6. Analyse postoptimale
Analyse postoptimale
• Mesurer l’influence sur la solution optimale de modifier certains coefficients du problème
• Indiquer à l’utilisateur où mettre son énergie pour estimer avec plus de précision les coefficients les plus critiques
• 6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
• 6.2 Modification des termes de droite
• 6.3 Modification des contraintes
• 6.4 Introduction d’une nouvelle variable
• 6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
a) Le coût cj d’une variable hors base est modifié
Seul le coût relatif de la variable xj est influencé dans le tableau optimal du simplexe.
En effet B et cB n’étant pas modifiés, n’est pas modifié, et les coûts relatifs des autres variables restent donc identiques.
Le coût relatif de la variable xj devient
La solution demeure optimale si
ou
j j
j
j
c c c
c devient ~
1
cTBB
T
j j j
j T j
j T j
j cj c a c a c c c
c
~
(
)
(
)
~
j c
j c
j 0
c c
j c
j6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
b) Le coût de la variable de base dans la ligne r est modifié
Alors le coût relatif de toutes les variables est modifié comme suit.
Le vecteur des multiplicateurs est modifié:
jr
c
] ...,
, ...,
, ,
~ [ devient
2
1 j jr jr jm
T j T B
B c c c c c c
c
1 1 [0,0,...., ,...,0]
c B c B
jr
TB
] 1
0 ,..., ....,
, 0 , 0
[
T cjr B
~ 1
Alors ~T cBT B
r r
r
r j j j
j c c c
c devient ~
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
] 1
0 ,..., ....,
, 0 , 0
~ [ c B
jr
T
T
T j j j
r
a c
c j j
~
~ , pour
Ainsi
j j
T j
j a c B a
c r
[0,0,...., ,..., 0] 1
j j
j c a
c r
[0,0,...., ,...,0]
r r
r r
r r T j j j
j j j
r
a B c
a c
c c
j
( ) [0,0,...., ,...,0] 1
~ Pour
r r
r r
r T j j j j
j a c c B a
c
( ) [0,0,...., ,...,0] 1
0 )
(
c jr c jr c jr
j rj
j c a
c r
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
rj r j j
j c c a j n j j
c r
0
1 , 2 ,..., ;
~
si optimale demeure
actuelle solution
la , conséquent Par
rj j j
j rj j
j rj j
j
r rj
a c c
a c c
a c c
c
a j
j
r
r r
~ 0
0 que
tel Mais
rj j rj
j j
j j rj
j rj j
j
r rj
a c a
c c
c a
c a
c c
c
a j
j
r r r
~ 0
0 que
tel ,
similaire façon
De
. 0 :
min 0
: max
si optimale demeure
solution la
somme, En
,..., 2 , ,..., 1
2 ,
1
rj
rj j j
j n
j j rj
rj j j
j n
j a
a c c
a a c
r r
r
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
. 0 :
min 0
: max
si optimale demeure
solution la
somme, En
,..., 2 , 1 ,...,
2 ,
1
rj
rj j j
j n
j j rj
rj j j
j n
j
a
a c c
a a c
r r
r
j r T j
T B B
TB
b c z
b c
b c b c
b c z
r
r
* ]
0 ,..., ....,
, 0 , 0
~ [
devient modifié
problème du
optimale valeur
la alors
original, problème
du optimale valeur
la dénote
*
Si
6.1 Modification des coefficients de la fonction économique
simplexe.
du algorithme l'
avec modifié
problème du
résolution la
s poursuivon nous
alors vérifiée,
pas est
n'
0 :
min 0
: max
condition la
Si
,..., 2 , 1 ,...,
2 ,
1
rj
rj j j
j n
j j rj
rj j j
j n
j a
a c c
a a c
r r
r
6.2 Modifications des termes de droite
r r
r b b
b est modifié pour devenir droite
de terme le
Si
1 2
12 1 2
1
1 1
2 1
1
de colonne
la est ,...,
,..., ,
où
0 0 0
0 0 0
deviennent optimal
tableau du
droite de
termes Les
B r
b
b b b b
B b b
b B
b b b b
B
mr T rr
r r
r
rm rr
r r
m r r
r
m r
1 2
12 1 2
1
1 1
2 1
1
de colonne
la est ,...,
,..., ,
où
0 0 0
0 0 0
deviennent optimal
tableau du
droite de
termes Les
B r
b
b b b b
B b b
b B
b b b b
B
mr T rr
r r
r
rm rr
r r
m r r
r
m r
. 0 :
min 0
: max
dire à
est c'
,..., 2 , 1 0
si réalisable demeure
actuelle base
de solution la
Ainsi
,..., 2 , ,..., 1
2 ,
1
ir
ir i m
r i ir
ir i m
i
r i ir
b b b
m i
b b
6.2 Modifications des termes de droite
Si la solution n’est plus réalisable sous l’effet du changement, nous déterminons une nouvelle solution réalisable pour le problème modifié avec l’algorithme dual du simplexe.
. 0 :
min 0
: max
dire à
est c'
,..., 2 , 1 0
si réalisable demeure
actuelle base
de solution la
Ainsi
,..., 2 , ,..., 1
2 ,
1
ir
ir i m
r i ir
ir i m
i
r i ir
b b b
m i
b b
6.3 Modification des contraintes
• Nous limitons notre étude au cas où les coefficients des variables hors base peuvent être modifiés
, devenir
pour
modifié est
base hors
variable une
d' t
coefficien le
Si
ij ij
ij
a a
a
~ . dire
à est c'
0 0
0 0
~
devient base
hors variable
la de relatif coût
le alors
ij j i
j
T ij T j
j ij
T j j j
j
a c
c
a a
c a
a c
c
x
6.3 Modification des contraintes
Si la solution n’est plus optimale, nous poursuivons la résolution du problème modifié avec l’algorithme du simplexe.
. 0 lorsque
0 lorsque
0 lorsque
si dire à
est c'
~ 0
si optimale demeure
solution La
i ij
i i
j ij
i i
j ij
ij j i
j
quelconque a
a c a c
a c
c
6.4 Introduction d’une nouvelle variable
Considérons le cas où nous voulons introduire une nouvelle variable xn+1
dont le coût unitaire est cn+1 et dont la colonne des coefficients est . an1
. de
relatif coût
le s Déterminon
1 1 1
1
n T n
n
n
a c
c
x
modifié.
problème le
pour optimale
est 0 avec
actuelle solution
la
, 0 Si
1
1 1 1
n T n n n
x
a c
c
6.4 Introduction d’une nouvelle variable
Considérons le cas où nous voulons introduire une nouvelle variable xn+1
dont le coût unitaire est cn+1 et dont la colonne des coefficients est . an1
. de
relatif coût
le s Déterminon
1 1 1
1
n T n
n
n
a c
c
x
.
calculer devons
nous sortie,
de critère le
exécuter pour
et entrée, d'
variable devient
variable La
simplexe.
du algorithme l'
avec modifié
problème du
résolution la
s poursuivon nous
alors
, 0 Si
1 1
1 1 1
n
T n n n
a B a
x
a c
c
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
a)
.
standard contrainte
la rendre pour
écart d'
variable une
ns Introduiso
.
type du
contrainte une
d' ajout l'
s Considéron
1
1 1
1
1 1
1 1
n
j
m n
j j m
n n
j
m j
j m
b x
x a
x b x
a
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
1
du tableau.ligne la
dans base
de variable la
devient variable
La xn1 m
r
r
j m
j
a
r x
par 1
multipliée
ligne la
soustraire de
suffit il
tableau, au
ajoutons nous
que ligne
la dans 0
à égale de
t coefficien le
rendre Pour
jr
am1
jr
am1
m
r
j r m m m
m
r
j rj m j
j m m
j
b a
b b
a a
a a
x
r r
1
1 1 1
1
1 1 1
. devient
droite de
terme le
et
devient de
t coefficien le
base, de
variable chaque
pour opération
même la
Répétant
Le tableau ainsi modifié devient
modifié.
probleme du
optimale solution
une est
avec actuelle
solution la
alors
0 Si
1 1 1
1 1 1
m m m r
j r m m m
b x
b a
b
b r
Le tableau ainsi modifié devient
simplexe.
du dual algorithme
l' avec modifié
problème du
résolution la
s poursuivon Nous
négative.
est
actuelle solution
la dans base
de variable la
alors
, 0 Si
1 1
1 1 1
m m r
j r m m m
x
b a
b
b r
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
b)
.
standard contrainte
la rendre pour
écart d'
variable une
ns Introduiso
.
type du
contrainte une
d' ajout l'
s Considéron
1
1 1
1
1 1
1 1
n j
m n
j j m
n n
j
m j
j m
b x
x a
x b x
a
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
r
r
j m
j
a
r x
par 1
multipliée
ligne la
soustraire de
suffit il
tableau, au
ajoutons nous
que ligne
la dans 0
à égale de
t coefficien le
rendre Pour
jr
am1
jr
am1
m
r
j r m m m
m
r
j rj m j
j m m
j
b a
b b
a a
a a
x
r r
1
1 1 1
1
1 1 1
. devient
droite de
terme le
et
devient de
t coefficien le
base, de
variable chaque
pour opération
même la
Répétant
Multiplions la dernière ligne du tableau par –1 pour que xn+1 devienne variable de base dans cette ligne
modifié.
probleme du
optimale solution
une est
avec actuelle
solution la
alors
0 Si
1 1 1
1 1 1
m m m r
j r m m m
b x
b a
b
b r
Multiplions la dernière ligne du tableau par –1 pour que xn+1 devienne variable de base dans cette ligne
simplexe.
du dual algorithme
l' avec modifié
problème du
résolution la
s poursuivon Nous
négative.
est
actuelle solution
la dans base
de variable la
alors
, 0 Si
1 1
1 1 1
m
m r
j r m m m
x
b a
b
b r
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
c)
.
type du
contrainte une
d' ajout l'
s Considéron
1
1
1
n j
m j
j
m x b
a
6.5 Introduction d’une nouvelle contrainte
Le tableau associé à la solution optimale avant l’ajout de la nouvelle contraint
est modifié en introduisant la nouvelle contrainte dans la ligne (m+1) du tableau.
r
r
j m
j
a
r x
par 1
multipliée
ligne la
soustraire de
suffit il
tableau, au
ajoutons nous
que ligne
la dans 0
à égale de
t coefficien le
rendre Pour
jr
am1
jr
am1
m r
j r m m m
m r
j rj m j
j m m
j
b a
b b
a a
a a
x
r r
1
1 1 1
1
1 1 1
. devient
droite de
terme le
et
devient de
t coefficien le
base, de
variable chaque
pour opération
même la
Répétant
Le tableau ainsi modifié devient
pivot.
un complétons nous
lequel sur
ligne dernière
la dans négatif
élément un
s choisisson
modifié, problème
du base de
solution une
identifier Pour
. 0 que
Supposons bm1
Le tableau ainsi modifié devient
0 :
max
: simplexe du
dual algorithme
l' dans comme
pivot de
élément l'
s choisisson nous
relatifs, coûts
des négativité non
la préserver Pour
1 1 1
1 1
j m j
m j n
s j m
s s
m
a a c a
c a
Le tableau ainsi modifié devient
négatif.droite de
terme un
retrouver pour
1 par )
1 (
ligne la
multiplié avoir
après façon
même la
de ons nousprocéd ,
0 S
1 1
m m
b m
b i
Le tableau résultant est comme suit
1
~
,..., 2 ,
~ du problème1 modifié est optimale
solution une
alors
, 1 ,...,
2 , 1
~ 0 Si
m s
r j
i
b x
m r
b x
m i
b
r
simplexe.
du dual algorithme
l' avec modifié
problème du
résolution la
s poursuivon nous
Autrement
