3 - N OTIONS DE BASE EN MÉCANIQUE

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01-Notions de base.docx 1/24

3 - N OTIONS DE BASE EN MÉCANIQUE

I. CALCUL VECTORIEL ... 2

1°- LES VECTEURS ... 2

2°- PRODUIT SCALAIRE ... 2

3°- PRODUIT VECTORIEL ... 3

4°- APPLICATIONS ... 4

II. FORCES ET ACTIONS MÉCANIQUES ... 5

1°- EFFETS D’UNE FORCE ... 5

2°- CARACTÉRISTIQUES D’UNE FORCE - ON DEVRAIT DIRE VECTEUR FORCE ! ... 5

3°- COORDONNÉES D’UNE FORCE ... 6

4°- ACTIONS À DISTANCE ET ACTIONS RÉPARTIES SUR UNE SURFACE ... 6

5°- RÉSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES ... 6

6°- APPLICATIONS ... 8

III. MOMENTS ET COUPLES ... 8

1°- UTILITÉ DE LA NOTION DE MOMENT ... 9

2°- MOMENT SCALAIRE D’UNE FORCE ... 9

3°- LE VECTEUR MOMENT D’UNE FORCE ... 10

4°- NOTION DE COUPLE ET DE VECTEUR COUPLE ... 10

5°- APPLICATIONS ... 11

IV. STATIQUE PLANE ... 12

1°- PRINCIPEFONDAMENTALDELASTATIQUE ... 12

2°- APPLICATIONS ... 14

V. NOTIONS DE CINÉMATIQUE DES MOUVEMENTS PLANS... 15

1°- MÉTHODOLOGIE À RETENIR ... 15

2°- CENTRE INSTANTANÉ DE ROTATION ... 15

3°- ÉQUIPROJECTIVITÉ ... 17

4°- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ... 18

VI. NOTIONS DE DYNAMIQUE ... 19

1°- INTRODUCTION ... 19

2°- CAS D’UN SOLIDE EN TRANSLATION RECTILIGNE ... 20

3°- CAS D’UN SOLIDE EN ROTATION ... 20

4°- APPLICATIONS -SOLIDE EN TRANSLATION ... 21

5°- APPLICATIONS -SOLIDE EN ROTATION ... 23

Ana 3 - C10 Définitions normalisées

Rés -C 2 Actions mécaniques dans les liaisons, équations de mouvement

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I. Calcul vectoriel

1°- Les vecteurs

A- Addition de deux vecteurs

• Soient deux vecteurs : U^→ dont un représentant est le bipoint (A,B) et ^→V dont un représentant est le bipoint (B,C).

On définit le vecteur somme W^→ = U^→+^→V tel qu'un de ses représentant est le bipoint (A,C).

• Si les deux vecteurs sont exprimés en projection sur la même base :

U U U

x

U y

z

→= B

et

V V V

x

V y

z

→= B

les composantes du vecteur somme sont :

U V

X X

W Y Y

Z Z

→ +

= +

B +

B- Multiplication d'un scalaire par un vecteur

• Un scalaire k est un élément de l'ensemble des réels.

• Soit un vecteur ^→Vdont un de ses représentants est le bipoint (A,B).

• On définit le vecteur W^→ = k^→V tel qu'un de ses représentants est le bipoint (A,C) tel que : o les bipoints (A,B) et (A,C) aient même direction

o distance AC = k × distance AB

o sens de (A,B) = sens de (A,C) si k est positif et sens de (A,B) ≠ sens de (A,C) si k est négatif

Ici k=2,5 Si

V V V

x

V y

z

→= B

, alors

V V V

K.X

k V K.Y

K.Z

→=

B

2°- Produit scalaire A. Définition

• A tout couple de vecteurs

( )

^{→ →}^{U , V} , on fait correspondre le scalaire défini par : s = U V⋅ = norme de U . norme de V . cos (U,V )

U^→ V^→

A

B

C

A B C

W

(3)

• Si les deux vecteurs sont exprimés en projection sur la même base orthonormée :

U U U

x

U y

z

→= B

et

V V V

x

V y

z

→= B

alors U.V^{→ →}= X X_{U V}+Y Y_{U V}+Z Z_{U V}

B. Propriétés

o le produit scalaire est nul si :

l'un des deux vecteurs est nul ou les vecteurs sont perpendiculaires o ^{→ →}U .U=

2 2

U U

→ →

=

o Le produit scalaire est symétrique : U. V^{→ →}= ^{→ →}V .U

o C'est une forme bilinéaire :^{→ → →}^{U. V W}

(

+

)

= U. V U.W^{→ → → →}+ et U . k V^→

( )

^→ = k U. V^{→ →}

 

  avec k scalaire C. Utilisations particulières

• Calcul de la composante scalaire d'un vecteur sur un axe

On cherche x qui est la composante scalaire de OM^→ sur l'axe horizontal de vecteur unitaire ^→x : OH x x^→ = ^→ Calculons OM . x^→ ^→

OM . x^→ ^→ = OM x cos^→ ^→ α = OM cos^→ α = x Conclusion : x = OM.x

• Calcul de l'angle de deux vecteurs

cos U V

U . V α = ⋅

défini pour 0 ≤ α ≤ π 3°- Produit vectoriel

A. Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs U^→ et ^→V, pris dans cet ordre, est un vecteur noté W U^→= ∧^→ ^→V défini ainsi :

o sa direction est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs

o la base

(

^U,V,W^{→ → →}

)

est directe

o sa norme vaut W^→ = ^{→ →}U V sin U,V

( )

. o La valeur de la norme est égale à l'aire colorée.

U V

O W O

M

H α

x

U V

α

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B. Expression analytique

• Les deux vecteurs sont exprimés en projection sur la même base orthonormée :

x

U y

z

→= B

et

a

V b

c

→= B

x a yc zb

W U V y b za xc

z c xb ya

→ → → −

= ∧ = ∧ = −

B B − B

C. Propriétés

o Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est égal au vecteur nul.

o ^→^U∧ +

(

^{→ →}^{V W}

)

= ^{→ → → →}U V U W∧ + ∧ et U k V^→∧ ^→=k U V^{→ →}

 ∧ 

 

o Il est anticommutatif : U V^{→ →}∧ = V U

− ∧→ →

4°- Applications

• Soit un repère

R

⁼

(

O, x , y , z^{→ → →}

)

. On donne les coordonnées dans

R

des points suivants correspondant respectivement à l'origine et à l'extrémité des vecteurs :

• V^→₁ : point A1 : (2, 1, 0) point B1 : (3, 1, 0)

• V^→₂ point A2 : (1, -3, 0) point B2 : (-2, -1, 0)

• V^→₃ point A3 : (1, 1, 0) point B3 : (3, 2, 0)

• V^→₄ point A4 : (-1, 2, 0) point B4 : (1, 1, 0) 1 Calculer les composantes de chaque vecteur dans la base

B

associée au repère

R.

2 Calculer la norme de chaque vecteur.

3 Calculer la somme de ces quatre vecteurs dans la base

B

R.

4 Écrire les composantes du vecteur unitaire colinéaire à V^→₂ et de même sens, dans la base

B

R.

5 Calculez les produits scalaires V . V^{→ →}₁ ₂ et V . V^{→ →}₃ ₄.

6 Calculez les produits vectoriels V^→₁∧V^→₂ et V^→₃∧V^→₄ dans la base

B

R

^.

(5)

II. Forces et actions mécaniques

1°- Effets d’une force

• Le mouvement d'un objet est provoquée par une action, appelée action mécanique.

o La pierre qui tombe parce qu'elle est soumise à l'attraction de la terre.

o La canne de billard frappe la boule qui se met en mouvement.

• Un solide ne se met en mouvement que si une action est exercée sur lui.

• Les actions mécaniques exercées sur un objet peuvent : o le mettre en mouvement,

o modifier sa trajectoire, o le déformer.

2°- Caractéristiques d’une force - on devrait dire vecteur force !

• Une force est parfaitement déterminée si l'on connaît : o la direction selon laquelle elle s'exerce,

o le sens dans lequel elle agit,

o la valeur ( ou intensité ) qui mesure l'effort qu'il faut fournir pour produire une action .

• L’unité est le Newton.

• L’action de contact exercée par le câble 2 sur le support 1 est schématisée par le vecteur force A_{2 1}_→ , de point d’application A, de direction celle du câble, d’intensité 1000 daN, de sens A vers I ( le câble tire sur le support).

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3°- Coordonnées d’une force

• On peut considérer les coordonnées cartésiennes F et F_x _ycomme étant les composantes orthogonales particulières de la force F dans les directions x et y.

• On obtient

y 2 2

x y x y

x

F Fcos , F Fsin ,tan F , F F F

= θ = θ θ =F = +

4°- Actions à distance et actions réparties sur une surface A. Le poids

• Le poids d’un solide peut être représenté par un vecteur-force F appelé poids et ayant les caractéristiques suivantes :

o point d’application G, le centre de gravité du solide, o direction, la verticale passant par G,

o sens, vers le bas,

o intensité ou module ^{P m.g}= . B. Action d’un fluide sur une surface

• L’action d’un fluide sous pression (p = 100 bars) sur un piston de vérin de diamètre 100 mm: la pression p uniforme agit perpendiculairement à la surface circulaire du piston. Sa résultante R portée par l’axe du piston vaut :

d2

R p.S p 4

= = π .

• L’application numérique donne

2 6

5 (100) (10 )

100.10 78540 N 7854daN

4

π − = =

5°- Résultante de plusieurs forces A. Définitions et propriétés

• On appelle résultante d'un système de forcesF , ₁ F , .... ₂ F , la force _n R telle que R est égale à la somme vectorielle des n forces considérées.

1 2 n

R F= + + +F ... F

(7)

01-Notions de base.docx 7/24 REMARQUE

Tous les systèmes de forces ne sont pas réductibles à une résultante unique.

PROPRIÉTÉS

La droite servant de support ou de ligne d'action à la résultante est unique et la position du point d'application sur cette droite est sans importance (vecteur glissant).

La résultante est dite équivalente aux n forces considérées et peut les remplacer dans n'importe quel problème sans en modifier les résultats.

B. Résultante de forces concourantes 1- Résultante de deux forces concourantes

• La résultante de deux forces concourantes passe par le point de concours de celles-ci. Son intensité et sa direction peuvent être obtenues par la règle du parallélogramme ou par un triangle de construction.

REMARQUE

Si les forces ne sont pas concourantes, il est possible de les translater le long de leur ligne d’action jusqu’à leur point de concours I, puis de les additionner.

REMARQUE

Rreprésente l’action conjuguée des deux câbles et à même effet physique que ceux-ci sur le support. Autrement dit, les deux câbles (tension F et₁ F ) pourraient être remplacées par un câble unique tirant dans la direction (I, ₂ R).

2- Résultantes de plusieurs forces concourantes

• Soit un système de n forces F , ₁ F , …,₂ F concourantes en un même point I. La résultante des n forces passe _n aussi par I et est égale à la somme vectorielle des n forces : R F= + + +₁ F₂ ... F_n

Exemple

Pour la vis proposée, déterminons la résultante ou l’effet combiné des quatre tensions de câbles T ,₁ T ,₂ T et ₃ T . ₄

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6°- Applications

• L’action exercée par la route 0 sur la roue motrice 1 est schématisée par la force F_{0 1}_→ .

1 Si l’effort normal N_{0 1}_→ suivant n a pour valeur 400 daN, déterminer F_{0 1}_→ et T_{0 1}_→ suivant t sachant que

0 1 0 1 0 1

F_→ =N _→ +T _→ .

• La composante T de la tension du câble en A est de 90 daN. _x

2 Déterminer T et T . _y

• En patinage le contact entre lame d’un patin et glace est réparti sur une surface de 250x1 mm.

3 Si le poids du patineur est de 800 N, quelle est la pression de contact.

o 0,32 MPa o 3,2 MPa o 32 MPa

III. Moments et couples

(9)

01-Notions de base.docx 9/24 1°- Utilité de la notion de moment

• Les effets d’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps du solide. Pour la navette spatiale ci-dessous, au repos dans l’espace lointain, la poussée des moteurs schématisée par la force F engendrera le mouvement de l’appareil.

o Cas 1. Si la force F passe par le centre de gravité G de la navette, le vaisseau est animé d’un mouvement de translation rectiligne uniformément accéléré de même direction que F .

o Cas 2 .Si la force F ne passe pas par G, le vaisseau est à la fois animé d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation. Ces mouvements sont fonction de l’inclinaison des moteurs ou de la distance d.

• Pour traduire avec précision les effets d’une force, compte tenu de sa position, il est nécessaire de faire intervenir la notion de moments.

2°- Moment scalaire d’une force

• Le moment de la force F par rapport au point A, noté ^{M F}^A

( )

⁼^F.dest égal au produit de F par le bras de levier d.

CONVENTION DE SIGNE

Si F fait tourner le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est dit positif, si F est inversée, le moment devient négatif.

Exemple

• Déterminons le « couple de serrage » exercé par une clé plate sur un écrou en fonction de l’inclinaison de l’effort B_{3 2}_→ exercé par la main de l’opérateur.

• Le couple de serrage est égal au moment en A de l’action B_{3 2}_→ ,^{M B}^A

( )

^{3 2}^→ ⁼^B^{3 2}^→ ^.AB.sin^α^.

o Si AB est perpendiculaire à B_{3 2}_→ , ^{M B}^A

( )

^{3 2}_→ =^B^{3 2}_→ ^.AB.sinα =100x0,2x1 20Nm= o Si α = °60 , ^{M B}^A

( )

^{3 2}_→ =^B^{3 2}_→ ^.AB.sinα =100x0,2xsin60° =17,3Nm

o Si α = °45 , ^{M B}^A

( )

^{3 2}_→ =^B^{3 2}_→ ^.AB.sinα =100x0,2xsin45° =14,1Nm

• Plus la main est inclinée, plus le couple de serrage diminue.

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3°- Le vecteur moment d’une force

• Dans l’espace, la notion de moment scalaire ou algébrique ne suffit plus. Le moment d’une force doit être décrit sous forme vectorielle (vecteur-moment) et défini à partir d’un produit vectoriel.

o M F est un vecteur à la fois perpen^A

( )

o F et M F suivent la règle des trois doigts.^A

( )

o Rappel : le produit vectoriel n’est pas commu 4°- Notion de couple et de vecteur couple

1- Couple

• Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes co couple (M).

• L’intensité F.d du couple est indépendante du point 0 choisi ou de la valeur de a. Elle distance d entre les deux forces et de l’intensité F.

2- Vecteur couple

• Soit A et B deux points quelconques des supports de

Le vecteur moment d’une force

Dans l’espace, la notion de moment scalaire ou algébrique ne suffit plus. Le moment d’une force doit être décrit moment) et défini à partir d’un produit vectoriel.

( )

M FA =AB F∧

est un vecteur à la fois perpendiculaire à F et à AB .

règle des trois doigts.

e produit vectoriel n’est pas commutatif AB F∧ = − ∧F AB Notion de couple et de vecteur couple

Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes co

L’intensité F.d du couple est indépendante du point 0 choisi ou de la valeur de a. Elle forces et de l’intensité F.

( ) ( )

O O

M M F= +M − =F F(a d) Fa F.d+ − =

oints quelconques des supports de F et F− . M AB F= ∧

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10/24 Dans l’espace, la notion de moment scalaire ou algébrique ne suffit plus. Le moment d’une force doit être décrit

Le moment engendré par deux forces égales et opposées ayant des lignes d’action différentes constitue un

L’intensité F.d du couple est indépendante du point 0 choisi ou de la valeur de a. Elle ne dépend que de la

(11)

01-Notions de base.docx 11/24 5°- Applications

1- Exercice

1 Quel schéma représente un couple de forces ?

2 Pour quelles raisons les autres schémas ne représentent-ils pas un couple de forces ?

2- Exercice

• Pour enfoncer un tire-bouchon on exerce un couple de forces. La valeur commune des forces est F = 10 N.

La distance entre les droites d’action est d= 6 cm.

1 Quelle est la formule qui permet de calculer le moment d’un couple ? Indiquer les unités que l’on doit utiliser.

2 Quel est le moment du couple nécessaire pour enfoncer le tire-bouchon ? 3- Exercice

• On utilise un « diable » pour la manutention des charges.

• Le système « diable et charge » a une masse m = 120 kg. Il peut tourner autour de l’axe O des roues.

Le poids P du système est appliqué au centre de gravité G. L’action exercée par les mains est équivalente à une force unique F appliquée en M et de droite d’action verticale.

• On donne AB = 0,1 m ; BC = 0,6 m.

1 Calculer la valeur du poids P du système (g= 10 N/kg).

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2 Calculer le moment du poids P par rapport à O.

3 À l’équilibre, le moment du poids P par rapport à O est égal au moment de la force F par rapport à O. En déduire la valeur deF .

4- Exercice

• Pour visser et dévisser les boulons d’une roue, les garagistes utilisent des clés à choc pneumatiques.

• Sur un catalogue, la présentation d’une clé à choc pneumatique indique, suivant les modèles, le couple maximal que l’appareil peut exercer. Pour le modèle photographié, le moment maximal du couple (appelé couple maximal) est 217 Nm.

Quelle est la valeur des forces constituant ce couple, s’exerçant sur un boulon de diamètre d = 2,5 cm ?

IV. Statique plane

1°- PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE A. Introduction

• En mécanique, la statique a pour objectif l'étude de l'équilibre des corps. Des cas de statique plane où les forces étudiées appartiennent toutes à un même plan ("forces coplanaires") seront étudiés, mais également des

situations où les efforts ont des directions quelconques dans l'espace.

B. Principe Fondamental de la Statique

• Un solide indéformable S en équilibre sous l'action de n forces extérieurs (F ,F ,...,F )reste en équilibre si : _{1 2} _n o La somme vectorielle R de toutes les forces extérieures est nulle.

1 2 n

S S

R _→ = + +F F ... F+ =0

o Le moment résultant MI en n'importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul.

I I 1 I 2 I n

M =M (F ) M (F ) ... M (F ) 0+ + + =

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01-Notions de base.docx 13/24 C. Méthode de résolution

TRESIMPORTANT

Avant d’envisager une résolution, il faut au préalable vérifier que l’étude a un sens. Par exemple : le solide étudié est-il au départ dans une position d’équilibre ?

La planche du plongeoir n’est pas en équilibre et tourne autour de l’articulation A. Le principe fondamental de la statique ne peut pas être appliqué à cet exemple.

La paire de ciseaux 1 + 2 n’est pas en équilibre et se ferme sous l’action des forces F et F− . Le principe fondamental n’est pas applicable alors que, paradoxalement, les deux équations du principe fondamental de la statique sont vérifiées dans ce cas.

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2°- Applications 1- Exercice

• Une caisse de poids P (736 daN) est soulevée par l’intermédiaire d’élingues et d’un anneau dont les poids sont négligés. Ce dispositif est complété par un dispositif constitué d’une poulie et de câbles.

Déterminer les tensions des câbles et l’effort T que doit exercer l’opérateur pour maintenir l’ensemble en équilibre.

2- Exercice

• L’ensemble routier proposé se compose d’un tracteur (1) et d’une citerne (2). A l’aide d’une bascule de pesage, on détermine les charges par essieux : E = 6 000 daN, F = D = A = B = 9 000 daN (directions verticales).

1 Déterminer le poids total de l’ensemble en charge et le poids de la citerne 2 (P ), sachant que le poids du ₂ tracteur est P = 11 000 daN. ₁

2 Calculer l’action en C (rotule d’attelage) et les distances X et X . ₁ ₂ 3- Exercice

• Il s’agit de comparer d l’effort de serrage de deux systèmes d’ablocage.

• Données : diamètre du vérin d = 40mm, pression d’alimentation p = 20 bars.

(15)

Calculer l’effort d’ablocage pour les deux systèmes. Conclure

V. Notions de cinématique des mouvements plans

• La cinématique étant l’étude des mouvements, elle permettra entre autres de déterminer la vitesse de tous les points d’un solide dans une position donnée.

1°- Méthodologie à retenir

• Dans un problème de cinématique on sera souvent amener à : o définir le mouvement de chaque solide,

o définir la trajectoire des points du solide,

o déterminer la direction (ou le support) du vecteur « vitesse » de chaque point (elle sera toujours tangente à la trajectoire)

o choisir la méthode de détermination des vecteurs « vitesse » en fonction du mouvement.

2°- Centre instantané de rotation A. Définition

• Pour tout solide en mouvement plan, il existe un point (le centre instantané de rotation ou le C.I.R) ayant une vitesse nulle.

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• Si le mouvement est uniquement un mouvement de translation le C.I.R. est reporté à l’infini.

PROPRIÉTÉS DU C.I.R

Le C.I.R. a les propriétés d’un centre de rotation ( V ω =R ).

Le C.I.R. est à l’intersection des perpendiculaires aux vitesses.

Le C.I.R. change de place à chaque instant.

Interprétation graphique

Interprétation analytique

c

A B V

V V

IA IB IC ω = = =

B. Applications

• Système bielle-manivelle.

1 Définir la vitesse du piston si CA = 10mm et N_2/1= 3000 tr/min

• Balai d’essui-glace.

2 Définir la vitesse ω_4/1du balai si AB = 10mm, N_2/1= 3000 tr/min et EC = 15mm

(17)

01-Notions de base.docx 17/24 3°- Équiprojectivité

A. Définition

• Si deux points A et B appartiennent au même solide, alors la projection de VA sur AB est égale à la projection de VB sur AB.

A B

V .AB V .AB= PROPRIÉTÉS

Interprétation graphique

AK BH= Interprétation analytique

A A B B

V .cosθ =V .cosθ

B. Applications

• Système bielle-manivelle

1 Définir la vitesse du piston si CA = 10 mm et N_2/1= 3000 tr/min

• Ouvre portail.

2 Définir la vitesse ω_4/1du portail si AB = 36 cm et N_2/1= 3tr/min et OC = 80 cm.

A

K B

H

VA

VB

A

K B

H

VA

VB

θ_B

θA

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4°- Composition des vecteurs vitesses A. Définition

• Soit un solide 3 en mouvement par rapport à un solide 2, lui même en mouvement par rapport à un solide 1. Le mouvement de 3/1 est donc le composé du mouvement de 3/2 et du mouvement de 2/1.

• Si un point A appartient au solide 3, alors on peut écrire la composition des vecteurs vitesse :

A 3/1 A 3/2 A 2/1

V _∈ =V _∈ +V _∈ B. Interprétation graphique

sens du courant Bateau (3)

C A

B

V_A,2/1

VA,3/1

VA,3/2

rive gauche (1)

rive droite (1) Fleuve (2) θ

C. Applications

• Came commande de soupape.

1 Définir la vitesse du piston si AB = 36mm et N_2/1 = 1500tr/min

• Système à coulisse.

2 Définir la vitesseω_2/1de la coulisse 2 si CB = 28,65mm et N_4/1= 200tr/min et AB = 102mm.

A

B

3

1 1

y

x

N_2/1 2 C

A

B

C

3

1

4

1 y

x ^N^4/1

2

(19)

VI. Notions de dynamique

• La dynamique est le chapitre de la mécanique qui étudie les mouvements des solides en relation avec les forces qui les produisent.

1°- Introduction

A. Pourquoi la dynamique ?

• Étudions une sphère de 1 kg en chute libre et isolons la sphère.

• L’inventaire des actions mécaniques extérieures au solide se résume à P.

• Le P.F.S.

∑

F_ext=0 n’est pas applicable car P 0≠ et la sphère n‘est pas en équilibre. Une étude dynamique est donc nécessaire pour étudier les efforts et les mouvements mis en jeu.

B. Principe de l’inertie REMARQUE

Un principe ne se démontre pas, il est vérifié par expérience.

• Prenons une personne sur une planche à roulette.

• Sous l’effet de ^F l’homme perd l’équilibre en sens inverse de la variation des vitesses, donc de a. CONCLUSION

On remarque donc que la matière possède la propriété de s’opposer aux variations de vitesses donc aux accélérations. Cette propriété s’appelle l’inertie.

P

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2°- Cas d’un solide en translation rectiligne A. Principe Fondamental de la Dynamique

o a : accélération absolue du solide en m/s²._G o m : masse du solide en kg

o

∑

F_ext : résultante des forces en N

o

∑

M F_{A ext} =0, pas de rotation dans un mouvement de translation rectiligne.

• Application à la sphère en chute libre

o g : accélération de la pesanteur, 9.81 m/s² o m : 1kg

o donc P=9.81 N B. Principe de d’Alembert

• Au moment où le skate est accroché temps le skateur se trouve attiré vers l’arriè d’inertie F _I

• Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit aussi

• La force d’inertie est opposée à l’accélération REMARQUE

Sous cette forme, le PFD se ramène à une étude statique (PFS) dans laquelle on considérant comme une force extérieure.

3°- Cas d’un solide en rotation

• Nous n’étudierons que le cas où le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation, fixe.

• Étudions le cas d’un touret à meuler au démarrage.

Cas d’un solide en translation rectiligne Principe Fondamental de la Dynamique

ext G

F =m.a

∑

avec

: accélération absolue du solide en m/s².

: résultante des forces en Newton

, pas de rotation dans un mouvement de translation rectiligne.

Application à la sphère en chute libre : P m.g= avec de la pesanteur, 9.81 m/s²

accroché au véhicule, le skate subit une accélération vers l’avant, et dans le même se trouve attiré vers l’arrière par une force invisible. Cette force invisible est appelée force

Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit aussi :

ext I

F + =F 0

∑

avec F_I= −m.a_G. a force d’inertie est opposée à l’accélération

Sous cette forme, le PFD se ramène à une étude statique (PFS) dans laquelle on ajoute la force d’in considérant comme une force extérieure.

Nous n’étudierons que le cas où le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation, fixe.

le cas d’un touret à meuler au démarrage. Le moteur fournit un couple C

Mot.

Lycée Rouvière

20/24 , pas de rotation dans un mouvement de translation rectiligne.

au véhicule, le skate subit une accélération vers l’avant, et dans le même Cette force invisible est appelée force

ajoute la force d’inertie en la

Nous n’étudierons que le cas où le centre de gravité est situé sur l’axe de rotation, fixe.

C .

Meule

C

(21)

• Isolons la meule : le moteur fournit un couple C

Fext=0

∑

• Là non plus, une étude statique n’est pas appropriée car :

I ext

M F ≠0

∑

en effet C 0≠

• Le Principe Fondamental de la Dynamique s’écrit :

I ext G

M F = α.J

∑

avec : α : accélération angulaire en rad/s² J : moment d’inertie en kg.m² G

• Le moment d’inertie J est un critère qui prend en compte la forme, la position et la masse du solide étudié. _G

• Voici ci-dessous quelques exemple de relation permettant de trouver J avec une rotation autour de l’axe x passant par le centre de gravité G.

Forme du solide en rotation autour de x Moment d’inertie J en kg.m² _X

Jx=m.r²/2

Jx=m(R² - r²)/2

Jx= Jy= Jz=2/5.m.r²

Jx=m/12(a² + b²)

4°- Applications - Solide en translation 1- Exercice 1

• Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s.

1 Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).

2- Exercice

• On considère que l’action du moteur équivaut à une force de direction horizontale et d’intensité Fm = 2700 N.

x

G

(22)

PTSI -

Mécanique

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• On supposant que la résistance de l’air est modélisée par une force horizontale d’intensité Fair = 1000 N, et que la masse du véhicule est de 785 kg.

2 Calculer l’accélération de la voiture.

3- Exercice

• Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par une force constante dont la composante horizontale a pour intensité 200 daN.

31 Quelle est la nature du mouvement ? Calculer l’accélération de la voiture.

32 Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5 secondes ? 33 Quelle sera sa vitesse à cet instant ?

4- Exercice

• Joe Dupont conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg.

Soudain, il freine pour s’arrêter.

• On suppose que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) . 41 Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son intensité.

42 Calculer la durée du freinage.

43 Calculer la distance du freinage.

5- Exercice

• Un skieur de masse 70 kg (équipement compris) remonte une pente de 25° à l’aide d’un téléski. Sa vitesse est 10 km/h. L’inclinaison de la perche par rapport à la pente reste constante et égale à 35°.

• Les forces de frottement étant négligées, on supposera que la réaction du sol est perpendiculaire à la pente.

(g = 10 m/s²).

(23)

01-Notions de base.docx 23/24 51 Faire l’inventaire des forces appliquées au skieur.

52 Construire un tableau des éléments caractéristiques des forces.

53 Écrire la relation fondamentale de la dynamique.

54 Projeter les vecteurs sur la pente.

55 Calculer l’intensité de la force de traction exercée par la perche 5°- Applications - Solide en rotation

1- Exercice

• Le moment d’inertie du rotor d’un moteur de machine électrique s’oppose à sa variation de vitesse angulaire.

Plus il sera grand, plus il sera difficile de changer de fréquence de rotation. On assimile le rotor d’un moteur à un cylindre homogène de diamètre 250 mm et de hauteur 100 mm et de masse volumique ρ = 7 100 kg/m³.

11 Calculer son moment d’inertie

12 Calculer le moment d’inertie d’un rotor assimilable à un cylindre de même masse, mais ayant un diamètre de 100 mm.

13 Citer pour chaque moteur une application où son emploi est souhaitable.

2- Exercice

• Une machine est entraînée par un moteur électrique de fréquence nominale 1 500 tr/min. Celui-ci exerce au démarrage un couple moteur constant de 40 N.m. Le moment d’inertie de l’ensemble de la chaîne cinématique rapporté à l’axe du rotor est de 12,5 kg.m². Le couple résistant dû aux frottements est supposé constant et égal à 4 N.m.

21 Calculer l’accélération du moteur pendant le démarrage.

22 Calculer le temps mis pour atteindre la fréquence nominale.

3- Exercice

•Une meule pleine cylindrique de masse volumique 4 000 kg/m³ a un diamètre D = 600 mm et une épaisseur e = 50 mm. Elle tourne à la fréquence N de 900 tr/min d’un mouvement uniforme quand elle est entraînée par le moteur électrique. On débraye le moteur. La meule n’est plus soumise qu’au couple de frottement Cf de son arbre sur les paliers. Cf = 5 N.m.

31 Calculer ω '.

32 Calculer le temps d’immobilisation.

33 Calculer le nombre de tours faits pendant ce temps.

4- Exercice

• On considère un cylindre de masse M = 500 g muni d'une gorge périphérique sur laquelle on enroule un fil. On accroche à l'extrémité une masse m et le système se met en rotation.

(24)

PTSI -

Mécanique

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• Le graphe obtenu représente la somme algébrique des moments des forces et des couples appliquées au cylindre en fonction de l’accélération angulaire ω ' .

41 Indiquer ce que représente le coefficient directeur de la droite obtenue.

42 En déduire le rayon du cylindre.