Chapitre 5

Chapitre 5

es algorithmes évolutionnaires

multicritères à la conception de véhicules

électriques

Dans ce chapitre, nous entreprenons véritablem ique par optimisation de

véhicules électriques purs à s évolutionnaires multicritères. La forte

complexité de ce dispositif et son caractère hétérogène et multidisciplinaire en font une application appropriée à notre démarche.

La conception d’un véhicule électrique est naturellement très complexe. Aboutir à un véhicule

« optimisé » satisfaisant une m ite de faire un certain nombre de choix en

terme d’architecture, de dimensionnem breuses possibilités

sont offertes au concepteur qu opter pour un certain type de motorisation

(électrique pure, hybride), de tr e (boîte de vitesses, réducteur fixe, solutions

multimoteurs,…) ou de sources d’énergie (pile à combustible, batterie, super-capacité,…).

Comment dimensionner les diff oteur de traction, réducteur, source

d’énergie) et commander l’ensemble pour gérer au mieux la consommation du véhicule ? Nous

ons b x sont couplés et qu’ils vont intervenir de manière forte

LEEI sur la conception d’un véhicule électrique, de confronter, sur un même problème, l’algorithme

NSGA-trique

Application d

ent la conception systém l’aide des algorithme

ission donnée nécess

ent et de gestion de l’énergie. De nom i peut par exemple

ansmission mécaniqu

érents organes du véhicule (m

percev ien à quel point tous ces choi

dans les performances finales du véhicule.

Dans un premier temps, nous proposons, sur la base de travaux antérieurs réalisés au

II avec une méthode géomé déterministe (Hooke and Jeeves). Le but de cette étude est de

comparer, sur un exemple concret, les différences entre les deux approches en terme de formulation mathématique et de performance.

Nous présentons ensuite le système « véhicule électrique » tel que nous l’avons modélisé (variables de conception, critères, contraintes). Puis, à l’aide de ce modèle, nous montrons, sur deux missions de circulation différentes, comment la prise en compte de la finalité du système influe sur la conception des différents sous-systèmes composant le véhicule.

5.1

Confrontation de méthodes

Pour commencer ce chapitre, nous proposons, dans le contexte de la conception systémique par optimisation, de confronter les algorithmes évolutionnaires multicritères à des méthodes de type géométriques. Dans des travaux antérieurs, menés dans le groupe Système du LEEI, Y.

Ferfermann avait déjà abordé une démarche de conception par optimisation sur un véhicule électrique, mais en utilisant des méthodes directes géométriques, en l’occurrence l’algorithme de

Hooke end Jeeves, basé sur le principe de l’agrégation des critères partiels en une fonction coût nique [Fef02].

efermann mais avec le NSGA-.

Une co

convergence ne saurait suffire à conclure sur la supériorité absolue d’une des méthodes. La omplexité de mise en œuvre est par exemple un aspect important de la conception. L’objectif ici est

princip tra également de

onfronter une méthode déterministe et une méthode stochastique, à laquelle il est souvent

e système d’étude se compose d’une chaîne de traction type véhicule électrique pur,

com s en s rie ou en parallèle, un filtre

’entrée comportant une capacité et une inductance, un convertisseur statique de type onduleur

Les variables de conception du problème constituant le vecteur objet sont présentées dans le

tableau 5.1. Les paramètres circuits du moteur sont calculés analytiquement à partir des

paramètres géom de » défini dans

[Fef02]. u

Nous avons déjà évoqué, dans le chapitre 2, les principales différences entre les méthodes d’optimisation de type agrégatives et celles de type Pareto. Afin de pouvoir plus précisément confronter ces deux types d’algorithmes sur un problème concret du Génie Électrique, nous proposons de résoudre le même problème d’optimisation que Y. F

II

mparaison brute de ces deux algorithmes par rapport aux performances en terme de c

de les appliquer à la résolution d’un problème d’optimisation complexe et d’en comparer les es d’application et la qualité des résultats. Cette approche permet

c

reprochée son caractère aléatoire. Aucune analyse au sens système du terme ne sera menée sur cet exemple, l’objectif étant uniquement de se concentrer sur les caractéristiques et les performances des méthodes.

5.1.1 Description du problème

L

portant un ensemble d’accumulateurs pouvant être associé é

d

de tension, une machine à force électromotrice de forme trapézoïdale et un réducteur mécanique. Tous les détails concernant la modélisation, les critères et contraintes associés au système peuvent être trouvés dans [Fef02].

X

TABLEAU 5.1 : VARIABLES DE CONCEPTION DU PROBLEME D’OPTIMISATION

E niveau de la tension continue d’alimentation (V)

CVS

f fréquence de commutation des semi-conducteurs (kHz)

S

r rayon d’alésage de la machine (m)

R

l longueur de la machine (m)

f

C capacité du filtre d’entrée (F)

f

L inductance du filtre d’entrée (H)

Les objectifs du problèmes sont la minimisation

, m ompo

insi que la masse de la plate-forme à vide du véhicule

du critère , qui représente les pertes totales du système, regroupant les pertes Joule,

fer et mécaniques du moteur, les pertes dans la batterie, dans le filtre, ainsi que les pertes du convertisseur statique

Les co

:

du critère (F₁X asse totale du véhicule, qui c rte la masse de la batterie de

traction, la masse de l’actionneur, a )

) (

2X

F

ntraintes sont relatives :

aux domaines de variation des paramètres d’optimisation

aux domaines de variation des paramètres du modèle de simulation

aux domaines de fonctionnement du dispositif (contrainte thermique, limite d’alimentation, …)

aux conditions d’adéquation entre la commande et les paramètres du filtre d’entrée (ondulations, découplage, stabilité)

Cahier des Charges

Machine Synchrone à

Aimant s

A lim ent at ion

Cde

Cde Charge

C es Charges

Sim ilitude

M odèles Com portem ent aux ahier d

M odèle de Synthèse par

M odèles Com portem entaux

Critères d ’optimisation et OP T IM ISEU R contraintes M éthodes D irectes lticritère O nduleur M u V ariables de concept ion P aram èt res circuit s eves

La méthode de Hooke and Jeeves est une méthode géométrique directe d’optimisation (sans calcul des dérivées des contraintes et des critères). Elle comporte deux étapes principales qui sont la recherche de la direction de descente et le déplacement dans cette direction. A partir d’un point initial ou point de référence, l’algorithme effectue une recherche exploratoire par

les autres variables restant fixes. Si le coût de la fonction à optimiser est meilleur, alors cette nouvelle composante est conservée. Dans le cas con

figure 5.1 : Synoptique de la boucle simulation-optimisation

5.1.2 Utilisation de la méthode de Hooke and Je

perturbation d’un incrément +∆ d’une variable,_i

traire, la variable est perturbée en -∆ et con_i servée en cas d’amélioration de la fonction

bjectif. Si les deux incrém élioration, la composante reste inchangée.

o ents n’apportent aucune am

A la fin du processus, toutes les composantes ont été perturbées une fois, et nous obtenons soit un point pour lequel la fonction coût a été améliorée, soit le point de référence lui-même. Dans ce dernier cas, le processus est réitéré avec un pas ∆ plus petit (typiquement _i ∆i /2). Dans le cas contraire, le point obtenu et le point de référence sont utilisés pour définir une nouvelle direction de recherche par extrapolation. Un déplacement peut alors être effectué le long de cette direction. Le nouveau point ainsi obtenu devient le point de référence. La procédure est en général stoppée lorsque les incréments ∆ deviennent inférieurs à une précision donnée vis à vis _i des divers paramètres.

FORMULATION DU PROBLEME D’OPTIMISATION

contrainte * 2 1 * ,..., 2 , 1 0 ) ( s contrainte aux soumise et ) ( ) ( F ) ( F ) , ( assurant un Trouver r_S ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ solution e N j g H r r min F C l E j k PERTES MASSE k f R = ∀ ≤ + > < + > < = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ = X X X X X X α α (5.1) f_CVS ⎪ ⎪ L_{f ⎪} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ et MASSE

α α_PERTES représentent les coefficients de pondération associés à chacun des critères.

) (X

F₁ et F₂(X représentent respectivement les) critères normalisés concernant la masse et les

pertes globales du système. La fonction est une fonction de pénalité dont le rôle est de

icient contrainte 1 N j ) (X H

détériorer le coût de la fonction objectif en cas de non respect des contraintes. Son expression générale est rappelée par l’équation (5.2). Le paramètre r_k représente le coeff de pénalité.

[

]

∑

( )

ous lui la procédure de recombinaison

auto-adaptative décrite dans ce même chapitre.

5.1.3.1 Formulation du problème

te mul

5.1.3 Utilisation du NSGA-II

Le NSGA-II est décrit au chapitre 3. N avons associé

,..., 2 , 1 0 ) _{g (} * ≤ ∀_j = _Ncontrainte s contrainte au soumis assurant vecteur de ensemble un Trouver * l r f j f S CVS ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = X X

es méthodes et des résultats d’optimisation

5.1.4.1 Mise en œuvre des méthodes

METHODE DE HOOKES ANS JEEVES

va do c nécessiter :

La détermination des facteurs de normalisation des critères peut s’avérer problématique dans la mesure où il est difficile d’avoir une idée a priori des domaines de variations des critères. Cette approche peut nécessiter une série de tests préalable sur les fonctions objectifs afin de trouver

Pour les aspects relatifs aux contraintes, il existe différentes approches pour en aborder la gestion (pénalité extérieures, pénalités intérieures,…)[F f02][Sar99]. Quelle que soit celle utilisée, le

choix de iques des

problèmes. De plus, la fonction et

contraintes relatives au seul domaine de variation des variables de conception ou de contraintes faisant intervenir plusieurs paramètres de la fonction coût, complexifiant à nouveau le paramétrage de l’algorithme. La normalisation des contraintes constitue elle aussi une étape

E L R ⎪ ) ( ) ( de simultanée on minimisati la 2 1 F F C_f ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪⎩ X X (5.3) x 5.1.4 Comparaison d

Le conditionnement du problème d’optimisation n

- le réglage des coefficients de pondération

- la détermination des facteurs de normalisation des fonctions objectifs - la détermination de la fonction et des coefficients de pénalité

- la détermination des facteurs de normalisation des contraintes

approximativement les valeurs maximale et minimale des critères.

e )

(X

H et du coefficient de pénalité n’est pas trivial et dépend des caractérist

difficile dans la mesure où le conditionnement du problème ne fait pas toujours apparaître la possibilité de déterminer les domaines de variation de ces contraintes.

isation se fait ici très naturellement, dans la mesure où l’expression des critères ne fait intervenir aucune normalisation, aucun coefficient de

ême,

ficult ent puisqu’il n’y a pas de fonction ni

de coefficient de pénalité, et qu’aucune normalisation des contraintes n’est nécessaire. En cas de

ais sa gestion est irectement intégrée à l’algorithme. En effet, si au cours d’une procédure de croisement ou de

mu de conception sort de son domaine de définition, elle est

utomatiquement ajustée à la borne extrémale correspondante. Enfin, la procédure de clustering

timisations, partant toutes du même point de référence, en faisant varier les coefficients de pondération

Notons également que la qualité de la répartition des solutions dans l’espace des objectifs dépend, avec les méthodes agrégatives, du choix du pas de variation des coefficients de pondération. Ce choix est délicat à réaliser car une variation linéaire de ce pas ne garantit en aucun cas une répartition uniforme des solutions dans l’espace des objectifs.

ALGORITHME EVOLUTIONNAIRE MULTICRITERE NSGA-II

Le conditionnement du problème d’optim

pondération, grâce à l’utilisation de la notion de dominance par rapport aux critères. De m

les dif és liées à l’intégration des contraintes disparaiss

non respect des contraintes, leur gestion est également assurée par l’établissement des dominances, mais par rapport aux contraintes (voir règles du chapitre 4). De plus, le domaine de variation des paramètres n’est ici pas considéré comme une contrainte, m

d

tation une des variables a

assure automatiquement la répartition uniforme des solutions dans l’espace des critères.

5.1.4.2 Comparaison des résultats

Les résultats présentés dans le thèse de Y. Fefermann sur le problème d’optimisation formulé en (5.1) ont été obtenus, après conditionnement du problème d’optimisation, en réalisant une série de 14 op

MASSE

α et α_PERTES selon le protocole du tableau 5.2. Dans ce même tableau,

figure le nombre d’évaluations de critères effectuées pour chacune des exécutions.

TABLEAU 5.2: VARIATION DES COEFFICIENTS DE PONDERATION POUR LES DIFFERENTES OPTIMISATIONS

Optimisation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 éval N MASSE α _{0 0.03 0.06 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1} PERTES α _{1 0.97 0.94 0.9 0.85 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0} éval N _{1297 1281 1257 1345 1301 1352 1317 1340 1218 1276 1216 1239 1337 1386}

Le nombre moyen d’évaluations par optimisation est de

L’ensemble des solutions obtenues par cette mét e

front de Pareto du problème. Celui-ci est présenté sur la figure 5.2. >

<N_éval 1295.

1000 1500 2000 2500 3000 3500 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200 1250 1300 1350 P ert es t ot ales (W) M a ss e t o ta le du 14 v éhi cu le ( k g ) 13 12 11 10 9 8 1 7 ₆ 5 4 3 2

Numéro de l’opt imisat ion Numéro de l’opt imisat ion

figure 5.2 : Front de Pareto obtenu avec la méthode de Hookes ans Jeeves

Pour comparer cette méthode avec le NSGA-II, nous décidons de nous baser sur un nombre d’évaluations de critères similaire (environ 14*1300 ≈ 18000 évaluations). Il nous faut intégrer l’aspect stochastique de l’algorithme, donc partager le nombre d’évaluations de critères sur

plusieu les éva e

d’individus de l , le nombre de générati uations

pour un

rs exécutions. Pour une exécution, luations doivent être réparties entre le nombr ons N_géné, le nombre total d’éval a population N_ind

e optimisation étant donné par Néval =Ngéné N . ind. Il nous semble intéressant d’opter

pour une taille de la population supérieure à 14, afin d’obtenir une meilleure caractérisation du

METRAGE DU NSGA-II

n

front optimal. En conséquence, nous choisissons pour le NSGA-II les paramètres de réglages donnés dans le tableau 5.3. Le nombre total d’évaluations de chaque fonction objectif est dans ces conditions de 17500. TABLEAU 5.2 :PARA = ind N Taille de la populatio 50 Nombre de générations N_géné =70 Nombre d’optimisations 5

Taux de mutation des variables de conception 1/nombre de variables

Taux de mutation du gène de croisement 5%

1000 1500 2000 2500 3000 3500 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 P ert es t ot ales (W) M a sse t o ta le s d u v éh ic u le ( k g )

figure 5.3 : Résultats des cinq

Nous pouvons constater problème puisque les 5

exécutions conduisent à des résultats reproductibles.

La figure 5.4 présente la comparaison des deux méthodes. Les résultats avec le NSGA-II correspondent au front de Pareto global extrait des cinq optimisations précédentes. Nous remarquons que les deux méthodes aboutissent globalement aux mêmes résultats, ce qui montre que les méthodes évolutionnaires sont au moins tout aussi efficaces que les méthodes déterministes sur ce problème. Remarquons même que chacune des exécutions du NSGA-II n’a nécessité que 50*70, soit 3500 évaluations des critères pour aboutir à l’obtention de 50 solutions optimales qui sont, en terme de convergence, tout à fait correctes. Le même nombre d’évaluations de critères avec l’algorithme de Hookes and Jeeves ne permet de déterminer que 2 solutions du front. e t o ta le d u u l

exécutions avec le NSGA-II

que le NSGA-II a correctement convergé sur ce

P ert es t ot ales (W) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 M a ss vé h ic e ( kg) 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 NSGA-II Hookes and J eeves NSGA-II Hookes and J eeves

Il ne faut pas pour autant conclure à la supériorité absolue des méthodes évolutionnaires multicritères tant que n’a pas été abordée la précision de ces solutions. Ces chiffres montrent cependant nettement que les méthodes intégrant naturellement le formalisme multicritère possèdent un pouvoir d’exploration bien supérieur aux méthodes agrégatives.

Les performances relatives à la détection des solutions extrémales peuvent être considérées

égales. La solution à pertes minim asse totale

minimale est rou ar rit de oke d J es. Les différences entre les deux

algorithmes sur ces points extrémaux sont infime

deux c n t l ex m ou ara er a s s tions

obtenues en terme de distribution, nous calculons pour chacun des fronts la quantité (définie

au chapitre 3) qui, rappelons le, m

optimal. En ce qui concerne la précision des

onts, le pourcentage de solutions d’une population (Hookes and Jeeves ou NSGA-II) qui

ales est trouvée par le NSGA-II et celle à m

t vée p l’algo hme Ho s an

s et nous pouvons considérer qu’ils ont tout

eev

orrecteme t détec é les so utions tré ales. P r c ctéris la qu lité de olu

∆

esure la qualité de la distribution des solutions sur le front solutions, nous recherchons, pour chacun des deux

dom

p

fr

dominent, au sens de Pareto, des solutions de l’autre front. Ces résultats sont regroupés dans le tableau 5.3.

TABLEAU 5.3 : ÉLEMENTS COMPARATIFS DES DEUX ALGORITHMES

Hookes and Jeeves NSGA-II

∆ 1.219 0.744

dom

p 35.7% 3.4%

Nous pouvons alors remarquer que le NSGA-II assure une bien meilleure répartition des solutions le long du front optimal. En effet, comme nous l’avons déjà évoqué, les méthodes grégatives sont peu robustes par rapport à cet aspect puisqu’il est difficile de choisir a priori les

n

rme de précision par contre, le nombre indique qu’il existe plus de solutions du front

5.2

Problématique de la conception du véhicule électrique

De nombreuses recherches sont en cours sur ce thème. En terme d’architecture, les solutions les plus avancées et les plus viables économiquement semblent être les structures hybrides, qui a

coefficients de pondération assurant une répartition uniforme des solutions dans l’espace des objectifs. Le NSGA-II, grâce à son opérateur de clustering, se montre bien plus efficace. E

te dom

« Hookes and Jeeves » qui dominent des solutions du front « NSGA-II » que l’inverse. Ceci confirme la meilleure précision des méthodes géométriques, qui sont des méthodes locales. Grâce à cet exemple, nous montrons que ces deux approches sont viables pour la conception. Nous illustrons également de façon plus concrète l’intérêt d’envisager une optimisation mixte, dans laquelle interagiraient des méthodes évolutionnaires, à caractère global et des méthodes géométriques, à caractère local. Nous pouvons imaginer profiter des capacités d’exploration des premières pour localiser une zone optimale et utiliser ensuite les secondes pour tirer profit de leur capacité d’exploitation afin d’affiner la précision des solutions.

mêlent une motorisation thermique, un alternateur, ainsi qu’une machine électrique associée à une petite quantité de batterie. Les architectures « tout électrique » souffrent à l’heure actuelle de problèmes liés au stockage de l’énergie embarquée. Les performances des accumulateurs en terme d’énergie massique sont encore bien faibles par rapport aux carburants pétroliers [Mul01]. Malgré ces défauts, ce type de véhicule nous semble bien approprié si l’on veut se focaliser sur la démarche de conception.

Nous avons donc retenu comme système d’étude un véhicule électrique pur constitué : d’un châssis présentant une masse à vide de 800kg

d’une chaîne de traction électromécanique, composée d’un moteur synchrone à aimants associé à un réducteur mécanique fixe

d’un onduleur triphasé

de c

préfér

d’apporter des éléments de réponse à ces questions.

véhicule [Ran03]. d’une batterie d’accumulateurs

L’optimisation de ses performances pour une mission donnée passe par un dimensionnement adéquat des différents éléments du véhicule. Dans ce contexte, plusieurs questions se posent

alors en terme onception. Comment doit être dimensionné le moteur de traction (couple et

vitesse de dimensionnement de la machine, propriétés en survitesse et surcouple,…) ? Quel rapport de réduction choisir pour le réducteur mécanique ? Quel type d’accumulateurs est-il

able d’embarquer et comment agencer les cellules élémentaires ?

Nous proposons donc de montrer dans quelle mesure l’approche systémique de conception par optimisation permet

5.3

Bilan des efforts appliqués au véhicule

Afin de pouvoir simuler la mission d’un véhicule, il faut être capable de déterminer quels sont les couples et les vitesses imposés au moteur de traction par le profil de route. Pour ce faire, nous établissons un bilan des efforts appliqués au

5.3.1 Forces aux roues

L’effort total F_tot nécessaire à l’avancement du véhicule est la somme de différentes

composantes issues du bilan des forces mécaniques appliquées au véhicule :

acc pente aero roul tot F F F F F = + + + (5.4)

Le tableau 5.4 précise les notations utilisées. est la force de résistance au roulement

roul

Mg f

Froul = r (5.5)

Le coefficient f_r , coefficient de frottement des roues, dépend de plusieurs paramètres (vitesse, dimension du pneumatique, matériaux, type de sculpture,…). Une approximation de ce coefficient est donnée pour un pneumatique de type radial par la formule :

(

)

r V C

f = 0.0041+0.000041 (5.6)

représente la force de résistance aérodynamique

aero F 2 vent aero ₂1 SC (V V ) F = ρ _x − (5.7)

représente la force nécessaire pour vaincre une pente d’inclinaison θ pour un

pente véhicule de masse M F θ sin pente Mg F = (5.8)

’accélération ou de décélération du véhicule

acc

F représente le terme dynamique d

γ M dt dV M F_acc = = (5.9)

Finalement, la force totale nécessaire à l’avancement du véhicule vaut :

dt dV M Mg V V SC Mg f F = r + ₂1ρ x( − ) + sinθ + 2 vent tot (5.10)

TABLEAU 5.4 : GLOSSAIRE DES VARIABLES UTILISEES LORS DU BILAN DES EFFORTS

M (kg) Masse totale du véhicule

V (m.s-1) Vitesse du véhicule 81 . 9 = g (m.s-2) Accélération de la pesanteur 25 . 1 = h

C Coefficient caractérisant la surface de roulage

293 . 1 =

ρ (kg.m-3) Densité volumique de l’air

2 =

S (m2) Section frontale véhicule

4 . 0 = x

C Coefficient de pénétration dans l’air

0

vent =

V (m.s-1) Vitesse du vent

5.3.2 Couple aux roues

Le couple total sur l’arbre de transmission et sa vitesse de rotation sont liés à la

force totale aux roues et à la vitesse du véhicule par les équations :

trans C Ω_trans tot F V r F C_trans = _tot (5.11) r V = Ω_trans (5.12)

où r représente le rayon de la roue .

5.3.3 Introduction du réducteur

La chaîne de traction étudiée est munie d’un réducteur mécanique reliant l’actionneur à l’arbre de transmission des roues. Ce réducteur est, entre autre, caractérisé par un rapport de réduction

(m)

N . Dans ces conditions, la pulsation de rotation du moteur d’entraînement et le couple qu’il doit fournir sont liés aux grandeurs côté transmission par les relations :

mot Ω mot C N trans mot = Ω Ω (5.13) N C C tot mot = (5.14)

Remarque : ici, les pertes liées à la transmission mécanique ne sont pas considérées mais seront prises en compte a posteriori.

5.3.4 Description de la mission de l’actionneur

Pour décrire la mission du véhicule, nous choisissons de caractériser un profil de route par un profil de vitesse V_k , synchronisé sur un profil de pente θ_k. Comme le montre la figure 5.5, la connaissance de ces deux profils permet de déterminer les sollicitations imposées au groupe moto-propulseur. Compte tenu des expressions précédentes, il est possible, à partir de la connaissance de la mission, de déduire la trajectoire du point de fonctionnement de l’actionneur dans le plan couple-vitesse en fonction du temps. Ce schéma montre comment il est possible d’intégrer le caractère de « finalité » au sein même du processus de conception systémique.

( )

( )

( )

Bilan des ffort s e

Bilan des e ort sff

(

)

( )

( )

( )

( )

figure 5.5 : Principe de calcul des sollicitations imposées à l’actionneur par le profil de mission

5.4

Modélisation du véhicule au sens systémique

5.4.1 Modélisation de la batterie

La batterie est la source d’énergie du véhicule. Elle est constituée de l’association série et/ou

p de l’énergie a prend ici une

importance particulière. En effet, contrairement aux problèmes du chapitre 4, le cas du véhicule

électrique introdui a connaissance de

mplet

arallèle de cellules élémentaires. La gestion u sein du système

t l’énergie embarquée comme contrainte d’optimisation. L

l’état de charge d’une cellule est donc un élément déterminant par rapport au comportement du

système co . Cette grandeur spécifie en effet le « niveau » du réservoir d’énergie que

constitue la batterie, quantité qu’il faut être capable d’évaluer pour vérifier si le véhicule peut assurer sa mission.

5.4.1.1 Expression de l’état de charge d’une cellule

Une cellule est, d’un point de vue énergétique, caractérisée par sa capacité . Il s’agit de la

Ainsi, la quantité d’électricité maximale disponible, sous un courant de décharge

cel

C

quantité d’électricité, exprimée en A.h, qu’elle est capable de restituer, après une charge complète, et lorsqu’elle est déchargée avec un courant maintenu constant. Cette capacité varie selon plusieurs facteurs, comme l’intensité de la décharge, la température, la concentration de l’électrolyte,…

I , est plus

faible que la capacité théorique de l’accumu ateur, définie pour une décharge à courant infinitésimal. Une

automobile est la capacité définie pour une décharge en 3 heures à courant

l

grandeur généralement utilisée pour caractériser les accumulateurs de traction

3

C I₃ =C₃ 3

constant. La quantité d’électricité accessible pour une décharge en i heures à courant I _i

constant se déduit de la capacité maximale par la relation empirique de Peukert [Bar94], qui s’écrit : n i i _I I C C − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 3

3 avec n : coefficient de Peukert (5.15)

Pour une décharge à courant I_cel constant, nous exprimons, grâce à l’équation (5.16), l’état de

charge EDC d’une cellule élémentaire de l’accumulateur :

t C I_cel t EDC i 1 ) ( = − (5.16)

Pour notre application, le courant est constamment variable au cours du temps. Nous

discrétisons alors l’équation précédente en considérant le courant constant entre deux pas de calcul. Nous pouvons ainsi déterminer l’expression de la variation de l’état de charge

cel I k EDC ∆ de la cellule à l’instant k : t I I C I t C I EDC n i k k k k ∆ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∆ = ∆ −1 3 cel 3 cel cel (5.17)

Cette approche permet également de prendre en compte les phases de recharge de la batterie. En effet, si le courant dans la cellule devient négatif, son état de charge augmente. Au final, l’état de charge de la cellule s’exprime par :

k k

k EDC EDC

EDC = ₋₁ +∆ (5.18)

proposée est une approche moyenne et ne peut en aucun cas représenter le comportement de la Remarque : Le modèle de la cellule est établi en faisant des hypothèses assez restrictives en ce qui concerne la dynamique du courant débité. Le calcul de l’état de charge par la méthode

cellule lorsqu’elle est soumise à des signaux fortement discontinus. Dans ce dernier cas, d’autres phénomènes, que nous ne considérons pas ici, apparaissent pendant la réaction

lectrolytique et modifient le comportement électrique de la cellule. .4.1.2 Modèle circuit de la batterie

é 5

La cellule élémentaire peut, d’un point de vue électrique, être considérée comme un générateur possédant une force électromotrice potentielle à vide E₀ et une résistance interne R_cel.

0 E RcelIcel cel I cel V

Cellule élément aire

figure 5.6 : Schéma électrique équivalent d’une cellule élémentaire

Comme nous l’avons déjà évoqué, la batterie se construit en assemblant des cellules élémentaires, en série et/ou en parallèle. Le schéma équivalent de la batterie, présenté à la figure 5.6, est alors déduit de l’assemblage des cellules élémentaires, à l’aide du théorème de Thévenin. Le courant dans une cellule, utilisé pour le calcul de l’état de charge, dépend du type d’association réalisée, et il s’exprime par :

cel_p bat cel _N

I

I = (5.19)

Les paramètres E₀ et R_cel sont fonctions du niveau d’énergie disponible dans la batterie, du

courant débité et de la érature de l’accumulateur. Pour simplifier le modèle, nous faisons

hypothèse que la résistance interne est constante, quel que soit le régime de

fon temp cel R l’ ctionnement de la cellule.

N o mb re d e c el lu le s e n s é ri e

Nombr e de cellules en par allèle

bat I cel I Icel bat V cel_s

N

N

figure 5.7 : Agencement des cellules élémentaires

Le comportement de la fem potentielle à vide E peut être modélisé à partir des essais réalisés ₀

par le constructeur. Pour une décharge à courant constant, la tension à vide E₀ d’une cellule,

partant de sa valeur maximale E₀max (pour EDC =1), diminue du fait de la consommation de

roduits réactifs, jusqu’à atte ne te dite « d’arrêt », au-delà de laquelle la

lim bas

indre u nsion E₀min

p

cellule ne peut plus débiter. Cette tension limite correspond à un état de charge de la cellule égal à 0.2. Ainsi, pour un courant de décharge égal à I₃, la fem potentielle à vide E atteint sa₀ ite se au bout de 3h, comme le montre la figure 5.8(a). La variation de E peut alors être tracée ₀

en fonction de l’état de charge EDC de la cellule, comme illustré à la figure 5.8 (b).

Ainsi, la connaissance de l’état de charge de la cellule permet d’évaluer la valeur E de la fem ₀

potentiel par l’intermédiaire de l’équation (5.20).

(

)

ma x 0 E min 0 E t 0 E

Diminut ion de la fem pot ent iel

3h ma x 0 E min 0 E t 0 E

Diminut ion de la fem pot ent iel

3h ma x 0 E min 0 E EDC 0 E 1 0.2

(a) Variations de pour une décharge complète à _{(b) Variation de en fonction de l’état de}

ans cette application, nous utilisons des cellules IONS-LITHIUM du constructeur SAFT, des batteries beaucoup plus linéaire, notamment par

trois types de cellules élémentaires résentant des caractéristiques différentes. Ces cellules sont présentées dans le tableau 5.5. Pour

la technologie IONS-LITHIUM, le coefficient de Peukert de l’équation (5.15) vaut =1.1.

TABLEAU 5.5: CARACTERISTIQUES DES CELLULES ELEMENTAIRES UTILISEES DANS LA PROCEDURE D’OPTIMISATION

fem potentielle

0

E

0

E

courant constant I_{3 charge de la cellule}

figure 5.8 : Variation de la fem potentielle d’une cellule

5.4.1.3 Types de cellule utilisés

D

spécialement conçues pour la traction. Actuellement en pleine progression technologique, ces accumulateurs présentent des puissances massiques très supérieures à celles

acide par exemple. De plus, leur comportement est

rapport à la variation de la résistance interne qui est négligeable entre 100% et 20% de charge. Nous choisissons de mettre à la disposition de l’optimisation

p

n n

Type de cellule Capacité Résistance

interne Masse 0 39 A.h 3 C _max 0 E E0min 7mΩ 1.05 kg 1 25 A.h 16.75mΩ 0.75 kg 2 16 A.h 23mΩ 0.68 kg 4 V 2.7 V

Remarque 5.5, que la technologie pénalise nettement les

c tance in

: nous constatons, sur le tableau

5.4.2 Modélisation de la machine synchrone

Le modèle de dimensionnement de la machine synchrone est rigoureusement le même que celui présenté dans le chapitre 4. La stratégie de commande utilisée est détaillée en annexe B.

5.4.3 Modélisation du réducteur

Afin de rendre plus réaliste le modèle du système, nous avons jugé utile de modéliser le réducteur mécanique de façon plus précise. Nous avons pour cela cherché à approcher sa masse

reducteur

M , ainsi que son rendement η_reducteur , qui permet de calculer les pertes P_red dont il est le siège.

La modélisation des réducteurs est complexe. Elle fait appel à des notions de mécanique et de uit un modèle simplifié de réducteur, valable uniquement pour une structure à engrenage cylindrique droit. résistances des matériaux assez pointues. En utilisant [LeB99], nous avons constr

Tous les détails sur ce modèle peuvent être trouvés en Annexe H. Le modèle du réducteur est caractérisé par deux variables de conception : le rapport de réduction N et le couple dimensionnant C correspondant au couple à transmettre. 1

5.5

Formulation du problème d’optimisation

5.5.1 Choix des variables de conception

Le problème d’optimisation tel que nous l’avons défini comporte 14 variables de conception, 6 à

caractère discret et 8 à caractère continu. Le able définit l’ensemble de ces variables et

leur domaine de définition. Il nous a semblé inté variable de conception relative à la gestion de l’

t au 5.6

ressant d’ajouter aux variables structurelles une énergie dans le véhicule, pour tenter de prendre les aspects dimensionnement et gestion système, qui imultanée » défini au chapitre 1. Nous pouvons par

exe nous demander dans quelles conditions la récupération de l’énergie au freinage du

maximum de cette énergie ou existe-il des modestement en compte les couplages entre

sous tendent le concept de « conception s mple

véhicule est préconisée. Doit-on récupérer un

configurations où il faut la limiter, à cause des pertes qu’elle engendre dans l’onduleur, la machine et la batterie ? Nous définissons ainsi une variable de conception K_freinage qui symbolise le pourcentage de l’énergie récupérée au freinage pour un véhicule donné.

TABLEAU 5.6 : VARIABLES DE CONCEPTION DU PROBLEME D’OPTIMISATION RELATIF AU VEHICULE ELECTRIQUE

Variables de conception Nature Domaine de définition

Machine synchrone à aimants permanents

Densité de courant dans les encoches Continu 16 S 10e6 [A/m2]

e

J ≤

≤

Nombre de paires de pôles Discret p ∈[1,10]

Rapport rayon d’alésage / longueur Continu 0.1≤Rrl ≤10

Nombre d’encoches / pôle / phase Discret Nepp∈[1,3]

Couple de dimensionnement Continu 1≤ Cdim ≤2000 [N.m]

Pulsation de dimensionnement Continu 1≤ωdim ≤10000 [rad.s ]

-1

Onduleur

Fréquence de découpage Continu 0.001≤Fdec ≤100 [kHz]

Type d’interrupteur Discret ainter ∈[0,2]

Réducteur mécanique

Rapport de réduction Continu 1≤ N ≤10

Couple de dimensionnement Continu 1≤ Cred ≤2000 [N.m]

Batterie

Nombre de cellules en série Discret Ncel_s∈[1,200]

Nombre de cellules en parallèle Discret Ncel_p∈[1,200]

Type de cellules Discret acel∈[0,2]

Gestion énergétique

5.5.2 Expression des critères

es critères partiels du problème d’optimisation sont présentés dan

L s le tableau 5.7. Les critères

partiels relatifs aux pertes sont évalués sur la globalité de la mission (voir annexe H pour leurs expressions détaillées).

TABLEAU 5.7 : COMPOSITION DES CRITERES D’OPTIMISATION

Pertes par commutation (W) P com_ond(X)

Pertes par conduction (W) P_{cond_ond} (X)

Pertes Joule moteur (W) P j(X)

Pertes fer moteur (W) Pfer(X)

Pertes Joule batterie (W) P_bat(X) )

(

1 X

F

Pertes réducteur (W) P_red(X)

Masse du cuivre (kg) Mcuivre(X)

Masse du stator (kg) Mstator(X)

Masse du rotor (kg) M_rotor(X) ) ( 2 X F ) ( aimant X M Masse des aimants (kg)

Masse du radiateur (kg) Mradiateur(X)

Masse du réducteur (kg) Mreducteur(X)

5.5.3 Définitions des contraintes

5.5.3.1 Contraintes relatives à la machine synchrone à aimants permanents

Les contraintes et , relatives au nombre minimal et maximal de conducteurs par

encoche, sont les mêmes que celles définies au chapitre 4. La formulation des autres contraintes de la machine, à savoir la contrainte thermique et la contrainte de démagnétisation, nécessitent réflexion. En effet, nous ne sommes plus, comme dans le chapitre 4, dans le cas d’un régime stationnaire puisque le point de fonctionnement de l’actionneur se déplace dans le plan couple-vitesse au cours de la mission. Dans ce contexte, la vérification du respect des contraintes en régime permanent n’est plus suffisante pour s’assurer qu’une solution est réalisable. La prise en compte des phénomènes dynamiques inhérents à la mission impose de vérifier que ces contraintes sont respectées quel que soit le point de fonctionnement auquel l’actionneur est amené à travailler.

De plus, dans la form sie, l’actionneur va fonctionner à des couples et

des vitesses différentes des valeurs ( )

(

1 X

g g₂(X)

ulation que nous avons choi

dim dim ,ω

de la simulation ntenter d’évaluer la contrainte en température sur le bobinage et vérifier qu’elle ne dépasse pas la température

de la mission avec un actionneur donné, nous pouvons nous co

critique des isolants. Nous ne nous préoccupons alors pas de savoir si l’actionneur est thermiquement capable de tenir, en régime permanent, au point de fonctionnement (C_dim,ω_dim). Comme nous l’avons déjà évoqué au chapitre 4 pour le problème d’optimisation N°2, la signification physique de ces variables dimensionnantes est dans ce cas à interpréter avec précautions puisqu’elles ne correspondent plus forcement à des grandeurs atteignables par l’actionneur.

Des résultats d’optimisation, nous attendons notamment des réponses à une des questions

principales du dimensionnement d’une chaîne de traction pour véhicule électrique nt

choisir le point de dimensionnement de la machine ? Il semble alors difficile, si l’on perd la

signification physique de et

: comme

dim

C ω_dim, de mener ce type d’analyse. Nous avons donc opté pour

une formulation des contraintes de la machine en deux niveaux :

un niveau de contrainte relatif au régime permanent, pour lequel nous nous assurons que la machine respecte, pour son point de dimensionnement, les contraintes de température et de non-démagnétisation.

transitoire, pour lequel nous nous assurons que la machine respecte en tout point de sa mission ces mêmes contraintes.

Ainsi, les contraintes (contrainte thermique) et (contrainte de démagnétisation),

EMPERATURE DU BOBINAGE AU COURS DE LA MISSION

un niveau de contrainte relatif au régime

) (

3 X

g g₄(X)

définies dans le chapitre précédent, sont reconduites. Elle évaluent la capacité de la machine à fonctionner à son point de dimensionnement.

Deux contraintes supplémentaires, décrites ci-après, sont alors ajoutées pour s’assurer, au cours de la mission, que la température du bobinage et les champs inverses appliqués aux aimants n’atteignent pas des valeurs critiques.

T g₅(X)

La température du bobinage est évaluée en utilisant le modèle thermique dynamique détaillé en annexe C. Comme le montre la figure 5.9, il présente des paramètres relatifs aux capacités thermiques des matériaux permettant d’intégrer les régimes transitoires de la variation de température.

R_iso R_bob R_iso-co Rj co Rco-ca Rca P_j C_cu C_iso C_co R Rex t f co C_ca T_ref P_fer T_cu T_iso Tco Tca

figure 5.9 : Modèle thermique transitoire de la machine à aimants

Ainsi, nous nous assurons que pour chaque point de fonctionnement de la mission, la

température

k

k

T_cuivre du cuivre n’atteint pas la température critique T_{isolant_max} des isolants par rapport à la température ambiante. L’élévation maximale de tem érature tolérée en régime transitoire est différente de celle tolérée en régime perm

température ambiante de fonctionnement de la m est supérieure à 20°C. En considérant une tempér

de température ge est limitée à 100°C. épassée,

nous exprimon pérature limite. La

simulation de la mission n’est pas arrêtée m

p

anent car nous considérons que la achine dans le contexte du véhicule électrique

ature ambiante de 60°C, l’élévation maximale Si la température critique est d

cuivre

T

∆ du bobina

s la contrainte par l’écart entre la température atteinte et la tem

ême si une solution ne respecte plus la contrainte au cours de sa mission. Cela permet d’évaluer la température sur toute la mission et de fournir ainsi à l’algorithme d’optimisation des valeurs de contraintes les plus significatives possibles afin le

guider dans la résolution du problème. Pour un point k de la mission, la contrainte ₅ (X)

k

g

associée s’exprime alors par :

(

)

5 ( ) T T T

g

k

k X = +∆ − si Tisolant_max est dépassé au point k

0 ) (

5_k X =

g _sinon (5.21)

Sur une mission de Nmission points, la contrainte finale g5(X) est définie par la somme des

contraintes )₅ (X

k

g de chacun des points :

0 ) ( ) ( ₅ 1 5 mission ≤ =

∑

(X ne sera en l’occurrence jamais négative puisqu’elle vaut 0 si elle est respectée pour tous

g₅

les points de la mission. La détermination de

k

T_cuivre nécessite d’utiliser une méthode d’intégration numérique (Runge-Kutta 2). Se pose alors le problème du choix du pas d’intégration. Les paramètres de ce modèle dépendent des dimensions géométriques de la machine. Comme celles-ci sont susceptibles de varier dans des proportions importantes, il faut, pour chaque configuration testée, s’assurer de la bonne adéquation entre le modèle simulé et le pas. Choisir un pas de simulation unique pour toutes les solutions impose de connaître a priori les cas les plus contraignants (ceux nécessitant

un pas de calcul faible). Extraire cette information semble réellement difficile compte tenu de la complexité des expressions des paramètres du modèle thermique. De plus, opter pour un pas par

défaut ne consti lcul. Pourquoi

simuler avec un pas de calcul faible si le m ? Ainsi, pour chaque

configuration, nous recherchons, à l’ai tation d’ la constante de

temps minimale du m dèle, à partir de ons le p Annexe C). Ce

dernier sera don haque configu n testée té pour ler « au plus juste ».

CONTR INTE DE DEMAGNETISAT EN REGIM YNAMIQU

L’évaluation de la contrainte de dém tisation en régime dynamique est basée sur le même

principe que pr ent. Si le courant critique de démagnétisation I

un point de la mission, nous évaluons l’écart en courant e couran _ssion réellement

atteint. )

( I

g

k

k X = si le courant dépass oint

sinon (5.23)

La contrainte relative à la mission s’exprime alors par :

6 mi ≤ =

∑

La variation du point de fonctionnement du système im de vé que l neur, associé

à sa straté e, est capable d indre les couples et les vitesses imposés par la

mission. C évoquons dans l’an B, un t est considéré non atteignable si

l’intersecti ouple et cercle l en te n’ex pas. Dans ces

conditions, nous définissons une variable i vaut 1 que l’a neur ut fonctionner

dans les conditions spécifiées et 0 sinon. La contrainte g résultante vaut alors :

7 =

∑

tue pas une démarche favorisant la minimi ation du temps de cas

odèle ne le nécessite pas de de la représen elle no état, la valeur de calcul o laqu ratio us fix , adap as de simu (voir c, pour c A ION E D E g6(X) agné

écédemm demagn est dépassé pour

k tre ce et l t _mi k I demagn réel 6 I − Idemagn est é au p k 0 ) ( 6_k X = g 0 ) ( ) ( ₆ 1 k ssion g NTRAINTE SUR LE R 7(X )

pose rifier ’action

gie de command ’atte

omme nous l’ nexe poin k

on entre la droite de c le imite nsion iste

k qu n lors ction ne pe ( 7 X ) 0 ) ( mission N 1 = k n g X (5.25)

ler l’évolution des températures, il faut connaître la

valeur de la résistance thermique du radiateur. Sa détermination est plus problématique

k

5.5.3.2 Contraintes relatives à l’onduleur

CONTRAINTE THERMIQUE DES COMPOSANTS g₈(X)

La détermination de la température de fonctionnement des IGBT fait appel au modèle thermique transitoire présenté en Annexe H. Pour simu

RAD TH

que dans le cas stationnaire. Les pertes moyennes dissipées étant variables au cours du temps, il nous est impossible d’aborder la démarche de choix du radiateur comme dans le chapitre 4 (choix a priori du radiateur connaissant les pertes moyennes). Nous choisissons donc de simuler la mission avec, par défaut, le plus petit radiateur disponible. Si celui-ci assure un refroidissement suffisant du composant (respect de la contrainte thermique sur la température de jonction), il est conservé. Dans le cas contraire, nous recherchons, pour la température maximale

ion j_max_miss

T atteinte au cours de la mission, les dimensions du radiateur assurant la satisfaction de

cette contrainte. Si, compte tenu du type de profil de radiateur choisi, le radiateur n’est pas oit être rejetée (elle est non réalisable). La contrainte

physiquement réalisable (longueur maximale du profil atteinte), la solution testée d )

( est alors calculée en évaluant l’écart entre la

8 X

g

température T_{j_max_mission} atteinte par les jonctions des composants et la température limite de jonction T_{j_max} = 100°C :

0 )

( _{j_max_mission j_max}

8 =T −T ≤

g X _(5.26)

ONTRAINTE SUR LE CONTENU HARMONIQUE DE LA TENSION ONDULEUR g₉(X)

C

Comme dans le chapitre 4, il faut également s’assurer que la fréquence de découpage des interrupteurs F_dec est supérieure à un certain seuil pour garantir un contenu spectral de la tension onduleur acceptable (Fdec ≥20pN Ωtrans). Pour chaque point de fonctionnement, nous évaluons

) ( 9_k X g en disant que : dec k pN F g k − Ω = _trans

9(X) 20 si la fréquence minimale est dépassée

0 ) (

9_k X =

g _sinon (5.27)

La contrainte g₉(X) est donnée par :

0 ) ( ) ( mission ≤ =

∑

ission. De plus, comme nous l’avons vu dans le paragraphe 5.4.1.2, la

k

k

(5.28)

5.5.3.3 Contraintes relatives à la batterie

Deux contraintes sont associées au régime de fonctionnement de la batterie d’accumulateurs. La première, )g₁₀(X , est relative à l’état de charge des cellules et la seconde, g₁₁(X), concerne le calcul du courant débité par la batterie.

CONTRAINTE SUR L’ETAT DE CHARGE DES CELLULES g₁₀(X)

Pour que les solutions testées soient considérées réalisables, il faut vérifier qu e

validité du modèle des cellules nécessite de ne pas descendre à moins de 20% de l’état de charge (EDC ≥0.2), à cause des ph

mission, nous calculons la quantité

énomènes liés à la tension d’arrêt. Ainsi, pour chaque point de

définie par : k (5.29) La con k ) ( 10_k X g la k k EDC g₁₀(X)=0.2− _{si EDC inférieur à 0.2} 0 ) (X = g_{10 sinon}

trainte g₁₀(X) pour la mission totale est alors évaluée de la manière suivante :

0 ) ( ) ( 10 1 10 mission ≤ =

∑

éalisab ans la batterie trop importantes vis à vis de la

rce électromotrice . Cette situation est détectable quand le calcul du courant dans la batterie est impossible (équation du second degré possédant un discriminant négatif). La contrainte

est calculée à partir de définie par :

si ne peut être calculé au point

sinon (5.31)

Nous pouvons alors écrire :

(5.32)

5.5.3.4 Contrainte relative au réducteur

La caractérisation du réducteur impose de connaître son rapport de réduction X X k g g k (5.30) N

CONTRAINTE SUR LE CALCUL DU COURANT BATTERIE g11(X)

e nous l’évoquons dans l’Annexe H, certains points de fonctionnement sont non les à cause des chutes de tension internes d

r fo E0 ) ( 11 X g ₁₁ (X) k g 1 ) ( 11k X = g I_bat k 0 ) ( 11k X = g 0 ) ( ) ( mission 1 11 11

∑

dimensionnement Comme est une variable de conception, il est libre de varier dans

d’importantes proportions, et il faut vérifier que la mission n’impose pas des couples à transmettre supérieurs à ce que peut supporter le réducteur. Ainsi, une fois la mission simulée,

nous pouvons extraire le couple m al atteint et vérifier que :

det

C . C_det

axim C_{max_mission}

0 )

( _{max_misison det}

12 =C −C ≤

g X (5.33)

Le problème comporte donc 12 contraintes et nous donnons, sur la figure 5.10, le graphe associé à leur enchaînement.

) ( 3 X g3(X) g ) ( 1X g1(X) g ) ( 2 X g2(X) g ) ( 4 X g4(X) g Simulat ion mission Simulat ion mission ) ( 1 X F ) ( 2 X F

Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4

) ( 5 X g ) ( 6 X g ) ( 7 X g ) ( 8 X g ) X ( 9 g ) ( 10 X g ) ( 11 X g ) ( 12 X g ) ( 5 X g5(X) g ) ( 6 X g₆(X) g ) ( 7 X g7(X) g ) ( 8 X g8(X) g ) X ( 9 g9(X) g ) ( 10 X g10(X) g ) ( 11 X g11(X) g ) ( 12 X g12(X) g

ns, le dimensionnement et l’optimisation des performances du dispositif tègrent tous les couplages pouvant exister entre les éléments et la finalité du système. Cette

hicule pour deux missions différentes : une ission urbaine et une mission routière.

m.h-1 environ (figure 5.11(a)). Le pas d’échantillonnage e la mission est de 1 seconde. La figure 5.11(b) présente, pour ce profil en vitesse,

figure 5.10 : Graphe des contraintes associé au problème de conception du véhicule

5.6

De la mission au système

Comme nous l’avons déjà souligné, un des objectifs de l’approche systémique est d’inclure, dès les premiers stades du processus de conception, la mission pour laquelle un système doit être conçu. Dans ces conditio

in

démarche permet d’espérer plus de précision, en ciblant exactement les besoins.

Nous proposons, pour mettre en évidence l’influence de la mission du véhicule électrique sur son dimensionnement, de mener une optimisation du vé

m

5.6.1 Caractéristiques des missions de circulation

Les missions choisies, établies par l’INRETS (Institut National de Recherche sur les Transports et la Sécurité), proviennent de données statistiques portant sur un ensemble de mission de circulation réelles [Tri96]. Les profils de pentes sont plats.

MISSION URBAINE

La mission urbaine est caractérisée par des vitesses du véhicule faibles (aux alentours de 40 km.h-1), avec une pointe de vitesse à 90 k

d

l’histogramme de la vitesse de rotation aux roues. Nous remarquons alors que cette mission comporte un nombre important de points à pulsation quasi nulle. Nous distinguons également que cette mission comporte une concentration nette des points de fonctionnement autour de 40 rad.s-1.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 50 100 Temps (s) V it esse d u v éh icu le ( k m .h -1) 150 200 250 300

Pulsation de rotation aux roues (rad.s-1)

R épa rt it io n de s

(a) Profil de vitesse (b) Histogramme de la pulsation mécanique aux roues

figure 5.11 : Profil de vitesse de la mission urbaine

po

i

our une masse totale du véhicule de 1000 kg (soit 200 kg de masse embarquée), la figure

n ts de f onc ti o nne m ent P

5.12(a) montre l’allure du couple aux roues imposé par ce profil de circulation. Pour cet exemple, la répartition des points de fonctionnement aux roues dans le plan couple-vitesse est présentée à la figure 5.12(b). 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Temps (s) C o upl e aux r o u es ( N .m ) 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -1000 -800 -600 -400 -200 0 Temps (s) C o upl e aux C o upl e aux r r o u es ( N .m ) ) o u es ( N .m 200 400 600 800 1000

Vit esse de rot at ion aux roues (rad.s-1₎ (a) Couple aux roues pour une masse

totale de 1000 kg

(b) Points de fonctionnement dan le plan couple-vitesse pour une masse de 1000 kg figure 5.12 : Sollicitations imposées à la chaîne de traction - Cas de la mission urbaine

La durée de cette mission type est de 1374 secondes (≈23 minutes) durant lesquelles le véhicule parcourt 12.2 km. Nous choisissons d’imposer une autonomie minimale de 200 km pour le véhicule. L’optimisation sera donc menée en répétant 16 fois le profil de vitesse élémentaire présenté. A partir de la connaissance de la masse embarquée, nous pourrons déduire les sollicitations imposées à la chaîne de traction.

MISSION ROUTIERE

Le profil de vitesse de la mission routière considérée et son histogramme sont donnés aux figures 5.13(a) et (b). Les vitesses moyenne et maximale atteintes par le véhicule sont plus importantes

que dans le cas de la mission urbaine (jusqu'à 120 km.h-1 pour la vitesse maximale).

L’histogramme de la pulsation aux roues montre également que la plus forte densité de points de fonctionnement se situe à des vitesses élevées (aux alentours de 85 rad.s-1).

De la même manière que pour la mission urbaine, nous présentons, pour une masse totale du véhicule de 1000 kg, l’allure du couple aux roues imposé par ce profil et la répartition des points de fonctionnement aux roues dans le plan couple-vitesse (figure 5.14).

La durée de cette mission type est de 734 secondes (≈12 minutes) durant lesquelles le véhicule parcourt 15.4 km. Nous choisissons d’imposer la même autonomie que pour le véhicule urbain, soit 200 km. L’optimisation sera donc menée en répétant 13 fois le profil en vitesse élémentaire.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 20 40 60 80 100 120 Temps (s) V it esse d u v éh icu le ( k m .h R épa rt it io n d es po in ts de f onc ti o

P ulsat ion de rot at ion aux roues (rad.s-1)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 nne m ent -1)

(a) Profil de vitesse (b) Histogramme de la pulsation mécanique aux roues

0 100 200 300 400 500 600 700 800 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Temps (s) C o u p le a u x ro u es (N .m ) C o up le a u x r o ue s ( N .m )

Vit esse de rot at ion aux roues (rad.s-1₎

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 C o up le a u x r o ue s ( N .m )

Vit esse de rot at ion aux roues (rad.s-1₎

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

(a) Couple aux roues pour une masse totale de 1000 kg

(b) Points de fonctionnement dan le plan couple-vitesse pour une masse de 1000 kg

s individus réalisables est très variable. Lors es exécutions 4, 6 et 10, nous voyons même qu’aucune solution réalisable n’est trouvée.

TABLEAU 5.8 : RESULTATS DES 10 EXECUTIONS MENEES AVEC LE NSGA-II

Exécution 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

figure 5.14 : Sollicitations imposées à la chaîne de traction - Cas de la mission routière

5.6.2 Conception par optimisation dans le cadre d’une mission urbaine

5.6.2.1 Difficultés de convergence

Le problème d’optimisation tel qu’il a été formulé s’avère relativement compliqué à résoudre. En effet, nous avons dans un premier temps lancé 10 exécutions de l’algorithme avec 100 individus et 500 générations (soit 500 000 simulations de la mission totale). Comme le montre le tableau 5.8, l’algorithme peine déjà à trouver des configurations réalisables. Le nombre Nreal de

générations écoulées avant de trouver les premier d real N 204 473 388 × ₂₄₄ × _{196 302 153} × Minimum 485.8 1733.4 747.8 × 499.2 × 510.9 532.7 477.4 × de )F1(X Minimum 350.9 1663.9 648.2 × 343.6 × 334.2 417.9 399.27 × de )F2(X

Les différences entre les valeurs minimales des critères et montrent que certaines exécutions n’ont visiblement pas convergé. En particulier, les exécutions 2 et 3 apparaissent nettement comme étant les plus mauvaises. Pour les autres exécutions, les différences sont moins marquées. Cette dispersion selon les exécutions montre bien l’importance du caractère

) (

1X

stochastique de l’a é trouvées pour les

lgorithme volutionnaire. Les valeurs minimales des critères ne sont pas

mêmes exécutions. est minimal pour l’exécution 9 et minimal

pour l’exécution 7. Pour juger de la qualité de la convergence sur ces exécutions, nous tions s que us montrons

également sur la figure 5.15(b), l’évolution du minimum de au cours des générations.

e si le sants, l’enregistrement des pourcentages

et d’identifier celles qui sont les plus anière générale, nous e dynamique du

systèm tures de la machine ou

elles r

s les premières générations. ) (

1X

F F2(X)

présentons, à la figure 5.15(a), les exécutions 1, 2 (la plus mauvaise), 7 et 9 (solu extrémales). Même si elle ne contient aucune des solutions extrémales, nous remarquon l’exécution 1 domine un grand nombre de point de l’espace des objectifs. No

) (

1X

F

Les différentes exécutions sont trop peu reproductibles pour pouvoir considérer que la zone optimale est atteinte. L’algorithme n’a visiblement pas eu assez de générations pour converger.

Mêm s résultats ne sont pour l’instant pas satisfai

de contraintes respectées au cours des générations perm

restrictives, ce qui peut s’avérer intéressant en terme d’analyse. De m observons que les contraintes les plus sévères sont celles relatives au régim

e (contraintes de niveau 3, cf. figure 5.10), les contraintes de struc

elatives au régime permanent étant plus rapidement vérifiées (contraintes de niveau 1 et c

2). Parmi les contraintes de niveau 1 et 2, la plus sévère est celle relative au régime thermique de l’actionneur. Comme nous pouvons le voir sur la figure 5.16(a), la contrainte g₃(X) est au maximum respectée à 60% alors que les autres contraintes de même niveau présentent des taux

upérieurs à 80% dè s 500 600 700 800 900 1000 350 400 450 500 550 600 650 700 750 F1(X) = P F2 e em b a rq u ée (k g ) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 200 400 600 1400 1600 1800 1000 1200

ert es t ot ales sur la mission

(X ) = M a ss Exécut ion 1 Exécut ion 2 Exécut ion 7 Exécut ion 9 Exécut ion 1 Exécut ion 2 Exécut ion 7 Exécut ion 9 800 É v o lu ti o n n imu m d e F 1 (X )

Exécut ion 9 Exécut ion 2

Exécut ion 1 d u mi Générat ions Exécut ion 7

(a) Solutions dans l’espace des objectifs (b) Évolution de

La figure 5.16(a) permet également d’illustrer la sévérité de la contrainte thermique liée au

régime dynamique . D’une part, elle présente des taux de respect bien inférieurs à ceux de

la contrainte . Elle s’avère donc être beaucoup plus restrictive que la contrainte en régime

perm arquons que la nette augmentation des pourcentages de respect

de correspond avec l’apparition des premières solutions réalisables (figure 5.16(b)).

est donc une contrainte « clé ». Dès que l’algorithme parvient à trouver suffisamment )]

(

min[F1X

figure 5.15 : Résultats des exécutions 1, 2, 5 et 7

) ( 5X g ) ( 3X g

anent. D’autre part, nous rem ) ( 5X g ) ( 5X g