Enonc´e noG231 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
On dispose de 21 cartes num´erot´ees de 1 `a 21 qui au d´epart sont dans l’ordre suivant :
5, 13, 19, 2, 16, 11, 10, 3, 17, 18, 8, 6, 21, 1, 14, 12, 4, 20, 7, 9, 15.
Un m´elange les change de position, toujours de la mˆeme fa¸con. Apr`es deux m´elanges, les cartes sont dans l’ordre suivant :
13, 20, 12, 18, 21, 1, 11, 16, 7, 8, 5, 14, 9, 2, 4, 15, 10, 3, 6, 19, 17.
Quelle est la position des cartes apr`es 2006 m´elanges suppl´ementaires ? Pour identifier l’effet de deux m´elanges, on voit que la carte 5 passe de la place 1 `a la place 11, la carte 8 qui occupait cette derni`ere passe `a la place 10, etc. Ainsi, dans la r´ep´etition des m´elanges, la carte 5 va occuper successivement les places
1, 11, 10, 4, 14, 6, 7, 17, 15, 12, 19, 9, 21, 16, 3, 20, 13, 5, 8, 18, 2 avant de revenir `a la premi`ere place apr`es 21×2 = 42 m´elanges, ayant parcouru toutes les places : les deux m´elanges op`erent une permutation cyclique.
L’effet de 2 + 2006 = 2008 m´elanges est le mˆeme que celui de 2008 mod 42 = 34 = 17×2 m´elanges. La carte qui ´etait initialement en position 1 va avoir comme position finale la place 5, 17 rangs plus loin dans le cycle (ou, si l’on pr´ef`ere, 4 rangs en amont).
En situation finale, la place 1 est occup´ee par la carte qui occupait initiale- ment la place 14, et qui est la carte 1. La place 2 est occup´ee par la carte qui occupait initialement la place 4, et qui est la carte 2, et ainsi de suite.
Aux places finales
1, 2, . . ., 20, 21 correspondent les places initiales 14, 4, . . ., 12, 13, et les cartes
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 dans l’ordre naturel.
La situation initiale a pu ˆetre obtenue en partant de l’ordre naturel des cartes et en appliquant 8 m´elanges.
Remarque. On peut se demander quel serait l’effet d’un seul m´elange. Cet effet est lui aussi une permutation cyclique de longueur 21. Si elle fait passer du rang r au rang r+p (dans le cycle de deux m´elanges), deux m´elanges font passer du rang r au rang (r + 2p) mod 21) qui est aussi r+ 1. Donc p= 11. La disposition des cartes entre le premier et le second m´elange est 7, 6, 2, 12, 10, 9, 21, 4, 5, 15, 17, 20, 11, 19, 3, 18, 16, 14, 13, 1, 8.
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Question 2
On dispose d’un jeu de 52 cartes. Existe-t-il un m´elange qui r´ep´et´e 150000 fois ne donne toujours pas la r´epartition d’origine ?
La r´eponse est oui.
En effet, une permutation d’ordrenpeut ˆetre compos´ee de plusieurs permu- tations cycliques agissant chacune sur un sous-ensemble d’´el´ements. L’ap- plication r´ep´et´ee de la permutation fait parcourir `a un ´el´ement un certain sous-ensemble de places (son orbite), les diff´erentes orbites formant une par- tition de l’ensemble initial. La somme des longueurs de ces cycles estn.
Il faut alors, pour que chaque ´el´ement revienne `a sa place initiale apr`es N applications de la permutation, que N soit un multiple commun des longueurs des diff´erents cycles.
Si n = 52, une partition en 7 sous-ensembles de 3, 4, 5, 7, 9, 11 et 13
´el´ements respectivement, avec permutation cyclique `a l’int´erieur de chaque sous-ensemble, conduit pour N au PPCM de 4, 5, 7, 9, 11 et 13, qui vaut 180180.
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