�. �hal-00772932�

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D´

enombrabilit´

e des classes d’´

equivalences d´

eriv´

ees de

vari´

et´

es alg´

ebriques

Mathieu Anel

Department of Mathematics, Middlesex College The University of Western Ontario

London, Ontario N6A 5B7 Canada

Bertrand To¨en

Laboratoire Emile Picard, UMR CNRS 5580 Universit´e Paul Sabatier, Bat 1R2

Toulouse Cedex 09 France Novembre 2006

R´esum´e

Soient S un schéma affine, X −→ S une famille miniverselle de schémas projectifs et lisses, et D une catégorie triangulée fixée. On démontre que les points s ∈ S tels que la catégorie dérivée de la fibre en s, Db

coh(Xs), soit ´equivalente `a D, forment un ensemble

au plus dénombrable. Nous déduisons de cela que l’ensemble des classes d’isomorphisme des variétés complexes lisses et projectives qui possèdent une catégorie dérivée fixée est au plus dénombrable. Notre démonstration passe par la construction d’un certain préchamp classifiant les dg-catégories saturées et connexes, ainsi qu’une application des périodes allant du champ des variétés lisses et projectives vers ce préchamp, et qui à une variété associe un dg-modèle pour sa catégorie dérivée.

Table des mati`

eres

1 Dg-cat´egories satur´ees et connexes 4

2 Le pr´echamp DGCc_sat 6

3 Quasi-repr´esentabilit´e de DGCc_sat 7

4 Application des p´eriodes 9

(3)

6 Lieu à dg-catégorie fixée des familles miniverselles 11

7 Le cas des vari´et´es complexes 14

8 Remarques et compl´ements 16

Introduction

`

A toute variété algébrique projective et lisse X (disons sur un corps k) on peut associer Db_coh(X), sa catégorie dérivée cohérente bornée. Pour deux telles variétés X et Y à fibrés canoniques (ou anti-canoniques) amples, on sait que X et Y sont isomorphes si et seulement si les catégories Db

coh(X) et Dbcoh(Y ) sont équivalentes en tant que catégories triangulées (voir [Bo-Or]).

Cepen-dant, il existe en général des exemples où X et Y ne sont pas isomorphes mais où les catégories dérivées Db_coh(X) et D_cohb (Y ) sont équivalentes (voir [Ro] pour des références). Cela pose ´

evidemment la question de la classification des variétés projectives et lisses X qui possèdent une catégorie dérivée fixée (à équivalence triangulée près). Dans cette direction Y. Kawamata propose la conjecture suivante (voir [Ro] pour une discussion de cette conjecture).

Conjecture 0.1 Soit D une catégorie triangulée k-linéaire. Alors, l’ensemble des classes d’iso-morphisme de variétés projectives et lisses X sur k telles que D_cohb (X) soit équivalente à D (en tant que catégorie k-linéaire triangulée) est fini.

L’objet de ce travail est de proposer une approche géométrique de cette conjecture qui utilise un certain espace de modules de catégories triangulées. L’idée générale, et na¨ıve, est de chercher `

a construire un tel espace de modules M qui paramétrise les catégories triangulées, ainsi qu’une certaine application des périodes

Π : V −→ M,

où V est un espace de modules pour les variétés projectives et lisses, et où Π envoie X sur Db_coh(X). On cherchera alors à montrer que Π est infinitésimalement injective (i.e. non-ramifiée), et donc à fibres discrètes. Dans le cas où ces espaces de modules sont assez proches d’être des variétés algébriques ses fibres seraient donc finies. Cela impliquerait 0.1 car la fibre de Π pris au point D est précisément l’ensemble dont la conjecture 0.1 prédit la finitude.

Dans ce travail nous construisons des modèles aux espaces V et M et au morphisme Π, et nous montrons que Π est non-ramifié en un certain sens. Avant de passer aux détails techniques des définitions de ces objets signalons qu’une conséquence de leurs existences est le théorème suivant, qui est l’énoncé principal de cet article.

Théorème 0.2 (Cor. 6.4) Soit X −→ S une famille miniverselle de schémas projectifs, lisses et géométriquement connexes, avec S un schéma de type fini sur un corps k. Soit D une catégorie triangulée k-linéaire, et S(D) le sous-ensemble de S(k) formé des points s tels que Db

coh(Xs)

soit équivalente à D (comme catégorie triangulée k-linéaire). Alors S(D) est un ensemble au plus dénombrable.

(4)

Il faut noter que la conjecture 0.1 implique l’énoncé précédent (voir notre remarque au §8). Bien que 0.2 est relativement loin de la conjecture 0.1, il affirme qu’elle est moralement vraie si l’on remplace fini par au plus dénombrable (”moralement” car on ne considère ici que des variétés qui apparaissent dans une même famille miniverselle). De plus, dans le cas des variétés algébriques complexes un argument transcendant permet de déduire la dénombrabilité des classes d’équivalences dérivées.

Théorème 0.3 (Cor. 7.1) Soit D une catégorie triangulée C-linéaire. Alors, l’ensemble des classes d’isomorphismes de variétés complexes lisses et projectives X telles que Db_coh(X) soit ´

equivalente (comme catégorie triangulée C-linéaire) à D est au plus dénombrable.

Quelques mots sur le contenu de cet article. Le lecteur ne sera pas surpris d’apprendre que nous avons chercher des modèles pour V, M et Π dans le cadre des champs. Il le sera peut-être un peu d’apprendre que les modèles que nous construisons de ces objets ne sont pas des champs algébriques, et de plus que le modèle que nous donnons pour M est un préchamp qui n’est même pas un champ. Plus précisément, pour V on prendra, comme on peut s’y attendre, le champ VARc_smpr des schémas propres, lisses et géométriquement connexes (dont les sections au-dessus d’un schéma S est le groupo¨ıde des morphismes X −→ S propres, lisses et à fibres géométriquement connexes). Il est bien connu que ce champ n’est pas algébrique, car il existe des déformations formelles dans VARc_smpr qui ne sont pas algébrisables. Comme modèle pour l’objet M nous proposons le préchamp DGCc_sat qui paramétrise les dg-catégories saturées et connexes, prises à quasi-équivalence près1 (voir §2,3 pour plus de détails). Le préchamp DGCc_sat n’est pas un champ, et ses préfaisceaux de morphismes ne sont pas non plus des faisceaux (il s’agit donc d’un préchamp en un sens encore plus faible que celui de [L-M]). Il n’est donc pas algébrique, et son champ associé ne l’est probablement pas non plus, et ce pour la même raison que pour le cas de VARc_smpr (à savoir l’existence de déformations formelles non algébrisables, voir notre remarque au §8). Enfin, nous construisons un morphisme de préchamps

Π : VARc_smpr −→ DGCc_sat,

qui à un schéma propre et lisse X −→ S = Spec k associe une dg-catégorie Lpe(X) de complexes

parfaits sur X, qui est un dg-modèle à la catégorie dérivée parfaite Dparf(X). Le fait que

X 7→ Lpe(X) soit compatible aux changements de bases k → k0, et donc le fait que Π existe

comme morphisme de préchamps, est une propriété spécifique à l’utilisation des dg-catégories qui ne serait pas vérifiée si l’on avait chercher à définir DGCc_sat à l’aide de catégories triangulées. Nous montrerons alors que le morphisme Π est non-ramifié, au sens où une déformation in-finitésimale dans VARc_smpr est triviale si et seulement si son image dans DGCc_satl’est (voir Prop. 5.1). Cela peut sembler de peu d’intérêt étant donné que les préchamps VARc_smpr et DGCc_sat ne sont pas des champs algébriques. Cependant, ces deux objets partagent une propriété en commun avec les champs algébriques qui permet de tirer des conséquences intéressantes de l’existence de Π et de son caractère non ramifié. Cette propriété est la quasi-représentabilité,

1

Il est bien connu que la notion de catégorie triangulée possède beaucoup de désavantages qui sont résolus en la rempla¸cant par la notion de dg-catégorie. C’est seulement au prix de ce remplacement que l’objet DGCcsat

(5)

ou en d’autres termes la représentabilité du morphisme diagonal. Pour VARc_smpr la quasi-représentabilité est une conséquence de l’existence des espaces algébriques de Hilbert, et est donc bien connue. La quasi-représentabilité de DGCc_sat (tout au moins à un procédé de fais-ceautisation près) est elle une conséquence des résultats de [To-Va] qui affirment l’existence d’un champ algébrique classifiant les objets d’une dg-catégorie saturée (voir Prop. 3.1). On montre aussi que la diagonale de DGCc_satpossède une propriété de quasi-compacité dénombrable, qui affirme que l’intersection de deux affines au-dessus de DGCc_sat possède un recouvrement par un nombre dénombrable de schémas affines (voir Prop. 3.1). Le théorème 0.2 est alors une conséquence formelle du caractère non ramifié de Π, de la quasi-représentabilité de DGCc_sat, de la propriété de quasi-compacité dénombrable, et d’un théorème de D. Orlov affirmant que deux variétés lisses et projectives possèdent des catégories dérivées équivalentes si et seulement leur dg-modèles sont quasi-équivalents (voir [Or]). Au passage, nous démontrons une version plus générale du théorème 0.2, valable pour les familles propres et lisses, mais pour laquelle la notion de catégorie triangulée doit être remplacée par celle de dg-catégorie.

Remerciements: Nous remercions B. Keller et G. Vezzosi pour plusieurs discussion sur la théorie des déformations des dg-catégories qui ont influencé ce travail (bien que cette théorie des déformation ait pu être soigneusement évitée). Un grand merci à C. Simpson pour nous avoir expliqué comment le théorème 0.3 découlait du théorème 0.2. Nous remercions enfin J. Lurie pour sa remarque sur la non représentabilité du champ des dg-catégories saturées, et C. Voisin pour ses commentaires.

Conventions et notations: Nous notons CAlg la catégorie des anneaux commutatifs. Pour k ∈ CAlg, nous notons k − CAlg celle des k-algèbres commutatives. Lorsque nous con-sidérerons des faisceaux ou bien des champs, la catégorie Af f des schémas affines sera munie de la topologie étale. Le produit fibré homotopique de préchamps, aussi appelé 2-produit fibré, sera noté − ×h

−−. Enfin, on renvoie `a [Ke, To1, To2, To-Va] pour des rappels sur le ”monde

dégé” (dg-algèbres, dg-catégories, dg-modules, dg-modules parfaits . . . ).

1 Dg-cat´

egories satur´

ees et connexes

Dans ce paragraphe nous rappellerons brièvement les notions de dg-catégories propres, lisses, triangulées et saturées. On renvoie à [Ke, To-Va] pour des définitions plus détaillées.

Fixons un anneau commutatif de base k. Une dg-catégorie (sur k) est une catégorie enrichie dans la catégorie mono¨ıdale des complexes (non bornés) de k-modules. À une telle dg-catégorie T on associe une catégorie homotopique [T ], dont les objets sont les mêmes que ceux de T et dont les ensembles de morphismes sont les H0 des complexes de morphismes de T . Il existe une notion naturelle de morphisme de dg-catégories qui est celle de foncteur enrichi. Un tel foncteur, T −→ T0, est une quasi-équivalence s’il induit des quasi-isomorphismes au niveau des complexes de morphismes et s’il induit un foncteur essentiellement surjectif [T ] −→ [T0].

(6)

On s’intéressera particulièrement à la catégorie homotopique des dg-catégories (au-dessus de k), notée Ho(k − dg − cat), obtenu en localisant celle des dg-catégories le long des quasi-équivalences (voir [Tab] pour une justification de l’existence raisonable d’une telle localisation).

Pour une dg-catégorie T , on dispose d’une catégorie de Top-dg-modules Top− M od, et de sa catégorie homotopique D(Top_{) := Ho(T}op_{− M od). La catégorie D(T}op_{) est naturellement}

munie d’une structure triangul´ee. Le plongement de Yoneda enrichi permet de construire un foncteur pleinement fid`ele

[T ] −→ D(Top).

Nous dirons alors que T est triangul´ee si l’image essentielle de ce foncteur consiste en la sous-cat´egorie D(Top)c des objets compacts dans D(Top).

Nous dirons qu’une dg-catégorie T est compactement engendrée s’il existe une dg-algèbre B sur k, et une équivalence de catégories triangulée D(Top_{) ' D(B). De mani`}_{ere ´}_{equivalente, T}

est compactement engendrée si la catégorie triangulée D(Top) possède un générateur compact. Nous dirons que T est localement propre si pour toute paire d’objets (x, y) dans T , le complexe T (x, y) est un complexe parfait de k-modules. Nous dirons alors que T est propre si elle est compactement engendrée et localement propre. De manière équivalente T est propre si elle est Morita équivalente (au sens dérivée) à une dg-algèbre B dont le complexe sous-jacent est un complexe parfait de k-modules.

Pour deux dg-catégories T et T0 on peut définir leur produit tensoriel T ⊗ T0 (sur k), dont l’ensemble d’objets est le produit des ensembles d’objets de T et T0, et dont les complexes de morphismes sont les produits tensoriels des complexes de morphismes de T et T0. Cette construction peut se dériver à gauche pour donner un produit tensoriel dérivé T ⊗L_T0_{. Ce}

produit tensoriel dérivé munit Ho(k − dg − cat) d’une structure mono¨ıdale symétrique que l’on montre être fermée (voir [To1]).

Une dg-cat´egorie T d´efinit un T ⊗ Top-module, qui envoie une paire d’objets (x, y) sur le complexe T (y, x), et donc un objet dans D(T ⊗L_Top_{). Nous dirons que T est lisse si l’objet T}

est compact dans D(T ⊗L_Top_).

Nous pouvons enfin donner la définition de dg-catégorie saturée.

Définition 1.1 Une dg-catégorie T au-dessus de k est saturée, si elle est propre, lisse et trian-gulée.

Pour tout morphisme d’anneaux commutatifs k −→ k0 il existe un foncteur de changement de bases

− ⊗L k k

0_{: Ho(k − dg − cat) −→ Ho(k}0_{− dg − cat),}

qui est adjoint à gauche du foncteur d’oubli. On remarque alors que les dg-catégories propres et lisses sont stables par changement de bases. Les dg-catégories triangulées, et donc saturées, ne le sont pas. Cependant, le foncteur d’inclusion Ho(k − dg − cattr) ,→ Ho(k − dg − cat) des dg-catégories triangulées dans les dg-catégories possède un adjoint à gauche T 7→ bTpe(voir [To1,

§7]). On peut donc définir un foncteur de changement de bases pour les dg-catégories triangulées par

Ho(k − dg − cattr) −→ Ho(k0− dg − cattr₎

T 7−→ _{(T ⊗}\L

(7)

Ce dernier changement de bases préserve alors les dg-catégories saturées (on utilisera ici les résultats de [To-Va, Lem. 2.6] qui affirment qu’être propre et lisse est invariant par la construc-tion T 7→ bTpe).

Pour terminer signalons que la sous-catégorie pleine Ho(k − dg − algsat) ⊂ Ho(k − dg − cat), formée des dg-catégories saturées, possède la description suivante. On considère les dg-algèbres A sur k qui sont propres et lisses (i.e. parfaites comme k-dg-modules et comme A ⊗L _Aop

-dg-module). Pour deux telles dg-algèbres A et B on note M or(A, B) l’ensemble des classes d’isomorphisme d’objets compacts dans la catégorie triangulée D(A ⊗L_Bop_{). Pour trois}

dg-alg`ebres propres et lisses A, B et C on dispose d’un morphisme de composition M or(A, B) × M or(B, C) −→ M or(A, C),

qui `a M ∈ D(A ⊗L_Bop_{) et N ∈ D(B ⊗}L_Cop_{) associe}

M ⊗L

BN ∈ D(A ⊗LCop).

Ceci fait des dg-algèbres propres et lisses une catégorie noté Ho(k − dg − algmorpl ). Les théorèmes

de [To1] montrent alors qu’il existe une ´equivalence de cat´egories Ho(k − dg − alg_morpl ) ' Ho(k − dg − catsat).

Le foncteur qui induit cette équivalence envoie une dg-algèbre propre et lisse A sur la dg-catégorie b

Ape, des Aop-dg-modules compacts.

2 Le pr´

echamp DGC

c_sat

Soient k un anneau commutatif et T ∈ Ho(k − dg − cat) une dg-cat´egorie. On d´efinit la cohomologie de Hochschild de T par la formule suivante (voir [To1, §8.1])

HH_ki(T ) := Exti_{T ⊗}L kTop

(T, T ),

où les groupes Exti sont calculés dans la catégorie triangulée D(T ⊗L

k Top). Comme il se doit

HH_k∗(T ) est munie d’une structure naturelle de k-alg`ebre gradu´ee. On dispose donc d’un mor-phisme naturel k −→ HH0(T ).

Notons au passage que si A est une dg-alg`ebre et T := bApe est sa dg-cat´egorie des

A-dg-modules compacts, alors HH∗(T ) est naturellement isomorphe à HH∗(A) défini à l’aide du complexe de Hochschild usuel (voir par exemple [Ke]).

D´efinition 2.1 Nous dirons qu’une k-dg-cat´egorie T est connexe si pour tout morphisme d’an-neaux commutatifs k −→ k0 les deux conditions suivantes sont satisfaites

1.

HH_ki0(T ⊗L_k k0) ' 0 ∀ i < 0.

2. Le morphisme naturel

k0 −→ HH_k00(T ⊗L_kk0)

(8)

Pour tout anneau commutatif k ∈ CAlg notons DGCc_sat(k) le groupo¨ıde des dg-cat´egories satur´ees et connexes dans Ho(k − dg − cat). Pour un morphisme k → k0 dans CAlg on a vu que l’on disposait de foncteur de changement de bases((−) ⊗\L

kk0)pequi pr´eservaient les dg-cat´egories

satur´ees, et donc de foncteurs naturels \ ((−) ⊗L

k k0)pe : DGC c

sat(k) −→ DGCcsat(k0).

Ces changements de bases préservent les dg-catégories saturées et connexes, et on a donc défini un préchamp DGCc_sat sur le site des schémas affines.

Définition 2.2 Le préchamp des dg-catégories saturées et connexes est le préchamp DGCc_sat défini ci-dessus.

Il se trouve que le préchamp DGCc_sat n’est pas un champ (disons pour la topologie étale). Une première raison est que les préfaisceaux d’isomorphismes entre deux objets ne sont pas des faisceaux. En effet, ces préfaisceaux sont les préfaisceaux des classes d’isomorphismes d’une Gm-gerbe (voir ci-dessous pour plus de détails) et ne sont donc en général pas des faisceaux.

Cela provient en réalité du fait que DGCc_sat a été défini comme le 1-tronqué d’un 2-préchamp dont les 1-préchamps d’isomorphismes sont eux des 1-champs (voir §7 et [To3, §4.3 (6)] pour des remarques sur l’aspect champs supérieurs). Mais de plus, les données de descente ne sont pas effectives dans DGCc_sat, même après que les préfaisceaux d’isomorphismes aient été remplacés par des faisceaux, où même si DGCc_sat est remplacé par le 2-préchamp sus-cité. Cela est dû au fait qu’il existe des formes tordues non triviales de dg-catégories pour la topologie étale.

3 Quasi-repr´

esentabilit´

e de DGC

c_sat

Nous avons défini un préchamp DGCc_sat que nous avons vu ne pas être un champ. Il se trouve que le champ associé à DGCc_sat n’est pas un champ algébrique (voir notre remarque au §8). Nous montrons cependant dans la proposition suivante que son morphisme diagonal est représentable. Proposition 3.1 Pour tout schéma affine X ∈ Af f , et toute paire de morphismes de préchamps s, t : X −→ DGCc_sat, le faisceau a(Iso(s, t)), associé au préfaisceau

Iso(s, t) := DGCc_sat×h (DGCc

sat×DGCcsat)X,

est représentable par un espace algébrique localement de présentation finie (sur X). De plus, l’espace algébrique a(Iso(s, t)) est une réunion dénombrable de sous-espaces algébriques ouverts et de présentation finie (sur X).

Preuve: Soit X = Spec k ∈ Af f , et s, t : X −→ DGCc_satdeux morphismes de préchamps. Les morphismes s et t correspondent à deux objets de DGCc_sat(k), c’est à dire à deux dg-catégories T1

et T2 saturées et connexes. Le préfaisceaux Iso(s, t) se décrit par le foncteur k − CAlg −→ Ens,

qui envoie une k-alg`ebre commutative k0 sur l’ensemble des isomorphismes T1⊗L_k k0 ' T2⊗L_k k0

dans Ho(k0− dg − cat). D’après les théorèmes de [To1] le préfaisceau Iso(s, t) est isomorphe au préfaisceau qui à k0 ∈ k−CAlg associe l’ensembles des classes d’isomorphismes d’objets compacts et inversibles (pour la composition des morphismes de Morita) dans D(T1⊗L_kT₂op⊗L_k k0).

(9)

On pose T0 := T1 ⊗Lk T op

2 , qui est une k-dg-cat´egorie propre et lisse (mais pas triangul´ee

en général). D’après [To-Va], il existe un (1-)champ algébrique t≤0Msimp_Top

0 , localement de

pr´esentation finie au-dessus de Spec k, qui `a k0 ∈ A − CAlg associe le groupo¨ıde des objets compacts E ∈ D(T0⊗Lk k0) tels que Exti(E, E) = 0 pour i < 0 et Ext0(E, E) = k0. De plus, ce

champ alg´ebrique est une Gm-gerbe au-dessus de son espace de modules M := π0(t≤0Msimp_Top 0 ).

En d’autres termes, l’espace algébrique M représente le faisceau associé au préfaisceau qui à k0∈ A−CAlg associe l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets compacts E ∈ D(T0⊗L_kk0)

tels que Exti(E, E) = 0 pour i < 0 et Ext0(E, E) = k0. Lemme 3.2 Avec les notations ci-dessus, si E ∈ D((T1⊗Lk T

op

2 ) ⊗Lkk0) est inversible, alors on

a

Exti(E, E) = 0 ∀ i < 0 Ext0(E, E) = k0.

Preuve: De deux choses l’une: ou bien T1 et T2 deviennent isomorphes dans le groupo¨ıde

DGCc

sat(k0), ou bien elles ne le sont pas. Dans le second cas aucun objet E ∈ D((T1⊗LkT op 2 )⊗Lkk0)

n’est inversible. Supposons alors que l’on soit dans le premier cas. Nous pouvons donc supposer que T1= T2 = T . Soit E ∈ D((T ⊗LkTop) ⊗Lkk

0_{) un objet inversible. En multipliant par l’inverse}

de E, on trouve une auto-´equivalence triangul´ee de D((T ⊗L

kTop) ⊗Lkk0) qui envoie E sur T ⊗Lkk0.

On a donc

Exti(E, E) ' Exti(T ⊗L

kk0, T ⊗Lkk0) ' HHi(T ⊗Lkk0).

Ainsi, la condition de connexit´e sur T implique le lemme. 2

Le lemme précédent montre que le faisceau a(Iso(s, t)), associé à Iso(s, t), s’identifie na-turellement au sous-faisceau de M formé des objets inversibles. Or, être inversible est une con-dition ouverte au sens de Zariski (e.g. voir la preuve de [To-Va, Cor. 3.24]), et ainsi a(Iso(s, t)) est bien représentable par un espace algébrique localement de présentation finie sur Spec k.

Finalement, on sait que le champ t≤0Msimp_Top 0

est une réunion dénombrable de sous-champs ou-verts et de présentation finie sur Spec k (voir [To-Va, §3.3]). Comme l’inclusion a(Iso(s, t)) −→ M est une immersion ouverte on en déduit aisément que a(Iso(s, t)) est encore une réunion dénombrable de sous-espaces algébriques ouverts et de présentation finie sur Spec k. 2

Corollaire 3.3 Pour tout sch´emas affines X, Y ∈ Af f , et tout morphismes s : X −→ DGCc_sat t : Y −→ DGCc_sat,

le faisceau a(Iso(s, t)), associ´e au pr´efaisceau

Iso(s, t) := X ×hDGCc satY,

est représentable par un espace algébrique localement de type fini (sur X × Y ). De plus, l’espace algébrique a(Iso(s, t)) est une réunion dénombrable de sous-espaces algébriques ouverts et de présentation finie (sur X × Y ).

(10)

4 Application des p´

eriodes

Notons VARc_smpr le champ qui à k ∈ CAlg associe le groupo¨ıde des schémas X −→ Spec k, propres, lisses et à fibres géométriquement connexes. Pour X −→ Spec k un objet de VARc_smpr on peut considérer sa dg-catégorie (sur k) des complexes parfaits Lpe(X), qui est un dg-modèle

`

a la catégorie triangulée Dparf(X) (i.e. il existe une équivalence triangulée naturelle [Lpe(X)] '

Dparf(X), voir [To1, §8.3]). On montre de plus que Lpe(X) est satur´ee (voir [To-Va, Lem. 3.27]).

On montre aussi que Lpe(X) est connexe car on a

\

Lpe(X) ⊗L_k k0_pe' Lpe(X ⊗kk0)

HHi(Lpe(X)) ' Exti(∆X, ∆X),

o`u ∆X est le faisceau structural de la diagonale et o`u le groupe Ext est pris dans Dparf(X ×kX).

On d´efinit ainsi un morphisme de pr´echamps

Π : VARc_smpr −→ DGCc_sat.

Définition 4.1 Le morphisme de champs Π défini ci-dessus est appelé application des périodes.

5 Un ´

enonc´

e de type Torelli infinit´

esimal

Soit K un corps algébriquement clos, F un préchamp et x ∈ F (K) un point. On rappelle que le groupo¨ıde tangent de F en x, noté TxF est défini comme la fibre homotopique du morphisme

naturel F (K[]) −→ F (K) prise au point x. En d’autres termes TxF := F (K[]) ×h_{F (K)}{x}.

L’ensemble des classes d’isomorphismes du groupo¨ıde TxF sera appel´e l’espace tangent de F en

x et sera not´e

T_x0F := π0(TxF ).

L’espace tangent T_x0F est en général un ensemble pointé, dont le point de base sera noté 0 et correspond à l’image de x par le morphisme naturel F (K) −→ F (K[]).

La proposition suivante affirme que l’application des périodes Π satisfait une propriété de type Torelli infinitésimal.

Proposition 5.1 Soit K un corps alg´ebriquement clos et X ∈ VARc_smpr(K) d’image Π(X) ∈ DGCc

sat(K). Alors le morphisme induit

T Π : T_X0VARc_smpr −→ T_Π(X)0 DGCc_sat est tel que

(11)

Preuve: Soit u ∈ T_X0VARc

smpr, correspondant à une déformation infinitésimale (X0, α) de

X. Dans cette notation X0 −→ Spec K[] est un sch´ema propre et lisse et α : X −→ X0 est un morphisme de K[]-sch´emas induisant un isomorphisme α0 : X ' X0 ⊗K[]K. Son image par

T Π est la déformation infinitésimale (Lpe(X0), γ(α)) de Lpe(X), où γ(α) ∈ D(X ×K[]X0) est le

faisceau structural du graphe du morphisme α, consid´er´e comme un isomorphisme γ(α) : Lpe(X) '(Lpe(X\0) ⊗K[]K)pe

dans Ho(K − dg − cat) (voir [To1, Thm. 8.15]). Supposons que T Π(X, α) = 0. En utilisant [To1, Thm. 8.15] on voit que cela implique qu’il existe un objet

E ∈ Dparf(X0×KX) ' Dparf(X0×K[](X ⊗KK[])),

satisfaisant aux deux conditions suivantes.

• La transformation de Fourier-Mukai associ´ee `a E

φE : D(X0) −→ D(X ⊗KK[])

est une ´equivalence de cat´egories.

• Il existe un isomorphisme dans D((X0⊗_K[]K) ×KX)

E ⊗L

K[]K ' γ(α −1 0 ),

o`u γ(α−1₀ ) est le faisceau structural du graphe de l’isomorphisme α−1₀ (i.e. le transpos´e de γ(α0)).

On commence par remarquer que la seconde condition implique que E est un faisceau coh´erent sur X0 ×_K X, plat sur X0. En effet, comme la question est locale sur X0 ×_K X, cela d´ecoule du lemme suivant.

Lemme 5.2 Soit A un anneau commutatif et I ⊂ A un idéal de carré nul. Soit E ∈ Db(A) un complexe borné de A-modules. On suppose que le complexe E ⊗L

AA/I est cohomologiquement

concentr´e en degr´e 0, et de plus que H0_{(E ⊗}L

AA/I) est un A/I-module plat. Alors, E est

cohomologiquement concentr´e en degr´e 0 et de plus H0(E) est un A-module plat.

Preuve du lemme: Le lemme de Nakayama implique facilement que l’on a Hi(E) = 0 pour tout i < 0. Montrons que pour tout A-module N et tout i < 0, on a Hi_{(E ⊗}L

AN ) = 0. Comme

tout A-module N s’ins`ere dans une suite exacte

0 //IN //N //N/IN //0,

on voit qu’il nous suffit de montrer cette assertion pour des A-modules N qui sont des A/I-modules. Mais alors, on a

E ⊗L

AN ' (E ⊗LAA/I) ⊗LA/IN.

Par hypoth`ese sur E on trouve donc E ⊗L

(12)

Ceci implique bien que Hi(E ⊗L

AN ) = 0 pour tout i < 0 et tout N .

Lorsque N = A on trouve que E est concentr´e en degr´e 0. De plus, pour tout A-module N on a alors

Hi(E ⊗L

AN ) ' T orA−i(H0(E), N ) = 0 ∀ i < 0.

Ceci implique que H0(E) est plat sur A. 2

Comme nous l’avons dit plus haut, le lemme ci-dessus implique que E est un faisceau coh´erent sur X0×_K X, plat sur X0. De plus, pour tout point y ∈ X0, le faisceau coh´erent E restreint `

a {y} ×KX := Spec k(y) ×K X est isomorphe au faisceau gratte-ciel en (y, α−10 (y)). On peut

donc repr´esenter E par un morphisme de K-champs

E : X0 −→ Coh1(X) ' X ×KBGm,

o`u Coh1(X) est le champ des faisceaux coh´erents de longeur 1 sur X. Ce morphisme est tel qu’il existe un isomorphisme naturel entre le morphisme induit

E ⊗_K[]K : X0⊗_K[]K −→ (X ×KBGm) ⊗K[]K ' X ×KBGm, et le morphisme X0⊗_K[]K α −1 0 // X id×p//X ×KBGm,

o`u p est le Gm-torseur trivial sur X. La seconde composante du morphisme E induit un

mor-phisme de K-champs

X0 −→ BGm.

Ce dernier morphisme définit alors un fibré en droite sur X0qui est une déformation infinitésimale de OX0, et dont l’image réciproque sur X0×_KX sera notée L. On considère alors F := L−1⊗E ∈

D(X0×KX). Cet objet F est un faisceau coh´erent sur X0×KX, et par construction il existe un

morphisme de K-schémas f : X0 −→ X, et un isomorphisme de faisceaux cohérents F ' γ(f ), où γ(f ) est le graphe du morphisme f . Le morphisme f est alors tel que

f ⊗K[]K = α−10 : X 0_⊗

K[]K ' X,

car ces deux morphismes poss`edent des graphes dont les faisceaux structuraux sont isomorphes sur (X0⊗_K[]K) ×KX. Ceci montre que la d´eformation (X0, α) est triviale. 2

6 Lieu `

a dg-cat´

egorie fix´

ee des familles miniverselles

Le théorème qui suit est le résultat principal de ce travail. Rappelons qu’un morphisme propre et lisse de schémas X −→ S est une famille miniverselle, si pour tout point s ∈ S, le morphisme de Kodaira-Spencer

TsS −→ H1(Xs, TXs/k(s))

(13)

Théorème 6.1 Soit X −→ S une famille miniverselle de schémas propres, lisses et géom´ etri-quement connexes, avec S un schéma quasi-compact. Soit K un corps algébriquement clos et T une dg-catégorie sur K. Soit S(T ) le sous-ensemble de S(K) des points Spec K −→ S tels que Lpe(X ×SSpec K) soit isomorphe dans Ho(K − dg − cat) à T . Alors S(T ) est un ensemble au

plus d´enombrable.

Preuve: Le morphisme X −→ S d´efinit un morphisme de champs S −→ VARc_smpr,

et donc en composant avec Π un morphisme de préchamps S −→ DGCc_sat. La dg-catégorie T définit un morphisme de préchamps

t : Spec K −→ DGCc_sat.

Soit T ⊂ DGCc_sat le sous-préchamp plein qui est l’image essentielle (au sens des préchamps) du morphisme t. Le préchamp T est naturellement muni d’un morphisme T −→ Spec K (i.e. est un K-préchamp). On forme alors le diagramme homotopiquement cartésien de préchamps suivant

S p //DGCcsat

F

OO

//_{T .}

OO

Soit Z = a(F ) le faisceau associé à F (pour la topologie étale). Le morphisme F −→ S se factorise par Z −→ S, et l’image de l’application

F (K) ' Z(K) −→ S(K) est par construction le sous-ensemble S(T ).

Lemme 6.2 Le faisceau Z est représentable par un espace algébrique localement de présentation finie sur K. De plus, cet espace algébrique est recouvert (au sens de la topologie étale) par un nombre dénombrable de schémas affines.

Preuve du lemme 6.2: On considère le diagramme homotopiquement cartésien suivant de préchamps S p //DGCcsat F OO //_T OO F0 OO //_{Spec K.} OO

(14)

Soit G le préfaisceau en groupes des automorphismes du point t. On a alors une équivalence de préchamps T = BG. Ainsi, on peut écrire le préfaisceau F comme un quotient F0/G, avec G qui opère sans points fixes sur F0. En passant au faisceaux associés, on trouve que Z est isomorphe au faisceau quotient de a(F0) par a(G), avec a(G) qui opère toujours librement sur a(F0). Or, d’après la proposition 3.1 a(F0) est un espace algébrique localement de présentation et a(G) est un groupe algébrique. Ainsi, le faisceau quotient Z = a(F0/G) est bien un espace algébrique localement de présentation finie. Enfin, comme a(F0) est une réunion dénombrable de sous-espaces ouverts de type fini sur K, on voit qu’il est recouvert par un nombre dénombrable de schémas affines. Comme le morphisme quotient a(F0) −→ Z est un épimorphisme, cela implique que Z est lui-même recouvert par un nombre dénombrable de schémas affines. 2

Lemme 6.3 Le K-espace algébrique Z est isomorphe à un K-schéma de la forme `

ASpec K

avec A un ensemble au plus d´enombrable.

Preuve du lemme 6.3: Soit x ∈ F (K) un K-point. Sa projection s sur S est telle que Lpe(Xs) ' T . L’espace tangent de F en x s’inscrit dans un diagramme homotopiquement

cart´esien de groupo¨ıdes

TsS //TΠ(Xs)DGC c sat TxF // OO T∗T . OO

Comme T est un sous-pr´echamp plein de DGCc_sat, le morphisme T∗T −→ TTDGCcsat est

pleine-ment fid`ele. Ceci montre que TxF −→ TsS est pleinement fid`ele, et donc que le diagramme

induit sur les espaces tangents

TsS T p _// T0 Π(Xs)DGC c sat TxF // OO T∗0T , OO

est un diagramme cartésien d’ensembles pointés. Or, on a clairement T∗0T ' 0 car T ne possède

qu’un unique objet. Ainsi, TxF s’identifie `a T p−1(0). Or, le morphisme T p se factorise en

TsS −→ TX0sVAR c smpr ' H1(Xs, TXs/k(s)) −→ T 0 Π(Xs)DGC c sat.

Le premier de ces morphismes est injectif par hypoth`ese. Ainsi TxF = T p−1(0) = {0} d’apr`es

la proposition 5.1.

Nous venons de voir que TxF = 0, ce qui implique que l’espace alg´ebrique Z est non-ramifi´e

sur Spec K (on remarquera que TxF ' TxZ car K est alg´ebriquement clos). Ainsi, on trouve

que Z est isomorphe `a un K-sch´ema de la forme `

ASpec K. Enfin, la seconde partie du lemme

6.2 implique que A est au plus d´enombrable. 2

Le lemme 6.3 implique que S(T ), qui est l’image de Z(K) dans S(K), est un ensemble au

(15)

Corollaire 6.4 Soit X −→ S une famille miniverselle de schémas projectifs, lisses et géom´ etri-quement connexes, avec S un schéma de type fini sur un corps k algébriquement clos. Soit D une catégorie triangulée k-linéaire, et S(D) le sous-ensemble de S(k) des points s tels que D_cohb (Xs)

soit équivalente à D (comme catégorie triangulée k-linéaire). Alors S(D) est un ensemble au plus dénombrable.

Preuve: D’après [Or], deux variétés lisses et projectives complexes X et X0 sont telles que Db_coh(X) et Db_coh(X0) sont équivalentes (comme catégories triangulées), si et seulement si les deux dg-catégories Lpe(X) et Lpe(X0) sont quasi-équivalentes. 2

7 Le cas des vari´

et´

es complexes

Dans cette section nous d´emontrerons la cons´equence suivante du corollaire 6.4.

Théorème 7.1 Soit D une catégorie triangulée C-linéaire. Alors, l’ensemble des classes d’iso-morphismes de variétés complexes lisses, projectives et connexes X telles que Db_coh(X) soit ´

equivalente (comme catégorie triangulée C-linéaire) à D est au plus dénombrable.

Preuve: Il s’agit de construire un nombre dénombrables de familles mini-verselles {Xα −→ Sα} dont les fibres donnent toutes les variétés complexes lisses, projectives et connexes, puis d’appliquer le corollaire 6.4. Pour cela nous dirons qu’un ensemble de familles lisses, projectives et connexes {Xα −→ Sα_{}, avec S}α _{des sch´}_{emas de type fini sur C, est dominant si pour toute}

vari´et´e lisse, projective et connexe Y sur C, il existe α et s ∈ Sα(C) tels que Y soit isomorphe `

a Xα s.

Lemme 7.2 Il existe un ensemble dominant de familles lisses, projectives et connexes {Xα_−→

Sα}α∈A avec A un ensemble d´enombrable.

Preuve du lemme 7.2: Soit Hn le schéma de Hilbert de Pn_C. Ce schéma est une réunion

disjointe dénombrable de variétés projectives. Soit H_nli le sous-schéma ouvert formé des sous-schémas de Pn

C qui sont lisses et connexes sur C. Le sch´ema H li

n est lui aussi une r´eunion

disjointe d´enombrable de sch´emas de type fini sur C, que nous noterons Hn,mli . De plus, la

famille universelle

Zn,m⊂ Hn,mli × PnC

induit un morphisme lisse, projectif et connexe Zn,m−→ Hn,mli . Par construction l’ensemble de

familles

{Zn,m −→ Hn,mli }n,m

est dominant et d´enombrable. 2

Lemme 7.3 Soit p : X −→ S un morphisme lisse, projectif et connexe avec S un sch´ema de type fini sur C. Alors il existe un ensemble de familles mini-verselles {Xα−→ Sα_}

α∈A, avec A

un ensemble d´enombrable et tel que pour tout s ∈ S(C) il existe α et t ∈ Sα(C) tels que Xs et

(16)

Preuve du lemme 7.3: En stratifiant S on peut supposer que les propri´et´es suivantes sont satisfaites.

• Le sch´ema S est affine, lisse et connexe. • Le faisceau coh´erent R1_p

∗(TX/S) est un fibr´e vectoriel, et sa formation commute aux

changements de bases sur S. • Le morphisme de Kodaira-Spencer

Θ : TS−→ R1p∗(TX/S)

poss`ede un noyau K et un conoyau C qui sont des fibr´es vectoriels sur S.

Soient p ∈ S(C) et u ∈ K(S) une section globale qui ne s’annule pas en p. Soit p ∈ S1 ⊂ S

un sous-sch´ema de codimension 1 qui soit lisse en p et tel que u(p) /∈ T_S₁_,p. Par construction, il existe un ouvert de Zariski p ∈ S₁0 ⊂ S₁ qui est lisse et tel que pour tout s ∈ S₁0(C) le noyau de l’application de Kodaira-Spencer

TS1,s −→ H 1_(X

s, TXs)

soit de dimension r − 1, o`u r est le rang de K.

Le champ de vecteurs u d´efinit une action locale du groupe additif C f : U × W −→ San,

o`u U est un disque ouvert de C et W est un voisinage ouvert de p dans San. Notons W1 =

W ∩ S₁an, et consid´erons le morphisme induit

g : U × W1 ⊂ U × W −→ San.

Ce morphisme est ´etale en p, car u(p) et TSan

1 ,p engendrent TSan,p. Son image contient donc un

voisinage de p, Vp ⊂ San.

Soit s = g(x, t) un point de Vp, avec (x, t) ∈ U × W1. Par construction, la famille analytique

Xan×SanU × {t} −→ U

est telle que le morphisme de Kodaira-Spencer

TU,u−→ H1(X(u,t), TX(u,t))

est nul pour tout u ∈ U . Comme de plus le rang de H1(X(u,t), TX(u,t)) est ind´ependant de

u, cette famille est analytiquement isotriviale sur U (voir [Ko-Sp]), et comme U est connexe Xan

(u,t) est ainsi isomorphe `a X(0,t)an . Par GAGA on trouve donc que X(u,t) ' Xs est isomorphe `a

X(0,t) ' Xt. Nous avons donc montr´e l’existence du sous-sch´ema S1 ⊂ S, d’un ouvert de Zariski

S0₁⊂ S₁ lisse et contenant p, et d’un voisinage Vpde p dans San, qui v´erifient les deux conditions

suivantes.

(17)

2. Pour tout s ∈ S₁0(C) le noyau de l’application de Kodaira-Spencer TS1,s−→ H

1_(X s, TXs)

est de dimension r − 1.

Quitte `a restreindre Vp on pourra aussi supposer que Vp∩ S1an ⊂ (S10)an.

Restreingons maintenant la famille X sur l’ouvert S₁0 de S1. En renouvelant plusieurs fois la

même construction on démontre que pour tout p ∈ San, il existe un sous-schéma p ∈ Sp ⊂ S, un

ouvert de Zariski S_p0 ⊂ S_plisse et contenant p, et un ouvert p ∈ Vp⊂ Sanavec Vp∩ S1an ⊂ (S10)an,

et qui v´erifient les deux conditions suivantes.

1. Pour tout s ∈ Vp il existe t ∈ (Sp0)an tel que Xs soit isomorphe `a Xt.

2. Pour tout s ∈ S_p0 l’application de Kodaira-Spencer TS0

p,s−→ H 1_(X

s, TXs)

est injective.

Pour terminer, l’espace topologique San _{se plonge comme sous-espace ferm´}_{e dans C}n_{, et est}

donc une réunion dénombrable de sous-espaces compacts (e.g. les traces des boules fermées de rayon entier dans Cn). Ceci implique qu’il existe un ensemble dénombrable de points {pi}i∈I de

San _{tel que les ouverts V}

pi recouvrent S

an_{. L’ensemble de familles}

{X ×_SS_p0_i −→ S_p0

i}i∈I

v´erifie alors la conclusion du lemme. 2

Lemme 7.4 Il existe un ensemble dominant de familles lisses, projectives et connexes {Xα_−→

Sα}α∈Aavec A un ensemble d´enombrable, et tel que chaque famille Xα−→ Sα soit miniverselle.

Preuve du lemme 7.4: C’est une conséquence immédiate des lemmes 7.2 et 7.3. 2 Le théorème 7.1 découle maintenant du lemme 7.4 et du corollaire 6.4. 2

8 Remarques et compl´

ements

Nous terminerons ce travail par quelques remarques et compléments concernant les résultats présentés ainsi que les méthodes utilisées pour les démontrer.

(18)

1. Comme nous l’avons mentionné lors de l’introduction, la conjecture de Kawamata 0.1 implique le théorème 6.1. En effet, si X −→ S est une famille miniverselle de schémas propres, lisses et connexes, et si X0 est un schéma propre et lisse sur un corps K, alors le

sous-ensemble S(X0) ⊂ S(K), form´e des points s tels que Xssoit isomorphe `a X0, est (au

plus) dénombrable (cela montre bien que le conjecture 0.1 implique le théorème 6.1). Ce fait se démontre de la même fa¸con que le théorème 6.1. On commence par considérer le morphisme S −→ VARc_smpr, et on forme le carré homotopiquement cartésien suivant

S //VARcsmpr

F //

OO

X0,

OO

o`u X0 est le sous-champ plein de VARcsmpr qui est l’image du morphisme X0 : Spec K −→

VARc_smpr. L’existence du schéma de Hilbert implique alors que F est un espace algébrique localement de type fini sur K. De plus, les schémas de Hilbert étant des réunions dénombrables de sous-espaces de type fini, on en déduit que F est recouvert par un nombre dénombrable de schémas affines. Enfin, la famille X −→ S étant miniverselle on voit que F −→ Spec K est non-ramifié, et donc de la forme`

ASpec K pour A un ensemble d´enombrable. Ainsi,

S(X0), qui est l’image de F (K) −→ S(K), est (au plus) d´enombrable.

2. Le préchamp DGCc_sat possède un champ associé ^DGCc_sat. La proposition 3.1 montre que la diagonale de ce champ est représentable. Cependant, il semble que le champ ^DGCc

sat ne

soit pas un champ algébrique (ainsi, la réponse à la question [To3, Q. 4.5] semble négative). En effet, l’existence de déformations formelles de schémas propres et lisses qui ne sont pas algébrisables implique probablement l’existence de déformations formelles de dg-catégories saturées qui ne sont pas algébrisables (à traver la construction Lpe(−)). Cela semble lié

au fait qu’un schéma (propre et lisse) formel dont la catégorie dérivée est saturée est en fait algébrisable, bien que nous ne savons pas si ce fait est toujours vrai (voir cependant [Bo-VdB] pour un énoncé du même ordre dans le cadre analytique).

Le champ ^DGCc_sat se comporte en réalité de fa¸con tout à fait similaire à VARc_smpr. Il est bien connu qu’une fa¸con de corriger le fait que VARc_smpr ne soit pas un champ algébrique est de considérer un champ de variétés polarisées. De même, il semble que pour obtenir un champ algébrique il faille considérer un champ de dg-catégories saturées munies de structures additionelles de type polarisation. Une piste possible serait de regarder le champ des dg-catégories saturées munies de structure de stabilité à la Bridgeland. Définir une version de ^DGCc_sat qui soit un champ algébrique nous semble dans tous les cas une question particulièrement intéressante.

3. Pour terminer, signalons aussi l’existence d’un ”champ” classifiant les dg-catégories saturées qui ne sont pas forcément connexes. L’existence de groupes de cohomologie de Hochschild négatifs non triviaux implique que ce ”champ” est en réalité un champ supérieur (voir [To3, §4.3 (6)], comme précédemment, ce champ supérieur n’est probablement pas algébrique). Ce champ possède aussi une version ”dérivée”, i.e. une version qui soit un D−-champ au

(19)

sens de [HAGII]. On s’attend à ce que le complexe tangent de ce champ pris en une dg-catégorie T soit HH(T )[2], le complexe de Hochschild décalé de 2. En particulier, l’espace tangent en T doit être HH2(T ), ce qui semble être confirmé par le travail en cours [Ge-Ke]. L’identification de l’espace tangent de DGCc_sat en T avec HH2(T ) permet aussi de donner une autre preuve de la propriété de Torelli infinitésimal 5.1, tout au moins lorsque l’on se place en caractéristique nulle. En effet, pour T = Lpe(X), avec X −→ Spec K un schéma

propre et lisse, et K de caract´eristique nulle, on a (voir [Ye])

T_T0DGCc_sat ' HH2(T ) ' H2(X, OX) ⊕ H1(X, TX) ⊕ H0(X, ∧2TX).

On voit ainsi que le morphisme

T0VARc_smpr' H1(X, TX) −→ TT0DGCcsat' H2(X, OX) ⊕ H1(X, TX) ⊕ H0(X, ∧2TX)

est un facteur direct.

R´

ef´

erences

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