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Une introdu ion au groupe de Brauer
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Bruno Deschamps
Le Mans - Caen - Paris - New York - Berlin
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à Juillet l’universelle à Oobre, pleine d’espoir...
Table des matières
Struure des algèbres simples centrales
. Modules simples et semi-simples . . .
.. Modules simples . . .
.. Type de modules simples . . .
.. Struures des modules semi-simples . . .
. Algèbres simples . . .
.. Struures des algèbres simples et semi-simples . . .
. Algèbres tensorielles . . .
.. Produit tensoriel . . .
.. Produit tensoriel d’algèbres . . .
.. Extension des scalaires . . .
.. Commutant . . .
.. Le théorème de Skolem-Nœther . . .
Groupe de Brauer
. Généralités. . .
.. Définitions, exemples. . .
.. Indice, exposant et degré. . .
.. Extensions commutatives maximales, corps neutralisants.
.. Norme réduite. . .
. Interprétation cohomologique . . .
.. Le produit croisé . . .
.. Le point de vue cohomologique . . .
. Quelques propriétés de l’indice. . .
Illurations, exemples, applications.
. Conruion de corps gauches. . .
. Algèbres cycliques. . .
Stru ure des algèbres simples centrales
L
’objectifde cette partie ed’établir un théorème deruure sur la na- ture des algèbres simples centrales, notion centrale dans la théorie du groupe de Brauer. Nous allons voir que les algèbres simples centrales sont exaement les algèbres de matrices.On considère dans la suite un corps commutatifk et unek-algèbre uni- taireAde dimension finie surk. On noteraAg (resp. Ad) laruure deA- module gauche (resp. droite) deA. Pour toutA-module (droite ou gauche) Mon noteraLA(M) l’ensemble des endomorphismes deMque l’on considér- era avec saruure dek-algèbre. Les modules que nous considérons seront toujours supposés de type fini. En particulier, ils seront de dimension finie en tant quek-espace veoriel, posséderont toujours des sous-modules mini- maux et maximaux et verront toutes sommes direes posséder se ramener à un nombre fini de faeurs.
Etant donnée une k-algèbre Arapportée à une base {a1,· · ·an}, pour tout couple d’indices (i, j)∈ {1,· · ·, n}2il exie un unique veeurλ(i,j)= (λ(i,j)1 ,· · ·, λ(i,j)n )∈ kntel que
aiaj= Xn
k=1
λ(i,j)k ak
Les veeursλ(i,j)sont appelés lesconantes deruurede lak-algèbreA(rel- ativement à la base{a1,· · ·an}). On voit alors qu’étant données deuxk-algèbres AetB, les deux propriétés suivantes
i)AetBsont isomorphes en tant quek-algèbres,
ii) il exie un entier n≥1 et des bases de AetB de cardinal ntels que les conantes deruure deAetBrelativement à ces bases soient égales, sont équivalentes.
Etant donnée unek-algèbreA, on noteraAop l’algèbre opposée deA, qui e l’ensembleAmunie des même lois de compositions que l’algèbreAormis le produit que l’on remplace par le produit opposé∗défini, pour a, b ∈A, par a∗b=ba.
. Modules simples et semi-simples
.. Modules simples
Définition.— / Un A-moduleM e dit simple, s’il enon trivial et s’il ne possède aucun sous-modulerie.
/ UnA-module M edit semi-simple s’il eégal à la somme de sous-modules simples deM.
Exemple.—Considérons un corps K (non nécessairement commutatif) de dimension finie surketA=Mn(K) lak-algèbre des matricesn×nà coefficients dansK. Pour touti= 1,· · ·, non note
Mi=
i-ème
a1
...
an
/ a1,· · ·an∈K
l’ensemble des matrices deMn(K) dont toutes les colonnes, sauf peut-être la i-ème, sont nulles. Il e clair que Mi e unMn(K)-module à gauche (pour la multiplication des matrices). C’e un module simple. En effet, soitN un
sous-module non nul deMi et
i-ème
a1
...
an
∈N une matrice non nulle (par
exempleaj,0). Soit
i-ème
b1
...
bn
∈Mi, on alors
i-ème
b1
...
bn
=
j-ème
b1/aj
...
bn/aj
i-ème
a1
...
an
ce qui prouve queN =Mi. Maintenant, il eclair queAg =Ln
i=1Mi et ainsi, Ag eunA-module semi-simple. On va voir un peu plus loin que l’exience d’une écriture en somme diree de sous-modules simples d’un module semi- simple n’epas spécifique àMn(K).
Proposition.—Soitf :M −→N un homomorphisme deA-modules. Si M et N sont simples, alorsf esoit l’homomorphisme nul, soit un isomorphisme. En conséquence de quoi :
/ SiMetNsont deux modules simples non isomorphes, alors tout homomorphisme deMversN enul.
/ SiMeunA-module simple alors l’anneauLA(M)eun corps. (Cet énoncé e habituellement appelélemme de Schur.)
Preuve : Si f e non nulle, alorsf(M) e un sous module non nul de N et doncf(M) =N puisqueN esimple. Ainsi,f esurjeive. De même, tou- jours puisquef enon nulle,f−1(0) eun sous-module deM diindeM.
CommeMesimple, on af−1(0) ={0}et doncf einjeive.
——–
Exemple.—Reprenons l’exemple précédent et décrivonsLA(Mi). Pour tout couple d’indice (p, q) on note Xp,q la matrice composée de 0 partout sauf en coordonnées (p, q) où il y a un 1. Soitf ∈LA(Mi) non nulle. Pour toutX∈Mi
il exieT ∈Atel queX =T X1,i, et commef(X) =f(T X1,i) = T f(X1,i) pour décriref il suffit d’expliciterf(X1,i). PourT =X1,1on a
f(X1,i) =f(X1,1X1,i) =X1,1f(X1,i) =X1,i.λI pour un certainλ∈K Ainsi, pour toutX∈Mi, on af(X) =f(T X1,i) =T f(X1,i) =T X1,iλI =X.λI et doncf ede la forme
fλ: Mi −→ Mi X 7−→ X.λI
Réciproquement, pour toutλ∈K l’applicationfλ ebien un élément de LA(Mi). Par ailleurs, comme pour tout λ, µ∈ K, fλ◦fµ =fµλ on en déduit finalement queLA(Mi)'Kop.
.. Type de modules simples
Proposition.—/ SoitJun idéal à gauche (resp. à droite) deA. Les propositions suivantes
i)Ag/J(resp.Ad/J) eunA-module à gauche (resp. à droite) simple, ii)Jemaximal,
sont équivalentes.
/ ToutA-module à gauche (resp. à droite) simple eisomorphe à un module quo- tientAg/J(resp.Ad/J),J étant maximal.
Preuve :/ Les sous-modules deAg/J correspondent bijeivement aux sous- modules deAg qui contiennentJ, c’e-à-dire aux idéaux à gauches deAcon- tenantJ. L’équivalence annoncée découle de cette correspondance.
/ SoitMunA-module gauche etx∈Anon nul. L’ensembleAxeun sous- module non trivial deM et donc, siM esimple, on aM =Ax. Dans cette situation, on considère l’application
f : A −→ M a 7−→ ax
Cette application evisiblement un homomorphisme deA-modules gauches surjeif. Son noyauJeun sous-module deAg, c’e-à-dire un idéal à gauche deA. En application des théorèmes d’isomorphismes, on a alorsM'Ag/JetJ ealors maximal en vertu du/.
——–
On considère la classe des modules simples à gauche (resp. à droite), quo- tient deAg (resp. Ad). Sur cette classe on considère les classes d’équivalences
pour la relation d’isomorphisme deA-module à gauche (resp. à droite). On appelletype deA-modules simples à gauhe (resp. à droite) ces classes. La proposition précédente assure que toutA-module à gauche (resp. à droite)M simple eisomorphe aux modules d’un type donné. Ce type sera appelé le type deM. La colleion des types forme donc un ensemble, paramétré par les quotientsAg/J.
Exemple.—Les modulesMi des exemples précédents ont tous le même type.
Ils sont, en effet, tous isomorphes en tant queA-modules à gauche. Pour tout i= 1,· · ·, n, le noyau de l’application
Ag −→ Mi X 7−→ XX1,i
eégal àJ=
0 · · · ... ... ... 0 · · ·
donc lesMi sont tous isomorphes en tant que A-modules gauche àAg/J.
Définition.—SoitM unA-module à gauche (resp. à droite) etλun type. On appelle composante isotypique deMle sous-module notéMλobtenu en prenant la somme des tous les sous-modules deMde typeλ.
.. Struures des modules semi-simples
L
esmodules semi-simples sont des sommes de modules simples. Puisque l’on a supposé queAétait de dimension finie surket qu’on ne considère ici que desA-modules de type fini, un module semi-simple pourra donc toujours être écrit comme une somme finie de modules simples (si ce n’était pas le cas, un tel module serait de dimension infinie en tant quek-espace veoriel).Proposition.—SoitMunA-module semi-simple etM=N1+· · ·+Nnune écriture deMen somme de sous-modules simples. Pour tout sous-moduleN deMil exie un ensemble ordonné d’indicesi1<· · ·< iktel que
M=N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nik
Preuve : Si N =Mon prend l’ensemble vide. SiN ,M, alors tous lesNi ne peuvent être inclus dansN, sinon leur somme, c’e-à-direM, le serait aussi.
Il exie alors un plus petit indicei1 tel queNi1 1N. Alors, N∩Ni1 e un sous-modulerideNi1, il donc nulle et par suiteN et Ni1 sont en somme diree.
Supposons posséder un indice h ≥ 1 et une suite d’indices i1 < · · ·< ih de {1,· · ·, n}telle que
N1+N2+· · ·+Nih⊂N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nih
Si cette somme diree vautM, la proposition eaquise. Sinon, il exie un plus petit indiceih+1> ihtel queNih+1 1N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nih(sinonM=N1+N2+
· · ·+Nn⊂Ni1⊕ · · · ⊕Nih ce qui econtraire à l’hypothèse). Alors,Nih+1∩N⊕ Ni1⊕ · · · ⊕Niheun sous-modulerideNih+1et edonc nul. Par ailleurs, par conruion, pour tout indiceivariant de 1 àih+1−1 on aNi⊂N⊕Ni1⊕· · ·⊕Nih et par suite
N1+N2+· · ·+Nih+1 ⊂N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nih+1
Comme ce procédé récursif elimité à un ensemble fini d’indices, il efini et il exie donc un indicektel que
M=N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nik
——–
Corollaire.—Tout sous-module et tout module quotient d’un module semi-simple esemi-simple.
Plus précidément, siM eunA-module semi-simple etM=N1+· · ·+Nne une écriture deM en somme de sous-modules simples, alors tout sous-module et tout module quotient deMeisomorphe à une somme diree de la forme
Ni1⊕ · · · ⊕Nik
En particulier, tout sous-module simple deMeisomorphe à unNi.
Preuve : Soit M/N un module quotient. En appliquant la proposition, on peut écrireM=N⊕Ni1⊕ · · · ⊕Nik et, par suite,
M/N'Ni1⊕ · · · ⊕Nik
Soit N un sous-module deM. CommeM ede type fini,N possède un supplémentaireF. En appliquant la proposition, on peut écrireM=F⊕Ni1⊕
· · · ⊕Nik et, par suite,
N 'N⊕F/F=M/F'Ni1⊕ · · · ⊕Nik
Le sous-moduleNi1⊕ · · · ⊕Nik deMesimple si et seulement sik= 1, et donc un sous-module simple deMebien isomorphe à unNi.
——–
Corollaire.—Un module semi-simpleMesomme diree de ses composantes isotypiques.
Preuve :CommeMesemi-simple, il esomme de ses sous-modules simples, il e donc somme de ses composantes isotypiques. Supposons que pour un typeλon aitMλ∩P
µ,λMµ,{0}, alors ce sous-module interseion contient un sous-module simpleN. Le moduleMλesomme diree de sous-modules de typeλet donc, d’après le corollaire,N ede typeλ. De même,P
µ,λMµe
somme diree de sous-modules de typesµ,λ, toujours d’après le corollaire
,N ede type différent deλ, ce qui eabsurde. Ainsi, on aM=L
λMλ.
——–
Passons maintenant à l’étude des endomorphismes des modules semi-simples et commençons par regarder l’image des composantes isotypiques par un ho- momorphisme :
Lemme.—Soitf :M−→N un homomorphisme deA-modules. Pour tout type deA-modules simplesλ, on a
f(Mλ)⊂Nλ Preuve :Si on poseMλ=Ln
i=1Si où lesSisont des sous-modules de typeλde M, alors on a
f(Mλ) = Mn
i=1
f(Si)
et commeSi e simple, on af(Si) ={0}ou alors f :Si −→f(Si) e un iso- morphisme et doncf(Si) e un sous-module simple deN de typeλ. Ainsi, f(Mλ)⊂Nλ.
——–
Théorème.—SoitMunA-module semi-simple. SiM =L
λ∈ΛMλ ela dé- composition en composantes isotypiques deMalors
LA(M)'Y
λ∈Λ
LA(Mλ)
Par ailleurs, siMλ=Ln
i=1Si où lesSi sont des sous-modules de typeλdeM alors
LA(Mλ)'Mn(K)
oùK =LA(S), S étant un représentant deλ. En conséquence de quoi, LA(M) eisomorphe à un produit d’algèbres de matrices à coefficients dans des extensions finies dek.
Preuve :D’après le lemme précédent, pour toutf ∈LA(M) la reriionfλde f àMλeun élément deLA(Mλ). Ceci permet de définir une application
Ω: LA(M) −→ Q
λ∈ΛLA(Mλ) f 7−→ (fλ)λ∈Λ
qui evisiblement un homomorphisme d’algèbres. Pour tout λ∈Λ, notons πλ:M−→Mλla projeion canonique. Comme pour toutx∈Mon a
f(x) =X
λ
fλ(πλ(x))
on en déduit queΩeinjeive. Par ailleurs, pour un élément (fλ)λ∈Λdonné, la formule précédente définit clairement un élémentf dont l’image parΩe (fλ)λ∈Λ. Ceci prouve la surjeivité deΩet, par suite, l’isomorphisme annoncé.
Venons-en maintenant à l’isomorphismeLA(Mλ)'Mn(K). On s’intéresse donc à laruure de l’algèbreLA(Sn). Pour touti= 1,· · ·, nnotons respec- tivementπi:Sn−→Setγi :S−→Snlai-èmè projeion canonique et lai-ème injeion canonique.
Pour touti, j∈ {1,· · ·, n}et toutf ∈LA(Sn) l’applicationfi,j=πi◦f ◦γj e un élément deLA(S) =K. Ainsi, on définit une application
Θ: LA(Sn) −→ Mn(K) f 7−→ (fi,j)i,j Remarquons queP
iγi◦πi ela fonion identité surSn, on a donc pour toutf ∈LA(Sn)
f =X
i,j
γi◦πi◦f ◦γj◦πj=X
i,j
γifi,j◦πj
Ceci montre, en particulier, queΘeinjeive. De même, en prenant un élé- ment (fi,j)i,j ∈Mn(K), on voit que la formule précédente permet de définir un élémentf ∈LA(Sn) dont l’image par Θ e (fi,j)i,j, ce qui prouve que Θ e surjeive.
Il ree à montrer que Θe un homomorphisme de A-algèbre. Comme les applicationsπi et γj sont des homomorphisme deA-modules, pour tout f , g∈LA(Sn) et touta∈A, on a
af +g = P
i,jγi◦πi◦(af +g)◦γj◦πj
= aP
i,jγi◦πi◦f ◦γj◦πj+P
i,jγi◦πi◦g◦γj◦πj
= aP
i,jγifi,j◦πj+P
i,jγigi,j◦πj
= P
i,jγi(afi,j+gi,j)◦πj
On en déduit que pour touti, jon a (af +g)i,j=afi,j+gi,jet donc queΘeun homomorphisme deA-modules.
Soientf , g∈LA(Sn), on a f ◦g = P
i,jγifi,j◦πj
◦P
p,qγpgp,q◦πq
= P
i,j,p,qγifi,j◦(πj◦γp)◦gp,q◦πq
= P
i,j,qγifi,j◦gj,q◦πq
On a donc
(f ◦g)i,q=X
j
fi,jgj,q
et doncΘ(f ◦g) =Θ(f)Θ(g) ce qui prouve, pour finir, queΘ eun isomor- phisme d’algèbre.
——–
Exemple.—L’algèbre A=Mn(K), vue comme module à gauche sur elle- même, e semi-simple et ne possède qu’une seule compoante isotypique.
En effet, d’après les résultats établis dans les exemples et on aMn(K) = Ln
i=1Mi et les Mi ont tous même type S. D’après le résultat établi dans l’exemple, on aLA(S)'Kop. Ainsi, si l’on applique le théorème, on trouve que
LA(Mn(K))'Mn(Kop) Maintenant, la transposition
Mn(Kop) −→ Mn(K)op
M 7−→ tM
evisiblement un isomorphisme et on a donc pour finir LA(Mn(K))'Mn(K)op
Les résultats précédents permettent d’obtenir le résultat important suivant :
Proposition.— SoitK1 et K2 deux corps de dimensions finies sur k et n1, n2 deux entiers≥1. Les propositions suivantes
i) Lesk-algèbresMn1(K1)etMn2(K2)sont isomorphes, ii)K1'K2etn1=n2,
sont équivalentes.
Preuve : Si A1 =Mn1(K1) et A2 =Mn2(K2) sont isomorphes alors elles sont isomorphes en tant que modules à gauche sur elle-même. Elles ne possèdent toutes deux qu’une seule composante isotypique et ces deux composantes sont relatives au même typeλ. SoitS1etS2 des sous-modules simples deMn1(K1) etMn2(K2). Ils sont tous les deux de typeλet donc
K1=K1op op'LA1(S1)op'LA2(S2)op'K2op op=K2
Maintenant, on a [A1 : k] = n21[K1 :k] et [A2 :k] = n22[K2 :k] et comme par ailleurs on a [A1:k] = [A2:k] et [K1:k] = [K2:k], on en déduit quen1=n2.
——–
. Algèbres simples
.. Struures des algèbres simples et semi-simples
O
nrappelle que lesk-algèbres que l’on étudie ici sont supposées de di- mensions finies.
Définition.—Une algèbre edite simple si elle ne possède aucun idéal bilatère non trivial. Une algèbre edite semi-simple si elle eisomorphe à un produit dire d’algèbres simples.
Exemples.—•Un corpsKcontenantkdans son centre, extension finie de k, ebien sur unek-algèbre simple. Mais plus généralement, pour tout entier n≥1, la k-algèbre Mn(K) des matrices carréesn×nà coefficients dansK e une algèbre simple.
En effet, considérons un idéal bilatère non nulJ deMn(K) et prenons une matrice H = (hi,j)i,j ∈ J non nulle, disons par exemple hi0,j0 , 0. Pour tout couple d’indice (i, j) notonsΓi,j la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’indice (i, j) qui vaut 1. Pour touti, jon a
Γi,j=h−i01,j0Γi,i0HΓj0,j
et, par suite,Γi,j ∈J, mais comme la colleion desΓi,j engendre toutes les ma- trices, on en déduit queJ=Mn(K).
•Le théorèmeassure, avec le résultat précédent, que l’algèbre des endomor- phismes d’un module semi-simple eune algèbre semi-simple.
Lemme.—SoitAunek-algèbre. Sif ∈LA(Ag)alorsf ela multiplication à droite surApar un certain élément. En conséquence de quoi, on a
Aop'LA(Ag)
Preuve :Pour toutα∈Aonf(α) =f(α.1) =αf(1). Doncf ela multiplication à droite parf(1). Réciproquement, si on note mx la multiplication à droite parx∈A, il e clair quemx ∈LA(Ag). Par ailleurs, pour tout x, y∈Aon a mx◦my=myx, d’où l’isomorphisme annoncé.
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Dans la cas deA=Mn(K), on retrouve direement le résultat de l’exemple
.
On rappelle qu’un idéalJd’un anneauAedit nilpotent s’il exie un en- tiern≥1 tel queJn={0}. On dira d’une algèbre qu’elle esans idéaux nilpo- tents si son seul idéal bilatère nilpotent e{0}. Remarquons qu’une algèbre sans idéaux nilpotents ne contient aucun idéal gauche ou droite non trivial qui soit nilpotent. En effet, siJeun idéal (par exemple gauche) deAnon trivial nilpotent, disonsJn={0}, alorsJAel’idéal bilatère engendré parJ. Puisque AJ=J on a alors
(JA)n=J(AJ)n−1A=JnA={0}
et doncAcontient un idéal bilatère nilpotent non trivial. Commençons par établir quelques résultats techniques sur les algèbres sans idéaux nilpotents.
Proposition.—SoitAunek-algèbre sans idéaux nilpotents.
/Aesomme diree d’idéaux à gauche minimaux, en particulier, Ag eunA- module à gauche semi-simple.
/ SoitΛl’ensemble des types deA-modules simples. On a Aop'Y
λ∈Λ
Mnλ(Kλ)
où lesKλsont des corps contenantkdans leurs centres.
Preuve : / Considérons pour commencer un idéal à gauche minimalJ deA.
PuisqueAe sans idéaux nilpotents, on aJ2 ,{0}et donc il exie a∈J tel queJa,{0}. CommeJ e minimal et queJaeun idéal à gauche non nul inclus dansJ on aJ =Ja. Ainsi, il exiee∈J tel quea=eaet on a, par suite, ea=e2a. La multiplication à droite paradansJ eun homomorphisme non trivial, donc son noyau eun sous-idéal à gauche deJdifférent deJ. Il edonc réduit à{0}et, par suite la multiplication à droite dansJ einjeive. On en déduit quee=e2. Par ailleurs,eengendre bienJ, puisqueeenon nul et que Aeeun idéal à gauche inclus dansJ qui eminimal. Nous venons donc de montrer que tout idéal à gauche minimal peut-être engendré par un élément idempotent.
Considérons un idéal à gauche minimalJ1 deAengendré par un élément idempotente1. Supposons que pour un indiceh≥1 on ait trouvé des idéaux à gauche minimauxJ1,· · ·, Jhen somme diree engendrés rexpeivement par des idempotentse1,· · ·, ehvérifiant pour touti,j,eiej= 0. SiA=J1⊕ · · · ⊕Jh, alors la proposition edémontrée. Sinon, on remarque que les deux éléments e1+· · ·+ehet 1−e1− · · · −ehsont des idempotents et que pour toutx∈A, on a
x=xe1+· · ·+xeh+x(1−e1− · · · −eh)
Ainsi, l’idéal à gaucheBengendré par (1−e1− · · · −eh) eun supplémentaire deJ1⊕ · · · ⊕Jh. On considère alors un idéal à gauche minimalJh+1inclus dans Betεun générateur idempotent deJh+1. On pose
eh+1= (1−e1− · · · −eh)ε
PuisqueBeengendré par (1−e1−· · ·−eh) et que cet élément eun idempotent, la multiplication à droite par (1−e1− · · · −eh) dansBedonc l’identité. Ainsi, on a
εeh+1=ε(1−e1− · · · −eh)ε=ε2=ε
et donceh+1,0. Commeeh+1∈Jh+1et queJh+1 eminimal, on en déduit que eh+1egénérateur deJh+1. Par ailleurs, on a aussi :
e2h+1 = (1−e1− · · · −eh)ε(1−e1− · · · −eh)ε
= (1−e1− · · · −eh)ε2
= (1−e1− · · · −eh)ε
= eh+1
et donceh+1eun idempotent. De même, pour touti≤h, eieh+1=ei(1−e1− · · · −eh)ε= (ei−ei)ε= 0
Par ailleurs, puisqueeh+1∈B, il exiex∈Atel queeh+1=x(1−e1− · · · −eh) et donc, pour touti≤h,
eh+1ei=x(1−e1− · · · −eh)ei=x(ei−ei)ε= 0
Ainsi, on a conruit un idéal Jh+1 engendré par un idempotenteh+1 tel que J1,· · ·, Jh+1 soit en somme diree et tel que pour tout i,j,eiej = 0. Pour des raisons de dimension, ce procédé récursif eforcément fini, d’où le résultat.
/ Les sous-modules simples deAg correspondants aux idéaux à gauche min- imaux deA, le/ implique queAg eunA-module semi-simple. La proposi- tionque les types deA-modules à gauche simples sont décrit par les quotients deApar des idéaux à gauche minimaux. Les corollairesetassure que
Ag=M
λ∈Λ
Ag λ
et que tous les types participent à cette somme. Le lemmemontre que Aop'LA(Ag) =LA
M
λ∈Λ
Ag λ
et le théorèmeprouve finalement que Aop'Y
λ∈Λ
Mnλ(Kλ) où lesKλsont des corps contenantkdans leurs centres.
——–
Venons-en maintenant à la classification des algèbres simples et semi-simples.
Théorème.—SoitAunek-algèbre. Les propriétés suivantes i)Aesemi-simple,
ii)Aesans idéaux nilpotents,
iii)Aeisomorphe à un produit d’algèbres de matrices sur des corps contenantk dans leurs centres.
Preuve :i) =⇒ii) Il edéjà clair qu’un algèbre simple esans idéaux nilpo- tents. SoitAune algèbre semi-simple,A=A1× · · · ×Anune décomposition de Aen produit d’algèbres simples etJ un idéal non nul. Soitx= (x1,· · ·, xn) un élément non nul deJ, disonsxi ,0. NotonsJi l’idéal deAi engendré parxi. Pour tout entierk≥1, on aJik⊂Jk. On en déduit que siJ enilpotent alorsJi l’eaussi, mais commeJi,{0}etAi esimple, cela eimpossible. DoncAe sans idéaux nilpotents.
ii) =⇒iii) soitAune algèbre sans idéaux nilpotents. Il eclair que l’algèbre opposéeAopeaussi sans idéaux nilpotents et si on applique la proposition-
àAop, on en déduit queAeisomorphe à un produit d’algèbres de matrices sur des corps contenantkdans leurs centres.
iii) =⇒i) Le premier exemple demontre qu’une algèbre de matrices sur un corps esimple. DoncAesemi-simple.
——–
Théorème.—SoitAunek-algèbre. Les propriétés suivantes i)Aesimple,
ii)Aeisomorphe à une algèbre de matricesMn(K)oùKeun corps contenantk dans son centre,
iii)Aesans idéaux nilpotents et il n’exie qu’un seul type deA-modules à gauche simples,
iii)0Aesemi-simple et il n’exie qu’un seul type deA-modules à gauche simples, sont équivalentes.
Preuve : i) =⇒ii) SiAesimple, alorsAe semi-simple et donc d’après le théorèmel’algèbreAeisomorphe à un produit d’algèbres de matrices. Il eclair que si ce produit contient plus d’un faeur non trivial alorsAn’e pas simple.
ii) =⇒iii)A=Mn(K) esimple (exemple) donc esans idéaux nilpotent.
Par ailleurs,Aop eaussi simple et donc ne peut être isomorphe à aucun pro- duit de plus d’un faeur d’algèbres de matrices. La proposition-implique alors qu’il n’y a qu’un seul type deA-modules à gauche simples.
iii) =⇒i) Sous les hypothèses, la proposition-assure queAop'Mn(K) où Keun corps contenantkdans son centre et doncA'Mn(Kop) qui esimple (exemple).
——–
Proposition.—SiAeunek-algèbre semi-simple alors toutA-module à gauche esemi-simple. SiAesimple alors toutA-module à gauche esemi-simple iso- typique, en particulier, siMetN sont deuxA-modules alors les propriétés suivantes i)M'N en tant queA-modules,
ii)[M:k] = [N :k], sont équivalentes.
Preuve : D’après la propositionleA-moduleAg esemi-simple et donc, pour toutn≥1,Ang eaussi semi-simple. SiMeunA-module à gauche alors Aemodule quotient deAngpour un certain entiern. En effet,Métant supposé de type fini, on se donnex1,· · ·, xnune famille génératrice. L’application
Ang 7−→ M (λ1,· · ·, λn) −→
n
X
i=1
λixi
définit un épimorphisme deAng sur M et donc, M e bien isomorphe à un quotient du moduleAng. Le corollaireassure alors queMesemi-simple.
Dans le cas où A e simple, le théorème assure qu’il n’exie qu’un seul type deA-modules simples et donc que tout A-module esemi-simple isotypique.
Pour l’équivalence, siMetN sont desA-modules gauches, ils sont isotyp- iques. Le typeλ des sous-modules simples deN etM e le même, puisque quotient deAg. Soit S, unA-module simple de type λ, il exie donc deux entiersn, mtels queM'SnetN'Sm. On a alors,
M'N⇐⇒Sn'Sm⇐⇒n=m⇐⇒n[S:k] =m[S:k]⇐⇒[M:k] = [N :k]
——–
Définition.—Etant donné un corps commutatifk, on appellek-algèbre simple centrale, toutek-algèbreAde dimension finie telle queZ(A) =k.
Remarque.—Le théorèmeet la propositionassurent donc, qu’à iso- morphisme près, lesk-algèbres simples centrales sont biunivoquement décrites par les algèbres de matricesMn(K) oùKdécrit les corps de dimension finie sur leur centreketn∈N∗.
Par ailleurs, étant donnée unk-algèbre simple centraleA, on aA'Mn(K).
On peut retrouver les éléments caraériiquesnetKde la manière suivante : il n’y a qu’un seul type deA-modules simples. Un tel module S e donc isomorphe auxMi de l’exemple. On voit alors que la dimension deS surk el’entiern. Le corpsK elui égal àLA(S)opd’après le théorème.
. Algèbres tensorielles
On considère dans cette partie, un corps commutatifk. Dans le paragraphe
..et le paragraphe..jusqu’à l’exemple, on ne suppose pas forcément que les espaces veoriels et les algèbres que l’on considère soient de dimen- sions finies surk.
.. Produit tensoriel
Théorème.—SoitEetFdeuxk-espaces veoriels. Il exie unk-espace veoriel T, unique à isomorphisme près, muni d’une application bilinéaireϕ:E×F −→T tel que pour toutk-e.v.Get toute application bilinéairef :E×F−→Gil exie une unique application linéairef˜:T −→Gtelle que :
∀(x, y)∈E×F, f(x, y) = ˜f ◦ϕ(x, y)
Preuve :On considère lek-espace veorielM de base{x, y}(x,y)∈E×F et le sous- espaceN engendré par les éléments
(x1+x2, y)−(x1, y)−(x2, y) (x, y1+y2)−(x, y1)−(x, y2)
α(x, y)−(αx, y) α(x, y)−(x, αy)
oùx, x1, x2 parcourentE,y, y1, y2 parcourentF et α parcourtk. On poseT = M/N et ϕ la reriion à E×F de la sujeion canonique de M sur M/N. L’applicationϕ e bilinéaire. En effet, soit (x1, y),(x2, y)∈ E×F etα ∈k, on aα(x1, y) + (x2, y)−(αx1+x2, y)∈N et doncϕ(α(x1, y) + (x2, y)) =αϕ((x1, y)) + ϕ(x2, y)) ce qui assure queϕelinéaire à droite. On montre de même queϕ elinéaire à gauche.
Soit Gunk-espace veoriel etf :E×F −→Gune application bilinéaire.
Comme{x, y}(x,y)∈E×F e une k-base de M,f induit une unique application linéaire deM sur G. Puisque f e bilinéaire, il s’ensuit que N e contenu dans le noyau de l’application induite parf et doncf définit, par passage au quotient, une application linéaire ˜f :T −→G qui vérifief(x, y) = ˜f ◦ϕ(x, y) pour tout (x, y)∈E×F.
L’unicité deT (à isomorphisme) près, découle de l’unicité de ˜f àf donnée.
——–
Définition.—Lek-espace veorielGdu théorème précédent s’appelle le produit tensoriel surkdes espacesEetF. Il se noteE⊗kF. Pour tout(x, y)∈E×Fon note x⊗yl’élémentϕ(x, y).
Proposition.—SoientEetFdeuxk-espaces veoriels. Si{xi}i∈Iet{yj}j∈J sont desk-bases respeives deEetFalors{xi⊗yj}(i,j)∈I×J eunek-base deE⊗kF. En particulier, on a
dimkE⊗kF= dimkE.dimkF Preuve : SoitP
i,jλi,j(xi⊗yj) = 0 une équation de dépendance linéaire. On a P
i,jλi,j(xi⊗yj) =P
i,j(λi,jxi)⊗yj =P
i,jϕ
λi,jxi, yj
et si l’on considère la pre- mière projeionπ:E×F−→E, il exie une application ˜π:E⊗kF−→Etelle queπ= ˜π◦ϕ. On a donc
——–
On obtient alors comme corollaire immédiat : Corollaire.—SoientE,FetGdesk-espaces veoriels.
) Les espacesE⊗kFetF⊗kEsont isomorphes (commutativité du produit tensoriel).
) Les espaces(E⊗kF)⊗kGetE⊗k(F⊗kG)sont isomorphes (associativité du produit tensoriel).
Corollaire.—SoientEetFdeuxk-espaces veoriels etE0un sous-espace deE.
On aE⊗kF=E0⊗kFsi et seulement siE0=E.
Preuve : Soit{yi}i∈I unek-base deF, {xi}i∈I
0 unek-base deE0 et {xi}i∈I
0 une k-base deEqui complète celle deE0. D’après la propositionles ensembles {xi⊗yj}(i,j)∈I
0×J⊂ {xi⊗yj}(i,j)∈I×Jsont des bases respeives deE0⊗kFetE⊗kF.
Ces deux espaces sont donc égaux si et seulement si les bases considérées sont égales, c’e-à-dire si et seulement siI0=I.
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.. Produit tensoriel d’algèbres
Proposition.—SoientAetBdeuxk-algèbres. Sur lek-espace veorielA⊗kBil exie une unique loi de composition interne qui fait deA⊗kBunek-algèbre et qui vérifie pour toutx, y∈Aet toutu, v∈B
(x⊗u)(y⊗v) = (xy)⊗(uv)
Preuve :Unicité : Le produit dans unek-algèbre eentièrement déterminé par les valeurs des produits des veeurs d’unek-base fixée par ce produit. Notons (ai)i et (bj)j desk-bases deAet deB. La propositionmontre que (ai⊗bj)i,j eunek-base deA⊗kB. Si⊥1et⊥2 sont deux lois de compositions vérifiant les hypothèses de la proposition, pour touti, i0, j, j0on a
(ai⊗bj)⊥1(ai0⊗bj0) = (aiai0)⊗(bjbj0) = (ai⊗bj)⊥2(ai0⊗bj0) ce qui prouve que⊥1=⊥2.
Exience : Fixons un couple (y, v)∈A×Bet considérons l’application fy,v: A×B −→ A⊗kB
(x, u) 7−→ (xy)⊗(uv)
Cette application e clairement bilinéaire, il exie donc (théorème ) un unique élément ˜fy,v∈L(A⊗kB) tel que pour tout (x, u)∈A⊗kB,
f˜y,v(x⊗u) = (xy)⊗(uv) Maintenant l’application
A×B −→ L(A⊗kB) (y, v) 7−→ f˜y,v
evisiblement bilinéaire, ainsi (théorème) il exie une unique application ϕ:A⊗kB−→L(A⊗kB)
telle que pour tout (y, v)∈A×B,
f˜y,v=ϕ(y⊗v) Pour (x⊗u),(y⊗v)∈A⊗kB, on pose
(x⊗u)(y⊗v) = (ϕ(x⊗u))(y⊗v)
Ceci définit une loi de composition interne surA⊗B, qui vérifie pour tout x, y∈Aet toutu, v∈B
(x⊗u)(y⊗v) = (xy)⊗(uv)
On vérifie sans peine avec la définition qu’on en a donné, que cette loi fait finalement deA⊗kBunek-algèbre.
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Dans la suite, quand on tensorisera deux algèbres on considérera toujours la multiplication introduite plus haut pour faire du produit tensoriel une al- gèbre. On voit alors que, compte tenu des résultats sur les conantes deruc- tures d’une algèbre, les isomorphismes établis dans le corollaire reent vrais si l’on suppose queE,FetGsont desk-algèbres.
Dans une algèbre tensorisée A⊗kB, on identifie les algèbresAet B aux sous-algèbresA⊗1 et 1⊗Bet l’on voit alors que tout élément deAcommute avec tout élément deB. Cette propriété se transfère aux morphismes :
Proposition.—SoientA, B, Ctroisk-algèbres etθA:A−→C etθB:B−→C deux morphismes dek-algèbres. Pour qu’il exie un morphisme dek-algèbre θ: A⊗kB−→Cvérifiant queθ|A=θAetθ|B=θB, il faut et il suffit que tout élément deθA(A) commute avec tout élément de θB(B) dans C. Dans ces conditions, le morphismeθeunique et il edéfini par la relation tensorielle
θ(x⊗y) =θA(x)θB(y)
Preuve :Siθexie alors pour tout tenseurx⊗y∈A⊗kB, on a θ(x⊗y) =θ((x⊗1).(1⊗y)) =θ(x⊗1)θ(1⊗y) =θA(x)θB(y)
ceci prouve, par linéarité, l’unicité deθ. Puisque (x⊗1).(1⊗y) = (y⊗1).(1⊗x), on voit aussi queθA(x)θB(y) =θB(y)θA(x) pour tout (x, y)∈A×B.
Réciproquement, la donnée deθAetθB, définie par propriété universelle du produit tensoriel une unique applicationk-linéaireθ:A⊗kB−→Cvérifiant θ(x⊗y) =θA(x)θB(y). Le fait queθ soit un morphisme d’algèbre résulte, par linéarité, de l’égalité sur les produits de tenseurs suivante :
θ((x⊗y).(u⊗v)) = θ(xu⊗yv) =θA(xu)θB(yv) =θA(x)θA(u)θB(y)θB(v)
= θA(x)θB(y)θA(u)θB(v) =θ(x⊗y)θ(u⊗v)
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Remarque.—On considère deux algèbres A etB et V unA-B-bimodule, c’e-à-dire un ensemble qui e A-module à gauche etB-module à droite et tel que pour tout (a, b, x)∈A×B×V on aita.(x.b) = (a.x).b. CommeV e un B-module à droite, on peut aussi le voir commeBop-module à gauche pour la même aion. Pourx∈V, on définit
fx: A×Bop −→ V (a, b) 7−→ (a.x).b
Cette application étant visiblement bilinéaire, on peut lui faire correspondre une application linéairefex:A⊗kBop−→V qui vérifie
fex
X
i
ai⊗bi
=X
i
(ai.x).bi Maintenant, on a
fex((a⊗b)(c⊗d)) =fex((ac⊗db)) =ac.x.db=fefe
x(c⊗d)(a⊗d) et l’on voit ainsi qu’en posant
X
i
ai⊗bi
.x=X
i
(ai.x).bi on définit une aion qui confère àV uneruure deA⊗kBop-module gauche surV.
Réciproquement, siV eunA⊗kBop-module gauche alors commeA, Bop⊂ A⊗kBopc’eaussi unA-mobule gauche et unBop-module gauche, donc unB- module droite. Du fait que les éléments deAcommutent avec ceux deBopdans A⊗kBop, on en déduit queV eaussi unA-B-bimodule.
Exemple.—SiAeunek-algèbre etn≥1 un entier, l’algèbreA⊗kMn(k) eisomorphe àMn(A).
En effet, considérons (ar)r unek-base deAet (γi,j)i,jla base canonique de Mn(k). En tant quek-espace veoriel,Mn(A) possède (arγi,j)r,i,j pour base et donc la correspondance
γi,j⊗ar−→arγi,j
définit un isomorphisme dek-espace veorielψ. Par ailleurs, on a ψ((γi,j⊗ar)(γp,q⊗as)) = ψ((γi,jγp,q)⊗(aras))
= arasγi,jγp,q
= arγi,jasγp,q
= ψ(γi,j⊗ar)ψ(γp,q⊗as) ce qui assure queψebien un isomorphisme d’algèbre (cf. ???).
