Quelques remarques sur les plans d'échantillonnage

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

A. V ^ESSEREAU

Quelques remarques sur les plans d’échantillonnage

Revue de statistique appliquée, tome 16, n

^o

1 (1968), p. 5-35

<

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5

QUELQUES REMARQUES

SUR LES PLANS D’ÉCHANTILLONNAGE

A. VESSEREAU

L’étude

théorique

^des

plans d’échantillonnage simple

par attributs

peut

être considérée comme achevée

lorsqu’on

^{a écrit :}

- les relations

qui

^{lient les}

paramètres

^du

^{plan :}

^effectif de l’échan- tillon

(n)

^{et critère}

d’acceptation ^(A)

^aux conditions que l’on s’est

fixées,

risque

^du fournisseur

( a)

^{associé à une}

proportion

pl

d’individus

^défec-

tueux, ^et

risque

^{du client}

(03B2)

associé à une

proportion p2.

Fig.

¹

-

l’équation

de la courbe d’efficacité :

Dans la

pratique,

bien des difficultés se

présentent

^{et bien des er-}

reurs

peuvent

^être commises si l’on

applique

^un

plan (choisi

^sans

pré- caution)

dans un recueil de tables

d’échantillonnage -

les MIL STD 105 D par

exemple.

1/

^Les

équations (1)

^et

(2),

déduites de la loi

binomiale, supposent

que l’échantillon ^est

prélevé

^de

façon

^non

exhaustive,

^ce

qui

^n’est

prati- quement jamais

^réalisé.

Jusqu’à quel degré

d’exhaustivité -

qui peut

^être mesuré par le

rapport N

^de l’effectif d’échantillon à l’effectif de

lot,

^ou

"taux

de

prélèvement" - peuvent-elles

^être considérés comme

pratique-

ment valables ?

2/

^{n et A devant être} des nombres

entiers,

les

équations (1)

^ne

peuvent

pas être exactement satisfaites pour ^toutes valeurs des conditions

(pi , a) (p2,03B2).

^D’autre

^part,

^{si a}

^{et P peuvent}

^à

^priori

^être arbitraire- ment

choisis,

^il semblerait

qu’il

^ne

puisse

pas ^en être de même pour

pl

^et

p2 : lorsque

l’effectif de lot est N =

50,

^comment pi 1 et _{p 2}

pourraient-

ils

prendre

des valeurs autres que ⁰

%,

²

%,

⁴

%,

... ?

3/ Compte

^tenu du fait que dans les

petits lots,

^la

proportion

^de

défectueux p ^ne

parait susceptible

^de

prendre

que des valeurs disconti- nues, n’est-t-il _pas

abusif,

^{dans ce} cas, de

parler

^de

"courbe"

d’effi- cacité ?

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

6

Cependant

des tables

d’échantillonnage d’emploi

^{très courant - les}

MIL STD 105 D

[1 ] paraissent ignorer

^{toutes ces} difficultés - Les courbes d’efficacité des

plans qu’elles

contiennent sont toutes déduites de la loi

binomiale,

^{ou de son}

approximation

par la loi de Poisson

lorsque

celle-ci est

valable, quel

que soit le

rapport

^entre l’effectif de l’échantillon et l’effectif de lot

(qui

varie de N = 2 à N &#x3E;

500000).

^Aucune restriction n’est faite sur les valeurs de p

"possibles" compte-tenu

^de l’effectif de

lot ;

^en

particulier,

^le

NQA (niveau

de

qualité acceptable) qui

^corres-

pond

à peu

près

^{à la}

proportion p, de

la théorie

classique,

est souvent

une

proportion ^"non possible"

pour ^un lot

particulier.

^Des remarques

analogues peuvent

^{être faites à} propos ^du contrôle par mesures, et notam- ment des tables MIL STD 414

[2].

Nous discuterons ces différents

points

^à propos ^de

l’échantillonnage simple

par attributs. Une distinction essentielle devra être faite entre le contrôle d’un

lot

isolé et le contrôle d’une série de lots

provenant

^d’une

même

fabrication.

Mais une

première

observation d’ordre

général

^{ne sera}

peut-être

pas inutile. Le contrôle de

réception

n’a pas pour but d’estimer _{la pro-}

portion

p de défectueux dans le ^ou les lots

contrôlés,

mais de conduire pour

chaque lot,

^{à une décision}

d’acceptation

^{ou de}

rejet.

^{Sans doute les} résultats du contrôle

permettent généralement

^d’estimer p, mais cela né- cessite

parfois

^certaines

précautions : ainsi,

^dans

l’échantillonnage

^double

ou

multiple,

^seuls les résultats obtenus sur le 1 er échantillon donnent une

estimation sans biais de p - dans

l’échantillonnage progressif

^{on ne}

peut

estimer p ^sans biais.

1 - CONTROLE PAR ATTRIBUTS DE LOTS ISOLES

Nous ferons ici encore deux remarques

préliminaires.

La

première

^concerne le choix des

proportions

p, ^{1 et} p2.

Lorsqu’on procède

^au contrôle d’un lot

isolé,

^{on ne}

possède généralement

pas d’in- formation a

priori précise

^{sur la}

"qualité probable"

^{du lot. Sans doute}

est-on à peu

près

^sûr que la

proportion

p de défectueux n’est pas

"très élevée",

^{mais cette} formulation est

trop

vague pour

guider

dans le choix des valeurs

pl

i et

p2 qui,

^{avec les}

risques

^{associés a et}

P,

^{servent à}

déterminer le

plan

^de

contrôle ; pi

^et

P2

résulteront d’un accord entre fournisseur et

client,

^sans que ^ce dernier sache si le fournisseur

peut

tenir ces conditions.

La deuxième

porte

^{sur la}

signification

^des

risques

^a

et P qui, ré- pétons le, représentent,

pour ^a associé à

pl,

^une

probabilité (faible)

^de

rejeter

^{un lot}

acceptable,

^et

pour P

associé à

p2

^une

probabilité (faible) d’accepter

^{un lot} que l’on aurait

préféré rejeter.

Chacun a une

notion, plus

^{ou moins}

^claire,

^{de ce}

qu’il

faut entendre par ^une

"faible proba- bilité".

Mais - tout au moins dans les

problèmes qui

^nous

occupent

^{ici -}

des valeurs

numériques

^{de a et}

03B2, (par exemple 0,01, 0, 05, 0, 10... ) n’acquièrent

^{un sens} concret que si ^on leur donne la

signification

^de

^"fré- quences"

^{dans un} processus

répétitif. Or,

^{dans le cas}

où

nous nous

pla-

çons, contrôle ^{d’un lot}

unique,

la décision sera

également unique :

^ac-

ceptation

^ou

rejet.

^{On doit donc}

imaginer

^un processus

répétitif potentiel

défini de la

façon

^{suivante :}

Si le lot

présenté

^{contient une}

proportion _pl

d’individus

défectueux,

et si on lui

applique

^un

grand

nombre de

fois,

^de

façon indépendante,

^le

plan

^de

contrôle, chaque

^contrôle donnant lieu à l’une des décisions

"ac-

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N" 1

7

ceptation"

^ou

"rejet",

^la

proportion

des décisions

"rejet"

^{sera voisine}

de a. D’où l’on

déduit,

par ^une

opération

intellectuelle

qui,

^{à notre}

avis ,

n’est

plus

du domaine des

mathématiques ("les

événements de très faible

probabilité

^{ne se}

produisent pas"

^{disait Emile}

Borel)

que, dans le con-

trôle

unique auquel

^{le lot est}

soumis,

^{il sera}

"très probablement accepté" .

La même remarque vaut naturellement pour le

couple

de valeurs

(p , j3 ).

Dans tout

ce §

nous nous

imposerons

la condition

pratique

^de

^"non- exhaustivité" généralement admise N . ^0..

^10.

^Ainsi,

^{pour un lot d’effectif}

N

= 50,

^nous admettrons _que l’effectif de l’échantillon ne doit _pas

dépasser 5 ;

pour N =

1 000,

cet effectif devra être ^au maximum de 100. Dans le

§2,

nous discuterons cette condition et montrerons

qu’elle peut,

^sans grave

danger,

^être sensiblement

élargie.

Nous examinerons successivement les différents moyens

qui

per- mettent de déterminer le

plan répondant "au mieux"

aux conditions fixées .

1. 1 - Tables ^{de la} loi binomiale

Les tables les

plus

courantes de la loi binomiale sont :

- les Tables du National Bureau of Standards

[3] ]

- les Tables de H. G.

Romig ^[4]

Les Tables du National Bureau of Standards donnent les valeurs de la fonction de distribution de la loi binomiale sous la forme

pour ^{n =}

2(1)...

⁴⁹

p =

0,01 (0,01).... 0,50 r = 1(1)...

ⁿ

Dans le contrôle _par

attributs,

^on refuse le lot si le nombre de dé- fectueux trouvés dans l’échantillon

dépasse

le critère

d’acceptation ^A.

^On

a donc la

correspondance :

Etant donné les

proportions pl

1 et

p 2 (compatibles

^avec l’effectif du

lot)

^{et les}

risques

^{associés a et}

03B2,

^on cherchera dans les tables le

couple

^{de valeurs}

(n, r)

tel que :

et l’on

prendra

^{A = r - 1.}

Les tables de H. G.

Romig

donnent les valeurs de la fonction de distribution de la loi binomiale sous la forme :

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

8 pour

n=50(5)....

¹⁰⁰

p=

0,01 (0,01).... 0,50 x=0(l)....(n-l)

Le critère

d’acceptation

^{A = x} s’obtient ici en cherchant dans la table le

couple (n, x)

tel que

Malgré

leur différence de

présentation, ^qui

^{est assez}

gênante,

^les

Tables du National Bureau of Standards et celles de

Romig

^se

complètent.

Elles fournissent les solutions existantes pour ^tout effectif d’échantillon de 1 à 49

(N. B. S. )

et pour des effectifs d’échantillon échelonnés de 5 en 5

depuis

⁵⁰

jusqu’à

¹⁰⁰

(Romig).

^{Pour un effectif} d’échantillon n, les

plans

sont valables pour ^un effectif de lot N 10n

(condition pratique

^{de non}

exhaustivité).

Une fois les

paramètres

^de

plan (n,A) déterminés,

^les tables fournissent des

points

de la courbe d’efficacité.

Mais pour des lots de faible

effectif,

les solutions

correspondant

aux valeurs

"les plus

voisines de a

et ?", peuvent

^en fait donner des valeurs fort

éloignées

pour l’un ^ou l’autre

risque,

^{ou même les deux.}

Il est en

particulier parfaitement

^{vain de}

rechercher,

pour de

petits lots ,

un

plan comportant

^des

risques

^très faibles pour des valeurs de

pl

^et

P2

^{très voisines.}

Il faudra donc le

plus

^souvent reconsidérer les données de

départ

(Pl" ^{ex L} (p2,03B2)

^{et chercher un}

^compromis

admissible en se montrant moins

exigeant.

^Ou bien - si cela est

possible - procéder

^{à un contrôle}

à 100

%.

Nous illustrerons ce

qui précède

par deux

exemples.

1 er

Exemple -

On pose la condition stricte p

=

²

%

associée à un

risque

a voisin de

0, 05 ; plus précisément

^on

s’impose 0, 03

ex

0,07.

^Les

plans

satisfaisant à ces conditions sont

indiqués

^{dans le} tableau 1 avec la valeur du

risque P

pour

p2 - 10 ^%.

L’effectif de l’échantillon est ^un mul-

tiple

^{de 5 à}

partir

^{de n = 50.}

Pour n limité à 100

(condition imposée

par les tables de la loi bi-

nomiale)

^{on trouve au total 31}

plans.

Si l’on pose la condition

plus

^stricte

0,

⁰⁴ a

0, 06,

^{il n’en reste} que

17, et,

^avec

0,

^{045 03B1}

0,

055 il n’en reste que neuf.

Mais la constatation la

plus

intéressante est la suivante :

Pour des lots d’effectif inférieur ou

égal

^à

200,

^le

risque ^(asso-

cié à

P2

^{= 10}

%)

^ne

peut

pas être abaissé au dessous de

0, 40.

^{Il s’abaisse} à

0, 22

pour des lots d’effectif ^au moins

égal

^à

^{400 ;}

^{il faut un effectif}

de lot au moins

égal

à 650 pour

qu’il

^ne

dépasse

pas

0, 10.

2 e

Exemple -

On pose la condition stricte

pl

^{= 4}

%,

^et pour ^a les mêmes

limites, 0,03

^a

0,07.

Le tableau 2 donne les

plans correspondants ,

avec la valeur

de (3

pour

p2

^{= 16}

^%.

Sans

qu’il

soit besoin

d’insister,

^{on constate}

qu’on

^est

"plus

^à

l’aise"

pour le choix d’un

plan,

parce

qu’on

s’est montré moins

exigeant

^{sur la}

distance

séparant

^les

proportions p

1 et

P2.

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

9 Tableau 1

p1 = 2 % 0,03 03B1 0,07

(1)

^Effectifs d’échantillon

multiples

^{de 5 à}

partir

^{de n =} 50.

(2) D’après

^la

condition N ^0,

^{10. Cette condition}

^peut

^être

^assouplie

^sans

erreur grave, ^{au moins}

jusqu’à n N ^0,

^15.

^{(cf § 2)}

On trouvera en Annexe

2,

^une collection de

plans

pour les conditions suivantes :

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

10 Tableau 2

p1 = 4 % 0,03 03B1 0,07

(1)

^Effectifs d’échantillon

multiples

^{de 5 à}

partir

^{de n = 50.}

(2) D’après

^la

condition N ^0,

10. Cette condition

peut

^être

assouplie

^sans

erreur grave, ^{au moins}

jusqu’à n N ^{0, 15. (cf. §2).}

1. 2 - Tables de la loi de Pois son

On admet

généralement

que la loi binomiale de

paramètres (n , p)

est

assimilable,

^{avec une très faible} erreur, à la loi de Poisson de pa- ramètre ^{m =} np si n

50,

p

0,10.

On pourra donc utiliser les tables

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

11

de cette

loi,

à condition que l’effectif du lot soit au moins

égal

^à

500,

et que la

proportion p2

^ne

^dépasse

^{pas 10}

^%.

Les tables les

plus

courantes de la loi de Poisson sont :

- les Tables de

E. C.

Molina

[5]

- les Tables du

"Defense Systems Department,

General Elec-

Company" ^[6].

Les Tables de Molina donnent les valeurs de la fonction de distri- bution de la loi de Poisson sous la forme :

Lorsqu’on

^les

utilise,

on recherche les

couples

de valeurs

(a1, ^{c) ,}

(a c)

tels que

a2 a2 # ^P2

et que les

probabilités correspondantes

^{lues dans}

la table soient

respectivement

voisines de a et 1 -

p.

L’effectif de l’échan- tillon est n ⁼

a2 = a1,

^et le critère

d’acceptation

^{A = c - 1.}

P2 Pl

Les tables de la General Electric donnent les valeurs de la fonc- tion de distribution de la loi de Poisson sous deux formes :

Leur mode

d’emploi

^{est le même} que celui des tables de Molina si ^on utilise la fonction

D(x).

Si l’on choisit la fonction

C(x),

^{les valeurs}

de cette

fonction,

pour ^une même valeur _x, et pour

ul

^et

u2

^{tels que}

u2 u1 # p2 p1

^{doivent être}

respectivement

voisines de 1 - a et

P.

^{Le critère}

d’acceptation

^{est A = x.}

Quelles

que soient les tables

utilisées,

^on doit vérifier que la valeur

n vérifie la

condition n N ^{0, 10.}

Les tables

permettent

aussi d’obtenir des

points

de la courbe d’effi- cacité : on doit se limiter aux valeurs de p

0, 10.

3 e Exemple -

^{On fixe}

p =

²

^%

^{avec oc} voisin de

0,

⁰⁵

P2

^{= 10}

%

^{’ ,}

P

^"

0, 10

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

12 Les tables de Molina montrent que :

On a :

d’où

Il faut que l’effectif du lot soit ^au moins

égal

^{à 650}

Le Tableau 1 ci-dessus montre que, pour le

plan ⁽ⁿ

⁼

65,

^{A =}

3),

les

risques

^exacts

(loi binomiale)

^{sont :}

4 e Exemple -

^{Soit un} lot d’effectif N = 300. On fixe

p =

⁴

^%,

^{et oc voisin}

de

0, 05.

L’effectif de l’échantillon doit être au maximum

égal

^{à 30. Les va-}

leurs de u 1

(tables

de la General

Electric)

^{sont :}

soit :

On trouve dans la table que la

plus

faible valeur du

risque P

^asso-

cié à

P2

⁼

0, 16 (16 %) correspond

^au

plan :

Le tableau 2 ci-dessus montre que, pour le

plan (n = 30,

^{A =}

3)

les

risque

^exacts

(loi binomiale)

^{sont :}

L’approximation

par la loi de Poisson est moins bonne que dans le

cas

précédent ^(surtout

pour le

risque 03B2)

^parce que l’effectif de l’échantillon est inférieur à

50,

^et p2 ^est

supérieur

^à

0, 10.

1. 3 -

Abaques

^{de R.}

C avé

L’emploi

des tables de la loi binomiale ^ou de la loi de Poisson est

assez

compliqué.

^Mais

lorsque l’approximation

par la loi de Poisson est

valable,

^on obtient très

facilement, grâce

^aux

abaques

^{de R.}

Cavé [7]

les

plans correspondant

^{aux valeurs}

pi

^et

P2

choisies et :

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

13 5 e

Exemple -

^{On fixe}

Pour

p2 =

5 et les valeurs de a

et 03B2 choisies,

^{on lit sur le 1 er}

Pl

abaque

^{A =}

3, puis

^{sur le 2 e}

abaque :

ml = npl - 1,

^{36 m2 =}

np2 = 6,

⁵⁰ On

prend :

(le

lot doit avoir un effectif

N 650)

L’abaque permet

aussi de trouver les

points

de la courbe d’effica- cité pour les

probabilités d’acceptation :

(à

condition que les valeurs

correspondantes

de p

justifient l’appro-

ximation de

Poisson)

4. 4 - Tables de la variable F

Soit une variable binomiale X de

paramètres (n, p)

^{et :}

Soit d’autre

part

la variable F à

YI

⁼

^2(A

⁺

^1), 03B32 = ^{2(n - A)} degrés

de

liberté,

^et le fractile 1 - P défini par :

On a l’identité :

Les

paramètres (n, A)

^du

plan (p1, ^03B1), (p2, P)

^{sont donc} tels que :

Les tables de F ne donnant les valeurs de cette variable que pour

P 0,

⁵⁰

on utilisera l’identité :

Revue de Statistique ApplIquée. 1968 - vol. XVI - N’ 1

14 D’où les relations :

qui permettent théoriquement

^{de trouver le}

plan (n, A) correspondant

^{à des}

conditions

(pl ^03B1), (p2,03B2)

^données.

En fait leur

emploi

^{dans ce sens est} peu

pratique.

^Mais

lorsqu’un plan (n,A)

^est

donné,

^elles

permettent

^{d’obtenir assez} facilement un ordre de

grandeur

^des

risques

^oc

et (3

attachés à des

proportions p

^{1 et}

p2.

Les Tables de Hald

[8]

^{donnent les fractiles de F} pour différentes combinaisons de

degrés

^{de liberté.}

6 e

Exemple -

^{Soit le}

plan

^{n = 70 A = 5}

(N 700)

Pour p =

0,

⁰⁴

(4 % ),

^{on a :}

On trouve, par

interpolation

^{linéaire 1 - a}

# 0,935 03B1 # ^{0, 065}

Pour

p 2 = ^0,

¹⁶

^{(16 %) :}

On trouve

1 - 03B2 # 0,

⁹⁷⁵

03B2 # ^{0, 025}

Les valeurs exactes des

risques (loi binomiale,

^{cf Tableau}

2)

^sont:

1. 5 - Tables MIL STD 105 D

(1)

Ces tables ont été conçues pour le contrôle d’une succession de lots

provenant

^{d’une même} fabrication

(cf §

^{3 -}

ci-après).

^{Les courbes}

d’efficacité

qu’elles

contiennent ont été établies dans

l’hypothèse

^{de la loi}

binomiale

(non exhaustivité)

^{ou de son}

approximation

par la loi de Poisson.

Leur

emploi

pour le contrôle d’un lot isolé

exige

^certaines

précautions.

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N 1

15

On ne doit pas utiliser la

"Table 1" qui

^{donne la}

"lettre-code

d’ef- fectif

d’échantillon"

en fonction de l’effectif N du lot et du

"niveau

de

contrôle".

_{On y}

trouverait,

par

exemple,

pour des lots d’effectif

compris

entre 16 et

25,

^le

plan

^{C où} l’effectif d’échantillon est de 5. Pour un lot

isolé,

^on

aurait N » 0, 10.

On ne doit pas ^non

plus

^{se baser sur} la valeur du

NQA (niveau

^de

qualité acceptable) qui correspond

^{à la}

proportion _pl,

^{avec un}

risque qui,

selon les

plans, peut

^{varier de}

0,01

^à

0, 12 :

^on trouverait par

exemple,

pour des lots d’effectif

compris

entre 2 et

8,

^un

plan

pour

lequel

^le

NQA

est de

0,065 (6,5 %

^de

défectueux),

^ce

qui

^{est à}

proprement parler

absurde !

Il faut

procéder

^{de la}

façon

^{suivante :}

a)

calculer l’effectif maximum n de

l’échantillon, compte-tenu

^de

l’effectif N du lot et de la

condition N ^0,

^10.

b)

^{consulter les}

graphiques

^{X = courbes} d’efficacité de tous les

plans

du MIL STD 105

D,

^{ou les tableaux X}

qui

donnent des

points particuliers

de ces courbes. Les tableaux X ont deux

entrées, qui correspondent

^au

"contrôle normal"

et au

"contrôle renforcé" ;

^on

peut

utiliser l’une ou

l’autre,

la distinction ne

s’appliquant

pas ^{au cas} d’un lot isolé. ^{On choi-} sira le

plan (n, A) qui,

pour les valeurs

pl

1 et

p2 données,

^{ou des va-}

leurs

voisines, comporte

^des

risques

voisins des valeurs

a, p,

^choisies

(naturellement,

^{comme on l’a}

indiqué

^{en 1 -}

1,

^{dans le cas de}

petits

^lots

on pourra ^ne trouver aucun

plan répondant

^{à ces}

conditions).

Les tables donnent aussi les

plans

^{double et}

multiple

^{de même effi-}

cacité : la

condition n N 0, 10 s’applique

^alors à l’échantillon total sus-

ceptible

^d’être

prélevé.

7 e

Exemple -

^{N = 800}

Pl =

²

^%

^{a =}

^{0, 05} p2 =

¹⁰

^% P

⁼

0, 10

On doit avoir n 80

Les

plans

pour

lesquels

les conditions fixées sont

approximative-

ment réalisées sont les suivants :

"H-NQA 1, 5 (contrôle normal)",

^ou

"H-NQA = 2, 5 (contrôle renforcé

n = 50 A =

2 ;

^{a =}

0, 08

pour

p1 = 2 %, 03B2 = 0,11

^pour

p2 =10 ^%

"J-NQA =1,5 (contrôle normal)"

^ou

"J-NQA = 2, 5 (contrôle renforcé)"

n = 80 A =

3 ;

^{ex =}

0,

⁰⁸ pour

p = 2 %, j3 ^{= 0, 04}

^pour

p 2

^{= 10}

^%

Le

plan

^{n =}

65,

^{A =}

3, qui correspond

presque exactement ^{aux con-} ditions fixées

(cf

Tableau

1 ;

^{a =}

0,041, P = 0, 10)

^ne

figure

pas dans les MIL STD. Il n’existe pas de

"lettre-code

d’effectif

d’échantillon"

_pour

laquelle

^{n =} 65.

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

16

2 - CONDITION DE NON-EXHAUSTIVITE ET APPROXIMATION DE POIS- SON

En toute

rigueur,

^{dans le cas d’un lot}

isolé,

^le

plan

d’échantillon- nage ^devrait être établi à

partir

de la loi

hypergéométrique (tirages exhaustifs). L’approximation

par la loi binomiale ^est considérée comme

bonne

si n N ^{0, 10 ;} qu’arrive-t-il lorsque

^{le taux de}

prélèvement

^dé-

passe 10

% ?

D’autre

part,

que doit-on entendre exactement par

"erreur négli- geable" lorsqu’on

^utilise

l’approximation

de Poisson

quand-

^{celle-ci est}

considérée comme valable ?

Nous devons à

l’obligeance

^{de M.}

Rouzet, Ingénieur

^{à la}

Compagnie

des

Compteurs,

communication de

plans d’échantillonnage

calculés à par- tir de la loi

hypergéométrique,

^{dans les} conditions suivantes :

Risques théoriques a = p

⁼

0,

⁰⁵

Risques

^réels

0, 022

^a

0,075 0, 045 03B2 0, 055

Les

risques

^{réels ne sont connus} que par leur

"fourchette".

Celle-ci est très étroite pour le

risque (3

associé à

P2 ;

^c’est

pourquoi

^{c’est sur-}

tout sur ce

risque

que nous avons

porté

^{notre attention} dans l’étude

critique ci-après.

Les

"plans hypergéométriques" correspondent

^{à des taux de}

pré-

lèvement n N ^qui

^vont de moins de 5

%

à

plus

^{de 75}

%.

On a par

exemple ,

pour le même

risque 0, 05 ( a

tombant dans la fourchette

indiquée

^ci-

dessus) :

Soit,

pour ^une valeur donnée de

P2’

^un

plan particulier (n, A)

pour

lequel

^{le taux de}

prélèvement

^est

n N.

^{Si l’on}

^applique

^{à ce}

^plan

la loi bi- nomiale ou la loi de

Poisson,

^{on trouvera}

pour j3

^{une valeur}

plus

^{ou moins}

différente de

0, 05,

^soit

(loi binomiale)

(loi

^de

Poisson)

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

17

Les valeurs de

?"

^{ont été} recherchées pour tous les

plans ^(au

^to-

tal 396

plans)

dans les tables de la loi de Poisson : la condition p

0, 10

était satisfaite pour

tous,

^{la condition n 50} pour la

quasi-totalité (pour

10

plans seulement,

^{n est}

compris

^{entre 41 et}

49).

Les valeurs de

03B2’

^{ont été} calculées directement

chaque

fois que les calculs étaient raisonnablement

possibles (plans

^pour

^lesquels

^{A =}

^0, 1, 2, 3) -

^{soit 113}

plans.

On obtient

ainsi, chaque plan

^étant caractérisé _par une valeur de p ,

une valeur de

p2,

^{et une valeur de}

n N :

On constate que

(3’

^et

j3" dépendent

très fortement

de n N

^{et relati-}

vement peu de

p 1 et p2 ^(dans

la limite des valeurs de

p1et p2 utilisées).

Il

para1t

^donc

légitime

^de

calculer,

pour

chaque

^valeur

de n N

^{, la}

moyenne des

03B2’

et la moyenne des

03B2"

pour toutes les valeurs associées de

p

^et

p.

On aboutit ainsi à des

"relations moyennes" :

(loi binomiale)

(loi

^de

Poisson)

alors

que ^(loi hypergéométrique)

^est

indépendant de N

^et voisin de

0,05 (0,045 03B2 0,055)

Ces relations sont

représentées graphiquement

^{sur la}

figure ci-après qui permet

les constatations suivantes :

1/ j3’ p" - L’approximation

de Poisson

(dans

les conditions où elle est considérée comme

valable)

surestime le

risque 03B2,

^de

0,

^{05 à 1}

%,

par

rapport

^au

risque

^{calculé dans}

l’hypothèse

^binomiale.

2/ Pour N ^{0, 10, e’} (loi binomiale)

tombe dans la fourchette du

risque P

^calculé

d’après

^{la loi}

hypergéométrique.

3/

^Pour

N - ^{0, 15, p’ est}

de l’ordre de

0, 065,

^et pour

N - ^0,20

^de

l’ordre de

0, 07.

La différence entre ces valeurs et la valeur

exacte,

voisine de

0, 05

donne l’ordre de

grandeur

de la surestimation du

risque quand

^on le calcule par la loi binomiale et que le taux de

prélèvement

est de 15 ou de 20

%.

En

définitive, l’application

^de la loi binomiale au dela de la limite

0, 10

^et

l’approximation

de Poisson

jouent

^{dans le même sens, en}

surestimant le

risque,

^tel

qu’il

résulte de

l’application

^{de la loi}

hyper- géométrique.

^Elles

jouent

^{toutes les} deux dans le sens de la

"sécurité" , puisque

^le

risque

^{réel est inférieur au}

risque

^calculé.

Par

exemple,

^si l’on admet un

risque (3 = 0, 05,

^et

si,

pour avoir

un

plan

aussi sélectif que

possible,

^on

prélève

^un échantillon d’effectif

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

18 ^{Revue de} Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

19

n =

0,

¹⁵

N,

^on pourra déterminer le critère

d’acceptation

^en échantillon - nage non-exhaustif

(loi

binomiale ou

approximation

^de

Poisson)

^à

partir

d’un

risque 0, 065.

Si le taux de

prélèvement

est de 20

% (n N = 0, 20 )

on pourra, dans les mêmes

conditions, partir de 0,

07.

Une étude semblable

conduit,

pour le

risque

a, à des conclusions

analogues -

^{mais avec moins de}

précision,

parce que le

risque

^exact pour le

prélèvement

exhaustif n’est connu

qu’à

l’intérieur d’une four- chette assez

large (0, 022

^à

0, 075).

Ces conclusions sont valables pour des valeurs de pl allant de 1 à 5

%,

des valeurs de p2 allant de ² à 10

%,

^{et des}

risques

^a

et p

^voisins

de

0,05.

^{Ce sont} des conditions assez courantes dans la

pratique,

^et

il est

permis

de penser que les mêmes conclusions

s’appliquent,

^en gros, à des conditions un peu différentes. On doit surtout retenir de ce

qui précède qu’il n’y

^a pas d’inconvénient grave ^à

assouplir

la condition

classique n N ^{0, 10,}

^{et à traiter comme} non-exhaustifs des

prélèvements

exhaustifs pour

lesquels

^{le taux de}

prélèvement

atteint 15 et même 20

%.

D’ailleurs,

^{il n’est}

généralement

pas

possible,

que l’on fasse les calculs

en

"exhaustifs", "non-exhaustifs",

^ou

approximation

^de

Poisson,

^d’obte- nir exactement les

risques

que l’on ^a choisis.

Enfin,

pour ^un lot

isolé ,

la notion même de

risque,

^{ou de}

"probabilité d’erreur", présente

^{un ca-}

ractère relativement conventionnel.

3 - CONTROLE PAR ATTRIBUTS D’UNE SERIE DE LOTS

Lorsqu’on procède

^{au contrôle} d’une série

importante

de lots prove- nant de la même

fabrication,

la situation est toute différente.

Tout

d’abord,

^on a,

d’après

les résultats des livraisons

précédentes,

une information sur la

qualité généralement fournie,

^ce

qui

aide à fixer les valeurs de

p et p2 ^(ou,

^{si l’on}

^applique

^les MIL STD 105

D,

^{le ni-}

veau de

qualité acceptable NQA,

^et éventuellement la

qualité

^limite

LQ).

D’autre

part,

^les

risques prennent

^la

signification

concrète de

"fré-

quences If

^; les lots de la

qualité pi

^seront

acceptés

^{dans la}

proportion

1 - ex, ^ceux de la

qualité p2

^{dans la}

proportion (3.

Pour toute autre qua-

lité,

la courbe d’efficacité donne la

proportion

^{des lots}

qui

^seront

acceptés.

Mais la différence essentielle réside dans le

principe

^{même du con-} trôle

qui

^ne consiste pas à

juger chaque

^lot

isolément,

mais la fabrica- tion à travers les lots livrés. Ce

qui

^{entraîne les}

conséquences

^suivantes

1/

^Les

proportions

^telles que

pl

^et

P2 ^{(ou NQA}

^et

^LQ) s’appliquent

à la fabrication et non à un lot

particulier :

^elles

peuvent

donc avoir des valeurs

quelconques.

Si le contrôle s’effectue sur des lots d’effectif N =

8 ,

il n’est pas absurde de

prendre

pi ⁼

6, 5 % :

cette

proportion

^ne

s’applique

pas à N =

8,

^{mais à} l’effectif

total, supposé important,

^{de la} fabrication.

2/ Accepter

^ou

rejeter

^un

lot,

^c’est

accepter

^ou

rejeter

la fabrication

jugée

^{à travers le}

lot,

^et

appliquer

^{cette décision au lot.} Pour voir s’il est

légitime d’appliquer

la loi binomiale au

contrôle,

il faut comparer l’effectif n de

l’échantillon,

^non pas à l’effectif N des

lots,

^{mais à l’ef-}

fectif

beaucoup plus important (d’ailleurs généralement ^inconnu)

^{de la}

fabrication d’où sont issus les lots. Il est en effet

rigoureusement équi- valent(cf.

^Annexe

1) :

:

Revue de Statistique Appliquée, ^{1968 -} vol. XVI - N 1

20

- de

prélever

directement un échantillon d’effectif n dans la

fabrication,

- d’effectuer un

premier prélèvement

d’effectif N

(lot)

dans la

fabrication, puis

^{un deuxième}

prélèvement

d’effectif n

(échantillon)

dans le

lot,

^sans

qu’il

soit nécessaire de supposer que ^ces

prélèvements

sont

"non-exhaustifs"

_par

_rapport

à la

population

d’où ils sont issus.

Il suffit donc pour que la loi binomiale

(ou l’approximation

de Pois-

son) puisse

^être

légitimement appliquée

que la

"condition pratique

^{de non-}

exhaustivité"

soit vérifiée entre l’effectif de l’échantillon et l’effectif de la fabrication - ce

qui

^sera

pratiquement toujours

^le cas.

Dans ces

conditions,

si la fabrication est de

qualité

p pi

(ou

p

NQA)

^{elle sera}

acceptée

^{avec une}

probabilité

1 - a, ^ce

qui

^veut

dire

qu’au

^{maximum une}

proportion

^{a des lots sera}

rejetée ;

^{de même}

si p p2

(ou p &#x3E;. LQ)

^une

proportion maximale P

^{des lots sera}

acceptée .

3/ Compte

^{tenu de ce}

qui précède,

^on voit que le nombre de

plans disponibles

^est

plus important

que dans le ^cas des lots

isolés, puisque

l’effectif de l’échantillon

peut (théoriquement

^{tout au}

moins)

^aller

jusqu’à

N - 1. En

particulier,

^les

plans

^{donnés en Annexe 2} deviennent valables

quel

que soit l’effectif de lot. D’un autre côté les MIL STD 105 D donnent

une sélection de

plans applicables

^sans restriction au contrôle d’une sé- rie de

lots,

^la

règle

de rattachement de l’effectif d’échantillon à l’effec- tif de lot

n’ayant

^{aucun caractère}

obligatoire.

On fait

parfois,

^{à ce}

qui

vient d’être

dit, l’objection

suivante : Il est bien vrai

qu’il

^est

équivalent

^de

prélever directement,

^de

façon qui peut

^être considérée comme non-exhaustive un échantillon d’effectif n

dans une fabrication d’effectif

M,

^{ou de}

procéder

par l’intermédiaire d’un lot d’effectif

N,

la condition de non-exhaustivité

n’ayant

pas besoin d’être

satisfaite,

entre N et M d’une

part,entre

ⁿ et N d’autre

part.

Mais au fur et à mesure que les contrôles se

poursuivent,

^le

"grand ^lot"

constitué par la fabrication

s’épuise ;

pour le dernier lot par

exemple,

^le

prélèvement

^{de n} s’effectuera au sein de N individus de

façon

exhaustive

si n N

&#x3E;

0, 10.

^{C’est ce}

qui

^se

produit lorsqu’un

^four-

nisseur, après

^avoir reçu ^{une commande}

globale

^{de M}

objets

^{à livrer au}

cours d’une certaine

période,

^{constitue un stock de ces M}

objets

^à

partir

d’une fabrication exécutée une fois pour

toutes, puis

les livre à la demande par lots de N.

Le

problème

^ainsi

posé peut

s’énoncer de la

façon

^la

plus générale

suivante :

L’ensemble des lots est

"totalement exhaustif"

_par

rapport

^{à la fa-} brication.

Chaque

lot est exhaustif par

rapport

^{à la}

fabrication,

^{ou ce}

qu’il

^{en reste}

après

^{contrôle des lots}

précédents. Chaque

échantillon est exhaustif par

rapport

^au

lot,

^{mais non} par

rapport

à l’effectif initial M de la fabrication. Cette dernière

condition, qui justifie

pour les pre- miers lots

l’emploi

de la loi

binomiale,

^{est-elle encore valable au fur}

et à mesure que la fabrication

s’épuise ?

La

réponse

^{est oui. En effet :}

Soit À le nombre de lots d’effectif

N ;

^{M = B N}

1/

La suite des B lots

présentés

^{en recette constitue une}

partition particulière

^{des M}

objets

^en groupes de ^N

(il

y ^a

m! (N!) 03BB partitions

^dis-

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

21

tinctes,

et

03BB! (M)! (N’)03BB ^si,

^dans

chaque partition,

^on

distingue

^{les lots sui-}

vant un ordre

chronologique.

2/

^{Pour une}

partition donnée,

la loi de

probabilité

^à

priori

^du

nombre de défectueux dans chacun des lots constituant cette

partition

est la

même,

^{c’est la loi :}

(D =

^{nombre de} défectueux dans la

fabrication)

^et la loi de

probabilité

^à

priori

du nombre de défectueux dans un échantillon de n

prélèvé

^dans

chacun de ces lots est

également

^la même. C’est la loi

(cf.

^Annexe

1).

3/

Le fait que l’on examine les lots les uns

après

^{les autres ne}

modifie en rien cette

propriété

^{si l’on ne} tient pas

compte,

^{lors du con-} trôle d’un

lot,

^{des résultats obtenus sur les lots}

précédents.

^{Il en résulte}

que le raisonnement fait pour ^un lot

particulier s’applique

à tous les lots .

Lorsqu’on prélève

^un échantillon d’effectif n dans l’un

quelconque

^d’entre

eux, tout se passe ^comme si on avait

prélevé

^cet échantillon dans la totalité de la fabrication. La loi du nombre de défectueux dans cet échan- tillon est la loi binomiale

(n, p

⁼

7).

4/

^{Il est} bien vrai que la loi du nombre de défectueux dans l’échan- tillon du

(r

+

1)ième

lot n’ est

plus

^{la même} si l’on tient

compte

^{des résul-} tats obtenus dans les r lots

précédents :

si par

exemple

^{tous ces lots ont} été

rejetés,

il est bien

probable qu’il

^{le sera aussi. Plus}

précisément,

^si

les

échantillons issus des r

premiers

^{lots ont contenu}

kl, k2, k3 ... kr défectueux,

l’estimation de la

proportion

^de défectueux dans la fabrication est :

et suivant la

place

^de l’estimation

Pr

par

rapport

^aux

proportions

^fixées

p

^et

P2’

^le

(r

⁺

1)ième

lot aura

plus

^{ou moins} de chances d’être

accepté

ou

rejeté.

Mais cela ne modifie en rien la validité du

plan

^de

contrôle,

dont le but n’est pas d’estimer p mais de conduire pour

chaque

^{lot à}

une décision

d’acceptation

^{ou de}

rejet ^(cf.

la remarque faite ^au début de cet

article,

immédiatement avant

le §1).

^{Si la}

proportion

^{de défectueux} dans la fabrication est exactement

égale

^à

pi,

il est très

improbable

que

par

soit très différent de pl. Si cela ^se

produit

^{à un} certain moment en

raison des

"hasards d’échantillonnage",

il n’en est pas moins vrai que,

lorsque

^{tous les} lots auront été

contrôlés,

^une

proportion

^{de ces lots}

voisine de (X aura été

rejetée (la proportion

exacte suppose ^un très

grand

nombre de

lots) ; d’ailleurs,

^{en fin de}

contrôle,

^si le nombre À. de lots est

grand,

^{on aura forcément}

03BB # Pl.

Ce

qui précède

^ne

signifie

pas que la connaissance du nombre de défectueux dans les échantillons

précédemment

^contrôlés

(ou

le nombre de lots

acceptés

^ou

rejetés)

^{est sans intérêt}

pratique.

On sait que, dans les MIL STD 105

D,

^ces

renseignements

sont utilisés pour passer éven- tuellement en

"contrôle renforcé"

ou en

"contrôle réduit".

^S’ils

permettent

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N 1

22

de penser que la fabrication ^est très

bonne,

^{on relâche} la sévérité du contrôle de

façon

à avoir des

opérations plus économiques (contrôle

^ré-

duit) ;

^s’ils conduisent à penser que la fabrication n’est pas ^ce

qu’on

^en

attendait,

^{on accroît} la sévérité

(contrôle renforcé),

^afin d’être mieux

protégé

^{contre le}

risque d’accepter

^une fabrication médiocre

(diminution

de

LQ

pour ^un même

risque 03B2).

Mais ceci constitue un tout autre pro- blème.

Peut-être les

explications qui précèdent apparaitront-elles plus

évidentes à la lumière d’un

exemple simple.

On considère ^un

jeu

de 52 cartes

symbolisant

^la

fabrication,

^dans

lequel

^{les 4 as}

jouent

^{le rôle de}

pièces défectueuses ;

^leur

proportion

est

p = 1 ^(on

^{supposera aussi} par la suite que le nombre d’as

peut

^être

quelconque).

1/

^Un

^joueur

^A

reçoit

^{13 cartes}

(lot),

dont il retourne 5

(échantil- lon).

^Il est

"gagnant" si,

^{sur les 5} cartes, ^{une au}

plus

^{est un as. On a :}

1 re question :

^Est-il

équivalent

pour le

joueur

de recevoir 13 cartes et d’en retourner

5,

^{ou de tirer au} hasard 5 cartes dans le

jeu complet ?

La

réponse

^est évidemment Oui.

2 e question : ^Quelle

^{est la}

probabilité

pour le

joueur

^de

gagner ?

^{La loi} binomiale étant

applicable

^{à un}

"taux

de

prélèvement" 5

_la

_réponse

_{est :}

P =

0, 949

Si l’on

applique

^{la loi}

hypergéométrique (tirages exhaustifs)

^on trouve la valeur très voisine

2/

On distribue le

jeu

de 52 cartes entre 4

joueurs A, B, C, D,

la

règle

^du

jeu

^{étant la même} que pour

A.

3 e question :

^{Les 4}

joueurs

ont-ils la même

probabilité

^de

gagner ?

^La

réponse

^est évidemment Oui.

4 e question :

^{Les 3}

premiers joueurs A, B, C,

retournent leurs 5 cartes l’un

après l’autre,

^{sans annoncer leur} résultat. Le

joueur D, qui

^re-

tourne ^ses cartes en

dernier,

^a-t-il

toujours

^{la même}

probabilité

^de

gagner ?

^La

réponse

est évidemment Oui.

Les

réponses

^{à ces 4}

questions

^{sont les}

mêmes, quel

que soit le nombre d’as dans le

jeu ;

^seule la valeur

numérique

pour la 2 ^e

question

est

modifiée,

^s’il

n’y

^a pas 4 ^as dans le

jeu,

c’est-à-dire si

p 4

Si le nombre d’as dans le

jeu

^est

^inconnu,

^la

probabilité

^de gagner,

P ,

devient une fonction _{de p}

(qui peut prendre

^{les valeurs}

0, 1 52, 2 52,... 1 )

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1

23

5 e

question :

^{Les trois}

premiers joueurs

annoncent leur résultat sous la forme

"gain",

^ou

^"non gain".

Cette information modifie-t-elle la

proba-

bilité de gagner pour le

joueur

^{D ?}

La

réponse

est évidemment Oui si D sait

qu’il

y avait 4 ^as dans le

jeu.

^Par

exemple

^{si A a annoncé}

^"non gain",

^B

"gain"

^{et C}

^"non gain" ,

le

joueur

^{D est certain de} gagner. ^{Mais si D ne} sait pas combien il y avait d’as dans le

jeu,

l’information recueillie est de

piètre

valeur.

6 e question :

^{Les 3}

premiers joueurs

annoncent le nombre d’as

qu’ils

ont obtenu. Cette information modifie t-elle la

probabilité

^de gagner pour le

joueur

^{D ?}

Evidemment

Oui,

^{mais de}

façon différente,

^suivant

qu’il

^{sait ou ne}

sait pas

qu’il

y avait 4 ^as dans le

jeu.

S’il le

sait,

^et si par

exemple

^{A et B ont annoncé}

^"un as",

^C

"0 as",

il reste 2 as dans les 13 cartes que

reçoit

^{D. En en retournant}

5,

^la

probabilité qu’il

obtienne 0 ou 1 as

(gain)

^{doit être} calculée par la loi

hypergéométrique :

S’il ne le sait pas, il ^a la

possibilité

d’estimer le nombre d’as dans le

jeu.

^Par

exemple,

^si

A, B,

C ont annoncé

respectivement 3, 5

^{et 4}

as, cette estimation est

52 3 13 (3

^{+ 5}

^{+ 4)}

^{= 16}

^(il

^faut

^prendre

^{le nombre}

entier le

plus

voisin si le calcul donne un nombre

fractionnaire).

^L’esti-

mation du nombre d’as dans les 13 cartes reçues par D est : 16 -

(3 + 5 + 4)

^{= R}

A

partir

^{de cette}

estimation,

^la

probabilité

^de gagner pour D ^{est :}

7 e

question :

^{Pour un nombre d’as fixé dans le}

jeu (0, 1,2, ... la

pro- babilité que les 4

joueurs

^se

répartissent

^{suivant :}

4

gagnants

⁰

perdant

3 "

1 ^if

2 ^"

2

^"

1 ^"

3

0 ^" 4 ^ir

dépend-elle

de l’ordre suivant

lequel

^les

joueurs

retournent leurs cartes et du résultat

qu’ils

annoncent ?

La

réponse

^est évidemment Non.

(certaines

des

probabilités

^ci-

dessus

peuvent

^être

nulles ;

par

exemple

^{avec 4 as, on ne}

peut pas

avoir 0

gagnant

^{ni 1}

gagnant).

Dans

l’exemple

^simulé

qui

^{vient d’être}

décrit,

^le nombre de lots

(4)

^est

petit,

de sorte que la

"probabilité

^de

gagner"

^ne

peut

pas être traduite par ^une

fréquence.

Pour retrouver une situation industrielle

Revue de Statistique Appliquée, 1968 - vol. XVI - N’ 1