R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE
M AURICE D UMAS
Dénombrement de cheminements
Revue de statistique appliquée, tome 21, n
o3 (1973), p. 99-115
<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1973__21_3_99_0>
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99
DÉNOMBREMENT DE CHEMINEMENTS (1)
Maurice DUMAS
L’étude d’une
épreuve séquentielle
par attributs nepeut
êtrecomplète
sansque l’on ait à évaluer le nombre -
parfois
extrêmement considérable - des cheminementsqui,
sur legraphique
del’épreuve, joignent l’origine
à chacundes
points d’acceptation
et derejet
del’épreuve.
L’auteurindique
comment ilest
possible,
sans avoir recours à aucunordinateur, d’effectuer pratiquement
detels
dénombrements,
defaçon rigoureuse
ou defaçon approchée.
Table des Matières 1 -
But, terminologie
et conventions.2 - Dénombrements effectués de
proche
enproche.
3 - Dénombrements effectués à l’aide de blocs
rectangulaires.
4 -
Région
à contourrégulier.
5 - Limites
supérieures
de la note d’unpoint.
6 -
Applications.
1 - BUT TERMINOLOGIE ET CONVENTIONS
a)
Laquestion
se poseparfois
de déterminer le nombre des cheminementsqui,
dans unquart
deplan
ox, oy,partent
del’origine
0 pour aboutir aupoint
de coordonnées entières x, y, étant entendu que le pas d’un cheminement est soit d’une unité suivant ox
(pas "bon")
soit d’une unité suivant oy(pas
"défec-tueux") ;
trèsgénéralement
des contraintes sontimposées
auxcheminements,
une
ligne
de contrainte étant uneligne
surlaquelle,
oujuste
au delà delaquelle,
tout cheminement
prend
fin.Le but de la
présente
note estd’exposer
comment il estpossible,
sansemployer
aucunordinateur,
d’effectuer des dénombrements de tels chemine- ments : dénombrementsrigoureux
ou dénombrementsapprochés,
constituant des limitessupérieures
desprécédents.
(1) Article remis le 15/6/72, révisé le 21/12/72.
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
100
b)
Des nombres de cheminements sont utiles à connaître notamment enmatière de contrôle de
fabrication, lorsque, d’après
leplan
d’uneépreuve séquentielle
parattributs,
on veut déterminer la courbe d’efficacité del’épreuve (n° 6).
C’est par suite uneterminologie correspondant
directement auxépreu-
ves
séquentielles qui
est utilisée dans la suite.On
distingue l’épreuve séquentielle exhaustive,
del’épreuve séquentielle non-exhaustive,
ouépreuve
de Wald.La
première,
dont lathéorie(1)
tient exactement compte del’épuisement
du lot soumis à
l’épreuve
du fait duprélèvement
del’échantillon,
est valablesans restriction et est aussi
économique
quepossible,
tandis quel’épreuve
deWald n’est valable que pour un effectif de lot suffisamment
grand,
euégard
auxautres données.
Finalement,
le cas considéréplus
loin est celui de deuxlignes
de contrainte encadrantl’origine
et ditesrespectivement ligne d’acceptation
ouligne
A etligne
derejet
ouligne
R. Ce sont deslignes brisées,
déduites des courbes oudroites dont les
équations
sont données par lathéorie,
et ayant pour alluresgénérales
celles de lafigure
2.1 en casd’épreuve
exhaustive et, en moinsrégu- lier,
de lafigure
4.1 en casd’épreuve
non-exhaustive.Le tronquage d’une
épreuve
n’est pasenvisagée
mais ne soulève pas de difficultéparticulière
en cequi
concerne les dénombrements.c)
Le nombre des cheminements aboutissant à unpoint
est dit la note dece
point
et estsymbolisé
parN° (x ,
y ,E) ;
la lettre Erappelle
que cette notedépend
del’épreuve E,
dont legraphique
est constitué par leslignes d’accepta-
tion et de
rejet compte
tenudesquelles
le dénombrement est fait.(1) voir notamment :
- G. PANIZZON. Controlo sequenziale esaustivo per attributi.
Statistica, 1966, Vol. XXVI n° 2.
L’auteur indique comment il est possible, avec l’aide d’une table donnant log x ! et grâce à de nombreuses additions algébriques, d’établir le plan d’une épreuve séquentielle exhaustive ; il donne en outre le programme à introduire dans un ordinateur pour arriver au même résul- tat.
- M. DUMAS. L’épreuve séquentielle exhaustive.
Revue de Statistique Appliquée 1970 Vol. XVIII n° 2 ;
et principalement :
Tables commentées des épreuves séquentielles exhaustive et non-exhaustive.
Sciences et Techniques de l’Armement, 1 er Fasc. 1971, puis Dunod éditeur 1971.
A côté de tous les commentaires théoriques désirables, cet ouvrage contient, dans le cadre de données harmonieusement échelonnées :
- relativement à l’épreuve séquentielle exhaustive, des tables grâce auxquelles un nom-
bre restreint d’additions conduit au plan désiré ;
- relativement à l’épreuve séquentielle non-exhaustive, environ 350 plans entièrement calculés.
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
101
Lorsque
sur legraphique
d’uneépreuve
on désire écrire à côté dechaque point,
la note de cepoint,
il est commode dedisposer
l’axe des x lelong
du bordgauche
de la page et l’axe des y sur lapremière ligne
de cette page, carpratique-
ment xmax est très
supérieur
à y max.Il suffit au lecteur de tourner la page de
90°
pour retrouver les axes dans leurposition classique ;
il n’en reste pas moins que ladisposition qui précède, adoptée
dans laprésente note,
conduit àparler
delignes
d’abscisses et de colon-nes d’ordonnées.
d)
Pour éviter desredites,
il est entendu que tous lespoints
considérés dans la suite commesusceptibles
d’être affectés d’unenote,
sont de coordonnées entières.2 - DENOMBREMENTS EFFECTUES DE PROCHE EN PROCHE
a)
La formule de récurrencesuivante,
valablequel
que soit E :traduit le fait que tout cheminement aboutissant au
point
de coordonnées x et y,provient
soit dupoint
x - 1 et y(cas
où le dernier pas estbon),
soit dupoint
x et y - 1(cas
où le dernier pas estdéfectueux).
Cette
formule, complétée quel
que soitE,
par :permet
la détermination deproche
enproche
de la note den’importe quel point
deE,
à la condition de tenir exactementcompte
deslignes
de contrainte.b)
Sur lafigure 1,
leslignes
de contrainte sont leslignes d’acceptation
etde
rejet
d’une certaineépreuve séquentielle
exhaustive. Elles seprésentent
sousla forme de
lignes
brisées enescalier, composées
depaliers parallèles
àOx,
delongueurs variables,
se terminant par des décrochements d’uneunité, paral-
lèles à
Oy.
On remarque ceci :
- les décrochements sont tous situés entre deux
lignes
d’abscissesentières ;
- les
paliers
de laligne d’acceptation
sont tous situés entre deuxlignes
d’ordonnéesentières ;
- les
paliers
de laligne
derejet passent
par lespoints
derejet.
c)
Du fait de cesdispositions,
il y aacceptation lorsque
le cheminement traverse laligne d’acceptation,
etrejet, lorsqu’il
atteint laligne
derejet ;
deplus,
comme le montrent les notes écrites à côté des
points
de lafigure 1,
la formule(1)
conduit à ceci :- au
voisinage
del’origine,
là où aucune contrainte ne se faitsentir,
lesnotes sont celles données par la
figure 2,
à savoir :Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
102
Figure 2.1 - Notes des pages d’une épreuve séquentielle exhaustive
- le
long
d’unpalier
de laligne d’acceptation,
lespoints
ont la même note ;- si
xl)
est l’abscisse dupoint d’acceptation
d’ordonnée y :-
chaque point
de laligne
derejet
a pour note celle dupoint voisin,
de mêmeabscisse ;
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
103
Figure 2.2 : Valeurs de
Cyx+y
- tous les
points
extérieurs au domaine limité par leslignes
A et R sont denote
nulle,
à la seuleexception
despoints d’acceptation
eux-mêmes.d)
Les notes devenantrapidement considérables,
ilpeut
être commode de fractionner lescalculs,
enappliquant
cette remarque que les cheminements aboutissant aupoint
de coordonnées x2 et Y2,passent tous,
au niveau de l’abs-cisse xi X2’ par l’un des
points
intérieurs auxlignes
A etR ; plus précisément,
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
104
si y 1 et
y’1
sont les ordonnées despoints
d’abscisse x,correspondant respecti-
vement à la
ligne
A(ordonnée
arrondie à l’entiersupérieur)
et à laligne R,
les cheminements en causepassent,
pour x = Xl’ par l’un despoints
d’ordonnée y tellequ’à
la fois l’on ait :On
peut
doncopérer
ainsi :- déterminer les notes des
points
d’abscisse xi dansE ;
soitN° (x1 ,
y ,E)
ces notes ;
-
amputer
legraphique
de E de toutes leslignes
d’abscisse inférieure à xi et considérer que lapartie
restante définit une"épreuve" E’ ;
- déterminer de
façon
usuelle les notes dans E’ dupoint
de coordon- nées x2 et y2 , dans chacun des cas où sur lapremière ligne de E’,
celle d’abscissexi , les notes successives à
partir
de y ;= y1 , seraient :1 er
cas : 1 0 0 0 .... soit : noteNo1 (x2 ,
y2 ,E’) ; 2ème
cas : 0 1 0 0 .... soit : noteNo 2 (x2 ,
Y2 ,E’) ;
3 eme
cas : 0 0 1 0 .... soit : noteNo 3 (x2 ,
y2 ,E’) ;
et ainsi de suite
jusqu’à
ce que le 1 se soit trouvé dans toutes les colonnesd’or-
donnée y satisfaisant à(5) ;
- finalement :
3 - DENOMBREMENTS EFFECTUES A L’AIDE DE BLOCS RECTANGU- LAIRES
a)
Ondésigne
ici par blocrectangulaire
un ensemble depoints qui
appar- tiennent au domaine limité par leslignes
A et R d’uneépreuve E,
etqui,
dans cedomaine,
sont situés d’unepart
entre deux abscisses et d’autrepart
entre uneportion rectiligne
de laligne
A et uneligne parallèle
à cetteportion,
sanspoint
commun avec R - et cela sous réserve que cet ensemble soit
précédé
d’uneligne
ne
comprenant
aucunpoint
derejet
à la hauteur des colonnes du bloc.Un bloc
rectangulaire
se définit par saposition,
caractérisée par les coor-données X et Y de son
point
dedépart,
et par sataille,
caractérisée par les va-leurs de p et de q telles que X + p et
Y + q
soient les coordonnées de sonpoint terminal, point opposé diagonalement
aupoint
dedépart ;
ilcomprend
doncp + 1
lignes
et q + 1 colonnes.Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
105
Chacun des
points
du bloc a une notequi
se déduit(cf. ci-dessous)
de sesvaleurs
directrices ;
celles-ci sont les notes despoints précédant
immédiatement lapremière ligne
dubloc,
c’est-à-dire lespoints
d’abscisse X - 1 dans chacune des colonnes du bloc.b)
La note de toutpoint
d’un blocrectangulaire peut
être obtenue en pro- cédant deproche
enproche (n° 2)
àpartir
des valeurs directrices dubloc ;
mais ellepeut
l’être aussi enappliquant
la formule suivante :dans
laquelle :
X , Y ,
p et q : voirci-dessus ;
i et
j,
avec0 i p et 0 j q,
sont les coordonnées dupoint
dans lebloc ;
deCio
àCji+j :
à lire sur lafigure 2.2, après changement
des notations.La formule
(1)
se vérifieimmédiatement ;
enparticulier,
pour i =0,
c’est-à-direlorsque
l’on détermine lapremière ligne
dubloc,
on aCji+j
= 1quel
que
soit j,
et(1) indique
que la note d’unpoint
de cetteligne
estégale
à la som-me des valeurs directrices
jusqu’à
l’ordonnée de cepoint.
Exemple. - Soit,
dans le cas de lafigure 2.1,
àappliquer
la formule(1)
pour déterminer la note dupoint
de coordonnées x =15 et y = 3 -
note que l’on saitdéjà
êtreégale
à 776.En rattachant ce
point
au bloc défini par :on doit
prendre
i = 3et j =
2puis,
comme valeurs directrices sur x = 11 :12,
78 et 344. Sur la
figure 2.2,
on lit les coefficients1,
4 et 10. Finalement :c)
La note de toutpoint
d’uneépreuve
Epeut
être calculéeuniquement
à l’aide de blocs
rectangulaires,
car il esttoujours possible
de diviser la totalité du domaine de E en une succession de blocsrectangulaires,
la dernièreligne
d’un bloc contenant les valeurs directrices du bloc suivant. Il convient pour effectuer cette division de se laisserguider
enpremier
lieu par les décrochements de laligne d’acceptation - puisque
tout bloc doits’appuyer
sur uneligne
d’ac-ceptation - puis
par ceux de laligne
derejet,
desprécautions
étant seulement àprendre
pourqu’en dépit
des décrochements decelle-ci,
une valeur direc- tricefigure
même dans la dernière colonne dechaque
bloc.Naturellement,
à l’occasion d’un dénombrement onpeut
combiner à volon-té les processus "de
proche
enproche"
et"par
blocsrectangulaires".
Il suffitde
parvenir
à déterminer les valeurs directrices du blocrectangulaire auquel appartient
lepoint
dont la note est recherchée.Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
106
Dans le cas de
l’épreuve
de lafigure 2.1,
l’effectif N du lot n’est pas assezgrand
pour quel’application
de cequi précède
soitparticulièrement
avanta-geux ;
néanmoins,
si l’on avait voulu déterminer les notes despoints d’accepta-
tion de cette
épreuve,
onaurait,
en combinant "deproche
enproche"
et "blocsrectangulaires",
évité l’écriture de 83 notes sur les 115 au delà de x =11,
notes despoints
derejet
noncomprises.
Sont
soulignées
2 fois les 16 notesqu’il
y aurait eu à calculer par la for- mule(1).
Sont
soulignées
1 fois 12 notesrecopiées
et 4 notes résultant de l’addi- tion de 2 autres.4 - REGION A CONTOUR REGULIER
a)
Il arrive dans le cas de certainesépreuves séquentielles
non-exhaustives que, dans unerégion,
laligne
A et laligne
R aient l’une et l’autre l’allure d’un escalier dont les marches seraient toutes de mêmelongueur.
Si deplus (voir figure 1)
les décrochements de laligne
A suivent d’une unité ceux de laligne R,
on dit que l’on a affaire à un contour
régulier
dans larégion
considérée.En cas de contour
régulier, l’épreuve
se divise(n°
3c)
en une succession de blocsrectangulaires
tous de même taille(même
nombre p + 1 delignes,
même nombre q + 1 de
colonnes).
La note d’un
point quelconque Z(x , y)
se déduit des valeurs direc- trices du blocauquel
Zappartient,
par le moyen du processus dun° 3 ;
il est par suite commode
d’adopter
pour les valeurs directrices des blocs successifs dessymboles
relativementsimples ;
ainsi les notes despoints,
aunombre de q +
2,
situés au niveau de laligne
terminale du bloc de rang m, sont dans la suitedésignées
par :Toutes ces
notes,
sauf lapremière,
sont les valeurs directrices du bloc de rang m +1 ;
deplus, u(q+1)m qui
est écrite en dehors du bloc de rang m, est connue, car :Exemple. -
Dans le cas de lafigure 1,
les blocs successifs ont leur taille com- mune définie par p = 3 et q =3 ;
lespoints
dedépart
de ces blocs ont respec- tivement pour coordonnées 5 et0,
9 et1,
13 et2,
etc... Les valeurs direc- trices dupremier
bloc sont :Etant donné le processus de dénombrement par blocs
rectangulaires
dun° 3,
et les valeursp = 3 et q = 3 - auxquelles correspondent, d’après
lafigure
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
107
Figure 4.1 - Epreuve à contour régulier au-delà de x = 4
2.2,
les coefficients1, 4,
10 et 20 - les valeurs directrices d"un bloc peuvent être déduites de celles du blocprécédent
par les relations suivantes :Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
108
A remarquer que la note
u(0)m+1
n’a pas àfigurer
dans ces relationspuis- qu’elle
n’est pas valeur directrice du bloc de rang m + 2.b)
Les relations(1),
valables pour p = 3 et q =3, indiquent
que la formegénérale
de telles relations est :Des
considérations,
nondéveloppées ici,
conduisent auxpropositions
sui-vantes :
1 /
il existe un nombrekq, indépendant de j
et des valeurs initialesu 8),
maisdépendant
de p, tel que :2/
il existe q nombressfq), 2 j q +1, indépendants
des valeurs ini- tialesu(j)0 ,
tels que :la dernière relation
(2)
entraînant d’ailleurss(q)q+1
=s(q)q ;
3/
la valeurs(q)2
est celle de laplus grande,
enmodule,
des racines del’équa-
tion :
4/
les valeurs dekq
et dess(q)j
se déduisent des(q)2
par l’intermédiaire des relations(2) ;
ainsi :Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
109
iV.B. 1. - Les
propositions
ci-dessus sont encore vérifiées pour des valeurs decj
nettement différentes de celles dites
plus
haut et seules considérées dans la suite.Légende
p et q : valeurs de définition de la taille d’un bloc de p + 1 lignes et q + 1 colonnes.
m : rang du bloc considéré.
u(j)m,
1 j q + 1 : valeurs directrices du bloc de rang m + 1, avecu(q+1)m
=u(q)m
N.B. - Pour q = 1,
k(p)1
= p + 2 ; pour compléter le tableau, voir le n° 4 b.Figure 4.2 - Rapports existant à la limite entre les valeurs directrices des blocs rectangulaires d’un con-
tour régulier
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
110
N.B. 2. - Pour de faibles valeurs de p et de q, les valeurs limites annoncées sont données par la
figure 2 ;
surcelle-ci,
les valeurs dekq
et des (")apparaissent
comme étant des fonctions
quasi-linéaires
de p.N.B. 3. - La
partie
c de lafigure
1 montre comment les rapports des valeurs directrices des blocs del’épreuve
considérée tendent vers leurslimites,
lues surla
figure
2.c)
Les valeurs limiteskq
etsfq)
sont utilisées aun° suivant, compte
tenu de la remarque que voici :S’il se trouvait que les valeurs directrices d’un bloc fussent
précisément
entre elles comme
s(q)2 , s(q)3 ,
... , c’est-à-dire si relativement au bloc de rangm + 1 l’on avait :
alors on aurait exactement :
En
conséquence,
dans les conditions susdites :- d’une
part,
les valeurs directrices du bloc de rang m + 2seraient,
ellesaussi,
entre elles commes(q)2 , s(q)3 ,
.... ; et ainsi desuite,
si bien que les valeurs directrices du bloc de rang m + r + 1 seraient liées directement à celles du bloc de rang m +1,
par :- d’autre
part,
pour p et qdonnés,
la connaissance de la seule valeuru(1)m
suffirait pour entraîner celle de la note d’un
point quelconque
de larégion
àcontour
régulier
considérée.5 - LIMITES SUPERIEURES DE LA NOTE D’UN POINT
a)
La note d’unpoint
dans uneépreuve
E est auplus égale
à la note dumême
point
en l’absence de toute contrainte(symbole 0) ;
d’oùd’après (2.3) :
Approximativement (cf.
formule(62.5)
del’ouvrage
cité aun°
1b) :
Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
111
b)
Dans le casparticulier
de la note dupoint d’acceptation
de coordonnéesx(y)A
et y, lerapprochement
de(2.3)
et de(2.4)
conduit à écrire :c)
Trèsgénéralement
l’on a :lorsque l’épreuve
E’ diffère del’épreuve
E :- soit en ce que les contraintes de E’ sont moins strictes que celles de E - comme c’était le cas en a et b
ci-dessus ;
- soit en ce
qu’à
contrainteségales,
sur uneligne
d’abscisse xo,quelques
notes de E’ sont
supérieures
à celles de E aux mêmespoints,
les autres étantégales
deux àdeux ;
- soit a fortiori par une combinaison de ces deux conditions
(d
ci-dessous).
d)
La combinaison suivantepermet
d’obtenir une limitesupérieure
deN° (x ,
y ,E),
une fois connues les notesu(1)0, u(2)0,
... , despoints
de Ed’abscisse xo x , xo
devant,
saufexception,
être choisi tel que xo + 1 soit l’abscisse d’unpoint d’acceptation
de E.1/
Pour obtenir dans larégion
des abscisses de Xo à x, des contraintes moins strictes que celles deslignes
A et R deE,
déterminerl’épreuve
E’ déduitede E par le
remplacement
deslignes
A et R dans larégion
considérée - et éventuellement un peu au-delà de la limite x de cetterégion -
par leslignes
A’et R’ du contour
régulier (n°
4ci-dessus)
lesenglobant,
auplus juste,
entière- ment ; cetteopération peut
être conduitegraphiquemeht
ou à l’aide desimples
considérations
numériques.
Soit p et q les valeurs
caractéristiques
de la taille des blocs du contourrégu- lier,
et m le rang du bloc contenantZ (x , y)
parrapport
au bloccommençant
à l’abscisse xo + 1.Exemple. -
Lafigure
1représente
dans sapartie
a un extrait dugraphique
del’épreuve
faisantl’objet
de lafigure
2.1.Soit,
àpartir
de xo -30,
à chercher une limitesupérieure
de la note dupoint Z (45 , 8).
L’étudegraphique
conduit àl’épreuve
E’(partie
b de lafigure),
de
laquelle
on retient :p = 5 ; q = 2
etm=3,
et, comme coordonnées de Z dans le bloc de rang 3 : i = 2 et
j =
1 .2/
Pourmajorer,
dans leurensemble,
les notes despoints
d’abscisse Xoqui
serviront de valeurs directrices au bloc de rang
1,
il suffit(n°
4c)
de choisircomme
première
de ces notesvil)
telle que :Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
112
Figure 5.1 - Recherche d’une limite supérieure de la note du point Z (x , y)
Il y a manifestement intérêt à
prendre v(1)0
aussipetit
quepossible ;
gené-ralement,
on sera amené àprendre :
De toute
façon,
cela détermine une"épreuve" E", qui
a mêmegraphique
que
E’,
mais dont tous lespoints
àpartir
de x = xo ont leurs notes déterminées(n°
4c)
par la seule valeurvsB
Dans
E",
les valeurs directrices dubloc,
de rang m, contenantZ (x , y)
sont données par :De ces
valeurs,
on déduitN° (x ,
y ,E")
par le processus dun° 3,
et l’on a :Revue de Statistique Appliquée. 1973 - vol. XXI N° 3
113
Exemple (suite). -
Sur laligne
d’abscisse xo, on a(figure 2.1)
A p = 5 et q =
2, correspondent (figure 4.2) :
On vérifie que l’on a bien :
ce
qui
autorise à retenirvu
=u(1)0
= 162 778. Donc pour m = 3Finalement comme
à i = 2 et j = 1 correspond (figure 2.2)
CI =3,
le pro-cessus de
n°
3 conduit à :Cette valeur est à comparer
(figure 2.1 )
àN° (Z , E)
= 67 643 940.6 - APPLICATIONS
a)
On a notamment besoin de connaître la note d’unpoint, chaque
foisqu’intervient,
comme dans les cas des b à dci-dessous,
laprobabilité
que, dans le cadre d’unplan d’épreuve E,
un cheminement a d’atteindre cepoint.
L’expression
de cetteprobabilité
est en effet :expression
danslaquelle a
est le nombre de défectueux contenu dans le lot d’effectifN,
soumis àl’épreuve
E.b)
La courbed’efficacité
del’épreuve séquentielle
E est une courbe tracée de manière à passer par chacun despoints ayant
pour abscisse le nombrea de défectueuxsusceptibles
d’être contenus dans lelot,
0 aN,
et pour ordon- née laprobabilité
que le lot contenant a défectueux a de satisfaire àl’épreuve E,
c’est-à-dire la
probabilité -
soit :z(a , E) -
pour que, dans le cas d’un tellot ,
le cheminement se termine en un
quelconque
despoints d’acceptation
de E.Soit
x(y)A
l’abscisse dupoint d’acceptation
d’ordonnée y, et y. l’ordonnée du dernier de cespoints d’acceptation :
c)
L’effectif moyen iide
l’échantillonnécessaire,
dans le cas del’épreuve séquentielle E,
pour aboutir à une décisiond’acceptation
ou derejet,
a pourexpression :
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expression
danslaquelle :
- la somme est étendue à tous les
points
de sortie(points d’acceptation
etpoints
derejet)
del’épreuve E ;
- xs et y, s étant les coordonnées d’un
point
desortie,
la somme xs + ysreprésente
le nombre des essais nécessaires pour atteindre cepoint, quel
que soit le cheminement suivi.Le
produit
sous lesigne S
estl’espérance mathématique
de l’effectifd’échantillon
correspondant
aupoint
de sortie considéré.d) Epreuve ajustée :
Toutplan
d’uneépreuve séquentielle
E est établi defaçon classique
àpartir
des données suivantes :- pl :
proportion
de défectueux que le fournisseurespère
ne pasdépasser
et à
laquelle
ilaccepte
de fairecorrespondre
unrisque égal
à laprobabilité qu’un
lot caractérisé par pl soit
rejeté,
à condition que cerisque
soit auplus égal à a, petit.
- p2 :
proportion
de défectueux(p2
>pl )
que le client estprêt
àtolérer,
à conditionqu’à
cetteproportion corresponde
unrisque
auplus égal
à(3, petit,
que le lot soit
accepté ;
- N : effectif du
lot,
d’où al =NPI
et a2 -Np2 ;
- nT : effectif de
tronquage,
ou y. : nombre maximal de défectueux tolé- rés dansl’épreuve.
A ces
données,
la théorie faitcorrespondre
des droites(épreuve séquen-
tielle
non-exhaustive)
ou des courbes(épreuve séquentielle exhaustive),
et leplan
del’épreuve correspondante
E est défini par despoints d’acceptation
et derejet systématiquement
extérieurs au domaine limité par les droites ou courbes de lathéorie ;
uneconséquence
en est que lesrisques
réelsoz’ et (3’
sont souvent inférieursrespectivement
aux valeurs a et(3 figurant
aux données. Or on a :On peut donc avoir l’idée de rechercher un
plan ajusté EA dont
lesrisques
réels
respecteraient
les données a et(3,
mais seraientplus près
de ces valeurs que le sont a’ et(3’.
Une telle recherche est d’autantplus
naturellequ’on peut espérer
en atteindre le but par une sorte de
tronquage qui
entraînerait comme avan-tages :
- une
simplification
duplan
par la réduction du nombre despoints
d’ac-ceptation ;
- une réduction des effectifs d’échantillon
(effectif
moyen et effectifmaximal),
d’où une économie encoreplus grande
que cellecorrespondant
à E.Ainsi,
soit El’épreuve
de lafigure
2.1 etEA, l’épreuve ajustée
àlaquelle
une étude a conduit. On a :
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Risques figurant
aux données : a =0,0500 ; (3
=0,1000 Risques
réels :a’ = 0,0282
pourE ; 03B1’A = 0,0484
pourEA
(3’ = 0,0922 " " ; 03B2’A = 0,0965
" "Nombre de
points d’acceptation :
9 "" ;
6 " "Echantillon :
- Effectif moyen pour a = 16 :
24,28 " " ; 21,48
" "- Effectif maximal :
53 " " ;
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