D331. L'expédition au grand air
J’ai installé sur le méridien de Greenwich un campement à partir duquel je réalise une expédition au grand air faite de six tronçons. Sur les cinq premiers de dix kilomètres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixième et dernier tronçon qui me ramène au campement, je garde toujours le cap plein nord.
Je ne passe jamais deux fois par le même endroit. Déterminer la longueur du dernier tronçon et la latitude du campement.
Solution proposée par Bernard Grosjean
(Voir la figure ci-jointe)
La seule possibilité que le dernier tronçon, plein Nord, ramène au campement, sans couper aucun des tronçons précédents, est que le campement soit situé exactement au pôle Nord (point O sur la figure).
Supposons que Greenwich soit en G sur le méridien de Greenwich (GOH)
On a :
- le premier tronçon OA, à l’ouest, perpendiculaire à OG. Longueur 10 km
- le deuxième tronçon AB, au sud, c'est-à-dire dans le prolongement de OA (AO plein nord et AB plein sud). Longueur 10 km.
- le troisième tronçon BC à l’ouest de AB, perpendiculaire à AB. Longueur 10 km.
- le quatrième tronçon CE au sud, c'est-à-dire dans le prolongement de OC. Longueur 10 km.
- le cinquième tronçon EF à l’ouest, perpendiculaire à CE. Longueur 10 km.
On voit sur la figure :
- le triangle OBC est rectangle en B : OC2 = OB2 + BC2 OC2 = 400 + 100 = 500
OC = 500
- le triangle OEF est rectangle en E : OF2 = OE2 + EF2
OF2 = (OC + CE) 2 + EF2
OF2 = OC2 + 2OCxCE + CE2 + EF2
OF2 = 500 + 2 500 x10 + 100 + 100 = 700 + 200 5 Le dernier tronçon (FO) a une longueur de 33, 870 km
et le campement, nous l’avons vu précédemment, est à la latitude 90° Nord
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