Étude d'estimateurs des paramètres des lois de Skellam bivariées de première et deuxième espèce

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC

MÉMOIRE PRÉSENTÉ À

L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS-RIVIÈRES

COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES

ET INFORMATIQUE APPLIQUÉES

PAR

SIDI ALLAL AISSAOUI

ÉTUDE D'ESTIMATEURS DES PARAMÈTRES DES

LOIS DE SKELLAM BIVARIÉES DE PREMIÈRE ET DEUXIÈME ESPÈCE

Université du Québec à Trois-Rivières

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Remerciements

Je souhaite adresser ici mes remerciements les plus sincères aux personnes qui m'ont soutenu en contribuant à l'élaboration de ce mémoire et à la réussite de mes études de deuxième cycle universitaire.

En particulier, je tiens à remercier sincèrement mes co-directeurs, M. Mhamed Mes-fioui, professeur titulaire au Département de mathématiques et d'informatique de l'Uni-versité du Québec à Trois-Rivières, et M. Christian Genest, professeur titulaire au Dé-partement de mathématiques et de statistique de l'Université McGill, pour leur grande disponibilité tout en long de la réalisation de ce mémoire, ainsi que pour leur aide précieuse et le temps qu'ils ont bien voulu me consacrer.

Je tiens également à remercier Mme Josée Saint-Pierre, directrice du Laboratoire de recherche sur la performance des entreprises de l'Université du Québec à Trois-Rivières, qui m'a donné l'opportunité de travailler dans son laboratoire au cours de ma dernière année d'études.

Enfin, je tiens à rendre témoignage à mes chers parents et à les remercier, ainsi que mon frère et toute ma famille, pour leur soutien indéfectible tout au long de mes études.

Mon travail a été financé en partie par des octrois accordés aux professeurs Genest et Mesfioui par le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada, le Fonds québécois de la recherche - Nature et technologies, l'Institut canadien des sciences statistiques, ainsi que la Chaire de recherche du Canada en modélisation de la dépendance stochastique de l'Université Mc Gill.

Table des matières

Résumé

Table des matières

1 La loi de Skellam univariée

1.1 Définition et propriétés de base . . . . . .

1.2 Autres représentations de la loi de Skellam 1.3 Estimation des paramètres . . . . . . . . .

1.3.1 La méthode des moments . . .

1.3.2 La méthode du maximum de vraisemblance

1.4 Loi asymptotique des estimateurs à vraisemblance maximale 1.5 Tests du rapport des vraisemblances maximales

2 La loi de Skellam bivariée 2.1 Définition et propriétés de base

2.2 Méthodes d'estimation des paramètres 2.2.1 La méthode des moments . . .

2.2.2 La méthode du maximum de vraisemblance

2.3 Modèles de Skellam avec véritables paramètres de dépendance 2.3.1 Modèle de Skellam bivarié de première espèce

2.3.2 Modèle de Skellam bivarié de deuxième espèce 2.3.3 Modèles à dépendance négative . . . . 2.4 Estimation des paramètres des lois BSI et BS2

2.4.1 Estimation du paramètre (J pour le modèle BSI

2.4.2 Estimation des paramètres (JI et (J2 pour le modèle BS2

11 iv 3 3 5 7 7 7 9 11 14 14 16 16 16 19 19 21 24 25

26

27 3 Contribution principale 30

3.1 Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du mo-dèle BSI . . . . . 31 3.2 Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du

mo-dèle BS₂ . . . 34 3.3 Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BSI . 40

IV

3.4 Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BS₂ . 42 3.5 Loi asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance des

paramètres du modèle BS1 . . . . . 46 3.6 Loi asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance des

paramètres du modèle BS2 . . . 47

3.7 Comparaison entre les deux approches 50

Introduction

On dit qu'une variable aléatoire obéit à une loi de Skellam si elle s'exprime comme la différence de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes. Cette loi de probabilité est ainsi nommée en l'honneur du statisticien et biologiste John Gordon Skellam (1914-1979), qui a été parmi les premiers à l'étudier (Skellam, 1946).

La loi de Skellam trouve des applications dans divers domaines. Elle a notamment été utilisée pour modéliser la différence entre les scores de deux équipes sportives (Karlis

& Ntzoufras, 2003)

ou la différence, avant et après un traitement préventif, dans l'indice épidémiologique du cumul de nombre de dents cariées, absentes ou obturées. Hwang et coll. (2007) ont employé la loi de Skellam pour mesurer la différence d'intensité des pixels entre deux images numériques. Strackee

&

van der Gon (1962) évoquent une application plus ancienne de cette loi en physique.

L'objectif principal de ce mémoire est d'étudier le comportement asymptotique des estimateurs des paramètres de dépendance des lois de Skellam bivariées de première et de deuxième espèce introduites récemment par Genest

& Mesfioui (2014)

. Dans un premier temps, la loi limite des estimateurs des moments des paramètres de dépendance des lois BS₁ et BS₂ sera déterminée. Dans un second temps, nous aborderons l'est ima-tion de ces paramètres au moyen de la méthode du maximum de vraisemblance. Des résultats asymptotiques relatifs à ces estimateurs seront présentés et des simulations seront employées afin de comparer l'efficacité de ces deux approches d'estimation dans le cadre des lois de Skellam bivariées de première et de deuxième espèce.

Ce mémoire est structuré comme suit. Au chapitre 1, nous rappellerons la définition et les principales propriétés de la loi de Skellam uni variée, qui comporte deux para-mètres. Nous verrons ensuite comment il est possible d'estimer ces paramètres par la méthode des moments et par la méthode du maximum de vraisemblance. Les résultats asymptotiques de Alzaid & Omair (2010) concernant le comportement limite gaussien de ces deux types d'estimateurs seront rappelés. Nous montrerons aussi comment il est possible d'exploiter ces résultats pour tester l'égalité des paramètres de la loi de Skellam

2

au moyen d'un test du rapport des vraisemblances maximales.

Le chapitre 2 donne une description détaillée de trois modèles de Skellam bivariés récemment proposés. Dans un premier temps, nous décrirons et critiquerons le modèle introduit par Bulla et coll. (2012). Nous entamerons ensuite une étude exhaustive de deux modèles de Skellam bivariés alternatifs, notés BS1 et BS2 , qui ont été suggérés par Genest & Mesfioui (2014). ous décrirons plusieurs propriétés de ces modèles et verrons comment il est possible d'en estimer les différents paramètres par la méthode des moments.

Les principales contributions de ce mémoire sont présentées au chapitre 3. Nous y verrons comment il est possible d'estimer les paramètres des lois BS1 et BS2 par la mé-thode du maximum de vraisemblance. Nous préciserons en outre les lois asymptotiques des estimateurs des moments et à vraisemblance maximale des paramètres de dépen-dance de ces modèles. Nous donnerons en outre des expressions explicites des variances asymptotiques de ces estimateurs, dont nous explorerons l'efficacité asymptotique rela-tive en termes numériques et graphiques.

Le mémoire se termine sur une courte conclusion et une annexe technique. Tous les travaux cités sont énumérés dans la bibliographie.

Chapitre 1

La loi de Skellam

uni variée

Ce chapitre rassemble un certain nombre de faits connus concernant la loi de Skel-lam univariée et les méthodes d'inférence qui lui sont propres. À la section LI, nous rappelons d'abord la définition et les principales propriétés de cette loi discrète à deux paramètres. Nous présentons ensuite à la section 1.3 d'autres représentations de cette loi. À la section 1.4, nous expliquons comment il est possible d'estimer les paramètres de la loi de Skellam uni variée par la méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance. Nous nous intéressons plus particulièrement au comportement asympto-tique des estimateurs à vraisemblance maximale. Nous verrons en outre comment il est possible de tester l'égalité des deux paramètres de la loi de Skellam univariée au moyen de tests du rapport des vraisemblances maximales. La plupart des résultats présentés ici sont repris de l'article de Alzaid & Omair (2010).

1.1

Définition et propriétés de base

Rappelons d'abord la définition de la loi de Skellam univariée, popularisée par Skel-lam (1946) mais dont l'origine remonte en fait aux travaux de Irwin (1937).

Définition 1.1.1. Soient Y1, Y2 deux variables aléatoires de Poisson indépendantes telles que E(Yi)

=

).1 et E(Y2 )

=

).2· On dit alors que la variable aléatoire X

=

Yi -

1'2

obéit à la loi de Skellam de paramètres ().1, ).2), notée S().1, ).2). La fonction de masse de X est donnée par l'expression suivante, valable pour tout xE Z :

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 4

Par définition, la loi de Skellam est symétrique, au sens où

De plus, la fonction génératrice des moments de la loi S(Àl, À2 ) est donnée de façon explicite en tout

t

E IR par

(1.1 )

Cette expression permet de calculer facilement les premiers moments de la loi de Skellam univariée. En particulier, on trouve

(1.2)

De plus, les coefficient d'asymétrie et d'aplatissement normalisé de la loi S(ÀI, À2 ) sont respectivement donnés par

1 (32 = 3

+

À À

l

+

2

La loi de Skellam possède en outre une intéressante propriété de stabilité par convo-lution, tel qu'énoncé ci-dessous.

Proposition 1.1.1. Soient Xl,"" Xn des variables aléatoire telles que Xi'" S(Àil, Ài2) pour tout i E {1, ... , n}. Alors

Démonstration. Le fait que Xi '" S(À_{il , Ài2 )} pour tout i E {1, ... , n} entraîne l'existence de variables aléatoires de Poisson indépendantes, disons

Yil '"

P(Àil ) et Yi2 '" P(Àd, telles que Xi

=

Yil -

Yi2' Il en résulte que

n n n

LXi = LYiI - LYi2' i=l i=l i=l

Or, les variables Ylk, ... , Ynk étant mutuellement indépendantes pour k E {1, 2}, on a

Chapitre 1. La loi de Skellam univariée 5

1.2

Autres représentations de la loi de Skellam

La fonction de masse de la loi de Skellam peut aussi s'exprimer en termes de la fonction de Bessel modifiée de première espèce définie en tous x E Z et y

>

0 par

(

y)

X

00

(

y

2/

4

)k

Ix

(

Y

)

=

2

E

k!(x

+

k)!·

Prékopa (1952) montre en effet que si X rv S(À1, À2 ), alors pour tout x E Z, on a

(1.3) Cette expression est rarement utilisée en pratique, compte tenu des difficultés de calcul

qu'elle présente. En conjuguant les formules (1.1) et (1.3), on peut toutefois déduire certaines identités propres à la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

Commençons par rappeler quelques propriétés connues de cette fonction spéciale. Pour tous À

>

0 et x E Z, on a yEZ yEZ ainsi que

(1.4)

où _ 00 zk

O

F1

(;

b; z)

=

E

k!f(b

+

k)

est une fonction hypergéométrique régularisée et

r(.

) d

énote la célèbre fonction Gamma d'Euler, qui généralise la notion de factorielle.

Le résultat suivant énonce d'autres relations satisfaites par la fonction de Bessel qui peuvent être facilement déduites des formules (1.1) et (1.3).

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 6

et

L

x4Ix (,\)

= '\

eÀ(3'\ + 1). xEZ

Démonstration. La première identité découle du fait que l'expression (1.3) est celle d'une fonction de probabilité. Les deux identités suivantes sont des réécritures des formules données en (1.2) pour la moyenne et la variance de la loi de Skellam univariée. La quatrième identité est un cas spécial de la troisième obtenu en posant '\1 = '\2 = '\/2. La dernière expression découle du fait que le quatrième cumulant de la loi est 3p,~. 0

Puisque la fonction de Bessel modifiée de première espèce est liée à la fonction hypergéométrique OFI par l'identité (1.4), on peut en déduire d'autres expressions pour la loi de Skellam univariée. En invoquant le fait que pour toute valeur entière de x,

on trouve facilement que

Pr(X

= x

)

(1.5)

De fait, la formule (1.5) est plus naturelle que celle fondée sur la fonction de Bessel modifée de première espèce puisqu'en procédant par simple conditionnement, on voit directement que si la variable X

= YI - Y

2 est tel que précisé à la définition 1.1.1, alors

Pr(X =

x)

=

L

Pr(Y1 - Y2

= x

lY2

=

y

)

Pr(Y2

=

y

)

yEN

L

Pr(Yi = x

+

y) Pr(Y2 = y) yEN -ÀI-À2,\X

f

('\1'\2)k e 1 k=max(-x,O) k! (x

+

k)! e-À1 - À2

,\f

OFI (; X

+

1; '\1'\2) en tout x E Z. De plus, on a immédiatement

Chapitre 1. La loi de Skellam univariée 7

en tout x E Z dans le cas particulier où À2

=

0, c'est-à-dire quand S_{(À 1,} 0)

==

P

(À 1). Cette correspondance est moins évidente lorsque l'on se réfère à la représentation fondée sur la fonction de Bessel modifiée de première espèce.

1.3

Estimation des paramètres

ous allons maintenant voir comment il est possible d'estimer les paramètres de la loi de Skellam par la méthode des moments et la méthode du maximum de vraisemblance.

1.3.1

La méthode des moments

Soit Xl,"" Xn un échantillon aléatoire de la loi de S(À1' À2). Soient en outre

la moyenne et la variance de l'échantillon. La méthode des moments consiste à estimer les paramètres À₁ et À₂ 'par les formules

Ces estimateurs des moments sont sans biais. Toutefois, ils n'ont aucun sens lorsque S~

-

IXnl

<

0, puisqu'ils conduisent alors à une estimation négative de À1 ou de À2.

Cette situation peut se produire, notamment quand l'un des paramètres est très petit par rapport à l'autre, par exemple lorsque max(ÀI/ À2' À2/ Àd

2:

10 comme mentionné dans l'article de Alzaid

&

Omair (2010). Afin de résoudre ce problème, on peut convenir de poser l'estimation négative égale à zéro, dans lequel cas l'autre estimation est alors égale à la valeur absolue de la moyenne.

1.3.2

La méthode du maximum de vraisemblance

Considérons à nouveau un échantillon aléatoire Xl, ' .. ,Xn de la loi de Skellam S_{(À 1) À2).} La fonction de vraisemblance est donnée par

Chapitre 1. La loi de Skellam univariée 8

Les équations à résoudre sont obtenues en dérivant son logarithme naturel par rapport

à À1 et à À2 . On utilise pour ce fait les relations

x

:x:

Ix(À)

+

Ix+1 (À), 2(x

+

1)

À Ix+1(À)

+

Ix+2(À),

valables en tout x E Z. On obtient ainsi

et

o

oÀ 2 ln{L(x1"'" X n, À1' À2)}

nx

À1 n

2v'~:ÀJ

Xi

(2)À 1À2)

+

IXi+1 (2)À 1À2)

=

-n - -

+

L

----'---"---=----'---,,...:---:---'----'-2À2 )À1À2 i=l IXi (2)À 1À2) À1 n IXi+1 (2)À 1À2)

= -

n

+

L

---:-'---,-'-)À1À2 i=l IXi (2)À 1À2) ,

expressions dans lesquelles

x

=

(Xl

+ ... +

xn)

/

n.

Les estimateurs à vraisemblance

maximale ~lEMV et ~2EMV peuvent donc être obtenus en résolvant les deux équations

non linéaires suivantes:

=n

(1.6)

et

(1.7)

En multipliant l'équation

(1.6)

par ~lEMV et l'équation

(1.7)

par ~2EMV, on obtient,

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 9

ou encore

~lEMV

=

~2EMV

+

Xn

.

(1.8) Puis, en substituant l'équation (1.8) dans l'équation (1.7), on trouve

Par conséquent, on peut déterminer ~2EMV en résolvant l'équation non linéaire (1.9)

et, par suite, calculer ~lEMV en utilisant l'équation (1.8). En faisant appel à l'identité

valide en tout x E Z, on peut aussi déduire l'estimation à vraisemblance maximale

À2EMV de la formule (1.5) en résolvant l'équation non linéaire ci-dessous:

1.4 Loi asymptotique des estimateurs

à

vraisem-blance maximale

Alzaid & Omair (2010) ont montré que quand n -7 00, la loi de l'estimateur

~n = (~lEMV, ~2EMV) du couple de paramètres À = (À1, À2 ) est approximativement gaussienne, d'espérance À et de matrice de covariance 1;1

ln

,

où 1;.. est la matrice d'in-formation de Fisher dont l'élément

(j

,

k) est donné en tous j, k E {1, 2} par

De façon plus formelle, ces auteurs ont montré que lorsque n -7 00, le vecteur

vin

(~n­

À)

converge faiblement vers la loi

N

2 (0,1-1

(À)).

Sous des conditions de régularité faibles, la matrice d'information observée 1(~) est un estimateur convergent de l

(À)

.

Cet estimateur de type "plug-in" , viz.

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 10

peut être déduit comme suit au moyen de la formule (1.5) :

8

2

- 8Àf ln L L),1=.À 1

nX

n \2

~

{ oFH; Xi

+

1; )..IEMV)..2EMV )oFH; Xi

+

3; )..IEMV)..2EMV)

~2

+

/\IEMV L - . . ~ ~

À 1EMV i=1 OFI (, Xi

+

1, À 1EMV À2EMV )

et

8

2

- 8À§ ln L IÀ2=.À2

_

O~1

(; Xi

+

2;

~IEMV ~2EMV

)2 } ,

OFl(; Xi

+

1; À1EMVÀ2EMV)2

_ \2

~

{ oFl(; Xi

+

1; )..IEMV)..2EMV )OFI (; Xi

+

3; )..IEMV)..2EMV)

/\IEMV L - ~ ~

i=1 OFI (; Xi

+

1; À 1EMV À 2EMV )

121 ()..)

8

2

...,----...,---- ln _8À

LI

A

A

18À2 À1=À1,À2=À2

_

O~1

(; Xi

+

2;

~IEMV ~2EMV

)2

}

,

OFI (; Xi

+

1; À 1EMV À 2EMV

)2

_

t

O~I(;

Xi

+

2;

~IEMV~2EMV)

i=1 OFI (; Xi

+

1; ÀIEMVÀ2EMV)

\ \

~

{ oFl(; Xi

+ 1

; )..IEMV)..2EMV )OFl(; Xi

+

3; )..IEMV)..2EMV)

-/\IEMV/\2EMV L - ~ ~

i=1 OFI (; Xi

+

1; À1EMV À2EMV )

_

O~1

(; Xi

+

2;

~IEMV ~2EMV

)2 } . OFI (; Xi

+

1; À 1EMV À 2EMV )2

Au vu de ces résultats asymptotiques, on peut donc obtenir des intervalles de confiance approximatifs pour À 1 et À 2 . Si Za/2

=

p

-

l(a

/

2)

dénote le quantile d'ordre

a/2

de la loi normale centrée réduite, les intervalles ayant pour bornes

~ III

À 2

±

Za/2 l l

J2

11 22 - 12

Chapitre 1. La loi de Skellam univariée 11

1.5

Tests du rapport des vraisemblances maximales

Dans leur article, Alzaid

&

Omair (2010) expliquent aussi comment il est possible

de confronter les hypothèses

H

o

:

Les données sont issues de la loi

S

(>', >'), Hl : Les données sont issues de la loi S(>'l, >'2)

au moyen d'un test statistique.

Étant donné un échantillon aléatoire

X

l

,

'

.

.

,

X

n de même loi que X

,

la statistique

du test consiste à évaluer le rapport des vraisemblances maximales, à savoir

A

=

L

(X1 , ... ,X

n ,),) n

L

(

X

_{1 ,} ...

,

X

_{n ,} ),1, ),2)'

où L(X1,' .. ,Xn, ),n) est la probabilité de l'échantillon calculée sous

H

o

en supposant que

>. est égal à l'estimateur du maximum de vraisemblance, tandis que L(X1"'" Xn, ),1, ),2)

représente la probabilité de l'échantillon calculée sous Hl au moyen des estimations à vraisemblance maximale de >'1 et >'2. Notons que sous

H

o

,

la vraisemblance est n L(X1' ... ,Xn, >')

=

e

-

2n>. >.nx

il

o

..F

\ (

;

Xi

+

1; >.2), i=l où X

=

(Xl

+ ..

.

+

xn)/n.

La log-vraisemblance est clone de la forme n ln{ L(X1' ... ,Xn, >')}

=

- 2n>.

+

nx ln(>')

+

I)n{o..F\ (; Xi + 1; >.2)}. i=l

L'estimation à vraisemblance maximale), de >. est obtenue en résolvant l'équation non linéaire

Par conséquent,

En revanche sous Hl, la vraisemblance maximale est donnée par

n

L(X1, ... ,_Xn,),1,),2)

=

e-

n.\1-n.\2

),

~

x

il

o

..F

\ (

;

Xi

+

1;).1),2)' i=l

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 12

Il s'ensuit que la statistique du test est

- 2In(An)

=

-2 [ - 2n>-

+

nXn ln(>-)

+

t

In{o.F\ (; Xi

+

1; >-2)}

i=l

+

n>-l

+

n>-2 - nXn In(>-l) -

t

In{oFH; Xi

+

1; >-1>-2)}].

i=l

Wilks (1938) a étudié le comportement asymptotique de la statistique _-2In(An). Il a montré que cette dernière converge vers une loi du khi-deux à un degré de liberté lorsque n tend vers l'infini. On rejette donc Ho au seuil a si _-2In(An)

>

XÎ-a,l.

Lorsque l'on veut vérifier si le modèle de Poisson est plus approprié que le mo-dèle de Skellam, on peut construire d'une manière semblable un test du rapport des vraisemblances maximales permettant de confronter les hypothèses

Ho : Les données sont issues de la loi S(À,

0),

à savoir une P(À),

Hl : Les données sont tirées de S(À 1, À2).

Supposons pour ce faire que les valeurs prises par Xl, ... , _{X n} soient toutes entières

et non négatives. La statistique du test est alors donnée par An

=

L(X1, ... ,

X~, >-~

,

L(X1, ... , X n, À1' À2)

où L(X1, ... ,Xn, >-) représente la probabilité de l'échantillon sous Ho calculée en utilisant

l'estimation du maximum de vraisemblance de À et L(X1, ... , Xn, >-1, >-2) représente la probabilité de l'échantillon sous Hl calculée aux valeurs estimées de À1 et À2 obtenues

par la méthode du maximum de vraisemblance. Sous Ho, >- = fi = (Xl

+ ... +

xn)/n

puisque les données proviennent d'une loi de Poisson. Ainsi, n L(X1, ... _,Xn, >-)

=

e-2nx finx /

II

Xi! i=l Sous Hl, on a toutefois n L(X1, _{... , Xn'>-1'>-2)}

=

e- n'xl-n'x2

>-~

x

II

oFH; Xi

+

1; >-1>-2). i=l

Par conséquent, la statistique du test est

- 21n(An)

=

-2 [ - 2nXn

+

nXn In(Xn) -

~

In(Xi!)

+

n>-l

+

n>-2 - nXn In(>-l) -

t

In{o.F\ (; Xi

+

1;>-1>-2))].

Chapitre 1. La loi de Skellam uni variée 13

Pour n assez grand, la loi de la statistique -2ln(An ) s'approche d'une khi-deux à

Chapitre

2

La loi de Skellam bivariée

Quelques généralisations possibles de la loi de Skellam uni variée ont récemment été proposées. Ce chapitre donne un compte rendu de ces modèles. Nous commençons par étudier le modèle de Skellam bivarié introduit dans l'article de Bulla et coll. (2012). Après une brève critique de ce modèle, nous examinons deux modèles de Skellam a l-ternatifs récemment proposés par Genest & Mesfioui (2014). Nous présentons ensuite plusieurs propriétés de ces lois de Skellam bivariées dites de première et de deuxième espèce. En particulier, nous montrons que ces modèles sont stables par convolution et monotones par rapport aux paramètres de dépendance. Finalement, nous exposons une façon d'estimer les paramètres de ces modèles par la méthode des moments.

2.1

Définition et propriétés de base

Nous commençons par définir la version de la loi de Skellam bivarié définie dans l'article de Bulla et coll. (2012).

Définition 2.1.1. Soient '\0

2:

0, '\1

2:

0 et '\2

2:

O. On dit que le couple aléatoire

(Xl,

X2 ) suit une loi de Skellam bivariée, notée 8S(,\o, '\1, '\2), si et seulement si

où Y_{o, YI} et Y2 sont trois variables aléatoires de Poisson mutuellement indépendantes

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée

La fonction de masse de (Xl, X 2) est donnée en tout (Xl, X2) E 'Z} par

Pr(Xl

=

Xl,X2

=

X2)

=

e-(>']+>'2+>'O)À~]À~2

f

(

(~)

:tÀ

2)k

k)'k"

k=max(0,-X],-X2) Xl

+

.

X2

+ .

.

15

Il est clair que les variables aléatoires marginales du couple (Xl, X2 ) suivent des

lois de Skellam univariées, à savoir Xl f'o.J S (À l , Ào) et X 2 f'o.J S (À2, Ào). Puisque le paramètre Ào affecte les lois marginales Xl et X 2, il ne peut pas être considéré comme

un véritable paramètre de dépendance. Nous allons voir plus loin que les paramètres de dépendance des lois de Skellam bivariées définies dans le travail de Genest & Mesfioui (2014) n'affectent pas les marges.

Voici quelques résultats liés au modèle de Skellam bivarié de Bulla et coll. (2012). Proposition 2.1.1. Soit (Xl, _{X 2)} un couple de loi BS (Ào, Àl' _À2) pour certains choix

de paramètres Ào

2::

0, Àl

2::

0, À2

2::

O. a) On a E(Xl, X 2)

=

(À

l - Ào, À2·- Ào) et ( Àl

+

Ào ÀO ) cov(Xl, X2 )

=

L;

=

'0 /\ _À2

+

Ào .

b) Le coefficient de corrélation du couple (Xl, _{X 2)} est donné par Ào

OOIT(~,~)=

.

J(Àl

+

Ào) (À2

+

Ào)

c)

La fonction caractéristique de (Xl, X 2) est donnée en tout (t l , t2) E 'Z} par A. ( ) _ >,](eit]-]) >'2(eit2-]) >'o(e it] it2 -1)

'f'(X],X2) t l , t2 - e e e .

En utilisant la fonction caractéristique de (Xl, _{X 2)} f'o.J BS(Ào, Àl' À2), la fonction de masse de (Xl, _{X 2)} peut être exprimée en tout (Xl, X2) E 'l} par

Pr_(Xl

=

Xl, X 2

=

X2)

=

(2:)2

[

:

J

~

<P(X],X2) (t l , t2) e-kx]t]e-kx2t2 dtl dt2· En particulier, on a l'identité suivante:

La proposition suivante, due à Bulla et coll. (2012), donne une approximation de la

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée

16

Proposition 2.1.2. Soient

>'0

~ 0,

>'1

~ 0 et

>'2

~ O. Pour >'1 et

>'2

assez grand, on a l'approximation suivante:

2.2

Méthodes d

'

estimation des paramètres

Cette section est consacrée à l'estimation des paramètres de la loi 8S(>'o,

>'1, >'2)

par la méthode des moments et celle du maximum de vraisemblance. Ces procédures ont été développées dans l'article de Bulla et coll. (2012).

2.2.1

La méthode

des

moments

et

Soit (X11 , X12 ), ... , (Xn1, Xn2 ) un échantillon aléatoire de loi 8S(>'o,

>'1

,

>'2)'

Posons

_ 1 n Xn2

=

-

L:Xi2

n i=l

La méthode des moments consiste à trouver les valeurs des paramètres pour les-quelles les moments théoriques sont égaux aux moments échantillonnaux. Au vu de la proposition 2.1.1, on trouve

~o

=

Sn12,

~1

=

X

n1

+

~o, ~2

=

X

n2

+

~o.

Notons que l'estimation par la méthode des moments de

>'0

n'existe pas si Sn12

<

O. En

effet, ce modèle induit toujours une dépendance positive entre les variables.

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 17

Afin de maximiser la vraisemblance, on doit déterminer les points critiques de cette

fonction. Le résultat suivant est utile à cette fin. Proposition 2.2.1. Pour tout (Xl, X2) E 'l}, on a

8

Xl ~

8)'1 C(>" Xl, X2)

=

ÀI C(À, Xl, X2)

+

ÀI C(À, X

+

1, X2

+

1),

et

Étant donné des observations (Xll,X12 )

=

(Xll,XI2), ... ,(Xnl,Xn2 )

=

(X n l,Xn 2)

du modèle de Bulla et coll. (2012), la fonction de vraisemblance du paramètre À

=

(À_o, ÀI' À2 ) est donnée par

n n

L( ')

_{A -}

-

il

P _r

(X -

_{l - XiI,}

X

_{2 -}

-

_Xi2

)

-

_{- e} -n(ÀO+Àl+À2)

il

C('

_{A, Xil, Xi2}

)

_.

i=l i=l

Lorsque l'échantillon est de grande taille, cette fonction de vraisemblance peut

prendre des valeurs extrêmement grandes ou petites : elle prend souvent des valeurs

qui sont bien au-delà des possibilités des nombres à virgule flottante que les ordina-teurs manipulent. C'est pour cette raison, entre autres, qu'il est d'usage de maximiser

le logarithme de la fonction de vraisemblance plutôt que la fonction de vraisemblance

elle-même. On obtient évidemment la même solution en procédant ainsi, car le

loga-rithme de la fonction de vraisemblance f(À)

=

ln{L(À)} est une fonction monotone

croissante de L(À). Par conséquent, si la fonction f(À) est maximisée en ~, il en va de

même pour L(À).

Pour j E

{O

,

1, 2}, la dérivée partielle de la log-vraisemblance par rapport à Àj est donnée par

En invoquant la proposition 2.2.1, on trouve

8

8À I ln{ L(À)} >J8 ln{L(À)} uÀ₂

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 18

et

~

In{L(À)}

=

-n +

t

G(À,

XiI

+.1, Xi2 + 1) .

éJÀo

i=l

G(À,

Xil, Xi2)

L'estimateur à vraisemblance maximale ~n

=

(~nO, ~nl, ~n2) de

(Ào,

Àl'

À2)

est donc la solution du système d'équations suivant:

(2.1)

Au vu de la troisième équation, on conclut que

Si on tient compte de ces identités dans le système

(2

.

1),

on voit que le problème est entièrement résolu dans la mesure où l'on peut trouver numériquement la valeur de ~nO telle que

t

G{(~no,~no ~Xnl)no ~Xn2)

,

X

i

l +

1

,

X

i2

+

1

}

= n.

i=l

G{(ÀnO,ÀnO +Xnl,Ào +Xn2),X

i

l,Xi2}

Le résultat suivant est démontré par Bulla et coll.

(2012).

Proposition 2.2.2. Quand n -+ 00,

Vn

(~n-À) converge en loi vers uneN₃ (0,1-1

(À))

,

où l (À) est la matrice d'information de Fisher 3 x 3 dont l'élément

(j,

k) est donné en

tous j, k E {l, 2, 3} par

Cette matrice peut être estimée de façon convergente par l (~), ce qui permet de construire des intervalles de confiance et des tests d'hypothèses.

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée

19

2.3

Modèles de Skellam avec véritables paramètres

de dépendance

Comme on l'a vu plus haut, le modèle de Skellam bivarié proposé par Bulla et coll. (2012) présente un problème conceptuel. En effet, le paramètre de dépendance Ào affecte les lois marginales. Idéalement, il est préférable qu'il n'en soit pas ainsi. Pour éviter ce

problème, Genest & Mesfioui (2014) proposent deux modèles de Skellam bivariés qui

exploitent la notion de choc commun. Nous commençons par présenter le modèle de Skellam à un seul paramètre de dépendance.

2.3.1

Modèle de Skellam bivarié de première

espèce

Soient

>-11

,

À12'

>-21

et À22 des paramètres positifs. Posons À1

=

min( À11' À21 )

>

o.

Pour tout 0 E [0, À1], considérons des variables aléatoires Yo,

Yi

et

Y2

mutuellement

indépendantes telles que

Par convention, Yo

==

0 lorsque 0

=

O. Soient G10 et G20 les fonctions de répartition respectives de YI et Y2 .

Définition 2.3.1. On dit que le couple aléatoire (X₁,X₂₎ obéit à la loi de Skellam

bivariée de première espèce, que l'on note

BS

₁

(0;

À11' À12 ; À21' À22 ), si et seulement si

otons que dans ce modèle, le paramètre

0

n'affecte pas les lois marginales de Xl et X_{2 .} Ce paramètre peut donc être considéré comme un indice de dépendance, d'autant plus que, pour tous Xl, X2 E IR,

e-OOk HO(X1' X2)

=

Pr(X1 ~ Xl, X 2 ~ X2)

=

L

GlO(XI - k)G20 (X2 - k)

-k'-kEN .

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 20

Démonstration. Désignons par Fo la fonction de répartition de la loi de Poisson de paramètre À - (J, où À

> 0

et (J E

(

D

,

À). Il est facile de voir que pour tout k EN,

Il en résulte que pour tous x E Il et j E {l, 2},

Par conséquent, pour tout (Xl, X2) E 'l},

Après simplification, on trouve

e-°(Jk

L

9l0(Xl - k)G20 (X2 - k) - kl kEN . e-O(Jk

+

L

GlO(Xl - k)920(X2 - k) - kl kEN . e-°(Jk

+

L

G18 (XI - k - 1)G2o (X2 - k - 1) - kl ~N . e-O(Jk

-

L

GlO(XI - k)G20 (X2 - k) - kl . kEN .

Il s'ensuit que la fonction (J H Ho (XI, X2) est croissante.

o

À l'instar de la loi de Skellam univarié, ce modèle est stable par convolution. C'est là l'objet du résultat suivant, dont la démonstration est omise, puisqu'elle est en tout point semblable à celle de la proposition 1.1.1.

Proposition 2.3.2. Soient Xl, ... ,Xn des variables aléatoires mutuellement indé pen-dantes telles que, pour tout i E

{l

,

...

,

n}, Xi ,..., BS 1 ((Ji; Ài11' Ài12; Ài21' Ài22). Alors

Le résultat suivant donne une expression explicite pour la fonction génératrice de probabilité du modèle BSl((J; À11' À12; À2l' À22 ). Cette formule peut être utilisée pour calculer les moments mixtes de ce modèle.

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 21

Proposition 2.3.3. La fonction génératrice de probabilité de la loi de Skellam bivariée

BSI(e;Àll,ÀI2,À2I,À22) est donnée, en tout (tl,t2) E (0,00)2, par

E(t~lt:2)

=

exp {(À ll - e)(tl - 1) + ÀI2(1/tl -

l)}

x exp {(À21 - e)(t2 - 1)

+À22 (1/t2 -

l)}

x exp {e(tlt 2 -

l)}.

Démonstration. Par définition, Xl

=

YI

+ Y_o et _X2

=

Y2 + Y_o, où Y_o, YI, Y2 sont des

variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que Y_o rv p(e), YI rv S(À ll -e, _À12) et

Y2

rv S(À21 - e, À22 ). Par conséquent, on a

pour _{tous t l ,}

t

2 E (0, (0). En utilisant le fait que pour j E

{l

,

2}, lj s'exprime comme la

différence de deux variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètres Àjl -

e

et Àj2, on déduit en outre que

E(t?)

=

exp{(Àjl - e)(tj - 1) + Àj2(1/tj -

l)}.

Le résultat découle du fait que E{(t

_l

_{t 2}

)Yo}

=

exp{e(tlt2 -

l)}.

o

On a entre autres E(Xj )

=

Àjl - Àj2 et var(Xj )

=

Àjl + Àj2 pour j E {l, 2}. De plus,

e

ÀI

corr(XI,X2)

=

::;;

.

J(Àll + ÀI2 )(À21 + À22 ) J(Àll + ÀI2 )(À21 + À22 )

Notons que la plus grande valeur possible de corr(XI , X2 ) se produit dans le cas

particulier où Xl et _{X 2} sont de même loi, c'est-à-dire quand Àll

=

À21

=

ÀI et Àl2

=

À22

=

À2. Dans ce cas particulier, on trouve

ÀI

corr(XI, X2 )

=

À À ' l

+

2

qui est strictement inférieur à 1. En particulier, corr(XI , X2 ) = 1/2 si ÀI = À2.

2.3.2

Modèle de Skellam bivarié de deuxième espèce

Soient Àll, _Àl2, _À21 et À22 des paramètres positifs. Posons ÀI

=

min(Àll' À21 )

>

o.

Pour tout e E [0, ÀI ], considérons des variables aléatoires Y_o, YI et Y2 mutuellement indépendantes telles que

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 22

Définition 2.3.2. On dit que le couple aléatoire (Xl, _{X 2) obéit} à une loi de Skellam bivariée de deuxième espèce, notée BS_{2(Ol, O2;} ),11, ),12; ),21, ),22), si et seulement si

Dans cette construction, le vecteur de paramètre 8

=

(01, O2 ) n'affecte pas les lois marginales de Xl et X 2, respectivement notées FI et F2. Lorsque O2

=

0, on voit que

Y_o suit une loi de Poisson d'espérance 01 , tandis que

Yi

rv S(),11 - 0, ),12) et

Y2

rv

S(),21 - 0, ),22). Par conséquent,

La fonction de répartition de la loi de Skellam bivariée de deuxième espèce est donnée, en tout (X1,X2) E 7i}, par

Pr(X1 ~ Xl, X 2 ~ X2)

=

He(Xl, X2)

=

L

G18 (XI - k)G2e (X2 - k)ge(k), kEZ

où ge représente la fonction de masse de YQ. La proposition suivante montre la croissance de la fonction 8 I---t He en ses deux arguments, où la comparaison entre vecteurs se fait

composante par composante.

Démonstration. En procédant de la même manière que pour la démonstration de la proposition 2.3.1, on voit que pour tout X E Z,

et que, pour j

E

{1, 2}

,

Il s'ensuit que pour tout (XI, X2) E Z2, on a

L

g18(Xl - k)G2e (X2 - k)ge(k)

kEZ

+

L

G18(XI - k)g2e(X2 - k)ge(k)

kEZ

+

L

G18(XI - k)G2e (X2 - k)ge(k - 1)

kEZ

+

L

G18(XI - khe(X2 - k)ge(k).

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée

Au terme de quelques calculs algébriques simples, on trouve

[)

[)() He(Xl, X2)

=

L

g18(Xl - k)g2e(X2 - k)ge(k)

2:

O.

1 kE'iZ

23

De même, [)He(Xl, X2)/[)()2

2:

O. On en conclut que la fonction 8 r-+ He(Xl, X2) est bel et bien croissante en ses deux arguments, tel qu'annoncé. 0

Étant donné que Y l'V 5(0,0) correspond au cas où Y

==

0, on a, pour tous Xl, X2 E lR, H(O,O)(Xl,X2)

=

Fl (Xl)F2(X2).

Ainsi la proposition 2.3.4 entraîne que quel que soit 8 E [0, )'1] x [0, À2 ], He est en

dépendance positive par quadrant (DPQ). Toutefois, il est possible de construire une

généralisation du modèle qui permette de rendre compte d'une éventuelle dépendance négative. Cette question fera l'objet de la section 2.3.3.

Les résultats suivants sont des généralisations des propositions 2.3.2 et 2.3.3. Proposition 2.3.5. Soient Xl, ... , Xn des variables aléatoires mutuellement

indépen-dants telles que Xi l'V B52( ()il, ()i2; À_ill, À_i12, À_i21, À_{i22 )} pour tout i E .{ 1, ... , n}. Alors

Proposition 2.3.6. La fonction génératrice de probabilité de la loi de Skellam bivariée B5₂₍₍₎₁, ()2; À_ll, À12, À2l' À_{22 ) est} donnée, en tout (t;, t2) E

(0,

(0)2, par

E(tflt~2)

=

exp{(Àll - ()l)(t l - 1)

+

(À 12 - ()2)(1/t l -

l)}

x exp{(À2l -

Bd

+(À22 - ()2)(1/t2 - l)} x _exp[()1(tlt2 - 1)

+

()2{1/(t lt2) - l}]. Démonstration. Par définition, on sait que l'on peut écrire Xl

=

Yi

+

Yo et X 2

=

Y2

+

Yo en termes de variables aléatoires mutuellement indépendantes

Yo

,

YI, Y2 telles que

Or pour j E {l, 2},

lj

est la différence de deux variables aléatoires indépendantes ayant

des lois de Poisson de paramètres respectifs Àjl - ()l et Àj2 - ()2, ce qui permet de déduire que pour tout

(t

l

,t

2 )

E (0,00)2,

E(t?)

=

exp{(Àjl - ()l)(t j -

1)

+

(Àj2 - ()2)(1/t j -

l)}.

n

s'ensuit que pour tout

(t

l ,

t

2 ) E

(0,

(0)2,

E{(t

₁

_t2

)YO}

=

ex_p[()1(tlt2 - 1)

+

()2{1/(t lt2) - l}],

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 24

En particulier, E(Xj ) = Àj1 - Àj2 et var(Xj ) = Àj1

+

Àj2 pour j E

{l

,

2}. On peut voir en outre que

01

+

O2 À1

+

À2

corr(X1, X2 )

=

<

- - - , = = = = = = = =

J(À11

+

À 12 )(À21

+

À22 ) J(À11

+

À 12 )(À21

+

À22 )

La plage de valeurs pour corr(X1, X2 ) est donc plus grande que celle du premier modèle.

En fait, corr(X1 , X 2)

=

1 est atteint lorsque Xl et X 2 sont identiquement distribuées, c'est-à-dire lorsque _{À 11}

=

À21

=

À 1 et À 12

=

À22

=

À2. En effet, si 01 -t À 1 et O2 -t À2,

on a YI

= Y

2

=

0 et Xl

=

X 2

=

Yo presque sûrement. Dans ce cas, les variables Xl et

X2 sont comonotones.

2.3.3

Modèles à dépendance négative

Les deux modèles de Skellam bivariés décrits dans la section précédente peuvent être facilement adaptés pour tenir compte d'une éventuelle dépendance négative entre

Xl et X 2. Ceci peut être réalisé en exprimant Xl et X 2 comme suit

(2.2)

en termes de variables aléatoires mutuellement indépendantes Y_o, YI, Y2 telles que

Yi '"

5(À 11 - 01, À 12 - O2 ), Y2 '" 5(À 21 - O2 , À 22 - Od,

et Y_{o '"} 5(0₁, O2 ) avec 01

:S

1'1:1 = min(À11, À22 ) et O2

:S

1'1:2 = min(À12, À21 ).

Notons par G 1e et G 2e les fonctions de répartition respectives de YI et Y2 . Soit ge

la fonction de masse de la variable aléatoire _Yo. La loi jointe de la paire (Xl, X 2) est

donnée en tous Xl, X2 E IR par 00

He (X1, X2)

=

L

G 1e (X1 - k)G2e (X2

+

k)ge(k).

k=-oo

Il est clair que ce modèle engendre une dépendance négative entre les variables Xl et

X2 . En effet, par construction

(2.3)

Remarquons que pour ce modèle, les paramètres À₂₁ et À₂₂ n'apparaissent pas dans le même ordre que dans la définition du modèle initial décrit par la construction 2.3.2. Ceci vient du fait que -Y2 '" 5(À 22 - 01, À21 - O2 ). En utilisant la proposition 2.3.4,

on voit que (Xl, - X2) est DPQ et donc que la famille des couples aléatoires (Xl, X 2)

obéit à la propriété de dépendance négative par quadrant. De plus, cette famille est décroissante par rapport au paramètre de dépendance 0, tel qu'énoncé ci-dessous.

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 25

Ce modèle permet aux variables aléatoires Xl et -X₂ de décroître l'une en fonction de l'autre quand elles sont identiquement distribuées, c'est-à-dire lorsque >'u

=

>'22 et >'12 = >'21. Dans ce cas, la plus faible dépendance possible est obtenue en prenant ()1 = >'u = >'22 et ()2 = >'12 = >'21· Il en résulte que Xl = -X2 =

Yo

presque sûrement;

en d'autres mots, Xl et _{X 2} sont alors comonotones.

Grâce à la relation

(

2.3

),

on peut montrer que la fonction génératrice de probabilité du couple aléatoire

_{(Xl, X 2)}

définie par (2.2) est donnée en tout

_{(t 1,}

t2)

E (0, (0)2, par

E{ ti

1

tr

2

_(tI/t2

)YO}

exp{(>.u -

_()1)(t1

-

1)

+

(>'12 -

()2)(1

/

_{t 1 -}

1)} x exp{(>'21 -

_()1)(t2

-

1)

+

(>'22 -

()2)(1/t2 -

1)}

x _{exp{()1(tI/t2} - 1) +

()2(t2/t1

-

1)}. En particulier,

E(X

j )

=

>'j1 - >'j2, var(Xj )

=

>'j1

+

>'j2 pour j E

{l

,

2}

et

()1

+

()2

corr(X1, X2 )

=

-

.

)(>.u

+

>'12)(>'21

+

>'22)

2.4 Estimation des paramètres des lois

BS

₁

et

BS

2

Soit (Xu ,

X 12 ),

. ..

,

_(Xn1

,

_{X n2 )}

un échantillon aléatoire de la loi de Skellam bivariée de première ou de deuxième espèce. Comment peut-on en estimer les paramètres?

Comme Romani (1956) l'a montré, les paramètres des lois marginales 5(>'u, >'12) et 5(>'21, >'22) peuvent être estimés par la méthode des moments en résolvant les équations suivantes:

et

Dans ces équations,

_ 1 n

X n1

=

-

LX

i

I

,

n i=l _ 1 n

X n2

= -

LX

i

2

n i=l

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée et 2 1 ~ - 2 SnI

=

- - 1

L)X

i1 -

X

n1 ) , n - i=l Il en résulte que

~n11

~n21

S~l +

X

n1 2

S~2

+

X

n2 2 26 2 1 ~ - 2 Sn2

= - -

L..,(X

i2 -

X

n2 ) . n - 1 i=l

(2

.

4)

La loi des grands nombres assure la convergence de ces estimateurs. Notons que

pour que ces estimateurs soient positifs, il faut que S~j

2:

IX

nj 1 pour tout j E

{l

,

2}. Si

cette condition n'est pas vérifiée, on peut procéder comme Alzaid

&

Omair (2010) en

réduisant l'estimation négative à zéro, et en posant l'autre égale à

IX

nj

1

·

Il reste donc à trouver une façon d'estimer les paramètres de dépendance des deux

modèles. C'est la question qui sera abordée dans les deux prochaines sections, au moyen

de la méthode des moments. Nous commençons par traiter le cas du modèle de Skellam

bivarié de première espèce.

2.4.1

Estimation du paramètre

e

pour le modèle

ES

1

Étant donné un échantillon aléatoire

(X

11 ,

X

12 ), . .. ,

(X

n1,

X

n2 ) provenant du modèle

BS1 ((J; }.11, }.12; }.21, }.22), l'estimateur des moments du paramètre de dépendance (J est donné par

~ 1 n _ _

(Jn

=

Sn12

= - -

L:(X

i1 -

X

n1 )

(X

i2 -

X

n2 ).

n - 1 i=l

(2.5)

Ceci découle du fait que la covariance du modèle BS1 ((J; }.11, }.12; }.21, }.22) est exactement

(J. Ici encore, la loi des grands nombres nous assure que cet estimateur est convergent.

Lorsque la taille de l'échantillon est faible, il existe toutefois une probabilité non nulle

que Sn12 ~ 0; dans ce cas, on peut poser

ê

_n

=

O.

Dans la pratique, une valeur négative de Sn12 suggère de considérer le modèle de

dépendance négative décrit par (2.2). Comme nous avons indiqué à la section 2.3.3, cela

revient à supposer que (Xl, -X2 ) rv BS₁((J; }.11, }.12; }.22, }.21). Noter que cela n'affecte

pas les estimations des paramètres marginaux donnés par

(

2.4

)

.

Comme cov(X1, - X2 )

=

(J, -Sn12

>

0 sera alors un estimateur convergent de (J.

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 27

2.4.2

Estimation des paramètres

8

1

et

8

2

pour le modèle

BS

2

Lorsque les données proviennent du modèle plus général

BS

2

(0

1,

O

2 ; >"11, >"12; >"21, >"22),

deux équations sont nécessaires pour estimer 01 et O2 par la méthode des moments.

L'identité _cov(X1,

X

2 )

=

0

1

+

O

2 nous conduit à l'équation d'estimation

à partir de laquelle un estimateur convergent de 0 = 01

+

O2 peut être déduit. Quand

n -+ 00, la probabilité que Sn12

<

0 devient négligeable. S'il s'avère néanmoins que

Sn12

<

0, c'est vraisemblablement que le modèle (2.2) est plus approprié.

2.4.2.1 Cas Sn12

>

0

Afin d'estimer 01 et _O2 sous la contrainte

ê

_n1

+ê

_n2

=

Sn12, on doit disposer d'une seconde

équation. Celle-ci peut être obtenue au moyen du résultat suivant.

COV(X1,X~)

cov(Xi

,

X

2 )

(01 - O2)

+

2(>"21 - >"22)(01

+

O2),

(01 - O2)

+

2(>"11 - >"12)(01

+

O2),

Démonstration. Par définition, on a Xl

=

YI

+

Y_o et X 2

=

Y2

+

Y_o, où Y_o,

Yi

,

Y2 sont

des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que Y_o rv S(Ol, O_{2 ),}

Par conséquent,

cov(Yo,

Ycn

+

2E(Y2)var(Yo)

E(Y₀3)

+

{2E(Y2 ) - E(Yo)}var(Yo) - {E(Yo)}3.

Ainsi l'expression souhaitée pour _cov(X1,

Xi)

est donnée par

et

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée 28

Les estimations des quantités cov(Xî, X2 ) et cov(XI, Xi) sont respectivement

don-nées par

et

Étant donné que ).nll - ).n12

=

X

_nl et ).n21 - ).n22

=

X

_{n2 ,} les estimateurs de (}l et (}2

s'obtiennent en résolvant l'équation

et en tenant compte de la contrainte Snl2

=

ê

nl +

ê

_{n2 .} Les estimateurs possèdent donc

une forme explicite, à savoir

Encore une fois, il découle de la loi des grands nombres que ces estimateurs sont

conver-gents. Notons que si l'un d'eux est négatif, on peut le poser égal à zéro.

2.4.2.2 Cas Snl2

<

0

Tel que mentionné plus haut, s'il avère que Snl2 est négatif, il peut alors être préfé-rable de postuler un modèle de dépendance négative pour (Xl, X2 ), défini par (2.2).

Cela revient à supposer que (Xl, -X2 ) rv B_{2 ((}I}, (}2; Àll' À12 ; À22' À21 ). Noter que dans

l'expression de la loi, les paramètres À_l2 et À22 ont été intervertis. Compte tenu de cette

situation, on peut facilement déduire de la proposition 2.4.1 que

cov(XI,xg) cov(Xî,X2)

((}l - (}2) - 2(À_{21 -} À_{22 )((}1}

+

(}2),

((}2 - (}l) - 2(Àll - À_{I2 )((}1}

+

(}2).

Les estimateurs de ces paramètres sont obtenus en résolvant les équations suivantes:

Il vient

Chapitre 2. La loi de Skellam bivariée

2

9

(2.7)

Ici aussi, la convergence des estimateurs découle de la loi des grands nombres. Dans

Chapitre 3

Contribution principale

L'objectif principal de ce chapitre est d'étudier le comportement asymptotique des estimateurs des paramètres de dépendance des modèles de Skellam bivariés 8S1 et

8S2 . Le premier volet de ce chapitre est consacré à l'étude des lois asymptotiques des

estimateurs des moments des paramètres de dépendance des lois 8S1 et 8S2 identifiés

par Genest & Mesfioui (2014). Des expressions explicites des variances asymptotiques de ces estimateurs sont données. La vitesse à laquelle ces approximations deviennent valables est ensuite mesurée par voie de simulation.

Le deuxième volet du chapitre concerne l'étude des estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres des lois 8S1 et 8S2 . Dans un premier temps, nous présentons

les équations normales qui conduisent à ces estimateurs. Nous montrons ensuite la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs. Nous présentons en outre des résultats de simulation permettant de valider les formules de variances obtenues.

Ce chapitre est structuré comme suit. Les sections 3.1 et 3.2 décrivent le compo r-tement asymptotique des estimateurs des moments des paramètres de dépendance des modèles 8S1 et 8S2 . Les sections 3.3 et 3.4 montrent ensuite comment calculer les

estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres de ces deux modèles. Puis, leur comportement asymptotique respectif est étudié dans les sections 3.5 et 3.6. Enfin, des comparaisons d'efficacité entre les estimations des moments et du maximum de vrai -semblance sont présentées à la section 3.7. Certains détails concernant le calcul de la variance limite des estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres du modèle

Chapitre 3. Contribution principale 31

3.1

Loi asymptotique des estimateurs des moments

des paramètres du modèle

BS

₁

Le but de cette section est de déterminer la loi asymptotique de l'estimateur des moments du paramètre de dépendance

0

du modèle

85

1

(0;

),11, ),21; ),12, ),22). Pour ce

faire, nous aurons recours au résultat suivant, qui énonce une version multivariée du

théorème central limite et la transformation de sa limite par la méthode Delta.

Proposition 3.1.1. Soit Xl, X2 , . . . une suite de vecteurs aléatoires mutuellement in-dépendants issus d'une loi en dimension d dont tous les moments d'ordre 2 sont finis.

Pour tout n E N, soit Xn

=

(Xl

+

...

+

Xn ) ln. Soit en outre M

=

E(Xn ). Alors il existe

une matrice L; de taille d x d telle que, quand n -+ 00,

Soit en outre h : IRd -+ IRP une fonction dont la dérivée h' existe et est non nulle au point M. Alors, quand n -+ 00,

En utilisant ce résultat, nous pouvons établir la loi asymptotique de l'estimateur

des moments défini par l'équation (2.5).

Proposition 3.1.2. Soit _{(Xl, X 2), (X}11 , X 12 ), (X21 , X 22 ), ... une suite d'observations

mutuellement indépendantes de loi

85

1 . Soit

ê

n l'estimateur des moments du paramètre

de dépendance 0 d~fini par l'équation (2.5). Quand n -+ 00,

vin

(ê

n -

0)

-+

N(O

,

(JJ)

,

où

Démonstration. On peut supposer sans perte de généralité que E(X_i1)

=

E(Xi2)

=

0, et que var(Xi l )

=

var(Xi2 )

=

1. Posons COV(Xi1 ,

Xd

=

"(

et, pour tout i E N, Wi

=

(Xi1,Xi2,Xi1Xi2)T. Pour tout n E N, soit en outre

W

_n

=

(W1

+

... +

Wn)ln.

Il est clair que W1, W2 , . . . forment une suite de vecteurs mutuellement indépe n-dants de même loi dont tous les moments d'ordre 2 sont finis. Il découle donc de la

Chapitre 3. Contribution principale

32

où

r

=

(O,O,,)T et

Considérons ensuite une application h:]R3 -+]R définie, pour tout (XI,X2,X3) E ]R3, par h(XI, X2, X3)

=

X3 - XIX2. Alors h(())

=

,

et

où

X

nl = (Xu

+

... +

Xnl)/n et

X

n2 = (X21

+ ... +

X n2 )/n. En faisant appel à la proposition 3.1.1, on se convainc facilement que, quand n -+ 00,

Pour déduire l'expression de la variance asymptotique

O"J,

il suffit de remplacer Xl l et X l2 par Xl - E(XI) !var(XI) dans l'expression de c2 . Il vient Il s'ensuit que

O"ï

=

var(XIX 2)

+

{E(XI)}2var(X2)

+

{E(X2)}2var(XI)

- 2E(XI)coV(X2, XIX 2) - 2E(X2)coV(XI, XIX 2)

+

2E(XI)E(X2)coV(XI , X2 ).

Afin de simplifier cette expression, on peut exploiter le fait que puisque (Xl, X2 ) obéit à une loi de Skellam de première espèce, il existe des variables mutuellement indépendantes Y_o, YI, Y2 telles que

Chapitre 3. Contribution principale

33

On trouve alors

De plus,

4var(Yo)E(Y1)E(Y2)

+

2E(Y₀3)E(Y1)

- _{2var(Yo)E(Yo)E(Y1) -}

{E(Yo)

}3E(Y1)

+

2E(YcnE(Y2) -

2var(Yo)E(Yo)E(Y2)

- 2{E(Y

O

)}3E(Y2) -

[var(Yo)

+

{E(Yo)}2f

+

E(Y04) - E(Yi)E(Y2)

+

E(Yo)E(Y1)

+

E(Yo)E(Y2)

+

{E(Y02)}2

+

[var(YO)

+

var(Yi)

+

{E(Y

_o)

+

E(Yd

}2]

X [var(YO)

+

var(Y2)

+

{E(Y

_o)

+

E(Y2) }2],

cov(X1, X1X2) = _E(YO)var(Y1)

+

E(Yi)var(Yo)

+

E(Y2)var(YO)

+

E(Y2)var(Y1)

+

_E(Y0

3) -

E(Yo)var(Yo)

+

{E(Y

O

)}3

et, par symétrie,

cov(X

2 , X1X2)

=

E(Yo)var(Y2)

+

E(Y2)var(YO)

+

E(Y1)var(YO)

+

E(Y1)var(Y2)

+

E(Ycn - E(Yo)var(Yo)

+

{E(Y

O)}3.

Or, sachant que Y_o est une variable de Poisson de paramètre (j, on a

E(Yo)

=

_var(Yo)

=

(j

et aussi

Faisant en outre appel au fait que

et

Àl l - À12' var(Xl l ) = Àl l

+

À12'

À21 -

À22

'

var(X12)

=

À21

+

À22

E(Y1) Àl l - (j - À12' var(Yi)

=

Àl l - (j

+

À12'

E(Y2)

À21 - (j -

À22

'

var(Yi)

=

À21 - (j

+

À22

,

on trouve, après simplification,