Faire mieux que l’architecte
Problème E541 de Diophante, proposé par Pierre Jullien
Le patron d’une chaîne de grands magasins vient d’acheter une plateforme carrée, de 50 mètres de côté. Il souhaite découper cet espace en cent cellules carrées identiques et installer des cloisons de telle sorte qu’un client entrant par un coin soit obligé de passer par toutes les cellules avant d’arriver à la sortie (et la caisse) située dans le coin opposé à l’entrée.
Son architecte lui signale que cela est impossible et lui suggère de passer à 121 cellules car, dans ce cas, ce serait possible et, en outre, il pourrait aménager plus de stands, comme sur le schéma ci-contre, qu’il
présente, dans la foulée.
Le patron est séduit par l’originalité du plan proposé. Cependant, lorsqu’il calcule la longueur totale des cloisons, il trouve que ça fait beaucoup et demande une proposition plus économique.
E
S
Expliquez pourquoi il est impossible d’envisager l’installation de cent cellules et proposez un plan pour lequel la longueur totale des cloisons est inférieure à celle du schéma ci-dessus (pour 121 cellules évidemment).
Solution de l’auteur
L’impossibilité d’envisager l’installation de cent cellules réside dans la parité du nombre cent. En effet, dans un damier si on entre par une case noire pour passer une fois seulement par chacune des cases, alors on sort nécessairement par une case blanche et réciproquement. Deux cases d’une diagonale sont de la même couleur : ce qui est possible avec 121 (impair) ne l’est pas avec 100 (pair).
On ne peut faire mieux que l’architecte. En effet, pour l’espace nu il existe 220 emplacements potentiels pour installer une cloison séparant deux cellules.
Si l’on souhaite que le parcours soit imposé, il est nécessaire que chaque cellule n’ait qu’une sortie (son entrée étant la sortie de la cellule qui la précède dans le parcours).
Hormis la dernière cellule, dont la sortie est dans le mur extérieur, les autres sorties correspondent à des cloisons qu’on ne dresse pas. Il est donc nécessaire de dresser 100 (220 - 120) cloisons quel que soit le plan proposé.
