RÉGLAGE DE LA FRÉQUENCE DANS LES RÉSEAUX ÉLECTRIQUES INTERCONNECTÉS

694 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 5 - NOVEMBRE 1 9 5 6

Réglage de la fréquence

dans les réseaux électriques interconnectés

Frequency control in interconnected electricity networks

PAR E . M E Y E K

I N G . A U X É T A B L I S S E M E N T S N E Y I U M C . l ' M O F . D E B K G U L A T I O N A l / l î . N . S . H . E . f i .

Des questions telles que « Le couplage de deux centrales ou réseaux partiels réglant isolément la fréquence de façon stable est-il stable? » o u

* Quels sont les centrales « mettre sur limi- teur d'ouverture pour obtenir un bon réglage de la fréquence dans un réseau intercon- necté? » ou « Une centrale nouvelle projetée dans un réseau rendra-t-elle le réglage meilleur ou pire/ n'ont pas eu île réponse à V'heure actuelle (sauf dans de rares cas particuliers donnés numériquement). Le but de cet article est justement de fournir la réponse générale à de telles questions.

Dans la présente première partie nous présen- terons la méthode d'étude que nous emploie- rons et nous en donnerons quelques applica- tions élémentaires, mais déjà très intéressantes.

Par la suite nous généraliserons la méthode en éliminant les hypothèses simplificatrices qui ont servi à alléger la présentation de la méthode d'étude et nous étudierons d'une façon systé- matique le réglage de la fréquence dans les réseaux interconnectés.

"When two power stations or partial networks having indépendant stable frequency control are connected together, is the resulting system stable?" or "Which power stations have, to be controlled by the gate-limit devices to ensure a satisfactory frequency control in intercon- nected networks?" or "Will the addition of a new power station make the frequency control more accurate or less accurate?" are questions which up to now have not been answered (except in a few special cases treated numer- ically). This article is intended to give a general answer to such questions.

In this the first instalment, we indicate the method of investigation used and apply it to a few elementary cases which arc nevertheless of great interest. Next we generalize the method by eliminating hypotheses which were, used lo simplify its description and then we make a systematic, study of frequency control in inter- connected networks.

1.

II.

III.

IV.

V.

S O M M A I R E D E L A P R E M I È R E P A R T I E

INTRODUCTION.

D E S C R I P T I O N DE LA MÉTHODE EMPLOYÉE.

DESCRIPTION' DE L'APPLICATION DE LA MÉTHODE AUX RÉSEAUX ÉLECTRIQUES INTERCONNECTÉS.

APPLICATIONS PRATIQUES : a) E x e m p l e n u m é r i q u e ; b) C o u p l a g e de d e u x g é n é r a t e u r s d ' u n t y p e d o n n é ; c) C o u p l a g e de n o m b r e u x g é n é r a t e u r s d u t y p e p r é c é d e n t ; d) Q u a l i t é s d u r é g l a g e d a n s les r é s e a u x d u t y p e é t u d i é p r é c é d e m m e n t ; e) M é t h o d e de la c o u r b e s y m é t r i q u e .

CONCLUSIONS D E LA PREMIÈRE PARTIE.

P R E M I E R E P A R T I E

I. — I N T R O D U C T I O N M. F r a n ç o i s CAHEN, D i r e c t e u r A d j o i n t des E t u -

des et R e c h e r c h e s de l ' E l e c t r i c i t é de F r a n c e , a é c r i t d a n s u n r é c e n t r a p p o r t a u C o n g r è s de L o n -

d r e s de l ' U n i o n I n t e r n a t i o n a l e d e s P r o d u c t e u r s et D i s t r i b u t e u r s d ' E n e r g i e E l e c t r i q u e :

« Sur le plan technique, ce problème, (¡7 s'agit de celai « du réglage de la fréquence et des échanges de puissance ») est le plus i m p o r t a n t p a r m i ceux que peut poser la m a r c h e en parallèle des réseaux de deux ou plusieurs p a y s ; la fréquence est en effet la même partout, de sorte qu'une coordination des réglages exécutés dans les différents réseaux est une

nécessité absolue; p a r ailleurs, on doit pouvoir régler les puissances échangées entre ces réseaux suivant des p r o g r a m m e s établis d'un commun accord entre les intéressés. »

N é a n m o i n s , les m é t h o d e s d e r é g l a g e d e l a fré- q u e n c e des r é s e a u x i n t e r c o n n e c t é s et d e s p u i s - s a n c e s d ' é c h a n g e e n t r e ces r é s e a u x n e se b a s e n t j u s q u ' à p r é s e n t q u e s u r p e u d e c o n n a i s s a n c e s t h é o r i q u e s et (à t o r t ou à r a i s o n ! s u r d e s n o t i o n s m i s e s e n é v i d e n c e p a r la t h é o r i e d u r é g l a g e de la f r é q u e n c e des r é s e a u x n e c o n t e n a n t q u ' u n seul g é n é r a t e u r d ' é l e c t r i c i t é ( c o u r a m m e n t a p p e -

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956047

NOVEMBRE 1 9 5 6 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 6 9 5

lés : r é s e a u x s é p a r é s o u i s o l é s ) . Cette t h é o r i e a en effet a t t e i n t à l ' h e u r e a c t u e l l e u n d e g r é d e p e r f e c - t i o n t r è s élevé, a l o r s q u ' i l n ' e x i s t e a u c u n e t h é o r i e a n a l o g u e c o n c e r n a n t l e s r é s e a u x i n t e r c o n n e c t é s .

L e b u t d u p r é s e n t a r t i c l e e s t d ' e x p o s e r u n e t h é o r i e d u r é g l a g e d e l a f r é q u e n c e d a n s c e s r é - s e a u x i n t e r c o n n e c t é s .

L a p r e m i è r e p a r t i e d e c e t a r t i c l e ( p u b l i é c i - a p r è s ) e s t d e s t i n é e à d é c r i r e l e s p r i n c i p e s d e b a s e d e l a m é t h o d e e t à m o n t r e r u n c e r t a i n n o m b r e d ' e x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n s . L e s a u t r e s p a r t i e s c o m p r e n n e n t d e s d é v e l o p p e m e n t s u l t é - r i e u r s e t a u s s i l ' e n s e m b l e d e s j u s t i f i c a t i o n s t h é o - r i q u e s .

II. — D E S C R I P T I O N D E L A M É T H O D E E M P L O Y É E

P o u r d é c r i r e c e t t e m é t h o d e , n o u s c o n s i d é r e - r o n s u n r é s e a u é l e c t r i q u e n e c o n t e n a n t q u ' u n s e u l g é n é r a t e u r d ' é l e c t r i c i t é . Ce c a s n e s e r v i r a évi- d e m m e n t q u e d ' e x e m p l e ; il n e p r é s e n t e p r a t i q u e - m e n t p l u s a u c u n e difficulté t h é o r i q u e à l ' h e u r e a c t u e l l e .

P o u r c o m m e n c e r , n o u s c o n s i d é r e r o n s p l u s p a r - t i c u l i è r e m e n t l a c e n t r a l e g é n é r a t r i c e s c h é m a t i s é e s u r l a figure 1 e t f e r o n s l e s h y p o t h è s e s s u i v a n - t e s , s i m p l i f i a n t l e s c a l c u l s d e c e p a r a g r a p h e d e p r é s e n t a t i o n :

L e n o m b r e a V^m/ 2 g H⁰ e s t n e t t e m e n t s u p é - r i e u r à 1 p o u r q u e l a t h é o r i e d u c o u p d e b é l i e r en m a s s e s o i t a p p l i c a b l e .

FIG. 1

L a t u r b i n e e s t d u t y p e F r a n c i s a y a n t u n « n^s » de l ' o r d r e d e 2 5 0 à 300, p o u r q u e s o n d é b i t soit i n d é p e n d a n t d e Q p o u r u n e p o s i t i o n d o n n é e d u v a n n a g e .

Q : v i t e s s e d e r o t a t i o n d u g r o u p e = ( 2 T : / 6 0 ) 7 I (n : n o m b r e d e t o u r s / m i n u t e ) ; H : c h a r g e s o u s l a q u e l l e d é b i t e l a t u r b i n e ; - "^W ' ^; " •^{n o m m} ' ^{e d e} t o u r s spécifique d ' u n e t u r -

H^r' /⁴ b i n e ;

W : p u i s s a n c e u t i l i s a b l e d e la t u r b i n e ; o : c é l é r i t é d e s o n d e s d e c o u p d e bélier (de

l ' o r d r e d e 1.000 m / s ) ;

V^M. : / i t e s s e m o y e n n e d e l ' e a u d a n s l a c o n - d u i t e f o r c é e p o u r le d é b i t m a x i m u m (de l ' o r d r e d e 3 à 5 m / s ) ;

g='\8l m / s² : a c c é l é r a t i o n d e l a p e s a n t e u r ; H^{f l} : d i u t e n e t t e ( e n v i r o n 95 % d e la c h u t e

b r u t e ) .

L a t h é o r i e d u c o u p d e b é l i e r e n m a s s e e s t e n m o y e n n e a p p l i c a b l e p o u r H^o< 1 0 0 m .

L e s t u r b i n e s r é p o n d a n t à l a c o n d i t i o n c i - d e s - s u s s o n t e n g é n é r a l e m p l o y é e s p o u r d e s c h u t e s d e l ' o r d r e d e 4 0 m à 80 m .

L e s é q u a t i o n s r é g i s s a n t l e s p h é n o m è n e s d e r é - g l a g e d e l a v i t e s s e s o n t a l o r s :

a) V A R I A T I O N D E L'ÉNERGIE CINÉTIQUE D U R O T O R

( a c c é l é r a t i o n d u r o t o r ) :

( 1 / 2 I û²) = W^m — W,.

I : m o m e n t d ' i n e r t i e d u r o t o r d u g r o u p e ; W^m : p u i s s a n c e m o t r i c e , f o u r n i e p a r l ' e a u ;

W^r : p u i s s a n c e r é s i s t a n t e , a b s o r b é e p a r le r é s e a u é l e c t r i q u e .

b) R E L A T I O N ÉTABLIE PAR U N RÉGULATEUR D ' U N TYPE HABITUELLEMENT EMPLOYÉ, m a i s f o r -

t e m e n t s c h é m a t i s é q u a n t à s o n f o n c t i o n - n e m e n t (cette s c h é m a t i s a t i o n e s t à l a b a s e de p r e s q u e t o u t e s l e s é t u d e s t h é o r i q u e s ; n o u s r e v i e n d r o n s p l u s t a r d s u r c e p o i n t ) : d Y⁼. 1 _ Q — Q⁰ _ _1 d / Q — Q⁰\

dt « T^r O⁰ a dt \ û⁰ )

Y : o u v e r t u r e r e l a t i v e d u v a n n a g e d e l a t u r - b i n e ;

Q⁰ : v i t e s s e d e r o t a t i o n c o r r e s p o n d a n t à l a fré- q u e n c e d e c o n s i g n e ;

с : s t a t i s m e t e m p o r a i r e d u r é g u l a t e u r ; T, : t e m p s d e r e l a x a t i o n d u d a s h - p o t d u r é g u -

l a t e u r .

D a n s le c a s d e s r é g u l a t e u r s a c c é l é r o t a c h y m é - t r i q u e s ( é g a l e m e n t f o r t e m e n t s c h é m a t i s é s ) , l a m ê m e r e l a t i o n e s t v a l a b l e ; il c o n v i e n t n é a n m o i n s d e r e m p l a c e r l / ( e T^r) p a r K⁰ e t I/o- p a r K^x.

C) D É B I T A N C E D E LA T U R B I N E :

Q = Q » Y V H Q : d é b i t i n s t a n t a n é ; Qⁿ : d é b i t m a x i m u m .

4

696 L A H O U I L L E B L A N C H E № 5 - NOVEMBRE 1956

d) P U I S S A N C E D É L I V R É E PAR LA TURRINE AU ROTOR D U GROUPE :

W^m = s -⁰Q H

ôî : p o i d s s p é c i f i q u e d e l ' e a u ( = 1.000 k g / m³) ; 7) : r e n d e m e n t .

e) C O U P DE BÉLIER :

dQ 1

H = H⁰

L,

dt Hn

g gs dt

. s o m m e d e s l o n g u e u r s d u t r a j e t d e l ' e a u

* ^{S i} d i v i s é e s p a r les s e c t i o n s de p a s s a g e c o r - r e s p o n d a n t e s .

L e t r a j e t de l ' e a u p e u t c o m p r e n d r e u n o u p l u - s i e u r s t r o n ç o n s de c o n d u i t e f o r c é e de s e c t i o n s d i f f é r e n t e s / la b â c h e de la t u r b i n e , l a t u r b i n e , l ' a s p i r a t e u r et, é v e n t u e l l e m e n t , u n e c o n d u i t e de fuite e n c h a r g e à l ' a v a l d e la t u r b i n e .

L

s —'- : r a p p o r t l o n g u e u r s u r s e c t i o n d ' u n e

s* c o n d u i t e é q u i v a l e n t e d u p o i n t d e v u e d u c o u p d e b é l i e r .

P o u r s i m p l i f i e r les c a l c u l s r e l a t i f s à l ' e x e m p l e d ' i n t r o d u c t i o n , n o u s a d m e t t r o n s en p l u s : a) Q u ' i l e s t licite d e r e m p l a c e r les é q u a t i o n s ci-

d e s s u s p a r d e s é q u a t i o n s « l i n é a i r e s » a p - p r o c h a n t a u m i e u x les é q u a t i o n s v r a i e s p o u r les o s c i l l a t i o n s de faible a m p l i t u d e ( h y p o t h è s e f a i t e d a n s la p l u p a r t d e s é t u - d e s t h é o r i q u e s d e p r e m i è r e a p p r o x i m a - t i o n ) ;

b) Q u e le r e n d e m e n t e s t a p p r o x i m a t i v e m e n t c o n s t a n t d u r a n t les o s c i l l a t i o n s d e r é g l a g e e n v i s a g é e s , ce q u i e s t licite m o y e n n a n t l ' h y p o t h è s e a) et si le p o i n t de f o n c t i o n - n e m e n t e s t a u v o i s i n a g e d u s o m m e t de la c o l l i n e de r e n d e m e n t de la t u r b i n e ; c) Q u e la p u i s s a n c e W^r n e v a r i e p a s d u fait d e s

v a r i a t i o n s d e 0 , ce q u i e s t p a r e x e m p l e le c a s si l ' a l t e r n a t e u r e s t m u n i d ' u n r é g u l a - t e u r d e t e n s i o n t r è s p r o m p t et t r è s p u i s - s a n t et si le r é s e a u é l e c t r i q u e a u n e i m - p é d a n c e p u r e m e n t o h m i q u e .

E n o u t r e , n o u s p o s e r o n s :

w : t e m p s de l a n c e r d u r o t o r . W „ : p u i s s a n c e n o m i n a l e d u g r o u p e .

^ „_ f — fo ⁼ .

f : f r é q u e n c e « i n s t a n t a n é e » d u r é s e a u élec- t r i q u e .

f⁰ : f r é q u e n c e d e c o n s i g n e .

L e s r é g i m e s t r a n s i t o i r e s c o n s i d é r é s é t a n t t r è s l e n t s d e v a n t l a f r é q u e n c e d ' e n v i r o n 50 H z d u c o u r a n t é l e c t r i q u e , o n p e u t définir à c h a q u e i n s t a n t u n e f r é q u e n c e « i n s t a n t a n é e ».

O n p e u t p a r e x e m p l e p r e n d r e : f = 2 k Q, (*)•

k : n o m b r e d e p a i r e s de p ô l e s d e l ' a l t e r n a t e u r . Y — Y⁰ = g.

Y⁰ : v a l e u r d e Y c o r r e s p o n d a n t a u r é g i m e p e r - m a n e n t m o y e n a u t o u r d u q u e l fluctuera le r é g i m e i n s t a n t a n é p e n d a n t les o s c i l l a t i o n s d e r é g l a g e .

Q — Q o

Q» = q. a v e c Q„ = Q„ Y⁰.

W^m — W⁰ = AW,„ ; W,. — W⁰ = AW.,

a v e c W⁰ = s y] Qⁿ H⁰. H — Hⁿ

Ho h; = © : t e m p s de l a n c e r d e l a gs H⁰ c o n d u i t e .

O n o b t i e n t a l o r s :

dt

dAl = A W , „ - A W , . dt W „

1 ^ 1 dAf

et

q = y + 1/2 Y⁰ h

W „

S e u l e s les v a r i a t i o n s de i W^r/ W „ e t d e Af s o n t i n t é r e s s a n t e s . E n effet, ce s o n t les v a r i a t i o n s d e A W^r/ W „ q u i e n t r a î n e n t celles d e Af et le r é g u - l a t e u r de v i t e s s e a j u s t e m e n t p o u r m i s s i o n d e m a i n t e n i r Af a u s s i p e t i t q u e p o s s i b l e , m a l g r é les v a r i a t i o n s de A W^r/ W „ .

N o u s a l l o n s d o n c é l i m i n e r t o u t e s les a u t r e s v a r i a b l e s . E n fait, il n ' e s t p a s n é c e s s a i r e d e c o n - s i d é r e r t o u s les m o d e s d e v a r i a t i o n s p o s s i b l e s de AW,./W„. E n effet, les é q u a t i o n s é t a n t l i n é a i r e s , o n p e u t d é d u i r e t o u s les r é s u l t a t s i n t é r e s s a n t s de l a s e u l e é t u d e d e s o s c i l l a t i o n s s i n u s o ï d a l e s . N o u s r e v i e n d r o n s d ' a i l l e u r s s u r ce p o i n t u l t é - r i e u r e m e n t . E n a t t e n d a n t , n o u s é t u d i e r o n s d o n c les r é g i m e s d ' o s c i l l a t i o n s s i n u s o ï d a l e s .

R a p p e l o n s q u e si les é q u a t i o n s s o n t l i n é a i r e s (et s e u l e m e n t d a n s ce c a s d ' a i l l e u r s ) t o u t e s les g r a n d e u r s p e u v e n t v a r i e r e n m ê m e t e m p s s i n u - s o ï d a l e m e n t et a v e c l a m ê m e p u l s a t i o n . O n p e u t d o n c p o s e r a priori :

A W , A W

W , ^s cos M + ç) ; A/ = A /⁰ c o s (toi + W) ;

(*) N o u s d o n n e r o n s d a n s l a 2^e p a r t i e u n e d é f i n i t i o n e x a c t e d e l a f r é q u e n c e i n s t a n t a n é e .

NOVEMBRE 1 9 5 6 - № 5 L A H O U I L L E B L A N C H E 6 9 7

etc., e t i n t r o d u i r e c e s v a l e u r s d a n s les é q u a t i o n s . E n r é a l i t é , i l e s t b i e n p l u s c o m m o d e d e c a l c u l e r a v e c d e s v e c t e u r s d a n s u n p l a n c o m p l e x e , selon la m é t h o d e d e F r e s n e l ( c l a s s i q u e e n p a r t i c u l i e r e n é l e c t r o t e c h n i q u e d e s c o u r a n t s a l t e r n a t i f s ) . R a p p e l o n s q u e c e t t e m é t h o d e d e c a l c u l se b a s e s u r l e s f a i t s s u i v a n t s :

a) A u lieu d e p o s e r , p a r e x e m p l e :

A / = A / q cos (o>£ - j - <p),

o n é c r i t :

A / ' = = R [ A /⁰e № ' . e w ] ] signifie : p a r t i e r é e l l e d e

2 , 7 1 8 2 8 .

où F; W^m; W,.;,Y; H e t Q s o n t r e s p e c t i v e m e n t les a m p l i t u d e s c o m p l e x e s d e A / ; AW,„; AW,.; y ; h et q.

L ' é l i m i n a t i o n d e s g r a n d e u r s a u t r e s q u e W^r e t F e s t m a i n t e n a n t a i s é e e t d o n n e :

W^r

où R [ et

; j

b) O n p o s e A /⁰ c'f = F : • n o m b r e c o m p l e x e d o n t l a v a l e u r a b s o l u e e s t l ' a m p l i t u d e d e l'os- c i l l a t i o n e t l ' a r g u m e n t le d é p h a s a g e p a r r a p p o r t à cos <of.

c) D e

e t

(d/dt) R [F = R [F yoo e*»']

R (A) + R (B) = R (A + B ) ,

on d é d u i t q u ' o n p e u t m e t t r e le s y m b o l e R « e n f a c t e u r » d e v a n t c h a q u e é q u a t i o n .

A i n s i :

dAf A WB„ — A W , .

T dt W „ = 0

p e u t s ' é c r i r e : R T yu

f

W,, W^r

où W^m e t W^r s o n t les a m p l i t u d e s c o m p l e x e s d e A W^m e t AW,..

d) D e R [(a + bj) e^} = 0, o n d é d u i t : a c o s <d£ — b s i n (at = 0,

ce q u i n ' e s t vérifié, q u e l q u e soit t, q u e si : a = 0 e t b = 0 o u b i e n a + bj = 0.

O n p e u t d o n c s u p p r i m e r les s y m b o l e s R [. . . ] et le f a c t e u r e ^ ' e t o n o b t i e n t les r e l a t i o n s e n t r e les a m p l i t u d e s c o m p l e x e s .

D a n s le c a s d e s é q u a t i o n s p r é c é d e n t e s , o n o b t i e n t :

W^m — W , . T _/CÛ F

j(ù Y : 1

W »

(1 + ;«o T , . ) F a T

0

W H =

Q + Y o f f

— & yo» Q

1 — © Y0 J(ü 1

1 + ( 1 / 2 ) © Y⁰y w " s T ,

1 + f t > T^r-

= — F G (;'<o) N o u s p o s e r o n s G (y'co) = X (w) + j Z (to) e t n o u s a p p e l l e r o n s G (/w) f o n c t i o n d e r é p o n s e d e l ' i n s t a l l a t i o n . E l l e p e r m e t e n effet d e d é t e r m i n e r l a r é p o n s e A/ (t) à u n e e x c i t a t i o n d u e à u n e v a r i a t i o n d e l a p u i s s a n c e d e m a n d é e p a r le r é s e a u é l e c t r i q u e : A W^e ( 0 -

N o u s v e r r o n s q u ' o n p e u t é t u d i e r e n t i è r e m e n t le r é g l a g e , e n p a r t i c u l i e r s a s t a b i l i t é e t s e s a u t r e s q u a l i t é s , e n é t u d i a n t l a f o n c t i o n G (yw). P o u r l ' i n s t a n t , n o u s n o u s c o n t e n t e r o n s d e l ' é t u d e d e l a s t a b i l i t é .

R e m a r q u o n s d ' a b o r d , q u e , si p o u r u n e v a l e u r co = cû⁰, o n a X ( u⁰) = 0 et Z ( u⁰) = 0, c ' e s t - à - d i r e G (y'w⁰) = 0» o n p e u t a v o i r F ^ 0 m ê m e si W , . = 0 . Cela v e u t d i r e q u ' i l p e u t e x i s t e r u n e o s c i l l a t i o n e n t r e t e n u e d e p u l s a t i o n <o⁰ d e l a f r é q u e n c e d u c o u r a n t d u r é s e a u é l e c t r i q u e et ceci m ê m e si l a p u i s s a n c e d e m a n d é e p a r le r é s e a u é l e c t r i q u e r e s t e c o n s t a n t e . D a n s ce c a s , l ' i n s t a l l a t i o n e s t à s a l i m i t e d e s t a b i l i t é .

L a c o u r b e p a r a m é t r i q u e X = X (w) ; Z = Z (w) t r a c é e d a n s u n p l a n X ; Z, s ' a p p e l l e r a : c o u r b e d e r é p o n s e . N o u s v e n o n s d e v o i r q u e si c e t t e c o u r b e p a s s e p a r l ' o r i g i n e p o u r u n e v a l e u r co⁰ d u p a r a - m è t r e (a, l ' i n s t a l l a t i o n e s t à l a l i m i t e d e s t a b i - lité. Il e s t i n t u i t i f d e p e n s e r (et n o u s le d é m o n - t r e r o n s u l t é r i e u r e m e n t e n t o u t e r i g u e u r ) q u e , s u i v a n t l a f a ç o n d o n t l a c o u r b e d e r é p o n s e p a s s e p r è s d e l ' o r i g i n e , l ' i n s t a l l a t i o n s e r a s t a b l e o u n o n . L e c r i t è r e e x a c t e s t le s u i v a n t * :

P o u r q u e l ' i n s t a l l a t i o n soit s t a b l e , le r a y o n v e c t e u r j o i g n a n t l ' o r i g i n e a u p o i n t c o u r a n t d e l a c o u r b e d e r é p o n s e d o i t b a l a y e r u n a n g l e d e (a — b) i u / 2 q u a n d la v a l e u r d u p a r a m è t r e c o r - r e s p o n d a n t a u p o i n t c o u r a n t v a r i e d e co == 0 à t o = -f-oo. a et b s o n t d o n n é s p a r :

e t :

l i m G (y'û>) = A (jd))"

- » CO

l i m G (y'o>) = B (j(o)^b.

K->0

D a n s l ' e x e m p l e a c t u e l , o n a : l i m G (y'<o) = W „ . T y'iù,

0>-> CO

(*) U n c a s t r è s p a r t i c u l i e r d e ce c r i t è r e e s t l e c r i t è r e d i t « d e L e o n h a r d ».

6 9 8 LA H O U I L L E B L A N C H E № 5 - NOVEMBRE 1 9 5 6

d o n c : a = 1

W 1

et l i m G ( » = —

0 ) - » « » ' r / u

d o n c : b = — 1 e t (a — 6 ) — = = + %.

s e n s du déplacement de la courbe quand cr a u g m e n t e

T^r = 6 © Y⁰ o = © Y⁰/ T

angle : — K : instabilité

F i e . 2

s e n s du d é p l a c e m e n t de la courbe si a a u g m e n t e

u-wn + 0 , 6 3

T^R= 6 ® Y ^? s = ( 1 0 / 9 ) ( 8 Y⁰/ T ) Limite de stabilité, pulsation de l'oscillation entre- t e n u e : co⁰ = V ( 3 / 2 ) [ 1 / ( 0 Y^N) ]

FIG. 3

T,. = 6 ® Y⁰ <j = 2 © Y^{F L}A angle : + 7t : stabilité

FIG. 4

L e s figures 2 , 3 e t 4 m o n t r e n t t r o i s c o u r b e s d e r é p o n s e r e l a t i v e s à t r o i s i n s t a l l a t i o n s diffé- r e n t e s . D a n s ce c a s s i m p l e , o n p e u t a u s s i d é t e r - m i n e r les c o n d i t i o n s d e s t a b i l i t é p a r l a m é t h o d e d ' H u r w i t z , e t o n t r o u v e :

T,. > 0 e t (T > ® Y⁰ 1 — (© Y⁰/ T^r) T 1 — ( 3 / 2 ) (© Y o / T^r) S u r c e s f i g u r e s , n o u s a v o n s p o r t é s u r les a x e s les g r a n d e u r s s a n s d i m e n s i o n s x = ( X / W „ ) et z = ( Z / W „ ) . E n o u t r e , n o u s a v o n s m u n i les c o u r -

direction u = + a>

angle balayé par le rayon

vecteur

direction\\ „ e t i direction w = m

I U = ÍÜ, * ^

<^+" + ß

<^+" + ß

direction T w = 0

w = 0 I U

direction íü = o

On balaye successive ment les angles : + a et •— a — it + n; + g et — g au total : — iz au total : + w

Cas de la figure 2 Cas de la figure 4 FIG. 5

b e s d e r é p o n s e d e flèches m o n t r a n t le s e n s d e s v a l e u r s c r o i s s a n t e s d e co : il e n s e r a d é s o r m a i s t o u j o u r s a i n s i . L a f i g u r e 5 m o n t r e l e s a n g l e s b a l a y é s p a r le r a y o n v e c t e u r . O n v o i t d e q u e l l e f a ç o n c e t a n g l e c h a n g e q u a n d l a c o u r b e d e r é - p o n s e p a s s e p a r l ' o r i g i n e l o r s d e s e s d é f o r m a - t i o n s d u e s à d e s v a r i a t i o n s c o n t i n u e s d e s p a r a - m è t r e s d e l ' i n s t a l l a t i o n .

R e m a r q u o n s q u e la f o r m u l e d o n n a n t W^r e n f o n c t i o n d e F c o n t i e n t d e u x t e r m e s :

— L e p r e m i e r , W „ F x yw, d o n n e la p u i s s a n c e q u e f o u r n i t le r o t o r q u a n d la v i t e s s e d e r o t a - t i o n d u g r o u p e v a r i e . E n effet, le r o t o r c o n t i e n t l ' é n e r g i e 1 / 2 I Q² et u n e v a r i a t i o n d e Q l i b è r e l a p u i s s a n c e d/dt ( 1 / 2 I Q²) .

— L e d e u x i è m e :

W „ F . ¹ i + . h t , . î — © Y q j<q jt* ' i + ( i / 2 ) e Y „ j < o d o n n e l a p u i s s a n c e s u p p l é m e n t a i r e f o u r - n i e p a r l ' e a u à l ' a l t e r n a t e u r p u i s a u r é s e a u p a r s u i t e d e l ' a c t i o n d u r é g u l a t e u r d e v i - t e s s e d e l a t u r b i n e s u r le v a n n a g e q u a n d la v i t e s s e d e r o t a t i o n d u g r o u p e v a r i e . D ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , i l p e u t y a v o i r e n c o r e u n t r o i s i è m e t e r m e p r o v e n a n t d e l a v a r i a t i o n d u r e n d e m e n t d u g r o u p e q u a n d la v i t e s s e d e r o t a - t i o n v a r i e .

NOVEMBRE 1956 - № 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 699

III. — D E S C R I P T I O N D E L ' A P P L I C A T I O N D E L A P R É S E N T E M É T H O D E A U X R É S E A U X É L E C T R I Q U E S I N T E R C O N N E C T É S

E n v i s a g e o n s m a i n t e n a n t le r é s e a u r e p r é s e n t é s c h é m a t i q u e m e n t s u r la figure 6. P o u r simplifier l ' e x p o s é , n o u s a d m e t t r o n s p o u r c h a q u e g é n é r a - t e u r e t r é c e p t e u r les h y p o t h è s e s a d é q u a t e s f a i t e s a u p a r a g r a p h e I I . E n p l u s , n o u s a d m e t t r o n s q u e les i m p é d a n c e s d e l i a i s o n s o n t n é g l i g e a b l e s et q u e la t e n s i o n e s t m a i n t e n u e c o n s t a n t e a u p o i n t A.

A u p a r a g r a p h e II, n o u s a v o n s a d m i s q u e le r é - s e a u é l e c t r i q u e é t a i t s o u m i s à u n e p e r t u r b a t i o n f a i s a n t v a r i e r l a p u i s s a n c e d e m a n d é e selon AW,. = A W^{r 0} c o s (<at + W) s a n s p r é c i s e r la p r o - v e n a n c e d e c e t t e p e r t u r b a t i o n .

•^générateur-

2° générateur->r~j.

3 ' générateur

— 1 " récepteur

- Q — 2 " récepteur

•*-3* récepteur

F i a . 6

A d m e t t o n s ici q u e l ' o n oblige l ' u n d e s r é c e p - t e u r s d u r é s e a u , p a r e x e m p l e le t r o i s i è m e , à a b - s o r b e r la p u i s s a n c e W^{3 0}' + A W^{r t} cos (cof -\- W).

E n v e r t u d e s h y p o t h è s e s f a i t e s , on a : W , + W² - f w 3 = w / + w y + W³' W , ; W²; W³ : p u i s s a n c e s i n s t a n t a n é e s f o u r n i e s

p a r les g é n é r a t e u r s .

W / ; W²' ; W³' : p u i s s a n c e s i n s t a n t a n é e s a b s o r - b é e s p a r les r é c e p t e u r s .

C o m m e les é q u a t i o n s r é g i s s a n t les o s c i l l a t i o n s de r é g l a g e s o n t s u p p o s é e s ê t r e l i n é a i r e s , o n p e u t à n o u v e a u se c o n t e n t e r d e s o s c i l l a t i o n s s i n u s o ï - d a l e s . O n p o u r r a p o s e r :

W i = W^{1 0} + A W j ; W² = W^{2 0} + A W , ; . . . W^{] 0}; W^{2 0}; . . . : v a l e u r s d e s p u i s s a n c e s d a n s le c a s d u r é g i m e p e r m a n e n t a u t o u r d u q u e l os- cille le r é g i m e l o r s d u r é g l a g e .

A W^X; A W , ; . . . : o s c i l l a t i o n s d u e s a u r é g l a g e .

O n a u r a d o n c :

W^{1 0}' + W^{2 0}' + W^{s o}' = w1 0 + wa„ + w 30

et :

A W^X + A W² + A W³ = A W / + A W , ' + A W³' L e s o s c i l l a t i o n s d e c h a r g e A W³' d u t r o i s i è m e g é n é r a t e u r f e r o n t o s c i l l e r l a f r é q u e n c e d a n s t o u t le r é s e a u . L ' o s c i l l a t i o n d e f r é q u e n c e s e r a liée a u x o s c i l l a t i o n s d e s d i v e r s e s p u i s s a n c e s p r o d u i t e s ou a b s o r b é e s . A i n s i o n a v u a u p a r a g r a p h e II q u e si la f r é q u e n c e oscillait, la p u i s s a n c e d u g é n é r a - t e u r de l a figure 1 o s c i l l a i t s e l o n :

W =

- F W , T j<ù + 1 — ® Y p yto 1 + ( 1 / 2 ) 0 Y⁰ yo>

1 1 + yco T^r

5 T V №

= — F G (je) Cette o s c i l l a t i o n n ' e s t p a s affectée p a r l ' i n t e r - c o n n e c t i o n . E l l e p r o v i e n t , c o m m e o n l ' a e x p l i - q u é a u p a r a g r a p h e II, d ' u n e p a r t (W„ t y w ) d e l a v a r i a t i o n d ' é n e r g i e c i n é t i q u e d u r o t o r : le r o t o r cède d e l a p u i s s a n c e a u r é s e a u si la f r é q u e n c e d i m i n u e , d o n c l a v i t e s s e de r o t a t i o n d i m i n u e , d ' a u t r e p a r t , de l ' a c t i o n d u r é g u l a t e u r d e v i t e s s e q u i a g i t s u r le v a n n a g e d è s q u e la f r é q u e n c e v a r i e .

D ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , on a u r a d a n s le r é s e a u : W i = — F G, (yoù) ; W² = — F G² (/«*)

D ' o ù

W , ' : F [G, f » + G² (yo>) + G, f »

— G/(yV> — G²'(yo>)]

O n a p p e l l e r a : G^t (y'w) - f G² (y'w) ± . .. = G (y'to) la f o n c t i o n d e r é p o n s e d u r é s e a u , c o m m e Gi (y'o)) e s t celle d u p r e m i e r g é n é r a t e u r . D e W./= — FG (y'o>), où W/ e s t l ' a m p l i t u d e c o m - p l e x e de la v a r i a t i o n d e p u i s s a n c e et F celle d e la v a r i a t i o n de f r é q u e n c e c o r r e s p o n d a n t e , o n p e u t t i r e r les m ê m e s r é s u l t a t s q u e d a n s le c a s d e s r é s e a u x s é p a r é s t r a i t é a u p a r a g r a p h e I I .

L a c o u r b e d e r é p o n s e G (/'«) s ' o b t i e n t à p a r t i r de G](y'o)); G²(y'o)), p a r a d d i t i o n v e c t o r i e l l e ; e n effet, o n a :

X (co) = X i (o>) + X²

M + . . .

Z (<i>) = Zj («) + Z² (co) - f . . .

700 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 5 - NOVEMBRE 1 9 5 6

I V . — A P P L I C A T I O N S P R A T I Q U E S :

a) E X E M P L E NUMÉRIQUE : COUPLAGE DE DEUX GÉNÉRATEURS DU TYPE FIGURE 1.

Caractéristiques :

P r e m i e r g é n é r a t e u r : W „ = 100 M W ; 0 = 0,3 s;

t = 1,5 s ( g r o u p e u l t r a - l é g e r , i n e r t i e de l ' e a u t r è s f a i b l e ) .

D e u x i è m e g é n é r a t e u r : W „ = 2 0 M W ; 8 = 2 s ;

T = 1 0 s ( P D² n o r m a l , i n e r t i e de l ' e a u g r a n d e ) .

A d m e t t o n s q u e o- et T , . a i e n t été c h o i s i s d a n s c h a q u e c a s de f a ç o n à o b t e n i r le r é g l a g e o p t i - m u m e n r é s e a u s é p a r é ; d o n c a # 30 % et T , . = 2 s et 12 s, r e s p e c t i v e m e n t .

O n o b t i e n t a l o r s : _J— G, c/iù)

—

100 ^{3 J} 1 -

0,3 ya 0,15 y'ü>

- 2 y'co 1 0,6 1 3,6

1 + 2 yo>

t + 12 y^M

ou

100 Gi (yV) = 1,5 y'w — y 1,66 + 1,43 cû² (1 + 0,225 w²)oj

2,58 — 0,15 ü>²

+

( 1 + <ü²)cü 2 , 5 -

+

L a figure 7 m o n t r e les c o u r b e s a v a n t c o u p l a g e , la figure 8 l a c o u r b e r é s u l t a n t e a p r è s c o u p l a g e . Ces c o u r b e s s o n t g r a d u é e s en co; s e u l e s , les v a - l e u r s c o r r e s p o n d a n t a u x g r a d u a t i o n s m a r q u é e s s u r les figures o n t été c a l c u l é e s . O n a u r a i t p u en c a l c u l e r m o i n s p o u r r é s o u d r e le p r o b l è m e p o s é . O n voit q u e le c o u p l a g e e s t s t a b l e .

b) COUPLAGE D E DEUX GÉNÉRATEURS DU TYPE FIGURE 1, E N GÉNÉRAL.

O n p e u t é c r i r e l a f o n c t i o n d e r é p o n s e s o u s la f o r m e s u i v a n t e :

Si o n d é t e r m i n e a et T,. d e f a ç o n t e l l e q u e c h a q u e g r o u p e a i t les m ê m e s q u a l i t é s d e r é g l a g e ou de s t a b i l i t é e n r é s e a u s é p a r é , les v a l e u r s d e pi e t v s e r o n t les m ê m e s p o u r t o u s les g r o u p e s (cf. a n n e x e ) . N o u s a l l o n s é t u d i e r ce c a s .

O n p e u t é c r i r e :

X = -r W „ ix — ( 3 / 2 ) v — ( 1 / 2 ) F- (© Y^{0 m}) -

© Y⁰ 1 + ( 1 / 4 ) ( 0 Yco) W

® Yⁿ

x

© Y,, tù •

1 r t - \ • i 1

w

Y„ © ./«.

® Yⁿ

en p o s a n t ^

/ 8 V +

_ _ 1 _ ¹ +

h

1 + ( 1 / 2 ) Y^o0 y,û . T , >>

1 —- y © Y⁰ O) v - f u. y 8 Y„ ^W 1 + ( 1 / 2 ) 0 Yⁿy « o / 0 Y „ ,

0 Y « et , = ^e2Y»²

- ( 1 / 2 ) y ( © Y⁰o³)² + ( 3 / 2 ) h . ( Q Y0:

[1 + ( 1 / 4 ) ( 0 Y⁰o )²] 8 Y^ûM

0 Y„ z ( © Yo'co; v-; y)

- 2 * générateur

asymptotes pour eu-»-o

F l G . 7

N O V E M B R E 1 9 5 6 - № 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 701

®i Yi et :

L a c o u r b e d e r é p o n s e p a s s e p a r l ' o r i g i n e si :

W2T2

x ( © ! Y^x.

©2 Y ,

x (©^a Y² (»⁰; u.; = 0 (1)

z (©! Yi ci)⁰; JA; V) + t t ^ t³ 2 (®² Y² oo⁰; u.; v) — 0

©•> Y 2

FiCx. 8

P o u r (o —> 0 o n o b t i e n t :

T W„ v

Z ( 0 ) - ^ - -

0 Y„ © Y⁰ (o et p o u r co —* =o :

Z (co) —>

© Y

X (0) - » (a — 3 / 2 v)

®Y„

Y⁰<o; X(oo) - > • ^T w.,^t

® Y⁰ D a n s les i n s t a l l a t i o n s n o r m a l e s o n a

o- > 0, T,. > 0, d'où

Z ( 0 ) oo; Z (oo) oo; X(oo) < 0.

E n c o u p l a n t p l u s i e u r s i n s t a l l a t i o n s d e ce t y p e , les m ê m e s c o n d i t i o n s s o n t d o n c r e m p l i e s e t la c o n d i t i o n d e s t a b i l i t é exige q u e le r a y o n v e c t e u r b a l a y e u n a n g l e d e + %, o u q u e la c o u r b e p a s s e à d r o i t e d e l ' o r i g i n e .

C o m m e a u p a r a g r a p h e I I , le r é s e a u c o n s t i t u é p a r le c o u p l a g e d e s d e u x g r o u p e s e s t à l a l i m i t e de l a s t a b i l i t é s i l a c o u r b e d e r é p o n s e p a s s e p a r l ' o r i g i n e . Ceci a lieu si l e s g r a n d e u r s :

W , T , . W2< r2

®^lY¹ ®² Y²

®i Yi ; ® o Y⁹ et v s a t i s f o n t à u n e c e r t a i n e r e l a t i o n q u e n o u s a l l o n s d é t e r m i n e r .

(2) où <o⁰ e s t l a p u l s a t i o n d e l ' o s c i l l a t i o n p r o p r e d u r é s e a u , q u i e s t j u s t e e n t r e t e n u e , n i a m o r t i e , n i amplifiée (cf. § I I ) . P o u r o b t e n i r l a r e l a t i o n c o r - r e s p o n d a n t à l a l i m i t e d e s t a b i l i t é , o n p o u r r a i t

p a r e x e m p l e t i r e r <o⁰ d e l a r e l a t i o n (1) e t p o r t e r s a v a l e u r d a n s ( 2 ) . Ce c a l c u l s e r a i t t r è s c o m p l i - q u é . N o u s a l l o n s p r o c é d e r d ' u n e f a ç o n p l u s s i m p l e .

R e m a r q u o n s d ' a b o r d q u e si o n p o s e ©

d a n s l e s e x p r e s s i o n s d o n n a n t X ; Z ; x e t z, o n s ' a p e r ç o i t q u e t o u s l e s g é n é r a t e u r s a y a n t m ê m e u. e t v o n t m ê m e c o u r b e x = x(«-; (j.; v ) ; z = z (œ; p.; v). Cette c o u r b e e s t g r a d u é e e n a. L e s g r a d u a t i o n s w d e s d e u x c o u r b e s s ' o b t i e n n e n t r e s - p e c t i v e m e n t p a r a / (®^t Y^L) et a / ( ®² Y²) ; si :

©a Yi * ®² Y²,

ces g r a d u a t i o n s <o s o n t d o n c d i f f é r e n t e s l ' u n e d e l ' a u t r e p o u r u n m ê m e p o i n t .

Si le r é s e a u e s t à l a l i m i t e d e l a s t a b i l i t é , i l e x i s t e u n e p u l s a t i o n w⁰ telle q u e O A -f- O B = 0 (fig. 9 ) . Cette c o n d i t i o n v e c t o r i e l l e p e u t ê t r e r e m - p l a c é e p a r d e u x c o n d i t i o n s s c a l a i r e s . N o u s é c r i -

— » — >

r o n s q u e O A e t O B s o n t p a r a l l è l e s e t o p p o s é s e t q u e l e u r s p r o j e c t i o n s s u r O X s o n t é g a l e s e n v a - l e u r a b s o l u e . L a p r e m i è r e c o n d i t i o n d o n n e :

ou

X (®^t Y, ù)⁰) z (©, Y , (oo)

•r (a,)

Z ( a , )

avec %î = ©t Y, <o⁰ c l

x (&, Y , ü)⁰)

z ( 0² Y²1 0⁰)

X (a^a)

Z ( a²)

©., Y , ü)„.

(3)

FIG. 9

1^{e r} générateur : G, = X (<o); + j Z (<o)

2" générateur : G² = X (w) + / Z (w)

7 0 2 L A H O U I L L E B L A N C H E • № 5 - N O V E M B R E 1 9 5 6

Il suffit d e t r a c e r c (a)

FIG. 1 0

X (a) z W)

o ù c e s t l a p e n t e d e l a d r o i t e j o i g n a n t le p o i n t x; z à l ' o r i g i n e .

S u i v a n t s a p e n t e , u n e d r o i t e p a s s a n t p a r l ' o r i - g i n e c o u p e la c o u r b e .x; z e n 1 o u 3 p o i n t s . L a figure 11 m o n t r e les d i f f é r e n t s c a s .

FIG. 1 1 C> 0 : 1 point cf intersection

C < - C i : i point d'intersection

\ - « — o > C2> - C , : 3 points d'intersection

O n o b t i e n t d o n c ®² Y² <jù,j e n f o n c t i o n d e 0^X Y¹ co⁰ e n a s s o c i a n t s e l o n l ' é q u a t i o n (3) les v a l e u r s

et <v O n p e u t a u s s i d é t e r m i n e r <S>¹ Y¹ t o⁰ = e t

<I>² Yn a>⁰ = a² e n f o n c t i o n d e a² ®² Y² *

L a c o n d i t i o n | X^X| = | X²| p e u t s ' é c r i r e :

©^XY^X x ( 0^x Y^t

< o

)

c

W ,

0 , Yo \x ( 0 , Y²

o >

) I

D ' o ù : W^t TX 0² Y² W² T2 0 ! Y i

FIG. 1 2

x ( 0² Y²

t o

)

x ( 0 ! Y¹ (Û0)

,X ( a²)

•T ( a³)

E n r e m p l a ç a n t a, et a² p a r l e u r v a l e u r e n f o n c - t i o n d e :

* i ® i Y¹ a² 0² Y²

o n p e u t m e t t r e la r e l a t i o n s o u s l a f o r m e : W ! T ! © 2 Y²

W² T2 ©! Y^x V 0 , Y , fig. 12 P o u r d é t e r m i n e r q u e l e s t le d o m a i n e d e s t a b i - lité, il suffit d e r e m a r q u e r q u e si ®^t Y¹ = ®² Y²,

—>

o n a t o u j o u r s O A = O B ; e n effet, d a n s ce c a s ,

la)

(y) p e u d i f f é r e n t s : s t a b i l i t é (c)

© , Y , = 0² Y² ©1 ^Yi e t ©² Y^{2 @i Yl} e t © , Y² s t a b i l i t é \0) s u f f i s a m m e n t d i f f é r e n t s : il

p e u t y a v o i r i n s t a b i l i t é

FIG. 1 4

FIG. 1 3

NOVEMBRE 1956 - № 5 LA H O U I L L E B L A N C H E 703

les c o u r b e s x; z p o r t e n t les m ê m e s g r a d u a t i o n s ; il y a d o n c t o u j o u r s s t a b i l i t é (fig. 13). O n p e u t aller p l u s l o i n et d i r e q u ' i l n e p e u t y a v o i r i n s t a - bilité q u e si ©j. Y¹ et ©² Y² s o n t s u f f i s a m m e n t dif- f é r e n t s l ' u n d e l ' a u t r e (fig. 13).

L e s figures 14 et 15 c o r r e s p o n d e n t a u x figu- res 10 et 12 a v e c u. = 0,7 et v = 0,1.

On voit q u e , d a n s ce c a s , il y a c e r t a i n e m e n t s t a b i l i t é s i " 1 / 2 5 < (©! Y¹/ ( ®² Y²) < 2 5 ; (®j Y.^t et

®² Y² j o u e n t é v i d e m m e n t d e s r ô l e s s y m é t r i q u e s ; on a s u p p o s é j u s q u ' i c i q u e 0 4 = © ! Y1 < ©2 Y2= «2, on o b t i e n t d e s r é s u l t a t s s y m é t r i q u e s e n p o s a n t

a i = @2Y2 et a s ^ e j i ) .

E n p r a t i q u e , © v a r i e d e 0,3 s à 3 s e n v i r o n , il ne p e u t d o n c p a s y a v o i r i n s t a b i l i t é si Yx o u Y2

s o n t s u p é r i e u r s à 4 0 % . N o u s r e v i e n d r o n s u l t é - r i e u r e m e n t s u r ce c a s et m o n t r e r o n s q u ' i l y a p r a t i q u e m e n t t o u j o u r s s t a b i l i t é p o u r v u q u e les g r a n d e u r s u e t v s a t i s f a s s e n t à c e r t a i n e s i n é g a - lités.

W„, r, 8, Y⁰,

0 25 50 75 gt y0| 100

8, Y„,

F l G . 15

c) COUPLAGE D E NOMBREUX GÉNÉRATEURS DU TYPE F I G U R E 1.

N o u s v e n o n s d e v o i r q u e le c o u p l a g e d e d e u x g é n é r a t e u r s n e p o u v a i t ê t r e i n s t a b l e q u e si l e u r s v a l e u r s © Y é t a i e n t s u f f i s a m m e n t différentes l'une d e l ' a u t r e . E n effet, les c o u r b e s d e r é p o n s e ont t o u j o u r s à p e u p r è s la m ê m e f o r m e , m a i s la g r a d u a t i o n e n io < glisse » le l o n g d e l a c o u r b e si © Y v a r i e e t ce « g l i s s e m e n t » a u g m e n t e avec

®Y (cf. fig. 1 3 ) .

Si o n c o u p l e t r o i s g r o u p e s , d e u x a y a n t d e s v a - leurs © Y a s s e z d i f f é r e n t e s e t le t r o i s i è m e a y a n t u n e v a l e u r © Y m o y e n n e p a r r a p p o r t a u x d e u x p r e m i e r s , o n s e r e n d f a c i l e m e n t c o m p t e q u e ce t r o i s i è m e n e p e u t q u e s t a b i l i s e r le c o u p l a g e . E n effet (fig. 1 6 ) , o n a v u q u e les d e u x p r e m i e r s g r o u p e s n e p o u v a i e n t p a s , e n p r a t i q u e , a v o i r d e s v a l e u r s © Y t e l l e s q u e l e s p o i n t s c o r r e s p o n d a n t s A et B s u r l e s c o u r b e s d e r é p o n s e s o i e n t t r è s

FIG. 16

é l o i g n é s . L e t r o i s i è m e g r o u p e f o u r n i t d o n c obli- g a t o i r e m e n t u n v e c t e u r O C é l o i g n a n t d e l ' o r i g i n e la c o u r b e d e r é p o n s e d u r é s e a u t o t a l .

D ' u n e façon g é n é r a l e , p o u r p e u q u e l e s v a - l e u r s 0 Y n e s o i e n t p a s c o n c e n t r é e s a u v o i s i n a g e d e s v a l e u r s e x t r ê m e s , q u i s o n t d e l ' o r d r e d e 0,3 s et 3 s e n v i r o n , l e s r é s e a u x c o n t e n a n t d e n o m - b r e u x g r o u p e s d u t y p e figure 1 s o n t d o n c t o u - j o u r s s t a b l e s et m ê m e b i e n s t a b l e s e n g é n é r a l .

N o u s a l l o n s m o n t r e r q u e d e t e l s r é s e a u x se c o m p o r t e n t , d u p o i n t d e v u e r é g u l a t i o n , a p p r o x i - m a t i v e m e n t c o m m e u n g r o u p e u n i q u e fictif. P o u r cela, é t u d i o n s d ' a b o r d l ' e x p r e s s i o n :

K = A /' (ax) + B / (bx) + C / (ex) + . . . O n p e u t d é v e l o p p e r f (ax) e n s é r i e d e T a y l o r c o m m e s u i t :

/ (ax) = f [kx + (a — k) x) = f (kx)

+ (a — k) x f (kx) + 1 / 2 (a — k)* x² / " (kx) +. . . E n t r a n s f o r m a n t d e m ê m e / (bx) ; / (ex) ; e t c . , on o b t i e n t :

K = (A + B + C + . . . ) f (kx)

+ [A (a — k) + B (6 — k) + . . . ] x f (kx)

+ 1/2 [A (a — / c ) 2 + B (b — * ) - ' + . . . ] . T²/ " (kx )

Si o n c h o i s i t k t e l q u e :

A (a — k) + B (b — k) + . . . = 0 et si les t e r m e s r e l a t i f s a u x d é r i v é e s d ' o r d r e s u - p é r i e u r s o n t s u f f i s a m m e n t p e t i t s , o n p e u t é c r i r e :

K # ( A + B + C + ...)f(kx) et k e s t d o n n é p a r :

Aa + Bb - f Ce + . . . A + B + c + 7 7 7

704 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - NOVEMBRE 1956'

L ' e r r e u r r e l a t i v e d u e a u t e r m e e n / " e s t a l o r s :

A a² + Bb² + . . . — 2 (Aa + Bb + . ..) k + (A B - f C + .

A + B + C + . • . ^{1 / A X} / ( / e x )

A a² + Bb² + C e² + . . . — (A + B + C . . . ) fc^{3 1/ 9 2} (fcg) A + B + C + . . . " ' / (kx) D a n s l e s a p p l i c a t i o n s q u e n o u s a u r o n s à f a i r e

d e c e s f o r m u l e s , f (kx) e s t , a u v o i s i n a g e d e c h a - q u e v a l e u r x, a p p r o x i m a t i v e m e n t r e p r é s e n t a b l e p a r a (/ci)» a v e c — 1 < n < + 2. D ' o ù d a n s ce c a s : /c² x² f" (kx) < 2 / (kx).

O n e n d é d u i t :

A a² + Bb² + • • • _ -,

7 1 < A:²(A + B + . . . )

Si c e t t e e r r e u r e s t p e t i t e , o n p e u t a d m e t t r e d a n s n o t r e c a s q u e les a u t r e s e r r e u r s d u e s a u x t e r m e s fi"> (kx) d ' o r d r e p l u s élevé s o n t e n c o r e b i e n p l u s p e t i t e s .

A p p l i q u o n s m a i n t e n a n t ces f o r m u l e s a u c o u - p l a g e d e p l u s i e u r s g r o u p e s . D a n s ce c a s , o n a v a i t :

X (a)) = X¹ (<o) - j - X² (<•>) + . . . et d e m ê m e p o u r Z (tu) D a n s le c a s d e g r o u p e s d u t y p e f i g u r e 1, o n p e u t é c r i r e :

P o u r se r e n d r e c o m p t e d e c e t t e e r r e u r , n o u s s u p p o s e r o n s q u e les g r o u p e s t r a v a i l l e n t à p e u p r è s t o u s à p l e i n e c h a r g e (ce q u i e s t le c a s n o r - m a l ) , et q u e # t²/ ©² # . . . (ce q u i e s t v r a i e n o r d r e d e g r a n d e u r ) . D ' o ù :

x ®¹Y¹

®² Y² et d e m ê m e p o u r Z.

x (©] Yj w; v,)

+ * * x (®² Y² u ; a²; v²) + . .

X #

D ' o ù , e n a p p l i c j u a n t les r e l a t i o n s c i - d e s s u s : 0 , Y²

© Y

; W t

i ( 8 Y i û ; y.; v)

x ( 0 Y co; ja; v)

a v e c :

0 Y = ( W^t T¹) / ( 0¹ Yi) + ( W² T²) / ( 0² Y²) + . . . et W T = W , TI + W² T² + . . .

L e s e r r e u r s r e l a t i v e s d e s a b s c i s s e s e t o r d o n - n é e s d e s p o i n t s d e la c o u r b e d e r é p o n s e se c a l - c u l e n t a i s é m e n t . L ' e r r e u r d u e a u x v a l e u r s © Y est, p a r e x e m p l e :

(W¹ ©^ + w , ©^{2 2} + • • •) (W, + W³ + • • •) ( W^t 0 , + W² 0² + . . . )²

•ri est d ' a u t a n t p l u s g r a n d q u e les v a l e u r s d e 0 s o n t p l u s d i f f é r e n t e s . P o u r © , = © . , = . . . o n o b - t i e n t é v i d e m m e n t t\ = 0. Ceci p e u t a u s s i ê t r e d é d u i t d i r e c t e m e n t d e la r e l a t i o n ( 4 ) . Si a# b # c # . . . ces v a l e u r s s o n t é v i d e m m e n t t r è s v o i s i n e s d e k et a — /c # 0 ; b — Jt # 0 . . .

P o u r é v a l u e r -n, d a n s u n c a s p a r t i c u l i e r , n o u s é t u d i e r o n s u n r é s e a u d a n s l e q u e l la s o m m e d e s p u i s s a n c e s d e s g é n é r a t e u r s a y a n t u n e v a l e u r © c o m p r i s e e n t r e ©, et ©, + A © n e d é p e n d p a s d e

©^t p o u r v u q u e 0² < 0 , < ©³. P r a t i q u e m e n t , c e l a v e u t d i r e q u e l a s o m m e d e s p u i s s a n c e s d e s c e n t r a - les t e l l e s q u e 0,5 s < © < 0,7 s e s t l a m ê m e q u e celle d e s c e n t r a l e s t e l l e s q u e 0,7 s < © < 0,9 s o u 0,9 s < 0 < 1,1 s, e t c . D a n s ce c a s p a r t i c u l i e r , o n o b t i e n t :

ce, @ 2 d © x f9 3 d ©

7 1 ^ ( p ® d ® )2

= ( 4 / 3 ) ^{1 + ( Q3/ ©2) + ( @3/ ©2)2} 1 + 2 ( ®³/ ®²) + ( ®³/ ©²)²

E n g é n é r a l , la m a j e u r e p a r t i e d e l a p u i s s a n c e d ' u n r é s e a u e s t telle q u e 0,5 s < © < 1,5 s o u 0,4 s < © < 1,6 s. O n o b t i e n t d a n s c e s d e u x c a s r e s p e c t i v e m e n t n < 8 % et m. < 12 % . D i r e q u e les v a l e u r s d e © s o n t r e l a t i v e m e n t v o i s i n e s r e - v i e n t à d i r e q u e le r é s e a u e s t t r è s s t a b l e , d ' a p r è s ce q u e n o u s a v o n s v u . I n v e r s e m e n t o n p e u t d i r e q u ' u n r é s e a u p e u t ê t r e r e m p l a c é p a r u n s e u l g r o u p e fictif si ce r é s e a u e s t s u f f i s a m m e n t s t a - b l e . D ' a i l l e u r s , d a n s le c a s c o n t r a i r e , il e s t é v i - d e n t q u e c e t t e a p p r o x i m a t i o n e s t f a u s s e p u i s - q u ' e l l e t e n d r a i t à d é m o n t r e r q u e le r é s e a u e s t s t a b l e a l o r s q u ' i l n e l ' e s t p a s p a r h y p o t h è s e . ( D a n s ce c a s , t\ s e r a i t t r è s g r a n d . )

•n <

( W^x T,, ©! Y^t + W²T² ©² Y² + . . .)\(W, t , ) / { Q¹ Y,) + ( W ^ m ( W i t j - | - W3T2 + . . . ) 2 ^{• • 1}