Terminale STG Programmation linéaire. Page n ° 1
2007 2008 Exemple de corrigé
Antilles 2004
Tableau traduisant les données.
Studios Petits appartements Maximum
Surface habitable en m² 30 50 1 160
Nombre de fenêtres 1 3 60
Prix en euros à la vente 60 000 120 000
1 ) Déterminons un système d'inéquations portant sur x et y traduisant les contraintes du problème.
Soit x le nombre de studios que le promoteur doit construire. Alors x est un nombre entier et positif.
Par ailleurs, il ne peut pas vendre plus de 15 studios. Donc x ≤ 15.
Soit y le nombre de petits appartements que le promoteur doit construire. Alors y est un nombre entier et positif.
Il veut que la résidence ait au moins 20 logements. Donc x + y ≥ 20.
Le promoteur prévoit une surface habitable de 30 m² pour un studio. Donc pour x studios il faut prévoir 30 x m².
Le promoteur prévoit une surface habitable de 50 m² pour un petit appartement.
Donc pour y petits appartements, il faut prévoir 50 y m².
Or il dispose de 1 160 m² de surface habitable. Donc l'inéquation s'écrit 30x + 50y ≤ 1160.
Le promoteur prévoit une fenêtre pour un studio. Donc pour x studios il faut prévoir x fenêtres.
Le promoteur prévoit trois fenêtres pour un petit appartement.
Donc pour y petits appartements, il faut prévoir 3 y fenêtres.
Or il dispose de 60 fenêtres. Donc l'inéquation s'écrit x + 3y ≤ 60.
2 )
Terminale STG Programmation linéaire. Page n ° 2
2007 2008 Exemple de corrigé
Explications 0 ≤ x ≤ 15
Je trace la droite d1 d'équation x = 15. La partie solution se situe entre l'axe des ordonnées et la droite d1.
y ≥ 0
La partie solution se situe au dessus de l'axe des abscisses.
x + y ≥ 20.
Je trace la droite d2 qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; 20 ) et ( 15 ; 5 ).
La partie solution se situe au dessus de cette droite.
3x + 5y ≤ 116.
Je trace la droite d3 qui passe par les points de coordonnées ( 2 ; 22 ) et ( 12 ; 16 ).
La partie solution se situe en dessous de cette droite.
x + 3y ≤ 60.
Je trace la droite d4 qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; 20 ) et ( 15 ; 15 ).
La partie solution se situe en dessous de cette droite.
3 ) a ) Le promoteur espère vendre un studio pour 60 000 €. Donc x studios seront vendus 60 000 x €.
Le promoteur espère vendre un petit appartement 120 000 €. Donc y petits appartements seront vendus 120 000 y €.
Ainsi le chiffre d'affaires C du promoteur sera C = 60 000 x + 120 000 y.
b ) Une équation de la droite ∆C correspondant à un chiffre d'affaires C est donc C = 60 000 x + 120 000 y.
⇔ 120 000 y = C − 60 000 x ⇔ y = C
120000 − 60000
120000 x = C
120000 − 0,5 x c ) Traçons la droite ∆C avec C = 2 160 000 c'est à dire y = 2160000
120000 − 0,5 x = 18 − 0,5 x Cette droite passe par les points de coordonnées ( 0 ; 18 ) et ( 14 ; 11 ). Elle est nommée d5.
Voir graphique.
4 ) Pour déterminer à l'aide du graphique, le nombre x de studios et le nombre y de petits appartements à construire pour permettre au promoteur de réaliser un chiffre d'affaires maximal, je trace la droite parallèle à la droite d5 qui passe dans la partie solution et qui a la plus grande ordonnée à l'origine possible.
Cette droite passe par le point de coordonnées ( 12 ; 16 ).
Donc 12 × 60 000 + 16 × 120 000 = 720 000 + 1920000 = 2 640 000.
Le chiffre d'affaires maximal est donc de 2 640 000 €.
Terminale STG Programmation linéaire. Page n ° 3
2007 2008 Exemple de corrigé
Polynésie 2006
1. Tableau traduisant les données
Kg de fer Litres de peinture Heures de travail
Tables 10 2 3
Fauteuils 5 4 4
Contraintes 100 36 40
x est le nombre de tables donc x est un entier naturel.
y est le nombre de fauteuils donc y est un entier naturel.
Chaque table nécessite 10 kg de fer donc x tables nécessiteront 10x kg de fer.
Chaque fauteuil nécessite 5 kg de fer donc y fauteuils nécessiteront 5y kg de fer.
Or l'artisan reçoit 100 kg de fer.
Donc la première inéquation est 10x + 5y ≤ 100 ⇔ 2x + y ≤ 20.
Chaque table nécessite 2 litres de peinture donc x tables nécessiteront 2x litres de peinture.
Chaque fauteuil nécessite 4 litres de peinture donc y fauteuils nécessiteront 4y litres de peinture.
Or l'artisan reçoit 36 litres de peinture.
Donc la deuxième inéquation est 2x + 4y ≤ 36 ⇔ x + 2y ≤ 18.
Chaque table demande 3 h de travail donc x tables demandent 3x heures de travail.
Chaque fauteuil demande 4 h de travail donc y fauteuils demanderont 4y heures de travail.
Or les délais imposés font qu'il ne dispose que de 40 h de travail.
Donc la troisième inéquation est 3x + 4y ≤ 40.
J'ai donc montré que les contraintes de cette situation peuvent être traduites par le système d'inéquations :
( S )
≤ + ≤ ++ ≤
40 y 4 x 3
18 y 2 x
20 y x 2
où x et y sont des entiers naturels.
2. Dans un repère orthonormal ( O ; Åi , Åj ) avec 1 cm pour unité sur les deux axes, mettons en évidence l'ensemble des points M ( x ; y ) du plan, solution du système ( S ), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
Comme les nombres x et y sont des entiers naturels, on ne s'intéresse qu'aux points situés dans le premier quadrant du repère.
En premier, je trace la droite d'équation y = 20 − 2x. qui passe par ( 5 ; 10 ) et par ( 10 ; 0 ).
2x + y ≤ 20 ⇔ y ≤ 20 − 2x.
donc la partie solution se situe en dessous de cette droite.
En second, je trace la droite d'équation y = 9 − 0,5x qui passe par ( 0 ; 9 ) et ( 8 ; 5 ).
x + 2y ≤ 18 ⇔ y ≤ 9 − 0,5x.
Donc la partie solution se situe en dessous de cette droite.
Pour finir, je trace la droite d'équation y = 10 − 0,75x qui passe par ( 0 ; 10 ) et ( 8 ; 4 ).
3x + 4y ≤ 40 ⇔ y ≤ 10 − 0,75x.
donc la partie solution se situe en dessous de la droite.
Voir graphique sur la feuille de papier millimétrée.
3. L'artisan recevra 60 € pour chaque table produite et 40 € pour chaque fauteuil produit.
Soit S le salaire que l'artisan recevra pour la confection de x tables et y fauteuils.
a. Exprimons S en fonction de x et de y.
Terminale STG Programmation linéaire. Page n ° 4
2007 2008 Exemple de corrigé
L'artisan recevra 60 € pour chaque table produite donc pour x tables produites, il recevra 60x euros.
L'artisan recevra 40 € pour chaque fauteuil produit donc pour y fauteuil, il recevra 40y euros.
Son salaire S = 60x + 40y.
b. Déterminons une équation de la droite ( d ) correspondant à un salaire de 440 € : 60x + 40y = 440.
Complétons le graphique précédent en traçant la droite ( d ) : 40y = 440 − 60x ⇔ y = 11 − 1,5x.
( d ) passe par les points ( 0 ; 11 ) et ( 6 ; 2 ).
c. En justifiant la démarche : je trace une droite parallèle à ( d ) et qui a une ordonnée à l'origine la plus haute possible : y = 16 − 1,5x et je détermine graphiquement le couple d'entiers ( 8 ; 4 ) qui permet à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire.
Précisons le montant de ce salaire maximum. S = 60 × 8 + 40 × 4 = 480 + 160 = 640 €.
En fabricant 8 tables l'artisan travaille pendant 8 × 3 = 24 h.
En fabricant 4 fauteuils l'artisan travaille pendant 4 × 4 = 16 h. donc il travaille 40 h en tout.
Or 640/40 = 16. Son salaire horaire est donc égal à 16 €.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
-1
0 1
1
x y
