CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

(1)

IPSA | DS de transfert thermique n° 2 du 01 décembre 2018

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Numéro :

SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2018-2019 Classe : Aéro-3

Type d’examen : DS 2 Matière : Transfert thermique Code matière : En 311tc Date : 01 décembre 2018 Horaire :

Durée : 1 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON. Formulaire à la fin du document.

Calculatrices autorisées : NON Programmables

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Un formulaire est fourni à la fin du document.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /12 Exercice 2 : /08 Formulaire.

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Corrigé

(2)

2/10

0

e

A

Verre

Tint

Text

x

Exercice 1 : Etude des pertes thermiques dans un double vitrage (12 points)

On considère un double vitrage constitué de deux plaques de verre séparées par une couche d’air sec immobile.

Les deux plaques de verre sont identiques et ont chacune une épaisseur eV. L’épaisseur de la couche d’air est notée eA. Les conductivités du verre et de l’air sont notées respectivement λV et λA.

On notera Tint et Text les températures de part et d’autre du double vitrage, sur la face intérieure et extérieure et on appellera T1V et T2V les températures sur les faces internes des vitres (voir schéma).

I. 1ère Partie : Double vitrage

a) Déterminer les expressions et valeurs des résistances thermiques de conduction d’une vitre RV et de la couche d’air RA et en déduire la résistance totale de l’ensemble à 10^-2 près.

b) Comparer ces résistances. Conclusion.

c) Donner le schéma électrique équivalent avec toutes les données.

d) En déduire l’expression et la valeur du flux de chaleur Φ traversant le double vitrage ainsi que la densité φ de flux à 10^-2 près.

e) Donner l’expression et la valeur de T1V et T2V.

f) Déterminer le profil de température dans chaque milieu et faire une représentation graphique.

II. 2ème Partie : simple vitrage

On considère dans cette partie une seule vitre avec Tint = 20,0 °C et Text = 15,0 °C entre ses deux faces.

a) Déterminer le profil de température T (x) dans la vitre.

b) Déterminer l’expression et la valeur du flux de chaleur Φ traversant la vitre.

c) Conclusion.

Données :

λV = 0.7 Wm^-1K^-1 eV = 3,5 mm

λA = 0.024 Wm^-1K^-1 eA = 12 mm S = 1 m²

Tint = 20 °C Text = 15 °C

Verre

Air

e

V

e

V

T1V

T2V

(3)

3/10

Exercice 1 : Etude des pertes thermiques dans un double vitrage (12 points)

I. 1ère Partie : Double vitrage

a) Expressions et valeurs des résistances thermiques 𝑹_𝑽 = 𝒆_𝑽

𝝀_𝑽𝑺=𝟑, 𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑

𝟎, 𝟕 ∗ 𝟏 = 𝟓 𝟏𝟎^−𝟑𝑲

⁄ ; 𝑾 𝑹_𝑨= 𝒆_𝑨

𝝀_𝑨𝑺= 𝟏𝟐. 𝟏𝟎^−𝟑

𝟎, 𝟎𝟐𝟒 ∗ 𝟏= 𝟓 𝟏𝟎^−𝟏 𝑲/𝑾

𝑹_𝑻 = 𝑹_𝑨+ 𝟐 𝑹_𝑽 = 𝟓 𝟏𝟎^−𝟏+ 𝟐 ∗ 𝟓 𝟏𝟎^−𝟑= 𝟎, 𝟓𝟏 𝑲/𝑾

b) La résistance d’une vitre est 100 fois plus petite que la résistance de la couche d’air.

La résistance thermique totale est pratiquement égale à la résistance de l’air.

c) Schéma électrique équivalent

d)

𝚽 =

^𝚫𝑻_𝑹

=

^𝑻^𝒊𝒏𝒕_𝑹^−𝑻^𝒆𝒙𝒕

𝑻

=

^{𝟐𝟎−𝟏𝟓}_{𝟎,𝟓𝟏}

= 𝟗, 𝟖𝟎 𝑾 𝝋 =

^𝚽_𝑺

= 𝟗, 𝟖𝟎 𝑾/𝒎

^𝟐

e) Valeur des températures.

𝚽 =𝚫𝑻

𝑹 =𝑻_𝒊𝒏𝒕− 𝑻_𝟏𝑽

𝑹_𝑽 =𝑻_𝟏𝑽− 𝑻_𝟐𝑽

𝑹_𝑨 =𝑻_𝟐𝑽− 𝑻_𝒆𝒙𝒕

𝑹_𝑽 =𝑻_𝒊𝒏𝒕− 𝑻_𝒆𝒙𝒕 𝑹_𝑻

𝑻_𝟏𝑽= 𝑻_𝒊𝒏𝒕− 𝑹_𝑽𝚽 𝑻_𝟏𝑽 = 𝟐𝟎 − 𝟓 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 °𝑪 (= 𝟐𝟗𝟐, 𝟗𝟓 𝑲) 𝑻_𝟐𝑽 = 𝑻_𝒆𝒙𝒕+ 𝑹_𝑽𝚽 𝑻_𝟐𝑽 = 𝟏𝟓 + 𝟓 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟗, 𝟖 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟓 °𝑪 (= 𝟐𝟖𝟖, 𝟎𝟓 𝑲) 0n peut utiliser les °C.

f) La température dans ces 3 milieux s’obtient en utilisant l’équation de la chaleur.

𝚫𝑻 est le Laplacien de T.

𝚫𝑻 = 𝟎

La conduction étant unidimensionnelle, en cordonnées cartésiennes on peut écrire : 𝚫𝑻 =𝝏^𝟐𝑻

𝝏𝒙^𝟐= 𝟎 𝝏𝑻

𝝏𝒙= 𝒂 𝑻(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑻 (°𝑪) 𝒆𝒕 𝒙 (𝒎)

1^èrevitre :

𝑻_𝟏(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑻_𝟏(𝟎) = 𝒃 = 𝑻_𝒊𝒏𝒕 = 𝟐𝟎°𝑪 𝑻_𝟏(𝒆_𝑽) = 𝒂𝒆_𝑽+ 𝑻_𝒊𝒏𝒕= 𝑻_𝟏𝑽 𝒂 =𝑻_𝟏𝑽− 𝑻_𝒊𝒏𝒕

𝒆_𝑽 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 − 𝟐𝟎

𝟑, 𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 = −𝟏𝟒, 𝟐𝟗 °𝑪/𝒎 𝑻_𝟏(𝒙) = = −𝟏𝟒, 𝟐𝟗 𝒙 + 𝟐𝟎

Couche d’air :

𝑻_𝑨(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝑻_𝑨(𝒆_𝑽) = 𝒂𝒆_𝑽+ 𝒃 = 𝑻_𝟏𝑽 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 °𝑪 𝑻_𝑨(𝒆_𝑽+ 𝒆_𝑨) = 𝒂(𝒆_𝑽+ 𝒆_𝑨) + 𝒃 = 𝑻_𝟐𝑽 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟓 𝒂 =𝑻_𝟐𝑽− 𝑻_𝟏𝑽

𝒆_𝑨 =𝟏𝟓, 𝟎𝟓 − 𝟏𝟗, 𝟗𝟓

𝟏𝟐. 𝟏𝟎^−𝟑 = −𝟒𝟎𝟖, 𝟑𝟑 °𝑪/𝒎 𝒃 = 𝑻_𝟏𝑽− 𝒂𝒆_𝑽 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 + 𝟒𝟎𝟖, 𝟑𝟑 ∗ 𝟑, 𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟐𝟏, 𝟑𝟖

𝑻_𝑨(𝒙) = −𝟒𝟎𝟖, 𝟑𝟑 𝒙 + 𝟐𝟏, 𝟑𝟖

R

V

R

A

R

V

T

int

T

ext

T

1V

T

2V

**0.5 * 3**

**0.5 * 2**

0.5

(4)

4/10

0

e

A

Verre

Tint

Text

x

2^èmevitre :

𝑻_𝟐(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝑻_𝟐(𝒆_𝑽 + 𝒆_𝑨) = 𝒂(𝒆_𝑽+ 𝒆_𝑨) + 𝒃 = 𝑻_𝟐𝑽= 𝟏𝟓, 𝟎𝟓 °𝑪 𝑻_𝟐(𝟐𝒆_𝑽+ 𝒆_𝑨) = 𝒂(𝟐𝒆_𝑽+ 𝒆_𝑨) + 𝒃 = 𝑻_𝒆𝒙𝒕 𝒂 =𝑻_𝒆𝒙𝒕− 𝑻_𝟐𝑽

𝒆_𝑽 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎 − 𝟏𝟓, 𝟎𝟓

𝟑, 𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 = −𝟏𝟒, 𝟐𝟗 °𝑪/𝒎 𝒃 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟓 + 𝟏𝟒, 𝟐𝟗(𝟏𝟓, 𝟓 . 𝟏𝟎^−𝟑) = 𝟏𝟓, 𝟐𝟕

𝑻_𝟐(𝒙) = = −𝟏𝟒, 𝟐𝟗 𝒙 + 𝟏𝟓, 𝟐𝟕

II. 2ème Partie : simple vitrage

a)

𝚫𝑻 =𝝏^𝟐𝑻

𝝏𝒙^𝟐= 𝟎 𝝏𝑻

𝝏𝒙= 𝒂 𝑻(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝑻(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 𝑻(𝟎) = 𝒃 = 𝑻_𝒊𝒏𝒕 = 𝟐𝟎°𝑪 𝑻(𝒆_𝑽) = 𝒂𝒆_𝑽 + 𝑻_𝒊𝒏𝒕= 𝑻_𝒆𝒙𝒕 𝒂 =𝑻_𝒆𝒙𝒕− 𝑻_𝒊𝒏𝒕

𝒆_𝑽 =𝟏𝟓, 𝟎 − 𝟐𝟎

𝟑, 𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 = −𝟏𝟒𝟐𝟖, 𝟓𝟕 °𝑪/𝒎 15,5 19,0 3,5

x (mm)

T(°C)

**0.5 * 2**

20,00 19,95

15,05 15,00

(5)

5/10

𝑻(𝒙) = −𝟏𝟒𝟐𝟖, 𝟓𝟕 𝒙 + 𝟐𝟎 b) Flux

𝚽 =𝚫𝑻

𝑹 =𝑻_𝒊𝒏𝒕− 𝑻_𝒆𝒙𝒕

𝑹_𝑽 =𝟐𝟎 − 𝟏𝟓

𝟓. 𝟏𝟎^−𝟑 =𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑾

c) Ce flux est 100 fois plus grand que le flux traversant le double vitrage :

𝟗, 𝟖𝟎 𝑾

.

**0.5 * 2**

(6)

6/10

Exercice 2 : Profil de température dans un crayon combustible (8 points )

Le combustible utilisé dans une centrale nucléaire est empilé sous forme de pastilles dans des tubes métalliques de faible épaisseur. Le métal est un alliage, très bon conducteur de la chaleur et présente donc une température constante et uniforme T0. Ces tubes ou crayons combustibles de hauteur h = 4 m et de rayon R sont plongés au cœur du réacteur nucléaire pour y fournir de l’énergie sous forme de chaleur d’une puissance thermique par unité de volume QV supposée constante et uniforme dans tout le volume.

On note λ la conductivité du combustible.

a) Expliquez pourquoi dans l’épaisseur du tube la température est constante.

b) Indiquer la direction de la diffusion de la chaleur à l’intérieur du crayon combustible.

c) Ecrire l’équation de la chaleur à l’intérieur du combustible.

d) Résoudre l’équation de la chaleur et donner le profil de température T(r) dans le combustible.

e) Faire une représentation graphique de T(r).

f) La température de fusion du combustible nucléaire vaut T = 2900 K, déterminer la valeur limite de la puissance thermique volumique QVl du crayon à partir de laquelle il y a risque de fusion.

Données :

R = 1,0 cm λ = 3,0 W m^-1K^-1 QV = 2,0 10⁸ W m^-3 T0 = 600 K

T0

0 T0

r

R

z

(7)

7/10

Exercice 2 : Profil de température dans un crayon combustible ( 8 points )

a) Le cylindre a une faible épaisseur e, c’est un métal très bon conducteur donc sa conductivité est élevée, sa résistance thermique est faible et la différence de température est faible.

𝚫𝑻 = 𝑹𝚽 𝑹_𝑽 = 𝒆_𝑽

𝝀_𝑽𝑺

b) la diffusion de la chaleur à l’intérieur du crayon combustible se fait le long de r à travers la surface du cylindre. Symétrie cylindrique, cylindre de hauteur infinie.

c) Equation de la chaleur avec source de chaleur.

𝚫𝑻 +𝑸_𝑽 𝝀 = 𝟎

d) Symétrie cylindrique, on prend le Laplacien en coordonnées cylindriques.

𝟏 𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) + 𝑸

_𝑽

𝝀 = 𝟎 𝟏

𝒓

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸

_𝑽

𝝏 𝝀

𝝏𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸

_𝑽

𝝀 𝒓 (𝒓 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸

_𝑽

𝝀

𝒓

^𝟐

𝟐 + 𝑨 ( 𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸

_𝑽

𝝀

𝒓 𝟐 + 𝑨

𝒓 𝑻(𝒓) = − 𝑸

_𝑽

𝟒𝝀 𝒓

^𝟐

+ 𝑨 𝒍𝒏(𝒓) + 𝑩

Déterminons les deux constantes A et B.

T(r) doit garder une valeur finie et donc A = 0.

Pour déterminer B, on utilise la condition aux limites suivante :

𝑻(𝒓 = 𝑹) = 𝟔𝟎𝟎 𝑲 = 𝑻

_𝟎

− 𝑸

_𝑽

𝝀

𝑹

^𝟐

𝟒 + 𝑩 = 𝑻

_𝟎

𝑩 = 𝑻

_𝟎

+ 𝑸

_𝑽

𝟒𝝀 𝑹

^𝟐

𝑻(𝒓) = − 𝑸

_𝑽

𝟒 𝝀 (𝒓

^𝟐

− 𝑹

^𝟐

) + 𝑻

_𝟎

𝑩 = 𝟔𝟎𝟎 + 𝟐. 𝟏𝟎

^𝟖

𝟑

𝟏𝟎

^−𝟒

𝟒 = 𝟐𝟐𝟔𝟕 𝑲

0.5 0.5 0.5

**0.5*5**

**0.5*2**

(8)

8/10 𝑻(𝒓) = − 𝟐. 𝟏𝟎

^𝟖

𝟑 𝒓

^𝟐

𝟒 + 𝟐𝟐𝟔𝟕 (𝑲) 𝑻(𝒓) = − 𝟏𝟎

^𝟖

𝟔 𝒓

^𝟐

+ 𝟐𝟐𝟔𝟕 (𝑲)

e) Représentation graphique de T(r).

f)

En r = 0, Tf = 2900 K ; QVl = ?

La température maximale se situe en r = 0 ; au centre du tube : c’est le point le plus chaud.

𝑻(𝟎) = 𝟐𝟗𝟎𝟎 = − 𝑸

_𝑽

𝟒 ∗ 𝟑 (−𝟏𝟎

^−𝟒

) + 𝟔𝟎𝟎 𝑸

_𝑽

= 𝟐𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎

^𝟒

= 𝟐, 𝟕𝟔 . 𝟏𝟎

^𝟖

𝑾𝒎

^−𝟑

**0.5*2**

r(cm) T(°C)

R=1,0

𝟐𝟐𝟔𝟕

𝟔𝟎𝟎 **0.5*2**

**0.5*2**

(9)

9/10

(10)

10/10 FORMULAIRE

Formules de transfert thermique

Conduction et convection Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Résistance thermique de conduction d’une

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur sans source 𝚫𝑻 = 𝟎 Equation de la chaleur avec source 𝚫𝑻 + 𝑸