Chapitre 37 Formes différentielles

Chap 37 : Formes différentielles

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Chap 37 : Formes différentielles

I. Généralités

* ( ) ( ... )1

( )

de dim finie, son dual ouvert de base de

L'opérateur signifie ici "appliqué à" :

E evn E E e e en E

f x f x

  

  

1

1 : *

*

1 }

( ) {

Une forme différentielle de degré sur est une application

Elle est de classe si elle l'est en tant qu'application de dans l'evn formes diff de deg de classe est un espac

p

k k

E E

E

  



  

C

C e vectoriel

( , ), 1 : est une forme diff de classe 1

p p

FC  p dF a dFa C ^

1 1

( ) ( ... ), ( ... ) ( )

La base duale de e est alors dx dx_n différentielles des formes coords x x_n sur e

1 1 1

. ( ) * et si ( )... ( )_n sont ses coords sur la base duale de ( ), ( ) ( ) ... _n( ) _n

x  x E a x a x e  x a x dx  a x dx

1 1 1 1

( ) ( ... ) ( ) . .. ( )

On a aussi  x  he  h_{n n}e h a x  h_na x_n

( ... )1

La forme diff est de classe  C^p ssi les fonctions a a_n le sont

II. Intégrales curvilignes

([ , ], ) arc de support contenu dans , forme diff continue sur .a b f 1 

  C  

1

( ( )) '( ) ' ( ) ( ( )) L'intégrale curviligne de la forme diff. le long de l'arc est :

b b n

k k

a a

k

f t f t dt f t a f t dt

 







 

{ 1 }

On la note , sa définition s'étend aux arcs continus et _pm (chemins travail en physique)

 



1 1

L'intégrale de le long de est invariante par croissant de , et changée en son opposée par décroissant

reparam reparam

   

 C C

III. Formes exactes, fermées

1 1

( )

: _k forme diff sur l'ouvert .

k

k n

x a x dx







, 1

est dite exacte s'il existe de classe F ^p p tq dF F est une primitive de

 C   

1 ( ) ( )

L'intégrale d'une forme exacte dF le long d'un arc d'extrémités et vaut C A B F B F A

{ 1 }

Vrai pour les arcs C° et C_pm

, 1, 2, ( ) ( ). ( )

CN d'exactitude sur : , ^{i j} On dit alors que est fermée Schwarz

j i

a a

x i j n x x

x x

    ^ ^  

 

3 ( , , ) rot 0,

En dim euclid., BON i j k : la forme diff Pdx Qdy Ddz est fermée ssi B où BPi Qj Rk

2

2 2 ( ,1)

( , ) Im \{0} 2

Cercle

forme diff sur , fermée non exacte ( )

O

xdy ydx dz

x y x y z

  ^  ^ ^



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L'ouvert de est étoilé s'il existe  E O (point étoile) tq,  M , O M  

Thm Poincaré : Si est étoilé, fermée   exacte

1 1

0 0

1

1 1 1 1

0 0 0 0

1

1

1

1 1

0 0

: . ( ) ( )( ) ( ,..., )

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( )

, On pose

n

i

n n

j

i i i

i n i

i

i j i j

j j

j j j

X t tX f x tX X dt a tx tx x dt

a a

f tX tx dt a tX dt tX tx dt a tX dt

x x x

d a tX tdt a tX dt IPP a x dt

 



 

  

 

    

  

   

  

     

 