an 07. p63.Asie juin 06.

2 3 4 - 1

- 2 - 3

2

- 1

- 2

0 1

1

x y

an 07. p 63. Asie juin 2006.

PARTIEA

On considère l’équation différentielle (E) : y’ + y = e^−x .

1. Démontrer que la fonction u définie sur IR par u(x) = x e^−x est une solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E₀) : y’ + y = 0

3. Démontrer qu’une fonction v, définie et dérivable sur IR, est solution de (E) si et seulement si v − u est solution de (E0).

4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

PARTIE B.

k étant un nombre réel donné, on note f_k la fonction définie sur IR par f_k(x) = (x + k)e^−x . On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthonormal (O ; i^→ ; j^→).

1. Déterminer les limites de f_k en −∞ et +∞. 2. Calculer fk’(x) pour tout réel x.

3. En déduire le tableau des variations de f_k. PARTIE C.

1. On considère la suite d’intégrales (I_n) définies par I₀ =

⌡ ⌠

⁰

-2e^−x dx et pour tout entier naturel n ≥ 1 par In =

⌡ ⌠

⁰

-2xⁿe^−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I₀.

b. En utilisant une intégration par partie, démontrer l’égalité : c. I_n+1 = (−2)ⁿ⁺¹e² + (n+1)I_n.

d. En déduire les valeurs exactes des intégrales I₁ et I₂. 2. Le graphique ci−après représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction f_k définie à la partie B.

a. A l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant.

b. Soit S l’aire de la partie hachurée (en unités d’aire) ; exprimer S en fonction de I₁ et I₀ et en déduire sa valeur exacte.

Corrigé : PARTIEA

On considère l’équation différentielle (E) : y’ + y = e^−x .

1. Démontrer que la fonction u définie sur IR par u(x) = x e^{−−−−x} est une solution de (E).

Pour montrer que u est solution de (E) il faut montrer que u’(x) + u(x) = e^−x

u est dérivable sur IR comme produit des fonctions x → x et x → e^−x qui sont dérivables sur IR. u’(x) = 1 × e^−x + x × (−1)e^−x = e^−x − x e^−x

donc u’(x) + u(x) = e^−x − x e^−x + x e^−x = e^−x ce qui prouve que u est solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E₀) : y’ + y = 0 y’ + y = 0 _⇔ y’ = −y

cours : Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions, définies sur IR, x → k e^ax , avec k ∈ IR. donc (E₀) a pour solutions les fonctions x → k e^−x avec k ∈ IR.

3. Démontrer qu’une fonction v, définie et dérivable sur IR, est solution de (E) ⇔⇔⇔⇔ v −−−− u est solution de (E₀).

2v − u est solution de (E0) ⇔ (v − u)’ + (v − u) = 0 v − u est solution de (E0) _⇔ (v − u)’ + (v − u) = 0

⇔ v’ − u’ + v − u = 0

⇔ v’ + v = u’ + u

⇔ v’ + v = e^−x d’après 1.

⇔ v est solution de (E). Donc l’équivalence est démontrée.

4. En déduire toutes les solutions de (E).

v est solution de (E) _⇔ v − u est solution de (E₀) d’après 3.

⇔ (v − u)(x) = k e^−x avec k ∈ IR d’après 2.

⇔ v(x) = u(x) + k e^−x avec k ∈ IR

⇔ v(x) = x e^−x + k e^−x avec k ∈ IR d’après 1.

Donc les solutions de (E) sont les fonctions v définies sur IR par v(x) = (x + k)e^−x avec k ∈ IR. 5. Déterminer la fonction f₂, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

f₂ est une des fonctions v trouvées en 4. or f₂(0) = 2 ⇔ (0 + k)e⁻⁰ = 2 ⇔ k = 2

donc f₂ est la fonction définie sur IR par f₂(x) = (x + 2)e^−x . PARTIE B.

k étant un nombre réel donné, on note f_k la fonction définie sur IR par f_k(x) = (x + k)e^−x . On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthonormal (O ; i^→ ; j^→).

1. Déterminer les limites de f_k en −−−−∞∞∞ et +∞∞ ∞∞∞.

f_k est le produit des 2 fonctions : x → x+k et x → e^−x . quand x → −∞ : x + k → −∞

et −x → +∞ donc e^−x → +∞ et par produit, lim

x→-∞ f_k(x) = −∞

quand x → +∞ : x + k → +∞ et −x →−∞ donc e^−x → 0 f_k(x) prend alors la forme indéterminée « ∞× 0 » mais f_k(x) = x

e^x + k

e^x on sait que : lim

x→+∞

e^x

x = +∞ donc lim

x→+∞

x e^x = 0 et lim

x→+∞ e^x = +∞ donc lim

x→+∞

k

e^x = 0 donc par addition : lim

x→+∞ f_k(x) = 0 cette limite nous indique que l’axe des abscisses est asymptote à C_k en +∞.

2. Calculer fk’(x) pour tout réel x.

f_k est dérivable sur IR puisque c’est le produit des fonctions x → x+k et x → e^−x qui sont dérivables sur IR ou : f_k est dérivable sur IR puisque c’est la solution d’une équation différentielle …

D’après la partie A :

f_k est solution de (E) donc f_k’(x) + f_k(x) = e^−x c’est à dire f_k’(x) = − fk(x) + e^−x et donc f_k’(x) = (−x − k + 1)e^−x .

3. En déduire le tableau des variations de f_k.

f_k’(x) = (−x − k + 1)e^−x . Pour tout réel x, e^−x > 0 donc f_k’(x) a le signe de −x − k + 1 donc : pour x < 1 − k, fk’(x) > 0 et donc fk

pour x > 1 −k, f_k’(x) < 0 et donc f_k

pour x = 1 − k, fk’(x) = 0 et f_k(x) = e^k−1 est le maximum de f_k.

x −∞ 1−k +∞

f_k’(x) + 0 − fk(x)

−∞

e^k−1 0

PARTIE C.

1. On considère la suite d’intégrales (I_n) définies par I₀ =

⌡ ⌠

⁰

-2e^−x dx et pour tout entier naturel n ≥ 1 par In =

⌡ ⌠

⁰

-2xⁿe^−x dx.

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I₀.

b. En utilisant une intégration par partie, démontrer l’égalité : I_n+1 = (−2)ⁿ⁺¹e² + (n+1)I_n. c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

a. I₀ =

⌡ ⌠

⁰

-2e^−x dx = [−e^−x ]⁰

-2 = −e⁰+ e²= e² − 1 donc I₀ = e² − 1.

b. I_n+1 =

⌡ ⌠

⁰

-2

xⁿ⁺¹ e^−x dx. on pose _^u(x) = xⁿ⁺¹

v'(x) = e^-x on a alors _^u'(x) = (n+1)xⁿ

v(x) = - e^-x et on sait que

⌡ ⌠

^b

a

u × v’ = [u × v]^b_a −

⌡ ⌠

^b

a

u’× v

donc I_n+1 =

⌡ ⌠

⁰

-2

xⁿ⁺¹ e^−x dx = [−xⁿ⁺¹ e^−x ]⁰ -2 −

⌡ ⌠

⁰

-2−(n+1)xⁿ e^−x dx

= [−xⁿ⁺¹ e^−x ]⁰

-2 + (n+1)

⌡ ⌠

⁰

-2

xⁿ e^−x dx

= [−xⁿ⁺¹ e^−x ]_-2⁰ + (n+1)I_n = (−2)ⁿ⁺¹ e² + (n+1)I_n. donc I_n+1 = (−2)ⁿ⁺¹e² + (n+1)I_n. c. connaissant I_o et la relation établie au b. on peut calculer I₁ puis I₂.

I₁ = (−2)⁰⁺¹e² + (0+1)I₀ = (−2)e² + I0 = −2e² + e² − 1 donc I1 = −e² − 1.

I₂ = (−2)¹⁺¹e² + (1+1)I₁ = 4e² + 2I₁ = 4e² − 2e² − 2 donc I₂ = 2e² − 2

2. Le graphique ci−après représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction f_k définie à la partie B.

a. A l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant.

b. Soit S l’aire de la partie hachurée (en unités d’aire) ; exprimer S en fonction de I₁ et I₀ et en déduire sa valeur exacte.

a. f_k(x) = (x + k)e^−x .

f_k(x) = 0 _⇔ x = −k car e^−x ≠ 0 et Ck coupe l’axe (O ; i^→) en −2 donc k = 2 (ou : fk(0) = k et Ck coupe l’axe (O ; j^→) en 2 donc k = 2) La fonction représentée est f₂ : x → (x+2)e^−x .

b. S est, sur [−2 ; 0] l’aire sous la courbe, donc S =

⌡ ⌠

⁰

-2f₂(x) dx

S =

⌡ ⌠

⁰

-2(x + 2)e^−x dx =

⌡ ⌠

⁰

-2(x e^−x + 2e^-x)dx =

⌡ ⌠

⁰

-2x e^−x dx +

⌡ ⌠

⁰

-22 e^−x dx =

⌡ ⌠

⁰

-2x e^−x dx + 2

⌡ ⌠

⁰

-2 e^−x dx = I1 + 2I0. S = I1 + 2I0 donc S = −e² − 1 + 2e² − 2 = e² − 3 (≈ 4,38)