Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques

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Sommaire

Chapitre 1 ■ Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques . . . .7

Méthodes : l’essentiel ; mise en œuvre . . . .22

Exercices :énoncés, solutions . . . .26

Chapitre 2 ■ Les équations locales de l’électromagnétisme . . . .33

Chapitre 3 ■ Induction électromagnétique dans un circuit fixe . . . .123

Chapitre 4 ■ Induction électromagnétique dans un circuit mobile . . . .163

Chapitre 5 ■ Propagation et rayonnement . . . .199

Chapitre 6 ■ Quelques problèmes . . . .269

Problème 1 : champ électromagnétique dans un condensateur plan cylindrique . . . .270

Solution . . . .273

Problème 2 :chute d’un aimant dans un tuyau métallique . . . .278

Solution . . . .280

I n d e x . . . .284

(2)

Plan du chapitre 1

A. Systèmes de coordonnées et intégrales . . . 8

B. Flux d’un champ de vecteurs . . . 9

C. Opérateur gradient . . . 11

D. Opérateur divergence. . . 13

E. Opérateur rotationnel . . . 15

F. Opérateur laplacien . . . 18

G. Opérateur Nabla . . . 19

Méthodes L’essentiel ; mise en œuvre. . . 22

Énoncés des exercices . . . 26

Solutions des exercices. . . 27

1

CHAPITRE

Éléments d’analyse vectorielle et rappels mathématiques

La démarche du physicien n’est pas qu’empirique. Il crée des modèles mathématiques qui permettent de « mettre en équations » les événements.

Le but de ce chapitre est de mettre à disposition de l’étudiant les outils mathématiques dont il aura besoin en seconde année dans l’étude des phénomènes physiques du programme.

L’approche physique est privilégiée par rapport à la technique de calcul, le but étant d’ap- préhender correctement l’interprétation physique des équations ou résultats de calculs aux- quels aboutit l’outil mathématique.

I n t r o d u c t i o n

(3)

A. Systèmes de coordonnées

On rappelle les trois systèmes qui ont déjà été rencontrés en première année dans le cours d’électromagnétisme, entre autres.

A.1. Coordonnées cartésiennes

M

O

H z

x

y

→u_z

→u_x →u_y

M

O

H z

x

y dy

dx dz

→u_z

→u_x →u_y

Fig. 1 -Le système de coordonnées cartésiennes.

Dans le repère orthonormé direct (O ;→u_x,→u_y,→u_z), un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z). Le vecteur position du point M s’écrit alors :

OM = x→ →u_x+ y→u_y+ z→u_z.

Lorsque les coordonnées x,you zde M subissent une variation élémentaire dx, dyou dz, le point M se déplace respectivement de dx→u_x, dy→u_y ou dz→u_z. Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtes dx, dyet dz:

dV = dx×dy×dz.

A.2. Coordonnées cylindriques

M

O

H

z dz

dz

dr dr

θ r x

y

→u_z

→u_θ

→u_r

M O

z

θ r x

y

→u_z

dθ

rdθ

rdθ dθ

Fig. 2 -Le système de coordonnées cylindriques.

On peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) (fig. 2):

– rreprésente la distance du point M à l’axe Oz(r0) ;

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On définit la base¹orthonormée directe (→u_r,→u_θ,→u_z) en posant →u_r = (H projection orthogonale du point M sur le plan xOy). Dans le repère orthonormé, le vecteur position du point M s’écrit alors :

OM = r→ →u_r+ z→u_z.

Lorsque les coordonnées r,θou zde M subissent une variation élémentaire dr, dθou dz, le point M se déplace respectivement de dr→u_r,rdθ→u_θ ou dz→u_z. Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtes dr,rdθet dz:

dV = dr×rdθ ×dz.

A.3. Coordonnées sphériques

OH→

OH

1.Cette base est une base locale, car les directions des vecteurs u→_r et u→_θ dépendent de la position du point M.

2.L’angle θn’est pas le même que celui des coordonnées

cylindriques, car, en coordonnées sphériques, c’est l’angle φqui donne la position de M autour de Oz.

M

O

H z

dr

rsin

θ rsinθ

r

φ θ

x

y

→u_z

→u_φ

→u_r

→u_θ

O z

φ x

y

→u_z r

dφ dθ

rdθ rsinθdφ

rsinθdφ dφ

θ

Fig. 3 -Le système de coordonnées sphériques.

Enfin, on peut aussi repérer tout point M de l’espace par ses coordonnées sphériques (r,θ,φ) (fig. 3):

– rreprésente la distance du point M au point O (r= OM 0) ;

– θet φ² définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M (θangle compris entre 0 et π,φangle compris entre 0 et 2π).

On définit la base³orthonormée directe (→u_r,→u_θ,→u_φ) en posant →u_r = . Dans le repère orthonormé (O ;→u_r,→u_θ,→u_φ), le vecteur position du point M s’écrit alors :

OM = r→ →u_r.

Lorsque les coordonnées r,θou φde M subissent une variation élémentaire dr, dθ ou dφ, le point M se déplace respectivement de dr→u_r, rdθ→u_θ ou rsinθdφ→u_φ. Ainsi, le volume élémentaire dV est un petit parallélépipède rectangle d’arêtes dr,rdθ et rsinθdφ :

dV = dr×rdθ ×rsinθdφ.

A.4. Intégrales multiples

Lorsqu’on intègre sur une surface ou un volume, il est nécessaire de faire varier plusieurs coordonnées. Le calcul d’une telle intégrale, dans le cas général, est compliqué. Cependant, si la fonction à intégrer est un produit de fonctions de chacune des coordonnées et que les bornes d’intégration de chaque coordonnée sont indépendantes des autres coordonnées, alors l’inté- grale multiple est égale au produit des intégrales simples⁴:

OH→

OH

3.Cette base est une base locale, car les directions des vecteurs u→_r, u→_θ et u→_φ dépendent de la position du point M.

4.Cette propriété est une application du théorème de Fubini.

(5)

f(x)g(y)h(z)dxdydz=

_x^x¹

0

f(x)dx

_y^y¹

0

g(y)dy

_z^z¹

0

h(z)dz . Cette propriété est en général toujours vérifiée, ce qui permet de se ramener dans tous les cas étudiés aux calculs d'intégrales simples.

Calcul d’un volume

Calculer, en utilisant une intégrale, le volume d’un cylindre de hauteur het de rayon R.

Solution

Le système de coordonnées le mieux adapté à cette géométrie est le système de coordonnées cylindriques (r,θ,z). On choisit l'axe de révolution du cylindre comme axe Oz, son origine O étant placée au centre de l'une des bases du cylindre. Un élé- ment de volume dV s'écrit :

dV = dr×rdθ ×dz.

Le volume V est la somme de tous les éléments de volume dV : V =

^{dV =}

^dr^×^r^d^{θ ×}^dz,

avec r variant entre 0 et R, θ variant entre 0 et 2π, z variant entre 0 et h. Comme la fonction à intégrer est un produit de fonctions de chacune des coordonnées, on a :

V=

₀^R^r^dr^×

₀²^π^d^{θ ×}

₀^h^dz⁼

^r₂²

^R0×θ0

2π×z^h0= R 2

2 ×2π ×h= πR²h.

Application 1

z

y h

R O x

B. Flux d’un champ

¹

de vecteurs

Soit W un champ de vecteurs et S une surface. Le flux → Φdu champ W à tra-→ vers la surface S s’écrit :

Φ=

S

W·d→ →S =

S

W·→ →n dS,

où d→S est « le vecteur surface élémentaire » de l’élément de surface dS cen- tré sur un point P de S. Le vecteur →n est le vecteur unitaire normal à l’élé- ment de surface au point P. Son orientation dépend de la nature de la surface.

B.1. Cas d’une surface « fermée »

Si la surface S est fermée (fig.4), alors elle délimite un volume V et la nor- male à la surface est toujours orientée sortant de S (convention). Afin de montrer que S est fermée, on note alors :

Φ=

S

W·→ →n dS.

B.2. Cas d’une surface « ouverte »

Si la surface S est ouverte, alors elle s’appuie nécessairement sur une ligne fermée (un contour) Γ(fig.5). On choisit un sens « + » à un parcours le long

1.Un champ est une grandeur physique qui est définie en tout point d’un volume de l’espace (ou, plus rarement, d’une surface). La grandeur concernée dépend donc des coordonnées du point que l’on considère, mais peut aussi dépendre du temps. Un champ stationnaire est indépendant du temps. Un champ uniforme ne dépend pas du point où on le considère (indépendant des coordonnées).

V dS P

S

→n

Fig. 4 -Surface fermée.

M dS

+ S

→n

Γ