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Mohamed Mahdi Tekitek
To cite this version:
Mohamed Mahdi Tekitek. Identification de modèles et de paramètres pour la méthode de Boltzmann
sur réseau.. Mathématiques [math]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. �tel-00207541�
UNIVERSIT
E DE PARIS SUD
U.F.R. SCIENTIFIQUE D'ORSAY
TH ESE
en vue d'obtenir legrade de
DOCTEUR EN SCIENCES DE L'UNIVERSIT E PARIS XI ORSAY SP ECIALIT E : MATH EMATIQUES par
Mohamed Mahdi TEKITEK
Sujet : Identi ation de modeles et de parametres pour la
methode de Boltzmann sur reseau.
Soutenue le 24 septembre 2007, devant le jury ompose de :
Mr Remi Abgrall Rapporteur
Mr Fran ois Alouges President du jury
Mr Fran ois Dubois Dire teur de these
Mme Lauren e Halpern Rapporteur
Mr Pierre Lallemand Dire teur de these
Mr Dominique d'Humieres Examinateur
Cespagessontdediess atous euxquim'ontpermisde menerabienmes travaux
de re her he durant es annees de these.
Je voudrais exprimer mes sin eres remer iements a mes dire teurs Fran ois
DuboisetPierre Lallemandpour m'avoir en adre et initie ala re her he.
Je voudrais remer ier vivement Fran ois qui, ave beau oup de disponibilite
etde gentilleseadirigemestraveaux de re her he. Jeluisuis re onnaissantpour
son soutien etla on an e qu'il m'a a ordee depuis mon stage de DEA.
Sa rigeur et son esprit ritique m'ont e lair i la voie de la re her he et ont ete
pour moiune ex ellente assuran e. Que es quelques mots puissent lui exprimer
lagratitude etla profondeadmiration que j'eprouve a son egard.
J'exprime mes vifsremer imentsaPierre, pour sonattention etson aide
pre- ieuses pendant ma these. Je le remer i aussi de m'avoir appris la methode de
Boltzmannsurreseau.Il representepourmoiunedespersonnalitepharede ette
methode. Que Pierre trouve i i ma profonde gratitude tant pour sa vision de
l'analyse numerique qui m'a beau oup apportee que pour son experien e en
al- uls ienti que qui m'a eted'un grand se ours quand \ abuggait".
Je suis tres re onnaissant envers Lauren e Halpern etRemiAbgrall de s'^etre
interesses a montravailet d'avoir a epte de rappoter sur mathese.
Les Professeurs Fran ois Alouges, Dominiqued'Humieres etBertrand Maury
m'ont fait l'honneur d'a epter de faire partie de mon jury. Je les en remer ie
haleureusement.
Je suis tres re onnaissant envers M'hamed Bouzidi qui m'a toujours o ert
ses onseils etsa disponobilite.Son soutient sur le plan s ienti que et humain a
permis a e travailde voir lejour.
Je souhaiterais remer ier vivement tous les membres de l'equipe d'Analyse
Numerique & EDP que j'ai eu le plaisir de ren ontrer et plus parti ulierement
Fran oisAlouges,Jean-PaulChehab,LaurentDiMenza,SylvainFaure,Benjamin
Graille,StephaneLabbe,JaquesLaminie,HerveLeMeur,BertrandMauryettous
aussi re onnaissant envers Elisabeth Kneller d'avoir repondu ave gentillesse a
toutesmes demandes bibliographiques.
Jeremer ie legouvernementfran ais etl'Institut Fran ais de Cooperationen
Tunisie d'avoir nan e mathese.
Jetiensaremer iermesamisetmes olleguesdub^atiment425etdub^atiment
430 quim'ont toujours aide etsoutenu, m^eme dans lesmomentsdiÆ iles.
Ungrand mer i aAndy,Anis, Assia,Benjamin, Benoit, Dominique, Camille,
Charlotte, Deborah, Dominique, Fatima, Laszlo, Makram, Malik, Mohamed et
Nejibpourleuramitiedevouee,leur ompli iteetlesmomentspartages.Ilsm'ont
donnetout l'espoiret lesoutien ne essaires pendant mon sejour en Fran e.
Mesderniersremer iementsvontamesparentsetmasurquim'ontsoutenu,
m'ont en ourage sans esse tout au long de mes etudes, et plus spe ialement
pendant mathese. Jepense tout parti ulierementa mon pere, quiest partivite,
trop t^ot, au mois de juin de ette annee, et a qui je veux rendre hommage. Il
m'a tout appris, en ourage a etudier les mathematiques et m'a donne envie de
poursuivre dans la re her he. Il me laisse l'envie irresistible de ontinuer mon
Cettethese omportetroisparties:etude dus hemadeBoltzmannsurreseau,
s hema adjoint de Boltzmann sur reseau pour l'identi ation de parametres et
onstru tiond'une ou he parfaitementabsorbantepour e s hema. Lapremiere
partie introduit et analyse la methode. La deuxieme partie de rit une appro he
variationnelle pour l'assimilationde parametres relatifs a la methode du gaz de
Boltzmann sur reseau. Une methode adjointe dis rete en temps est developpee.
L'algorithme est d'abord teste sur un e oulement de type Poiseuille lineaire
(problemedeStokes),puisilestappliqueaunproblemenonlineaire.Desresultats
en ourageantssont obtenuspourun et deux parametresin onnus. Finalementla
troisieme partie de rit une adaptation des ou hes absorbantes de Berenger. Il
en resulte un modele d'automate de Boltzmann a neuf vitesses dis retes. Une
analyse des ondesre e hies est ensuiterealisee entre deux milieuxde Boltzmann
a une dimension, e qui permet d'obtenir un equivalent des formules de Fresnel
pour les s hemas de Boltzmann et de proposer des modi ations du s hema a
l'interfa e pour annuler les ondes re e hies. En deux dimensions, la m^eme
ana-lyse d'ondes re e hies met en eviden e l'apparitionde modes de Knudsen etdes
ondes transverses qui rendent l'analyse omplexe.
Mots- lef:Boltzmannsurreseau,LBE,stabilitedes hemanumerique,probleme
inverse, ou heparfaitementadapteedeBerenger,PML,modedeKnudsen,dioptre
a oustique, formulede Fresnel, Fresnel dis ret.
Abstra t
This thesis is omposed of three parts. Firstly a study of Latti e Boltzmann
s heme (LBE)isperformed.ThenAdjointLatti eBoltzmanns heme (ALBE) is
introdu edforparametersidenti ation.FinallyanewLatti eBoltzmanns heme
(BRB) is proposed to modelise Berenger's Perfe tly Mat hed Layer (PML)
me-thod. The rst part introdu es and analyzes the LBE method. The se ond part
des ribesavariationalapproa hforparametersidenti ationadaptedtoLBE.A
time dis rete adjointmethodis developed. At rst the ALBE methodis applied
to Stokes' problem and then to a nonlinear problem. Good results have been
interfa e. That gives ussame ideas to modify the LB s heme atthe interfa e to
vanishre e tedwaves. Inthetwodimensional ase,the sameanalysisofre e ted
waves shows the existen eof Knudsen modes and transverse waves, whi h make
the analysis more diÆ ult.
Keywords :Latti e Boltzmannequation,LBE,CFD, stabilityanalysis of LBE,
inverse problem, parameters identi ation, perfe tly mat hed layer, Berenger,
PML,a ousti interfa e,Knudsen mode, Fresnelequation,dis reteFresnel
Cette these se pla e dans le adre de l'analyse et du developpement de la
methode numerique dite equation de Boltzmann sur reseau. Cette methode
re-pose sur un algorithmequi simulel'equationde Boltzmannde fa onsimple dont
nousetablissonsformellementquele omportementagrandee helleest eluid'un
uidevisqueuxsatisfaisantlesequationsauxderivees partiellesde Navier-Stokes.
Cetteappro hequide ritle omportementmi ros opiquedu uidese ara terise
par un nombre important de degres de liberte, dont la dynamique modelise un
ertain nombre de termes de l'equation ma ros opique aux derivees partielles.
Nous notons que ette methode se ara terise par une grande simpli itede mise
en uvre et un tres large domained'appli ations omme l'aerodynamique (ave
parexemplelelogi iel ommer ialPowerFlow[LLM02℄delaso ieteExa),la
ther-mique[ELR90℄,lese oulementsdanslesmilieuxporeux[PLM06℄,lese oulements
diphasiques [HCZ99℄, ...De plus, s'il est relativement fa ile de predire les
pro-prietesd'un modelede Boltzmannsur reseau donne,ilest en revan he plus
diÆ- ilede proposer un modeleayant des proprietesma ros opiquesdonnees.
Dans e travail, nous avons her he a enri hir la methode de Boltzmann sur
reseau dans deux dire tions voisines mais distin tes. D'unepart, nous avons
uti-lise la methode du ontr^ole optimal (pas en ore utilisee par ette ommunaute)
a n d'assimilerdes parametresdu s hema, en l'o urren e eux auxquels est liee
la vis osite du uide. D'autre part nous avons her he a adapter au adre du
s hema de Boltzmannsur reseau les algorithmes de type \milieuabsorbant" qui
permettent de limiter lesdomaines non bornes.
Dans le hapitre 1apresune breve introdu tionhistoriquede lamethode de
l'equationde Boltzmannsur reseau,nous analysonsles as monoet
bidimension-nel. Nous traitons en detail les equations equivalentes ma ros opiques et nous
dis utons la stabilitenumerique de la methode.
Nousexposons dansle hapitre 2,une appro he variationnellepour
l'assimi-lationde parametresrelatifsalamethode du gazde Boltzmannsur reseau.Nous
y developpons une methode adjointe dis rete (dite \Adjoint Latti e Boltzmann
Equation" ALBE ) en temps qui utilise expli itement la double etape
algorith-mique du s hema de Boltzmann sur reseau : l'etape d'adve tion et l'etape de
ollision. Pour ela nous testons d'abord l'algorithme ALBE sur un e oulement
de type Poiseuille lineaire (probleme de Stokes), puis nous l'appliquons a un
Dans ette ou he absorbante, les equations sont modi ees a n d'assurer d'une
part une transmission totale des ondes in identes et d'autre part leur totale
ab-sorption.
Dans le hapitre 4 nous nous sommes appliques a adapter les ou hes
ab-sorbantes de Berenger pour les methodes de Boltzmann sur reseau. Il en resulte
un modele d'automate de Boltzmann a neuf vitesses dis retes dit \s hema de
Boltzmannsur Reseaupourune ou he deBerenger"(BRB).Nousanalysonsen
detail quelques diÆ ultes ren ontrees.
Le hapitre 5 presente une analyse des ondes re e hies entre deux milieux
de Boltzmann a une dimension puis a deux dimensions. En une dimension ette
analyse nous a permis d'obtenir un equivalent des formules de Fresnel pour le
s hema de Boltzmann sur reseau et de proposer des modi ations du s hema a
l'interfa e permettant d'annuler les ondes re e hies. En deux dimensions, nous
avons fait l'analyse des ondes re e hies en se limitant a une in iden e normale.
Nousavons pu mettre en eviden e l'apparition des modes de Knudsen qui
om-plexi ent l'analyse.
Introdu tion i
1 S hema de Boltzmann sur reseau 3
1 Introdu tion . . . 3
Automates ellulaires . . . 4
2 S hema de Boltzmann sur reseau . . . 5
Developpementgeneral . . . 6
3 Equationequivalente . . . 12
Unmodele monodimensionnela trois vitesses D1Q3 . . . 14
Unmodele bidimensionnelaneuf vitesses D2Q9 . . . 17
4 Developpementasymptotique de Chapman{Enskog . . . 26
5 Equation de dispersion etstabilitedu s hema . . . 29
Equation de dispersion . . . 29
Etude numerique de la stabilite . . . 34
Con lusion . . . 43
6 Conditions auxlimites . . . 43
7 Exemple de l'e oulement de Poiseuilleen D2Q9 . . . 47
2 Adjoint Latti e Boltzmann Equation for Parameter Identi a-tion 51 1 Introdu tion . . . 51
2 Dire tmodelfor Latti e BoltzmannEquation . . . 52
Adve tion step . . . 53
Collisionstep . . . 54
Dire tmodel . . . 55
3 Adjoint method foridentifying parameters . . . 56
Generaldis rete theory for adjointmethod . . . 56
Adjoint Latti eBoltzmann Equation for linear ase . . . 59
ALBE algorithmfor the nonlinear ase . . . 60
4 First numeri alexperiments for a Poiseuille ow . . . 60
Case of a one s alarparameter problem . . . 60
Case of two parameters . . . 62
5 ALBE methodfor a Navier-Stokes ow . . . 64
3 Rappel sur les ou hes parfaitement absorbantes 67
1 Introdu tion . . . 67
2 Conditions limites absorbantes . . . 67
3 Cou hes absorbantes . . . 69
4 Modele de Berenger en a oustique . . . 70
5 Perte d'hyperboli ite . . . 76
4 S hema de Boltzmann sur reseau pour une ou he de Berenger 79 1 Constru tion du s hema au premierordre. . . 79
2 Proprietesde dissipation du milieu non absorbant . . . 88
3 Etude experimentale de stabilite . . . 94
4 Absorption al'ordre zero . . . 96
5 Analyse d'unesimulationd'interfa e . . . 102
Introdu tion . . . 102
Interfa e entre un milieuD2Q9 etun milieuBRB . . . 102
Interfa e entre un milieu D2Q9 et un milieu D2Q9 de vis osite roissante . . . 107
Interfa e entre un milieu D2Q9 et un milieu D2Q9 ave un terme d'absorptiond'ordrezero . . . 109
6 Con lusion . . . 115
5 Onde re e hie a l'interfa e entre deux milieux a oustiques 117 1 Introdu tion . . . 117
2 Etude monodimensionnelle ontinue . . . 117
3 Resolutionexa te dans le as du modeleD1Q3 . . . 119
4 Vers l'annulationde l'ondere e hie . . . 126
Con lusion . . . 127
5 Interfa e numerique entre deux milieux D2Q9 . . . 128
Introdu tion . . . 128
Interfa e entre deux domaines D2Q9 . . . 128
Analyse du probleme de l'interfa e . . . 132
Comparaisonentrelesresultatstheoriquesetlesresultatsnumeriques133 6 Con lusion . . . 137
Con lusion generale et perspe tives 139
Bibliographie 140
S hema de Boltzmann sur reseau
1 Introdu tion
Lesproblemesen me aniquedes uidesetplusgeneralementlaresolutiondes
equations aux derivees partielles,nous amenent a utiliser des methodes dire tes
de resolution(di eren es nies [RM67℄,elements nis[Pi88℄,...).Cela onsistea
faireune dis retisationspatialeet temporelle desequationsma ros opiques
(Eu-ler, Navier-Stokes, ...). Uneappro he di erenterepose sur la simulationdire te,
au niveau \mi ros opique" de l'evolution des \parti ules" dont est onstitue le
uide. Cette methode s'est developpee depuis les annees 60surtout dans l'esprit
d'obtenir des informations tres detaillees sur la dynamique lo ale des uides et
de ontribuerala omprehensiondesequationsd'etat etdes oeÆ ientsde
trans-port.Desversionssimpli eesde etteappro hemi ros opiqueontetedeveloppees
pour etudier les e oulements dans les gaz rare es (i. e. hypersonique des orps
de rentree). D'autres typesde simpli ations onteteproposespourpermettre la
simulation d'e oulements de uides visqueux, en parti ulier la methode dite de
l'equationde Boltzmannsur reseaua laquelle nous nous sommes interesse.
L'etude statistique des uides a onduit Boltzmann en 1872 a proposer une
equation integro-di erentielle de la theorie inetique qui de rit l'evolution d'un
gaz peu dense hors equilibre. La dedu tion des equations ma ros opiques
( om-portement a grande e helle du modele) a partir de l'equation de Boltzmann a
ommen e en 1912 par les travaux de Hilbert [Ce88℄.Ensuite Chapman et
Ens-kogont trouve une methode dite de \Chapman-Enskog"[CC70 ℄ pour obtenir les
equations d'Euleret Navier-Stokes.
Vu la omplexite de l'equation de Boltzmann, Broadwell a propose en 1964
[Br64℄ de la simpli er en prenant un espa e de vitesse dis ret et ni (modele a
six vitesses etmodelea huit vitesses). Ensuite Gatignolen 1970 [Ga75℄ aetudie
lesequations generales qui on ernent les modeles a vitesses dis retes. Au ours
des annee 80, une forte a tivite s'est developpee autour de es modeles a
vi-tessesdis retesetde l'existen e desolutionsglobalesdel'equationde Boltzmann
dis rete.Ene etCabannes[Ca77,Ca78℄aobtenudessolutionsglobalesentheorie
lemodele de Broadwell a six vitesses [Br64℄. Cabannes et al. [CT94 ℄ ont obtenu
dessolutions exa tespour des modeles avitesses dis retes de modules di erents.
On ite aussi les travaux de Bony [Bo87, Bo87℄ sur l'existen e de solutions en
unedimensiondesmodelesde BroadwelletdeTartar[Ta76,Ta80℄surl'existen e
de solution globale pour es m^emes modeles ave une donnee initiale bornee.
EnsuiteCabannes [Ca80, Ca91℄ a developpe es resultats pour des modeles plus
generaux. Pour une etude plus omplete de es methodes a vitesses dis retes on
peut onsulter le ours de Cabannes et al.[CGL03℄
On ite aussila lassedes methodesDSMC(Dire tSimulationMonteCarlo),
dues aBird [Bi76℄et Nanbu [Na83℄. Ces methodes ont pour but laresolutionde
l'equation de Boltzmann. Vu le grand nombre de variables dans ette equation,
lesmethodes DSMC reposent sur lespro eduresde MonteCarlo pour al ulerle
termede ollisiondans l'equationde Boltzmann.Les methodes DSMCsontdon
des methodes parti ulaires aleatoires [Pe94 ℄ pour la resolution des equations de
Boltzmann.
En 1973, apparaissent les automates ellulaires, les gaz booleens sur reseau
proposes par Hardy, de Pazzis etPomeau [HPP73 ℄. Ene et dans ette methode
l'espa e, le temps, les vitesses et le nombre de parti ules presentes a un instant
donne en un point donne sont dis rets. Cela dans le but de disposer d'un
simu-lateur le plus simple possible a programmer sur ordinateur, pour modeliser les
e oulements uides.
Automates ellulaires
LemodeleHardy,dePazzis etPomeau[HPP73 ℄ estun automatebidimensionnel.
Il onsiste a dis retiser l'espa e par un reseau arre de pas x = 1. On asso ie
a haque lien (i.e. ar^ete) du reseau une quantite qui prend la valeur 1 s'il y a
une parti ule ou 0 sinon. L'evolution en un pas de temps unite (i.e. t =1) se
de ompose de la maniere suivante :
Collision: Cette etape est lo ale et implique uniquement les liens qui arrivent
aum^eme nud. Parmi les on gurations possibles se trouve la ollision frontale
de deux parti ules qui peuvent subir unevariationde =2de la dire tionde leur
vitesse.
Adve tion : Les parti ules presentes en haque lien sont transportees vers les
quatre plus pro hes voisins selon leurs vitesses respe tives, qui sont donnees par
j = f 1 = (1;0); 2 = (0;1); 3 = ( 1;0); 4
= (0; 1)g. On note que les
mou-vements sont syn hronises de sorte qu'apres adve tion toutes les parti ules sont
exa tement sur lessites (nuds) du reseau.
L'equationd'evolution du s hema s'e rit alors :
n j (x i + j ;t+1)=n j (x i ;t)+C j (n k ); (1.1) ou n j (x i
;t) est le nombre de parti ules de vitesse j au nud x i au temps t et n j
2 f0;1g. Les indi es j, k designent le numero de la vitesse dis rete, j;k 2
Cet automate n'est pas adapte pour simuler des e oulements de uide, en e et
la dis retisation spatiale n'autorise pas une isotropie hydrodynamique a grande
e helle. De plus ily a des quantitesnon physiques quisont onservees a l'e helle
ma ros opique lorsde l'evolutionde et automate.
En1985Fris h,Hassla her etPomeau[FHP86℄ontproposeunnouveau maillage
de l'espa e utilisant un reseau hexagonal pour obtenir l'isotropie du modele. A
l'aidedudeveloppementasymptotiquedeChapman-Enskog[CC70℄surl'equation
(1:1)onobtientlesequationsma ros opiquesdeNavier-Stokes.Enparti ulieron
a ave le modeleFHP[FHP86, Wo86, FdH87℄ a basse vitesse :
(u)
t
+r:[g()uu℄= rP +(u)+rr:(u): (1.2)
Dans e modeleon note la ri hesse des as possibles de l'etapede ollision,et le
fait de hoisir de maniere aleatoirela on gurationapres ollision pour la m^eme
on gurationavant ollision.
Les automates sur reseau sont limitespar les defauts suivants:
{ Bruitintrinsequed^ualalarge u tuationrelativedesnombresdeparti ules
n j
(prendre des moyennes d'ensemblea partir de di erentes on gurations
initiales n'est pas possible pour les situations ou les e ets non lineaires
jouent un r^ole)
{ Le non respe t de l'invarian eGalileenne,qui setraduit par g()6=1dans
l'equationma ros opique (1:2).
{ La presen e dans lapression P d'une ontributionnon-physique en u
2 .
{ Ilexistedes quantitesparasitesnon-physiquesquisont onservees : elles- i
peuvent a e ter le omportement a grandee helle du modele.
2 S hema de Boltzmann sur reseau
Historiquementle s hema de Boltzmannsur reseauest obtenu apartir des
auto-mates ellulaires.Ene etMa NamaraetZanetti[MZ88℄ontproposede
rempla- er dansl'equation(1:1) lesvariablesbooleennesn j
par leur moyenne f
j
et
d'ob-tenir une formulation fondee sur l'equation de Boltzmann ave ommeequation
d'evolution : f j (x i + j ;t+1)=f j (x i ;t)+C j (f)(x;t); ave 0j b;
La variable de base est f
j
qui est la moyenne spatiale de l'an ienne variable
dis rete n j
e e tuee sur un nombre de nuds donne. Cette grandeur f
j est
ontinue, prend ses valeurs dans le segment [0;1℄ et peut s'interpreter omme
une distribution, ou probabilite de presen e de parti ules. On note i i la
diÆ- ulte d'exprimer l'operateurde ollisionC j
surtoutlorsque lenombre de vitesses
dis retes est important (espa e de dimension trois). Pour simpli er le s hema
on peut introduire l'operateur de ollision linearise autour d'un etat d'equilibre
f eq
j
[HJ89, HSB89℄. Ainsile s hema de Boltzmannest simpli eet l'operateurde
ollisions'e rit sous laformematri iellesuivante :
C j (f)= b X S j;k (f k f eq k ):
Modele a un seul temps de relaxation :On peuten oresimpli erles hema
deBoltzmannsur reseauen utilisantl'approximationde Bhatnagar-Gross-Krook
[BGK54℄noteesouvent(\BGK"),qui onsisteaavoirunseultempsde relaxation
. Ainsil'operateurde ollisiondans lesmodeles BGK[CCM92 , QdHL92℄s'e rit
sous laforme: C j (f)= 1 f j f eq j :
Onremarquei iqueles hemadeBoltzmannsurreseauestentierementdetermine
apartir des f eq
j
, de l'operateurde ollisionet de l'ensemble des vitesses j
.
Modeleaplusieurs tempsderelaxationou lemodeled'Humieres:Qian,
d'Humieres et Lallemand[QdHL92℄ et par ailleur Su i et al.[BSV92℄ proposent
une loi de distribution polynomiale en vitesse pour la distribution d'equilibre
f eq
j
et un operateur de relaxation S
j;k
diagonal. Pour de rire l'operateur de
ol-lision d'Humieres [dH92℄ propose de onstruire un espa e de moments qui sont
des ombinaisons lineaires des f j
. Le hoix naturel des moments est de prendre
les moyennes des puissan es su essives des omposantes de la vitesse, omme
il est pratique en me anique statistique [HCB54℄. Ainsi la ollision n'est autre
que la relaxation des di erents moments. Gr^a e a l'interpretation physique des
moments, leur parametre de relaxation sera dire tement lie aux di erents
oef- ients de transport hydrodynamique. Ce me anisme permet alors de ontr^oler
independamment haque momentatravers son parametrede relaxation.De plus
l'operateurde ollisionsera diagonal.On remarque quesi onprend le m^eme
pa-rametre de relaxation pour tous les moments on retrouve le modele BGK. On
notequelesmethodesde relaxationontegalementetedeveloppees dansun autre
ontexte par Coquel-Perthame [CP98 ℄,Coqueletal. [CGP01℄etBerthon [Be05℄.
Apres ette breve introdu tionde l'originedu s hema Boltzmann sur reseau, on
note que ette methode ades liens dire ts ouindire tsave d'autres theories :
{ L'equation lassique de Boltzmann [HL97℄.
{ Les modeles de Broadwell[Br64, Ga75℄.
{ Re emment lamethode des volumes nis [DL08℄
Developpement general
On va de nir i i le s hema de Boltzmann sur reseau[Du07℄ (a plusieurs temps
de relaxation) de la fa on la plus generale. En parti ulier en gardant un pas de
dis retisationd'espa e x etde tempst quel onque. Alorsqu'ilssont gesala
valeur unite (i.e.x =t=1) dans lestraitements usuelsdes physi iens.
Notations
Soit un domaine borne de R
d
(i.e. d dimension de l'espa e) et L un maillage
regulier de pas x >0. On note L 0 =fx i 2(xZ) d ;1i Kg l'ensemble des
K sommetsousites (elements geometriques de dimension zero) etL 1
l'ensemble
des ar^etes (elementsgeometriquesde dimension un) qui joignentleselementsde
L 0
.
Soit x 2 L
0
V x = fy j 2 L 0 ;y j = x+e j
x; 0 j Jg, ou J est le nombre de sommets
voisins dire tsde x, e j
sont des ve teurs donnes de R d
.
Onsuppose quelenombredevoisinsJ est nietindependantdusommetx.Ainsi
pour tout sommetx2L
0 , on apour tout j 2f1;2;:::;Jg, x+e j x=y j 2L 0 .
On suppose aussi qu'on a des proprietes de symetrie entrale par rapport au
sommet x: e 0 =0 8j 2f1;2;:::;Jg; 9 (j)2f1;2;:::;Jg; e (j) = e j :
On ite i iquelques exemples de reseau regulier:
Le modele D1Q3 modele monodimensionnel a 3 vitesses dis retes (i.e. J=2).
Les ve teurs e
j
sont donnes par : e 0 = (0;0);e 1 = (1;0);e 2 = ( 1;0), (voir Fig. 1).
2
0
1
∆
x
Fig. 1.1{Reseau du modeleD1Q3
LemodeleD2Q9 modelebidimensionnela 9vitesses dis retes (i.e. J =8).Les
ve teurs e j
sont donnespar (voirFig. 1.2) :
e 0 = (0;0); e 1;3 ;e 2;4 = (1;0);(0;1); e 5;6;7;8 = (1;1): (1.3)
0
1
3
6
2
5
4
8
7
∆
x
∆
x
18). Lesve teurs j
sont donnes par (voir Fig. 1.3) :
0 = (0;0;0); 1;2 ; 3;4 ; 5;6 = (1;0;0);(0;1;0);(0;0;1); 7;:::;10 ; 11;:::;14 ; 15;:::;18 = (1;1;0);(0;1;1);(1;0;1):
Fig. 1.3{ Reseaudu modeleD3Q19
Soit t>0 un pas de temps xe.On de nit une e helle de vitesse :
x
t
: (1.4)
On introduit alors lesvitesses dis retes de niespar :
v j
=e
j
; 0j J:
Ainsisixest unnuddu reseau,alorslepointx+tv j
est un nuddureseau:
x2L 0 =) x+tv j 2L 0 ; 8j =1;2;:::;J:
On note que l'ensemble V
x
des voisins du nud x ontient J +1 voisins : Les J
voisins dire ts asso iesaux vitesses v j
, 1j J etle nud x luim^eme asso ie
ala vitesse dis rete nullev 0
.
Le s hema de Boltzmann sur reseau
Le s hema de Boltzmann sur reseau de rit la distribution de parti ules f j (x i ;t) en x i de vitesse v j
a l'instantt. En haque nud du reseau ondispose de J+1
deux etapes fondamentales : (1) Adve tion : transport des parti ules vers les
J +1 voisins, (2) Collision : redistribution des f j
dans haque nud. Ces deux
etapessont de ritespar l'equation suivante :
f j (x i +v j t;t+t)=f j (x i ;t)+ j (f)(x i ;t): (1.5) Soit x i 2L 0
un nud du reseau, ona alors la de nitionnaturelle de la masse ,
l'impulsionq et l'energie inetique e:
(x i ;t) = J X j=0 f j (x i ;t) (1.6) q (x i ;t)(x i ;t)u (x i ;t) = J X j=0 v j f j (x i ;t); 1 d; (1.7) e(x i ;t) = 1 2 J X j=0 jv j j 2 f j (x i ;t); (1.8) ou v j
sont les omposantes artesiennes des vitesses dis retes du reseau. On
in-troduit l'espa eve toriel V R
J+1
engendre par lesve teurs e j
;0j J.
Etape de ollision
Cette etape modelise le terme Id+ dans l'equation (1:5), elle est lo ale en
espa e. Il est ommode de de rire etteetape dans l'espa edes moments[dH92℄.
On introduit les moments m
k
omme etant des ombinaisons lineaires des f
j , soit: m k = J X j=0 M k;j f j ; 0k J; (1.9) ou (M k;j ) 0k;jJ
est une matri e dans M
J
(R). On distingue alors deux types de
moments :
Les moments onserves : Le hoix du nombre des moments onserves va
determiner le nombre d'equations hydrodynamiques. Pour modeliser les
e oule-ments uidesouonad+1equationss alairesma ros opiques(l'equations alaire
de onservationdemasseetl'equationve toriellede onservationdevitesse),ona
besoin de d+1moments onserves. Onintroduitlesvariables onservesla masse
etl'impulsionq.Ainsi ona (x i ;t) = (x i ;t) q (x i ;t) = q (x i ;t); 8 =1;2;:::;d;
oul'indi e designe les quantites apres ollision.
Remarque 1 Ave d+1 moments onserves, on n'a pas d'equation
ma ros o-pique pour l'energie, qui n'est pas onservee. On parle alors de modele
thermiques[dH92℄).Dans le as duproblemed'adve tion-di usiond'unequantite
s alaire (e.g. equation de la haleur), o u ona une seule equation ma ros opique,
on a seulement un s alaire qui est onserve au ours de l'etape de ollision.
On de nit le ve teurW ompose par les moments onserves :
W(x;t)=((x;t);q 1
(x;t);:::;q d
(x;t)): (1.10)
Pour 0k d, on prend lesm
k
identiques aux moments onserves :
m 0 ; m q ; 1 d:
Ainsilesd+1 lignes de la matri eM =(M
k;j ) 0k;jJ sont xees : M 0;j =1; M ;j =v j ; 0j J; 1 d: (1.11)
Les moments non- onserves : On suppose que les moments non- onserves
relaxent lineairementvers leur valeur d'equilibre :
d dt (m k m eq k )+ 1 k (m k m eq k )=0; d+1k J; ou k et m eq k
sont respe tivement le temps de relaxation et la valeur d'equilibre
du moment m
k
.Les moments al'equilibre m eq
k
;d+1k J sont fon tions des
moments onserves : m eq k k (W);d+1kJ: (1.12)
Pour les moments onserves (i.e. k d),on a :
m eq k m k ; 0kd: (1.13)
Enutilisantle s hema d'Euler expli itepour l'evolution des m k par ollision, on trouve : m k (x;t)=(1 s k )m k (x;t)+s k m eq k ; d+1k J; (1.14) ou s k t k
est le rapport entre le pas de temps t et le temps de relaxation
k
.On remarquei iqu'on ala ondition naturellede stabilitedu s hema d'Euler
expli ite[St86℄ :
0t2
k :
On suppose alors queles taux de relaxationveri ent :
0<s k
2; d+1kJ:
On hoisit les momentsm
k
, sous la ontrainte que lamatri e M =(M
k;j )
0k;jJ
est inversible.Ainsionde nit l'espa edes momentsM en bije tionave l'espa e
V . M : V ! M f =(f 0 ;f 1 ;:::;f J ) 7! M(f)=M:f =m=(m 0 ;m 1 ;:::;m J );
Pour une valeur donnee des moments m k
, on peut al uler la distribution f
orrespondante : f j = J X k=0 (M 1 ) j;k m k ; 0j J; ou(M 1 j;k ) 0j;kJ M 1
est la matri einverse de lamatri e M.
Pour une distribution donnee f, on al ule les f
apres ollision de la maniere
suivante: On passe a l'espa edes moments M :
m k = J X j=0 (M) k;j f j ;
ensuite onapplique (1:14),et nalementon revient a l'espa edes V :
f j = J X k=0 (M 1 ) j;k m k ; 0j J;
On de nit l'operateur de ollision par :
C : V ! V f =(f 0 ;f 1 ;:::;f J ) 7! C(f)=M 1 :C(M:f);
ou l'operateur C est de ni dans l'espa e M a valeur dans M par les expressions
(1:14), (1:12)et (1:13).
Etape d'adve tion
Cette etape de rit le depla ement des parti ules de vitesse v j du nud x i 2 L 0 vers lej eme voisin x i +v j t2L 0 . Ladensitef j (x i +v j t;t+t)est egale ala densite ollisionnee f j (x i ;t) du nud x i autemps t : f j (x i +v j t;t+t)=f j (x i ;t); 0j J: (1.16)
On peut interpreter le s hema de transport (1:16) omme un s hema de entre
amontpour l'equationd'adve tion :
f
t
+v
j
f =0; 0j J;
ave un nombre de Courant-Friedri hs-Lewy egal a l'unite.Il est lassique[St86℄
de voir que ette etapeest exa te.
Soit V f V K l'espa eve torielR (J+1) K
,onde nit alors l'operateurA
d'adve -tion : A : V f ! V f F 7! A(F); (1.17) ave F = (f j (x i ;t)) T (0jJ;1iK)
qui est un ve teur de V
f et A(F) = (f j (x i + v j t ;t)) T .
Remarque 2 On ne pre ise pas pour l'instant les onditions limites au bord du
maillage.
Nousallons utiliserl'e riture suivante du s hema :
f j (x i ;t+t)=f j (x i v j t;t); 0j J; (1.18)
quide oule de (1:16) etdu hangement de variable ex i =x i +v j t. 3 Equation equivalente
Les resultats de ette partie sont essentiellement dans les ontributions [Du07,
Du08℄.Les hemadeBoltzmannsur reseauestentierementde niparlesrelations
(1:18) (1:14), (1:12), (1:9) et le ve teur des moments onserves W. On dispose
alorsd'un grandnombre de parametres :la geometriedu maillageregulierL 0
de
pas d'espa e x, lepas de temps t,la matri edes moments M, le nombre des
moments onserves, lestaux s k
etles fon tionsd'equilibre k
.
On suppose pour lasuite que le uide est en evolution isotherme et qu'on a une
loide pression lineaire en , 'est-a-dire une linearisationde la pression autour
d'unedensite de referen e :
p p 0 = 2 0 ( 0 )+O(( 0 ) 2 ); ou 0
est la vitesse du son. De plus on prend dans e qui suit une densite de
referen eegale a l'unitei. e. 0
1.
Pour lasuite on xe lemaillageL
0
(en parti ulier lesve teurs e j
), lamatri edes
momentsM, les parametres s
k
et lesfon tions
k
. On suppose quele rapport
de ni par (1:4)est onstant.Ainsi les hema de Boltzmann(1:18) depend
seule-ment du pas du temps t.
On derive alors formellement les equations aux derivees partielles asso iees au
s hemadeBoltzmannsurreseau,enutilisantlamethodedel'equationequivalente
[LP74,WH74℄.Cetteappro he est basee sur ledeveloppement deTayloren
fon -tiondelavariablereelletensupposantquelesfon tionsf j
sontassezregulieres.
On aalors les developpements asymptotiques suivants :
Proposition 1 Developpement a l'ordre zero.
Pourun s hemade Boltzmann sur reseau de ni par (1:18) et t petit on a :
f j =f eq j +O(t); 0j J; f j =f eq j +O(t); 0j J; ave f eq j = P J k=0 (M 1 ) j;k m eq k et m eq k = k (W).
On introduit letenseur d'ordredeux :
F J X j=0 v j v j f eq j ; 1 ; d: (1.19)
Pour alleger la notation, on pose t t , x et x x . On fait le
Proposition 2 Equations d'Euler.
Dans le s hema de Boltzmann (1:18), les moments onserves veri ent a l'ordre
un en t, les equations de la onservationde lamasse et de l'impulsion :
t + =d X =1 q = O(t); (1.20) t q + =d X =1 F = O(t); 1 d: (1.21)
Ledeveloppemental'ordreunen tpourlesmomentsnon- onservesnousdonne
le lemmesuivant :
Lemme 3.1 Developpement des moments non- onserves.
On introduit le defaut de onservation k : k = t m eq k + j=J X j=0 M k;j v j f eq j = j=J X j=0 M k;j ( t f eq j +v j f eq j ) (1.22)
On a alors les proprietes suivantes :
m k = m eq k t s k k +O(t 2 ); k d+1; (1.23) m k = m eq k 1 s k 1 t k +O(t 2 ); k d+1: (1.24) On introduitle tenseur : k j=J X j=0 v j v j M 1 j k ;1 ; d;0k J; (1.25)
On developpe maintenant a l'ordre deux en t le s hema (1:18). En utilisant le
lemme pre edent 3.1, on a:
Proposition 3 Equation de Navier-Stokes.
Le s hema de Boltzmann (1:18) veri e a l'ordre deux en t les equations
sui-vantes : t + =d X =1 q = O(t 2 ); (1.26) t q + =d X =1 F t X dd+1 1 s k 1 2 k k ! = O(t 2 ); (1.27) k
Con lusions
La proposition 3 montre que le s hema de Boltzmann sur reseau resout les
equations de type Navier-Stokes et que ette methode est d'ordre deux. Dans
l'equation(1:27)onades oeÆ ientsdetransport k proportionnelsat 1 s k 1 2 .
Al'aidedelamethode de l'equationequivalenteonretrouvelesm^emesequations
ma ros opiques qu'en utilisant la methode asymptotique de Chapman-Enskog
[CC70,dH92℄.
Un modele monodimensionnel a trois vitesses D1Q3
Onvadetaillerle as parti ulierdu s hema de Boltzmannsur reseauoud =1et
J =2.
Geometrie
Lereseaudu modelemonodimensionnel(i.e d =1)atrois vitesses, appeleD1Q3
dans la ommunaute du Boltzmann sur reseau, est la dis retisationd'une droite
par un pas regulier x>0 :
L 0
=(xZ):
Lessites voisins d'un nud donne x2L
0
sont d'une part x lui-m^eme etd'autre
part lesdeux sites voisins dire tsa droite eta gau he de x :
y 0 (x)=x; y 1 (x)=x+xe 1 ; et y 2 (x)=x+xe 2 : ave e 0 =0,e 1 =1 ete 2 = 1 (voir Fig.1:1).
Ladonnee d'un pas de temps t permet de de nir une e helle de vitesse :
= x t : Aupointx i 2L 0
etal'instantt=nt(n2N),onatroisdensitesf 0 (x i ;t);f 1 (x i ;t) et f 2 (x i
;t) asso iees respe tivement aux vitesses v 0 = 0, v 1 = x t e 1 = et v 2 = x t e 2
= . L'algorithme onsiste a al uler les f
j (x;t +t); 8x 2 L 0 ; 0 j 2, en fon tion des f j
(x;t). Au ours du pas du temps t,
l'al-gorithmese ompose des deux etapes: la ollision etl'adve tion.
Etape de ollision : ette etape lo ale en espa e est de rite dans l'espa e des
momentspar(1:14).On adeux moments onserves :lamassem
0 = de nie par (1:6) etl'impulsionm 1 =q de nie par (1:7) : = f 0 +f 1 +f 2 ; (1.28) q = f 1 f 2 ; (1.29)
d'ou W = (;q). On a besoin de de nir un troisieme moment m
2
non- onserve
(horsequilibre).Il est naturel d'introduire l'energie inetique m 2 =e de nie par 1:8 : e= 2 f 1 + 2 f 2 : (1.30)
L'evolution de l'energie est donnee par (1:14) : e =e+s e (e eq e) ave e eq = 2 (W)et s e s 2 .
On remarque que les expressions des moments (1:28), (1:29) et (1:30), d
eter-minent la matri eM : M = 0 B 1 1 1 0 0 2 2 2 2 1 C A (1.31)
Ainsionaunetransformationde l'espa eV =R
3
desf vers l'espa edesmoments
M : m=M:f; ave m=(;q;e) t et f =(f 0 ;f 1 ;f 2 ) t :
Dans le as parti ulier ou la fon tion 2 (W)= 2 (;q)= 2 2 [Du07℄, ave un s alaire (i.e.e eq = 2 2
),l'operateurde ollision C est lineaire:
C : V ! V f 7! f =M 1 CMf; (1.32) ouM 1
est la matri einverse de M donnee par :
M 1 = 0 B B B B B B B B 1 0 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 C C C C C C C C A (1.33)
et lamatri eC est donnee par :
0 B 1 0 0 0 1 0 2 2 s e 0 1 s e 1 C A (1.34) Etaped'adve tion : f j (x i ;t+t)=f j (x i v j t;t); 0j 2:
C'est une etape de transport ave les trois vitesses dis retes v i
2 f0;; g.
L'algorithme D1Q3qui est la omposee de es deux etapes s'e rit :
f j (x i ;t+t)=f j (x i v j t;t); 0j 2: (1.35)
Equations ma ros opiques
On onsidere dans ette partie le as parti ulier lineaire ou 2 (W)= 2 2 .
Proposition 4 Equations a l'ordre 1 (D1Q3).
Au premier ordre,la densite et l'impulsion sont solutions du systeme suivant :
8 > > > < > > > : t + q x = O(t); q t + 2 x = O(t):
On de nit la vitesse du son 2 s
=
2 .
Preuve: Resultats dire ts du developpement general (1:20) et (1:21).
Proposition 5 Equations de l'a oustique a l'ordre 2 (D1Q3).
A l'ordre 2, la densite et l'impulsion sont solutions des equationsde l'a oustique
di usive : 8 > > > < > > > : t + q x = O(t 2 ); q t + 2 s x x(1 )( 1 s 1 2 ) 2 q x 2 = O(t 2 ):
On introduit lavis osite de volume =x(1 )(
1
s 1
2 ).
Preuve: Le developpement (1:26) nous donne l'equation de la onservation de
lamasse. D'apreslaformule(1:27) ave d=1 etJ =2 ona :
t q x + 2 s x =t 1 s 1 2 xx 2 x 2 +O(t 2 ): (1.36) Or xx 2 = 2 X j=0 v x j v x j (M 1 ) j 2 = 2 1 2 +( ) 2 1 2 =2 et 2 = t e eq + 2 X j=0 M 2 j v x j x f j eq = t e eq + 2 2 x f eq 1 + 2 2 ( ) x f eq 2 = t e eq + 2 2 x q: On rempla e alors 2 et xx 2
dans (1:36) par leurs valeurs, onobtient :
t q x + 2 s x = t 1 s 1 2 2( xt e eq + 2 2 xx q)+O(t 2 ) = t 1 s 1 2 2( 2 2 xt + 2 2 xx q)+O(t 2 ) = t 1 s 1 2 2 ( xx q+ xx q)+O(t 2 ) = t 1 1 (1 ) xx q+O(t 2 ):
Un modele bidimensionnel a neuf vitesses D2Q9
On va onsiderer le as parti ulier du s hema de Boltzmannsur reseau oud=2
et J =8 (i.e. modelea 9dis retes), appeleD2Q9 [dH92℄.
Geometrie
L'espa e est dis retise par un maillage arre de pas regulier x > 0 (voir Fig.
1:4) :
L 0
=f(xZ)(xZ)g:
DanslemodeleD2Q9,lesve teurs e
j
; 0j 8sontdonnespar(voirFig.1.2) :
Fig. 1.4{ Maillage du modeleD2Q9
e 0 = (0;0); e 1;3 ;e 2;4 = (1;0);(0;1); e 5;6;7;8 = (1;1): (1.37)
Les sites voisins d'un nud donne x 2 L
0
, sont les nuds y
j = x+xe j ; 0 j 8, (i.e le nud x = y 0
lui-m^eme ou les 8 voisins dire ts y j
;0 < j 8 du
nud x).
Soit t>0le pas de temps xe, onde nit alors l'e helle de vitesse :
x
t ;
ona ainsi les 9vitesses dis retes v j
e
j
; 0j 8.
Les moments onserves (i.e. al'equilibre):
Onatroismoments onservesm
0 (lamasse),q x m 1 (l'impulsionsuivantx) etq y m 2
(l'impulsionsuivanty),i.e.W =(;q x
;q y
).Enutilisantlesexpressions
(1:9) et(1:11), ona : m 0 = J X j=0 f j ; m = J X e j f j ; 1j 2;
oulese j
sont les omposantes artesiennes des ve teurs e j . On a don : q x m 1 =(f 1 f 3 +f 5 f 6 f 7 +f 8 ); q y m 2 =(f 2 f 4 +f 5 +f 6 f 7 f 8 ):
Lesmoments non- onserves :
Le hoixnatureldes momentsest de prendrelesmoyennesdes puissan es
su es-sives des omposantes de la vitesse :
L'energie inetique : = 1 2 8 X j=0 jv j j 2 f j ;
Le arrede l'energie inetique : = 8 X j=0 1 2 jv j j 2 2 f j ;
Flux d'energie inetique : ' = 8 X j=0 1 2 jv j j 2 v j f j ;
Momentstensoriels d'ordredeux : F
11 F 22 et F 12 ; ouF = P 8 j=0 v j v j f j ; 1 ; 2.
Pour que la matri e M de passage de l'espa e V vers l'espa e M des moments,
soitorthogonale, onva onstruire les moments suivants[LL00, Du07℄ qui seront
liesa lalistepre edente de moments, par le pro ede de Gram-S hmidt. On note
i iqu'on hoisit les moments m
k
;k3 homogenes af j
pour avoirdes quantites
fa ilesa manipuleralgebriquement.
Moment asso ie a l'energie inetique :
m 3 = 6 2 4 = 4f 0 (f 1 +f 2 +f 3 +f 4 )+2(f 5 +f 6 +f 7 +f 8 ) (1.38)
Moment asso ie au arrede l'energie inetique :
m 4 = 18 4 10 7 2 m 3 = 4f 0 2(f 1 +f 2 +f 3 +f 4 )+(f 5 +f 6 +f 7 +f 8 ) (1.39)
Moments d'ordretrois asso iesaux ux d'energie inetique ':
m 5 = 6 3 ' 1 5 q 1 = 2f 1 +2f 3 +f 5 f 6 f 7 +f 8 (1.40) m 6 = 6 3 ' 2 5 q 2 = 2f 2 +2f 4 +f 5 +f 6 f 7 f 8 ; (1.41) ou '
;1 2 sont les omposantes artesiennes du ux d'energie inetique
'. Moments tensoriels d'ordre deux :
m 7 = 1 2 (F 11 F 22 ) = f f +f f (1.42)
m 8 = 2 F 12 = f 5 f 6 +f 7 f 8 (1.43)
Ainsi la matri e M est entierement determinee a partir des relations (1:38),
(1:39),(1:40),(1:41),(1:42)et (1:43).On de nit alors la transformation:
M : V ! M f =(f 0 ;f 1 ;:::;f 8 ) 7! M(f)=M:f =m=(m 0 ;m 1 ;:::;m 8 ); (1.44)
ave M donnee par :
M = 0 B B B B B B B B B B B B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 0 0 2 0 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 C C C C C C C C C C C C A : (1.45)
L'inverse de la matri eM (1:45), s'e rit :
M 1 = 0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 1 9 0 0 4 36 4 36 0 0 0 0 1 9 1 6 0 1 36 2 36 2 12 0 1 4 0 1 9 0 1 6 1 36 2 36 0 2 12 1 4 0 1 9 1 6 0 1 36 2 36 2 12 0 1 4 0 1 9 0 1 6 1 36 2 36 0 2 12 1 4 0 1 9 1 6 1 6 2 36 1 36 1 12 1 12 0 1 4 1 9 1 6 1 6 2 36 1 36 1 12 1 12 0 1 4 1 9 1 6 1 6 2 36 1 36 1 12 1 12 0 1 4 1 9 1 6 1 6 2 36 1 36 1 12 1 12 0 1 4 1 C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A : (1.46)
Remarque 3 On peut onstruire les moments m
k
On sait que l'etape de ollision se traduit par une relaxation des moments non- onserves : m k =(1 s k )m k +s k m eq k ; 3k 8; ave s k = t k et m eq k = k
(W). Le hoix des fon tions
k
va determiner les
equationsma ros opiquesequivalenteset eluides s k
vareglerlestermesdi usifs
du s hema.
On hoisit alors les
k
, tels que le modele soit invariant par rapport au groupe
desymetriede l'ensembledesvitesses v j
etonserestreintau as ou esfon tions
k
; 3k 8sont des fon tionspolyn^omiales :
3 (W) m eq 3 = 3 + 3 2 (q 2 x +q 2 y ); (1.47) 4 (W) m eq 4 = 4 + 4 2 (q 2 x +q 2 y ); (1.48) 5 (W) m eq 5 = 1 q x ; (1.49) 6 (W) m eq 6 = 2 q y ; (1.50) 7 (W) m eq 7 = 7 2 (q 2 x q 2 y ); (1.51) 8 (W) m eq 8 = 8 2 q x q y : (1.52)
Remarque 4 Pour que le hoix des
3
soit symetrique, ilfaudrait prendre 1
=
2
dans (1:49) et (1:50). On a garde un e riture plus generale ar on fera plus
loinun modeleanisotrope.
Remarque 5 Le hoixdes
k
;k 3de ouledel'approximationpolyn^omiale des
di erentes moyennes ontinues des puissan es su essives de la vitesse lorsque
la distribution ontinue f(v) est une gaussienne. D'o u le hoix de m
eq
k
qui est
l'approximation polyn^omiale de laGaussienne dis rete.
Distribution d'equilibre
Soitf eq
j
;0j 8ladistributiond'equilibrethermodynamique.On introduitles
fon tionsG j ;0j 8 telles que : G j (W)=f eq j ;
ouW est le ve teur des variables onservees introduit en (1:10).
Proposition 6 Distribution d'equilibre.
Le hoix des moments d'equilibre m
eq
k
;3 k 8 donnes par les expressions
(1:47),(1:48),(1:49),(1:50),(1:51)et(1:52)determineladistributiond'equilibre
G j : G 0 (W)= 1+ 4 3 9 3 4 9 2 (q 2 x +q 2 y ) G 1 (W)= 4 3 2 4 + 1 1 q x 2 4 + 3 9 7 2 q 2 x 2 4 + 3 +9 7 2 q 2 y
G 2 (W) = 4 3 2 4 36 + 1 2 6 q y 2 4 + 3 +9 7 36 2 q 2 x 2 4 + 3 9 7 36 2 q 2 y G 3 (W) = 4 3 2 4 36 1 1 6 q x 2 4 + 3 9 7 36 2 q 2 x 2 4 + 3 +9 7 36 2 q 2 y G 4 (W) = 4 3 2 4 36 1 2 6 q y 2 4 + 3 +9 7 36 2 q 2 x 2 4 + 3 9 7 36 2 q 2 y G 5 (W) = 4+2 3 + 4 36 + 2+ 1 12 q x + 2+ 2 12 q y + 2 3 + 4 36 2 (q 2 x +q 2 y )+ 8 4 2 q x q y G 6 (W) = 4+2 3 + 4 36 2+ 1 12 q x + 2+ 2 12 q y + 2 3 + 4 36 2 (q 2 x +q 2 y ) 8 4 2 q x q y G 7 (W) = 4+2 3 + 4 36 2+ 1 12 q x 2+ 2 12 q y + 2 3 + 4 36 2 (q 2 x +q 2 y )+ 8 4 2 q x q y G 8 (W) = 4+2 3 + 4 36 + 2+ 1 12 q x 2+ 2 12 q y + 2 3 + 4 36 2 (q 2 x +q 2 y ) 8 4 2 q x q y
Preuve: Pourretrouverlesdistributionsd'equilibreilsuÆtde al ulerG j (W)= P 8 k=0 M j;k m eq k , ave les m eq k
donnes par les expressions (1:47), (1:48), (1:49),
(1:50), (1:51)et (1:52).
Remarque 6 Tous les termes non lineaires dans les G
k
(W) sont divises par la
densite de referen e 0
=1.
Equation ma ros opique
Late hniquedel'equationequivalente(voirparagraphe3)nousdonnelesequations
ma ros opiques al'ordre un et deux en t.
Proposition 7 Equations equivalentes du modele D2Q9 a l'ordre un.
La densite et l'impulsionq veri entlesequationssuivantesa l'ordreun en t:
t + x q x + y q y = O(t); t q x + 2 4+ 3 6 x + + 3 +3 7 6 x q 2 x + 3 3 7 6 x q 2 y + 8 y (q x q y )=O(t); t q y + 2 4+ 3 6 y + + 8 x (q x q y )+ 3 3 7 6 y q 2 x + 3 +3 7 6 y q 2 y =O(t); o u 3 , 3 , 7 et 8 sont de nisen (1:47), (1:51) et (1:52).
Preuve: L'equationde la onservation delamasse de oulede l'equation(1:20).
L'equation (1:21)nous donne :
t q + =d X F =O(t); 1 2;
orF = j=8 j=0 v j v j f eq j
.IlsuÆtalorsde al ulerF xx ,F xy ,F yx etF yy .Onutilise
la relationde l'energie inetique = 1 2 (F xx +F yy
) ainsi que les relations(1:38),
(1:42)et (1:43)des moments m 3 , m 7 etm 8 , ontrouve : F xx = 2 6 (4+m eq 3 +3m eq 7 ); F xy =F yx = m eq 8 ; F yy = 2 6 (4+m eq 3 3m eq 7 ): Finalement on rempla e m eq 3 ;m eq 7 et m eq 8
par leur valeur donnee respe tivement
par (1:47),(1:51) et (1:52).
Proposition 8 Equations equivalentes du modele D2Q9 a l'ordre deux.
La densite et l'impulsion q veri ent les equations suivantes a l'ordre deux en
t : t + x q x + y q y =O(t 2 ); (1.53) t q x + 2 4+ 3 6 x + 3 +3 7 6 x q 2 x + 3 3 7 6 x q 2 y + 8 y (q x q y )= = t 1 s 3 1 2 2 6 (1+ 1 3 ) 2 x q x +(1+ 2 3 ) xy q y + + t 1 s 7 1 2 2 2 1 1 3 2 x q x 1 2 3 xy q y + + t 1 s 8 1 2 2 2+ 1 3 yx q y + 2+ 2 3 2 y q x +O(t 2 ); (1.54) t q y + 2 4+ 3 6 y + 8 x (q x q y )+ 3 3 7 6 y q 2 x + 3 +3 7 6 y q 2 y = = t 1 s 3 1 2 2 6 (1+ 1 3 ) yx q x +(1+ 2 3 ) 2 y q y + + t 1 s 7 1 2 2 2 1 1 3 yx q x + 1 2 3 2 y q y + + t 1 s 8 1 2 2 2+ 1 3 2 x q y + 2+ 2 3 xy q x +O(t 2 ); (1.55) o u 3 , 3 , 1 , 2 , 7 et 8 sont de nisen (1:47), (1:49), (1:50), (1:51) et (1:52).
Preuve: L'equation de la onservation de la masse est le resultat dire t de
(1:26). Pour retrouver les deux equations de onservation d'impulsions, on
uti-lise l'equation (1:27), les resultats du developpement a l'ordre un et on al ule
les di erents oeÆ ients
k
de nis par (1:25) et les defauts de onservation k
donnes par (1:22). Ave la matri e M
1
donnee par l'expression (1:46), on a
k =0 pour k =4;5;6et 3 = 2 1 0 0 1 ;
7 = 2 1 0 0 1 ; 8 = 2 0 1 1 0 :
On al ulealorslesdefautsde onservation k
donnesparl'expression(1:22)pour
k =3, k =7 etk =8: 3 = t m eq 3 + x (q x +m eq 5 )+ y (q y +m eq 6 ); onrempla e alors m eq 5 ,m eq 6
par leur valeur (1:49),(1:50) eten ne gardant que la
partie lineairede m eq 3 ,on obtient : 3 = 3 t +(1+ 1 ) x q x +(1+ 2 ) y q y +O(jq 2 j);
ord'apres l'equationde onservation de la masse onsaitque :
t = x q x y q y +O(t); on on lut alors : 3 =(1+ 1 3 ) x q x +(1+ 2 3 ) y q y +O(jq 2 j): Pour 7 de ni par (1:22),on a: 7 = t m eq 7 + x ((f eq 1 f eq 3 ))+ y (( f eq 2 +f eq 4 )); or ((f eq 1 f eq 3 )) = 1 1 3 q x d'apres l'expression de G 1 et G 2 , de m^eme on a (( f eq 2 +f eq 4 )) = 1 2 3 q y d'apres l'expression de G 2 et G 4 . On a alors par linearisation: 7 = 1 1 3 x q x 1 2 3 y q y +O(jq 2 j):
Finalementpour le defautde onservation
8 donnepar (1:22),on a 8 = t m eq 8 + x 2 3 q y + 3 m eq 6 + y 2 3 q x + 3 m eq 5 ;
on obtient alors en utilisant les valeurs de m
eq
5
, m
eq
6
donnees par les expressions
(1:51), (1:52)et par linearisation:
8 = 2+ 2 3 x q y + 2+ 1 3 y q x +O(jq 2 j):
L'equation(1:53)montrequ'on ala onservationdelamasseaumoinsal'ordre
deux. Dans les equations (1:54), (1:55) on distingue trois types de termes : le
terme en
x
dans l'equation(1:54) etleterme en y
dans l'equation(1:55) ont
le m^eme oeÆ ient 2 4+ 3 6
qui determine la vitesse du son. Ainsi le hoix
duparametre 3
xelavitesseduson s
q
4+ 3
6
.Lestermesde onve tionqui
sont en x q 2 x , x q 2 y et y (q x q y ) dans l'equation (1:54) et en y q 2 x , y q 2 y et x (q x q y )
dans l'equation (1:55). Les termes di usifs qui sont en t
1 s k 1 2 2 dans les
Equations de l'a oustique lineaire
Soit leprobleme a oustique ave di usion suivant :
8 < : t p+ 2 0 divu = 0; t u x + x p x divu u x = 0; t u y + y p y divu u y = 0; (1.56)
qui onsiste a her her l'evolution des in onnues : p la pression du uide, u =
(u x
;u y
)la vitesse du uide. On suppose que le uide est en evolution isotherme,
'est-a-direon ala loide pressionsuivante :
p= 2 0 ; (1.57) ave 2 0
le arre de la eleritedes ondes sonoreset ladensite du uide.
Danslesequations(1:56)onadeux termesvisqueux: lavis ositede volumeet
lavis ositede isaillement.Onpeutde nirlavis ositelongitudinale 1
2
+,
(en deux dimensions) qui est plus pertinentepour lesondes a oustiques.
Pourmodeliserleprobleme(1:56)ave les hemadeBoltzmannD2Q9onlere rit
d'abordenfon tionde lamasseetdel'impulsionqenutilisant(1.57)etq=u:
8 < : t + x q x + y q y = 0; t q x + 2 0 x ( 2 x q x + xy q y ) 2 x q x + 2 y q x = 0; t q y + 2 0 y yx q x + 2 y q y 2 x q y + 2 y q y = 0: (1.58)
Proposition 9 S hema de Boltzmann pour l'a oustique.
Le s hema de Boltzmann D2Q9 ave m
eq 3 = 3 ; o u 3 = 6 2 0 2 4;m eq 5 = qx ; m eq 6 = qy ; m eq 7 =0;m eq 8 =0; s 3 = 1 2 6 3 2 t 1 ets 7 =s 8 = 1 2 + 3 2 t 1 ,
admet omme equation equivalente a l'ordre deux en t le probleme (1:58).
Preuve: Pourmodeliserleproblemed'a oustique(1:58)ave les hemade
Boltz-mann sur reseau D2Q9 on hoisit les di erents parametres (i.e. les valeurs des
momentsd'equilibreetlestauxderelaxation)pourquelesequationsequivalentes
d'ordre deux donnees par (1:53), (1:54) et (1:55) oin ident ave le probleme
(1:58).Ene et on hoisit 3 = 7 = 8
=0 pour annuler lestermes non lineaires
desequations (1:54) et(1:55). Pour avoir la vitesse du son 0 ,on her he 3 , tel que: 2 0 = 2 4+ 3 6 ; on hoisit alors 3 = 6 2 0 2 4.
Pour que lavis osite du modele soitisotrope onprend 1 = 2 = 1 et s 7 =s 8 .
On obtient alors ave e hoix une vis ositede volume
3 2 t 6 1 s 3 1 2 et une vis osite de isaillement 2 t 3 1 s 8 1 2 . Leparametre 3
etant xe par la vitesse
du son
0
, ilnous reste a xer s 3 ets 8 pour avoir: = 3 2 t 6 1 s 3 1 2 ; = 2 t 3 1 s 8 1 2 :
On note i iqu'on n'a pas pre iseles valeurs de m eq 4 , s 4 , s 5 ets 6 ar ils
n'appa-raissentpas dansl'equationequivalented'ordredeux ent.Don es parametres
ne jouent pas de r^ole au moins a l'ordre deux, par ontre il faut les prendre de
telle maniere que le s hema soitstable (voir paragraphe5).
Equations de Navier-Stokes
Dans ette partie on va trouver un s hema de Boltzmann sur reseau D2Q9 qui
modelise leprobleme uidede Navier-Stokes suivant :
8 < : t + x q x + y q y = 0; t q x + x q 2 x + y (q x q y )+ 2 0 x = ( 2 x q x + xy q y )+ 2 x q x + 2 y q x ; t q y + x (q x q y )+ y q 2 y + 2 0 y = yx q x + 2 y q y + 2 x q y + 2 y q y : (1.59)
Proposition 10 S hema de Boltzmann pour Navier-Stokes.
Le s hema de Boltzmann D2Q9 ave m
eq 3 = 3 + 3 2 (q 2 x +q 2 y ); o u 3 = 6 2 0 2 4; m eq 5 = q x ; m eq 6 = q y ; m eq 7 = q 2 x q 2 y 2 ; m eq 8 = q x q y 2 ; s 3 = 1 2 6 3 2 t 1 et s 7 =s 8 = 1 2 + 3 2 t 1
, admet ommeequationequivalente a l'ordre deux en t
le probleme (1:59).
Preuve: On vapro ederpar identi ation ommedanslapreuvede la
proposi-tion 9.Lesequations de Navier-Stokes(1:59) presentent des termesnon lineaires
(i.ede onve tion)en plus par rapport auproblemede l'a oustique(1:58). Don
ongardelesm^emesvaleursduprobleme(1:58)pour 3 , 1 , 2 ,s 3 ,s 7 ets 8 .Pourles
termesnonlineaires,ilfautavoirlesm^emes oeÆ ientsdanslesequations(1:54),
(1:55) etles deuxequationsde onservation d'impulsiondu probleme (1:59).On
deduit alors : 3 +3 7 =6; 3 3 7 =0; 8 =1:
On resout le systeme en 3 et 7 , ontrouve 3 =3, 7 =1.
Remarque 7 Dans e as, ladistribution d'equilibre de nie dans laproposition
6, est donnee par :
G j =f eq j =w j + 3 (e j :q)+ 9 2 2 (e j :q) 3 2 2 jqj 2 ; o u w 0 = 4 9 , w 1 = w 2 = w 3 = w 4 = 1 9 et w 5 = w 6 = w 7 = w 8 = 1 36 . Cette
distribution orrespondaunedistribution lassiquedanslesmodelesdetypeBGK.
qui est une approximation de la Gaussiennedans le as BGK.
Remarque 8 Onnotei iquelesystemed'equationsequivalentes(1:59)modelise
un uide qui n'est pas in ompressible, ar les ondes a oustiques sont toujours
presentes.De plus lestermes nonlineaires desequations(1:59): x (q x q y )+ y q 2 y et x (q x q y )+ y q 2 y
Navier-4 Developpement asymptotique de Chapman{
Enskog
Pour obtenir les equations ma ros opiques on peut utiliser aussi le d
evelop-pement standard de Chapman-Enskog [FdH87℄ pour une perturbation d'ordre
, etant le nombre de Knudsen [Ce88℄ Kn
l
L
, le rapport entre le libre
par- ours moyen l (la longueur moyenne par ourue par la parti ule entre deux
ol-lisions su essives) et la longueur ara teristique L de l'e oulement du uide.
La methode de Chapman-Enskog onsiste a faire un developpement
asympto-tique formel des f
j
en autour d'un etat d'equilibre f eq
j
. Ensuite on fait une
analysemultie helle pour retrouver lesequations ma ro opiques. On traite i ile
as simple du Chapman-Enskog dis ret pour le modele D2Q9 (1:5), de rit par
l'equation suivante: f j (x k +v j t;t+t)=f j (x k ;t) 8 X i=0 j;i [(f i (x k ;t) f eq i (x k ;t)℄; 0j 8: (1.60) Lamatri e ( ij ) 0i;j8
de rit l'etape de ollisiondans l'espa e V des f j
. En
uti-lisant ledeveloppement de Taylor ona :
f j (x k +v j t;t+t)=f j (x k ;t)+ + t t f j (x k ;t)+v x j x f j (x k ;t)+v y j y f j (x k ;t) + + (t) 2 2 2 t f j (x k ;t)+2 v x j tx f j (x k ;t)+v y j ty f j (x k ;t) + + (v x j ) 2 xx f j (x k ;t)+(v y j ) 2 yy f j (x k ;t)+2v x j v y j xy f j (x k ;t) +O(t) 3
On rempla e le membre de gau he de l'egalite (1:60) par son developpement de
Taylor etonobtient : t t f j (x k ;t)+v x j x f j (x k ;t)+v y j y f j (x k ;t) + + (t) 2 2 2 t f j (x k ;t)+2 v x j tx f j (x k ;t)+v y j ty f j (x k ;t) + +(v x j ) 2 xx f j (x k ;t)+(v y j ) 2 yy f j (x k ;t)+2v x j v y j xy f j (x k ;t) = = 8 X i=0 j;i [(f i (x k ;t) f eq i (x k ;t)℄: (1.61) On her he alors f j
sous laformed'un developpementasymptotique en :
f j =f (0) j +f (1) j + 2 f (2) j +; (1.62) oulesf (n)
sontlesfon tionsdeChapmanetf
(0)
j
f
eq
j
(i.e.onfaitundeveloppement
autourd'un etat d'equilibre).On pose f (f 0 ;f 1 ;:::;f 8 )un ve teur de l'espa e V . L'equation (1:61)s'e rit : t( t f +V x x f+V y y f)+ (t) 2 2 2 t f +2(V x tx f +V y ty f)+ +(V ) 2 f+(V ) 2 f+2V V f = [f f eq ℄; (1.63)
ouV x =diag(v x 0 ;:::;v x 8 )etV y =diag(v y 0 ;:::;v y 8
)sontdesmatri esde M
9
(R). On
ree ritl'equation pre edente dans l'espa edes moments M a l'aidede lamatri e
M (i. e.m=M:f), onobtient: 8 > < > : t ( t m+S x x m+S y y m)+ (t) 2 2 2 t m+2(S x tx m+S y ty m)+ +(S x ) 2 xx m+(S y ) 2 yy m+2S x S y xy m℄ = = MM 1 [m m eq ℄; (1.64) ouS =MV M 1
.Onfaitalorsledeveloppementde nipar(1:62)dansl'equation
(1:64), etonintroduit lesdeux e hellesde temps etl'e helle en espa esuivant :
t = t 1 + 2 t 2 ; x = x 0 : (1.65) On a alors a l'ordreun en : t t 1 m (0) +S x x 0 m (0) +S y y 0 m (0) = MM 1 m (1) ; (1.66) et al'ordre deux en ona: t t 2 m (0) + t 1 m (1) +S x x 0m (1) +S y y 0m (1) + + (t) 2 2 2 t1 m (0) +2 S x t 1 x 0m (0) +S y t 1 y 0m (0) + +(S x ) 2 2 x 0 m (0) +(S y ) 2 2 y 0 m (0) +2S x S y x 0 y 0m (0) = = MM 1 m (2) ; (1.67)
oren utilisant (1:66),l'equation (1:67) devient :
t t2 m (0) + t Id MM 1 2 t1 m (1) +S x x 0 m (1) +S y y 0 m (1) = = MM 1 m (2) ; (1.68)
One ritalorslesequationsquide oulentdel'ordreundeChapman-Enskog(1:66)
(i. e.e rire les9 equations s alairesrevient a al uler S x m (0) etS y m (0) ): t 1 + x 0q x + y 0q y =0; (1.69) t 1 q x + 2 x 0 2 3 + 1 6 m (0) 3 + 1 2 m (0) 7 + 2 y 0m (0) 8 =0; (1.70) t 1 q y + 2 x 0m (0) 8 + 2 y 0 2 3 + 1 6 m (0) 3 1 2 m (0) 7 =0; (1.71) t t1 m (0) 3 + x 0 q x +m (0) 5 + y 0 q y +m (0) 6 = s 3 m (1) 3 ; (1.72) t t 1 m (0) 4 + x 0m (0) 5 + y 0m (0) 6 = s 4 m (1) 4 ; (1.73) t t1 m (0) 5 + x 0 1 3 (m (0) 3 +m (0) 4 ) m (0) 7 + y 0m (0) 8 = s 5 m (1) 5 ; (1.74) t t1 m (0) 6 + x 0 m (0) 8 + y 0 1 3 (m (0) 3 +m (0) 4 )+m (0) 7 = s 6 m (1) 6 ; (1.75) t t1 m (0) 7 + 1 3 x 0 q x m (0) 5 + 1 3 y 0 q y +m (0) 6 = s 7 m (1) 7 ; (1.76) t t1 m (0) 8 + 1 x 0 2q y +m (0) 6 + 1 y 0 2q x +m (0) 5 = s 8 m (1) 8 : (1.77)
Remarque 9 Lien entre les fon tions de Chapman et les defauts de
onserva-tions : On note i i qu'on a la relation suivante entre les m
(1)
k
; 3 k 8 et les
defautsde onservation de nispar (1:22) :
t2 m (0) k = s k t m (1) k + 1 2 k = 1 k m (1) k + 1 2 k :
Dem^emeone ritlestroispremieresequationsquide oulentdel'equationd'ordre
deux en (1:68) de Chapman-Enskog,onobtient:
t2 =0; t2 q x + 2 6 1 s 3 2 x 0 m (1) 3 + 2 2 1 s 7 2 x 0 m (1) 7 + 2 1 s 8 2 y 0 m (1) 8 =0; t 2 q y + 2 1 s 8 2 x 0m (1) 8 + 2 6 1 s 3 2 y 0m (1) 3 2 2 1 s 7 2 y 0m (1) 7 =0: On rempla e alors m (1) 3 , m (1) 7 et m (1) 8
par leur expression deduite des equations
(1:72),(1:76) et(1:77) dans lesequationspre edentes et onobtient:
t2 q x t 2 6 1 s 3 1 2 x 0 t1 m (0) 3 + x 0 q x +m (0) 5 + y 0 q y +m (0) 6 t 2 2 1 s 7 1 2 x 0 t 1 m (0) 7 + 1 3 x 0 q x m (0) 5 + 1 3 y 0 q y +m (0) 6 t 2 1 s 8 1 2 y 0 t 1 m (0) 8 + 1 3 x 0 2q y +m (0) 6 + 1 3 y 0 2q x +m (0) 5 =0; t 2 q y t 2 1 s 8 1 2 x 0 t 1 m (0) 8 + 1 3 x 0 2q y +m (0) 6 + 1 3 y 0 2q x +m (0) 5 t 2 6 1 s 3 1 2 y 0 t 1 m (0) 3 + x 0 q x +m (0) 5 + y 0 q y +m (0) 6 + t 2 2 1 s 7 1 2 y 0 t 1 m (0) 7 + 1 3 x 0 q x m (0) 5 + 1 3 y 0 q y +m (0) 6 =0:
On multiplie par les equations (1:69), (1:70) et (1:71), et par 2
les equations
pre edentes.Onsommealorslesequationsuneauneetenutilisantle hangement
d'e helle donne par (1:65), onobtientlesequationsma ros opiques suivantes :
t1 + 2 t2 + x 0 q x + y 0 q y = t + x q x + y q y =0; t q x + 2 x 2 3 + 1 6 m (0) 3 + 1 2 m (0) 7 + 2 y 0m (0) 8 = = t 2 6 1 s 3 1 2 x t 1 m (0) 3 + x q x +m (0) 5 + y q y +m (0) 6 + t 2 2 1 s 7 1 2 x t1 m (0) 7 + 1 3 x q x m (0) 5 + 1 3 y q y +m (0) 6 + t 2 1 s 1 2 y t1 m (0) 8 + 1 3 x 2q y +m (0) 6 + 1 3 y 2q x +m (0) 5 ;
t q y + 2 x m (0) 8 + 2 y 2 3 + 1 6 m (0) 3 1 2 m (0) 7 = = t 2 1 s 8 1 2 x t 1 m (0) 8 + 1 3 x 2q y +m (0) 6 + 1 3 y 2q x +m (0) 5 + t 2 6 1 s 3 1 2 y t 1 m (0) 3 + x q x +m (0) 5 + y q y +m (0) 6 t 2 2 1 s 7 1 2 y t 1 m (0) 7 + 1 3 x q x m (0) 5 + 1 3 y q y +m (0) 6 :
Sa hant que les m
(0)
k
= m
eq
k
, on prend alors les m^emes valeurs d'equilibre et les
m^emes oeÆ ients s
k
que dans la proposition 10 (i. e. m
eq 3 = 3 + 3 2 (q 2 x + q 2 y ); ou 3 = 6 2 0 2 4; m eq 5 = q x ; m eq 6 = qy ; m eq 7 = q 2 x q 2 y 2 ; m eq 8 = qxqy 2 ;s 3 = 1 2 6 3 2 t 1 et s 7 = s 8 = 1 2 + 3 2 t 1
,), on retrouve alors les equations de
Navier-Stokes (1:59). On note que t1 m (0) 3 = 3 t ar t2
= 0 et qu'il faut negliger les termes non
lineairesen q 2 .
Dans la ommunaute Boltzmann sur reseau, les pas de temps t et d'espa e
x sont xes a l'unite (i. e. t = 1, x = 1). I i on a fait le developpement
dans le as general pour avoir les bonnes unites des oeÆ ients de transport et
de di usion et voir leur dependan e via lemaillage.
Enutilisantlamethodedel'equationequivalenteetledeveloppementde
Chapman-Enskog dis ret on retrouve les m^emes equations ma ros opiques a l'ordre deux
en t.
5 Equation de dispersion et stabilite du s hema
Dans ette partie on onsidere les solutions de type onde plane de frequen e !
et de ve teur d'onde k sous la forme: f
j (x;t) = j e i(!t k:x) ;0 j J. Dans un
premiertempsonvaetudierles hema de BoltzmannD1Q3lineaire(i.e le as de
l'a oustique). Ensuite onetudie les hema D2Q9 lineaireet non lineaire.
Equation de dispersion
Le as du s hema D1Q3 lineaire :
On onsidere le s hema D1Q3 introduit dans la se tion 2 et dont l'equation
d'evolution est donnee par (1:35) :
f j (x i ;t+t)=f j (x i v j t;t); 0j 2: (1.78) ouf j
est donne parl'operateurde ollisionC de ni par(1:32). Enutilisantalors
Proposition 11 Etape d'adve tion.
On se donne une solution f du s hemasous laforme f
i (x;t)= i e i(!t kx) , (i. e.
onde plane). L'operateur d'adve tion (2:6) s'e ritsous laforme matri ielle:
A diag(1;p;1=p); ave pe (ikx) ; de plus on a f(x;t+t) = Af (x;t); (f 0 (x;t+t);f 1 (x;t+t);f 2 (x;+t)) t = f 0 (x;t);pf 1 (x;t); 1 p f 2 (x;t) t : Preuve: Soit x i =mx ett =nt, ona : f j (x i ;t) =f j (mx;nt)= j e i(!nt kmx) De m^eme on a: f j (x i v j t;t) =f j (mx v j t;nt) =e ike j x e i(!nt kmx) j : (1.79)
On e rit alors l'etape d'adve tion f j (x i ;t+t)= f j (x i v j t;t), on rempla e f i (x j v i
t;t) en utilisant(1:79), ontrouve alors :
f j (x i ;t+t)=e ike j x f j (x i ;t); 0j 2:
Comme on est dans le as lineaire l'operateur de ollision s'e rit sous la forme
matri ielle(1:32), alors ondispose de l'e rituresuivantedu s hema :
Proposition 12 Matri e globale du s hema.
Pour les solutions de type onde plane f
j (x i ;t) = j e i(!t kx) , l'equation d'
evo-lution de l'algorithme (1:35), s'e rit sous laforme :
f(x i ;t+t)=Gf(x i ;t); (1.80) ave G=A(M 1 CM)= 0 B B B B B B B B 1 s s(1 ) s(1 ) s 2 p 1 s(1 ) 2 p s(1 ) 2 p s 2 1 p s(1 ) 2 1 p 1 s(1 ) 2 1 p 1 C C C C C C C C A ;
lamatri ed'evolutionglobaledel'algorithmeD1Q3o uM, M 1
etCsontdonnees
par (1:31), (1:33) et (1:34).
Preuve: En utilisant(1:32) etlaproposition 11on a:
f(x i ;t+t)=A(M 1 CM)f(x i ;t):
Lamatri eGdependantdufa teurdephasep=e ikx
,onlanotealorsGG(p).
On introduitensuite le fa teur de temps
z e
i!t
; (1.81)
e i onduit a:
Proposition 13 Equation de dispersion.
Soit f une solution non triviale du s hemaD1Q3 de la forme :
f(mx;nt) = e
i(!nt kmx)
; (1.82)
ave m et n les numeros respe tifs d'espa e et de temps, ! et k la frequen e et le
ve teur d'onde. On a alors l'equation dispersion suivante :
det[G(p) zId℄=0; ave z =e
i!t
: (1.83)
Preuve: En rempla ant la solution f dans l'equation (1:95) par (1:82), on
ob-tient: zf(x i ;t)=Gf(x i ;t);
ouz est de ni par (1:81).
Pour quele s hema D1Q3admette une solutionnon trivialef, ilfaut que :
det[G(p) zId℄=0;
qui est l'equation de dispersion.
Remarque 10 L'equation de dispersion nous donne une relation entre ! et k
via la relation entre z et p. Pour k xe (i. e. p xe) on a un probleme aux
valeurs propres. Les valeurs propres solutions de e probleme vont nous donner
l'expression des oeÆ ients de transport en fon tion du ve teur d'onde k, (voir
[LL00℄).
Le as du s hema D2Q9 lineaire :
On onsidere les hema D2Q9 lineaire de ni dans lase tion 2 etdont l'equation
d'evolution est donnee par (1:18) :
f j (x i ;t+t)=f j (x i v j t;t); 0j 8; (1.84)
qui modelise a l'ordre deux en t, le probleme de l'a oustique (1:58) ou les
mo-mentsd'equilibresontdonnespar:m eq 3 = 3 ,m eq 4 = 4 ,m eq 5 = qx ,m eq 6 =q y , m eq 7 =m eq 8 =0et s 7 =s 8
. Ainsil'etapede ollisionest lineaire ets'e rit :
C : V ! V
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