Chapitre de
Géométrie dans l’espace
Objectifs
Nous allons tenter à travers ce chapitre de nous familiariser avec ce que l’on appelle la dimension 3 : l’espace.
Une des plus grandes difficultés sera de parvenir à « voir » des figures spatiales, alors qu’elles sont tracées sur une feuille (donc un plan), c’est-à-dire en dimension 2.
A ce propos, nous rappellerons quelques règles de perspective cavalière, ainsi que les pièges qu’il faudra éviter.
Les exigences relatives à ce chapitre sont nombreuses : savoir lire sur un plan des figures de l’espace
avoir suffisamment d’imagination, ça peut aider, pour deviner l’intersection, le parallélisme de droites ou de plan.
démontrer, comme d’habitude en géométrie ( -)) ), quelque chose qui vous semble évident, puisqu’on le voit sur la figure !!
D’ailleurs, nombreux sont les exemples où ce que l’on voit, nous induira en erreur.
L’élève curieux peut se demander si on peut aller plus loin dans les dimensions… en effet, durant la scolarité, on ne cesse d’augmenter les espaces d’une dimension : droite, plan puis espace aujourd’hui.
Et bien oui ! On peut définir des espaces de dimension 4, le plus connu étant l’espace-temps, dans lequel la quatrième dimension est le temps. Ils sont couramment utilisés en physique, et même en chimie où on travaille parfois en dimension 5.
Plus question évidemment de représenter de manière simple de telles géométries, d’autant que certains espaces seront même de dimension infinie…
Introduction.
La notion de dimension a été abordée avec celle de repère lors du chapitre « Coordonnées d’un point et d’un vecteur ».
En gros, voilà ce que l’on peut retenir : La dimension 1, la droite.
Un mobile M de la droite ne peut se « promener » que dans une direction (à ne pas confondre avec le sens, il y en a deux).
En effet, si i
est un vecteur directeur de la droite, si O est un point, tout point M du plan peut s’exprimer à l’aide ce seul vecteur i
: OM=xi
où x est appelé abscisse de M dans le repère (O, i
).
La dimension 2, le plan. Un mobile M du plan ne peut se « promener » que dans deux directions.
Non me direz vous ! Il y a une infinité de directions possibles ??
En fait non, par définition même d’un repère du plan
(
O i j, ,)
, tout vecteur vdu plan s’exprime de manière unique à l’aide des deux vecteurs i
et j
. C’est pour cela qu’on parle de dimension 2.
Attention, dans l’espace un plan est souvent représenté à l’aide d’un quadrilatère ou d’un triangle : gardez à l’esprit qu’un plan est infini.
La dimension 3, l’espace.
Pour obtenir un espace de dimension 3, il suffit en gros de prendre un plan et choisir un point hors de ce plan, « au dessus ».
Un mobile M du plan ne pourra alors se « promener » que dans trois directions, les deux du plan, et celle qui se dirige en hauteur.
O M i
O i j
C A
B
Difficulté : il va falloir tracer ou lire des propriétés d’objets de trois dimensions sur un support de deux dimensions (tableau ou feuille).
La perspective cavalière, quelques règles
> des droites sécantes seront représentées par des droites sécantes sur le dessin (mais
attention, des droites sécantes sur le dessin ne sont pas forcément réellement sécantes), même remarque pour le parallélisme et l’alignement des points.
> les arêtes visibles seront représentées en trait continu, les arêtes cachées en pointillé
> tout ce qui est parallèle au plan frontal (celui en face de nous) est représentée grandeur réelle, par contre le reste sera représenté sans conservation des longueurs, mais avec conservation des rapports de longueur.
Voici un cube représenté en perspective cavalière :
Par exemple, sur la figure ci-dessus, les droites (BF) et (DC) semblent sécantes mais en réalité elles ne le sont pas. Le dessin peut donc être trompeur.
Remarquons qu’il existe d’autres types de représentation dans l’espace. Voici par exemple une représentation de cube en perspective avec point de fuite.
I - Vocabulaire
Nous remarquerons un peu plus tard dans le chapitre que 3 points non alignés définissent un unique plan. C’est pour cela que les plans seront parfois notés (ABC) (ou P).
Définitions.
On dira que des points sont coplanaires s’il existe un plan P qui les contient tous.
Deux droites sont dites coplanaires, s’il existe un plan P qui contient les deux droites.
Exemple.
Dans le cube ci-dessus (celui en perspective cavalière),
> les points A,B,C et D sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABC) (par exemple).
> les points A,B,H et G sont coplanaires : ils appartiennent tous au plan (ABH) (par exemple).
> les points A,B,C et G eux, ne sont pas coplanaires : aucun plan ne peut contenir ces 4 points simultanément.
A B
F E
D C
G H
F
Définitions.
On dit que les plans P et P’ sont parallèles s’ils sont confondus ou sans point commun.
La droite d est parallèle au plan P si d est incluse dans P ou si d et P n’ont aucun point commun.
Deux droites de l’espace sont parallèles si elles sont coplanaires au plan P et parallèles dans le plan P.
P // P’ d // P d // d’
Remarque.
Une première erreur qu’il faudra donc éviter est de penser que deux droites non parallèles s’interceptent forcément… Ceci est faux dans l’espace, comme l’illustre l’exemple ci-dessous.
De manière générale, comme dans la définition de parallélisme, on tentera d’utiliser les résultats connus dans le plan en travaillant avec des points coplanaires ou des droites coplanaires, si on le peut.
On pourra par exemple utiliser les théorèmes de Pythagore ou de Thalès, puisque comme nous allons le voir un peu plus loin, 3 points non alignés (ici les sommets d’un triangle) définissent un unique plan. Toutes les propriétés connues du plan pourront alors être appliquées…
Dans l’exercice suivant, les justifications ne seront pas demandées. Il a juste pour objectif de tester votre vision dans l’espace.
Exercice I-1.
ABCDAFGH désigne un cube : les droites (HF) et (EB) ont été tracées.
1. Les points H, F et C sont-ils alignés ? 2. Même question avec E, B et D.
3. La droite (HF) est-elle parallèle à (EB) ? 4. Sont-elles sécantes ?
5. Déterminer l’intersection du plan (EAD) avec la droite (HG).
II – Règles d’incidence
Les propriétés de géométrie de l’espace seront admises (règle). Elles seront la source des raisonnements que nous mènerons en géométrie de l’espace.
Règle 1 : Trois points non alignés définissent un unique plan de l’espace.
Explication : comme dans le plan deux points distincts définissent une unique droite (car ils définissent une seule direction), trois points non alignés permettent de définir deux vecteurs non colinéaires, donc un repère du plan.
Règle 2 : Si A et B sont deux points du plan P, alors la droite (AB) est incluse dans P. Autrement dit, tout point M de (AB) est encore dans P.
Règle 3 : Si deux plans distincts sont sécants, alors leur intersection est une droite.
Attention donc, l’intersection de deux plans ne sera jamais un point.
Faire attention au dessin trompeur qui suit : l’intersection des deux plans semble être un point, mais c’est bien une droite.
III – Positions relatives de droites et de plans
Dans le plan tout était simple : si deux droites étaient non parallèles, elles s’interceptaient en un unique point. Evidemment, dans l’espace, la situation se complique un peu.
Cependant, nous allons tenter de nous ramener à de la géométrie plane, dès que nous le pourrons…
Sur la gauche, il semble que l’intersection des plans (P) et (ABC) soit le point C.
Le dessin est trompeur, comme le montre le dessin à droite à droite, puisque l’intersection de deux plans distincts est forcément une droite (ici (CC’)).
Positions relatives de droites.
Règle : Soit D et D’ deux droites. Trois cas sont possibles :
Soit les droites sont coplanaires : dans ce cas, elles sont parallèles ou sécantes (résultat connu du plan).
Soit les droites sont non coplanaires (aucun plan ne eut contenir les deux simultanément).
Un résultat pratique : deux droites sécantes ou parallèles seront toujours coplanaires (et réciproquement). Souvenez vous en !
Positions relatives de plans.
Règle : Soit P et P’ deux plan. Trois cas sont possibles : Soit les plans sont confondus.
Soit les plans sont parallèles et dans ce cas, ils n’ont aucun point en commun.
Soit ils sont sécants et leur intersection est forcément une droite.
Positions relatives de droites et de plans.
Règle : Soit P un plan et D une droite. Encore trois cas sont possibles.
Soit la droite est incluse dans le plan (cas très particulier de parallélisme).
Soit la droite lui est strictement parallèle, et dans ce cas, ils n’ont aucun point d’intersection.
Soit la droite et le plan sont sécants en un unique point.
D⊂P droite (strictement) parallèle à P D∩P={ }A
Exercices III-1.
Soit P’ un plan, A, B et C trois points non alignés hors de P’.
On suppose que (AB) coupe P’ en C’, que (AC) coupe P’ en B’ et (BC) coupe P’ en A’.
> Montrer que A’, B’ et C’ sont alignés.
> Tracer A’.
Exercices III-2.
Exercices III-3.
ABCD est un tétraèdre, I est un point de [AB] et
J est un point de [AD] tels que (IJ) ne soit pas parallèle à (BD).
Déterminer l'intersection de la droite (IJ) avec le plan (BCD)
Exercices III-4.
Sur la figure ci-contre, déterminer l'intersection des plans (IJK) avec le plan (BCD) et tracer la.
P’
Exercice III-5.
Déterminer, sans justification, la section du prisme ACBEDF par le plan (LIK).
IV – Parallélisme dans l’espace
Règle : Si (P) et (P’) sont deux plans parallèles, alors tout plan (Q) qui coupe (P) coupe aussi (P’), en deux droites d’intersections parallèles.
Ce théorème permet de justifier en partie les méthodes utilisées pour déterminer des sections de solide par des plans (voir exercice 3-2 ou 3-5).
Théorème du toit.
Soit (d) incluse dans (P), (d’) incluse dans (P’).
Si (d) et (d’) sont parallèles, alors la droite d’intersection
(∆)
de (P) et (P’) est parallèle à (d) et (d’).Autre version.
Soit P et P’ deux plans qui s’interceptent en (∆).
Tout plan Q parallèle à (∆), intercepte P et P’ en deux droites parallèles.
Exercice IV-1.
(P) (P’
(Q)
(d) (d’)
(P) (P’)
(d) (d’)
(∆)
Parmi les règles qui pourraient servir cette année, nous avons ces résultats : Règle : Deux plans parallèles à un troisième plan sont parallèles entre eux.
Mais comment démontrer que des plans sont parallèles ??
Théorème :
Soit (d) et (∆) deux droites sécantes de (P), (d’) et (∆’) deux droites sécantes de (P’).
Si (d) et (d’) sont parallèles, et si (∆) et (∆’) sont parallèles, alors les plans (P) et (P’) sont parallèles.
Remarque.
Si une droite (d) est parallèle à une droite (d’), alors (d) est parallèle à tout plan contenant (d’).
Exercice IV-2.
SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un
parallélogramme. On note
∆
la droite d’intersection des plans (SAB) et (SCD).Déterminer
∆
et tracer cette droite.V - Orthogonalité dans l’espace
Quelle est donc la différence entre orthogonale et perpendiculaire ?? Déjà « orthogonal » est un mot qui s’emploiera par exemple pour les vecteurs, contrairement à perpendiculaire, ensuite :
Vocabulaire.
On dit que deux droites sont perpendiculaires si elles sont coplanaires et forment un angle droit (on sait alors qu’elles s’interceptent).
On dit que deux droites sont orthogonales si, « lorsqu’on les plaque sur le même plan » elles sont perpendiculaires.
Cela signifie en fait que leurs directions sont perpendiculaires, mais que les droites peuvent ne pas s’intercepter.
Voici une définition plus propre.
(P)
(d) (∆)
(P’)
(d’) (∆’
(P)
(d)
(d’)
Définition. On dit que deux droites (d) et (∆) sont orthogonales s’il existe une droite (d’) parallèle à (d) et une droite (∆) parallèle à (∆’) qui sont perpendiculaires.
Exemples.
Dans le cube ci-contre, on les droites (EA) et (HG) sont orthogonales (mais pas perpendiculaires puisqu’elles ne se croisent pas).
En effet, (HG) et (EF) ont même direction (elles sont parallèles) et comme (EF) et (EA) sont perpendiculaires, alors les droites (HG) et (EA) sont bien orthogonales.
Définition. Soit une droite (d) qui coupe le plan (P) en O.
On dit que (d) et (P) sont orthogonaux si (d) est perpendiculaire à deux droites de (P) passant par O.
Voici quelques propriétés « naturelles ».
Propriétés.
> Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
> Quand deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l’un est aussi orthogonale à l’autre.
> Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
> Quand deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est aussi orthogonal à l’autre.
(d)
(P)
O (d)
(d’)
(∆) ( ∆ ’
(P)
(d) (d’) (P)
(d)
(P’
Exercice V-1.
P un plan et C un cercle de diamètre [AB] dans P. Soit d la droite orthogonale à P et passant par A, K un point de d et M un point de C, distinct de A et B.
Démontrer que (MB) est (MK) sont perpendiculaires.
Les solides de référence et leur volume
Corrigé des exercices de Géométrie dans l’espace
I - Vocabulaire Corrigé I-1.
1. Non, les points H, F et C ne sont pas alignés : (HF) est sur la face supérieure, et (FC) est sur une face latérale.
2. Ni les points E, B et D (même argument).
3. Non, la droite (HF) n’est pas parallèle à (EB).
4. Elles ne sont pas non plus sécantes : voici donc un exemple de droites qui ne sont ni parallèles, ni sécantes.
5. L’intersection du plan (EAD) avec la droite (HG) est le point H. En effet H est un point de (EAD) et de (HG) donc de l’intersection.
III – Positions relatives de droites et de plans
Dans le plan tout était simple : si deux droites étaient non parallèles, elles s’interceptaient en un unique point. Evidemment, dans l’espace, la situation se complique un peu.
Cependant, nous allons tenter de nous ramener à de la géométrie plane, dès que nous le pourrons…
Corrigé III-1.
Pour montrer que 3 points sont alignés, on montre en général qu’ils sont sur une même droite.
> Les points A, B et C sont non alignés donc ils définissent un plan P.
> La droite (AC) est incluse dans P et comme B’ est sur (AC), le point B’ est dans P.
Mais par hypothèse, B’ est dans P’ : ainsi B’ appartient à P et P’ cad B'∈P∩P'.
> La droite (AB) est incluse dans P et comme C’ est sur (AB), le point C’ est dans P.
Mais par hypothèse, C’ est dans P’ : ainsi C’ appartient à P et P’ cad C'∈P∩P'.
> De la même façon, on prouve que A'∈P∩P'. Mais l’intersection de 2 plans est une droite, donc les points A’, B’ et C’ sont sur cette droite.
Ces points sont bien alignés.
Voici un autre angle de vision du même cube, cela pourra en aider certains.
(FC) et (BD) sont sur deux faces
différentes.
Corrigé III-2.
1a. Le point I appartient à (AE) et comme (AE) est incluse dans (AEJ), I appartient à (AEJ).
1b. Le point J appartient à (BC) et comme (BC) est incluse dans (BCI), J appartient à (BCI).
2. (AEJ) et (BCI) sont deux plans sécants donc ils s’interceptent suivant une droite.
> I appartient à (BCI) et I appartient à (AEJ) [voir 1a] donc
( ) ( )
I∈ BCI ∩ AEJ
.
> J appartient à (AEJ) et J appartient à (BCI) [voir 1b] donc
( ) ( )
J∈ BCI ∩ AEJ
.
Comme ces deux plans s’interceptent suivant une droite, c’est la droite (IJ).
3. Voici la section du cube par le plan (IJH) : non ce n’est pas un quadrilatère, mais un pentagone (5 sommets).
L’idée de construction d’une section est la suivante : [IH] est dans une face donc elle fait partie de la
section.
Menons sa parallèle passant par J : on place alors C’, intersection de cette parallèle avec (GC)
(voir règle de parallélisme plus loin)Comme (JC’) est parallèle à (IH) et passe par J, elle est incluse dans le plan (IHJ).
[JC’] est dans une face, donc c’est une partie de la section.
… et on recommence
Corrigé III-3.
> Les droites (IJ) et (BD) appartient au plan (ABD).
Comme elles sont supposées non parallèles, elles s’interceptent.
Notons K ce point.
K est sur (IJ).
K est dur (BD) donc dans le plan (BCD).
Ainsi (BCD)∩(IJ)=
{ }
K .Corrigé III-4.
> Comme dans l’exercice III-3, les droites (IJ) et (BD) s’interceptent en un point M commun à (ABD) et (IJK).
> De même, les droites (KJ) et (CD) s’interceptent en un point N commun à (ABD) et (IJK).
> Deux plans sont sécants en une droite, donc c’est la droite (MN) puisque chaque point appartient aux deux plans.
C’
Corrigé III-5.
[IK] est sur une face (latérale), donc c’est une partie de la section.
Idem pour [LK] (face du supéieure).
Reste à tracer la parallèle à (LK) passant par I, qui vient intercepter [AB] en un point J (voir théorème de parallélisme plus loin).
On obtient ainsi les dernières parties de la section.
IV – Parallélisme dans l’espace
Corrigé IV-1.
Le parallélisme fait penser au théorème du toit.
(IJ) est incluse dans (IJK) et (BC) est incluse dans (BCD).
Par hypothèse, les droites (IJ) et (BC) sont parallèles donc d’après le théorème du toit, la droite d’intersection de (IJK) et (BCD) est parallèle à (IJ) et (BC).
Comme cette droite est (LK) [par hypothèse], le résultat voulu est obtenu.
Corrigé IV-2.
Les 2 plans ont déjà S en commun donc S appartient à
∆
.Mais ABCD est un parallélogramme donc (AB) parallèle à (CD). Or (AB) est dans (SAB) et (CD) dans (SCD). D’après le théorème du toit, la droite d’intersection des 2 plans sera parallèle à (AB). C’est donc cette parallèle passant par S.
J
J
V - Orthogonalité dans l’espace
