 Interprétation cohomologique

Corollaire.—Avec les notations précédentes, l’algèbreH(t) =H⊗_kk(t)(resp.

H((t)) =H⊗_kk((t))) eun corps de dimension[H :k] sur son centrek(t)(resp.

k((t))).

Preuve : Supposons donné (r₁(t),· · ·, r_n²(t)) un zéro non trivial de P_H dans k((t))ⁿ². On considérantνla valuation minimale des sériesri(t), on peut écrire pour touti= 1,· · ·, n²,r_i(t) =t^νr_i⁰(t)/r(t) avecr_i⁰(t)∈k[[t]]. L’une des séries en-tièrer_i⁰

0(t) étant alors de valuation nulle. PuisqueP_H ehomogène de degré n, on voit quePH(r1(t),· · ·, r_n²(t)) =t^nν(r₁⁰(t),· · ·, r_n⁰2(t)) et donc (r₁⁰(t),· · ·, r_n⁰2(t)) e un zéro non trivial de P_H dans k[[t]]ⁿ². Il s’ensuit que (r₁⁰(0),· · ·, r_n⁰₂(0)) e un zéro deP_H dans kⁿ². Ce zéro e nécessairement non trivial puisque r_i⁰

0(0),0. On vient donc de prouver queP_H ne possède aucun zéro non triv-ial dansk((t))ⁿ² et ainsi le corollaire  assure bien queH((t)) e un corps.

Puisquek(t) se plonge dansk((t)), le polynômeP_Hne possède aucun zéro non trivial dansk(t)ⁿ²et doncH(t) edonc lui aussi un corps.

——–

Le corps H(t) (resp. H((t))) s’appelle le corps des fraions rationnelles (resp. des séries formelles) à coefficients dansHet à indéterminée centrale.

. Interprétation cohomologique

.. Le produit croisé

D

^ans cette seion on se fixe une extension galoisienneL/k de degré n fini et on noteG = Gal(L/k) le groupe de Galois de cette extension.

On considère unL-espace veoriel à gaucheAde dimensionn= [L: k] =o(G) et on note{a_σ}_σ∈GuneL-base deA. Etant donnéf :G×G−→L^∗ un syème de faeurs, on considère surAla multiplication définie par la formule



Il eclair que cette multiplication ek-bilinéaire. Elle eaussi associa-tive. Pour montrer ceci, il suffit de le vérifier pour les éléments deAde la forme



x_σa_σ. Soient doncσ , τ, ρ∈Getx_σ, y_τ, z_ρ∈L, on a

(xσaσ.yτaτ).zρaρ = (f(σ , τ)xσy_τ^σaσ τ).zρaρ

= f(σ τ, ρ)f(σ , τ)xσy_τ^σz^{σ τ}_ρ aσ τρ

= f(σ , τρ)f(τ, ρ)^σx_σy_τ^σz^{σ τ}_ρ a_{σ τρ}

= f(σ , τρ)x_σ

f(τ, ρ)y_τz^τ_ρσ

a_{σ τρ}

= x_σa_σ.(f(τ, ρ)y_τz_ρ^τa_τρ)

= aσxσ.(aτyτ.aρzρ)

L’associativité découle donc du fait quef e un syème de faeurs. Ainsi, muni de ce produit,Aeunek-algèbre de dimensionn².

Définition.—Lak-algèbreAainsi conruite s’appelle le produit croisé deLpar Grelativement au syème de faeursf. On la noteA(L/k, f).

Théorème.—SoitL/k une extension galoisienne finie etf un syème de fac-teurs. Lak-algèbreA(L/k, f)eunitaire, simple et de centrek, de plus elle admet une sous-algèbre commutative maximale qui eun corps isomorphe àL.

Preuve : Notonsele neutre deG= Gal(L/k) et posonsω=f(e, e). Pour tout σ∈Gon a, d’après ???,f(e, σ) =ωetf(σ , e) =ω^σ. Ainsi, pour toutσ∈Get tout x_σ ∈Lon a

(x_σa_σ).(ω⁻¹a_e) = x_σf(σ , e)(ω⁻¹)^σa_σ=x_σa_σ (ω⁻¹a_e).(x_σa_σ) = f(e, σ)ω⁻¹x_σa_σ =x_σa_σ on en déduit queω⁻¹a_eeneutre bilatère deA(L/k, f).

On définit maintenant une applicationϕ:L−→A(L/k, f), pourz∈L, par ϕ(z) =ω⁻¹za_e

L’applicationϕevisiblementk-linéaire, mais comme pourx, y∈Lon a ϕ(x)ϕ(y) = (ω⁻¹xa_e).(ω⁻¹ya_e) =ωω⁻¹xω⁻¹ya_e=ω⁻¹xya_e=ϕ(xy) on en déduit quef eun isomorphisme deLsur une sous-algèbre deA(L/k, f).

Siσ∈G,x_σ ∈Letz∈Lon a

ϕ(z).(x_σa_σ) = (ω⁻¹za_e).(x_σa_σ) =f(e, σ)zx_σω⁻¹a_σ =zx_σa_σ

On pourra donc identifierLà son image parϕ dansA(L/k, f), les produits à gauche coincidant. Etant donnéσ∈G, puisque

f(σ⁻¹, σ)^σf(σ , e) =f(e, σ)f(σ , σ⁻¹) on a

aσ.(ωf(σ⁻¹, σ))⁻¹a_σ⁻¹ = f(σ , σ⁻¹)(ω⁻¹)^σ(f(σ⁻¹, σ)⁻¹)^σae

= f(σ , σ⁻¹)f(σ , e)⁻¹(f(σ⁻¹, σ)⁻¹)^σae

= f(e, σ)⁻¹a_e

= ω⁻¹a_e



Par ailleurs, comme

l’aion deσ∈Gsurz∈Lcorrespond à l’image deϕ(z) sous l’aion de l’automorphisme intérieur défini para_σ.

Considérons un élémentλ = X

σ∈G de coefficientsx_σ ,0. Ecrivons pour simplifierλ=

Xk

(on a identifiézàϕ(z)). Commez^σi−z^σ1 ,0 la somme enon nulle et elle compte au plusk−1 coefficients non nulle, ce qui econtraire au hypothèdes.

Ainsik = 1 et il exie un élément non nul dansJ de la forme x_σa_σ. On en déduit quea_σ ∈ J, mais comme a_σ e inversible, on trouve finalement que J=A(L/k, f). L’algèbreA(L/k, f) esimple.

Pour finir, puisque A(L/k, f) e unek-algèbre simple centrale, ϕ(L) e bien une sous-algèbre commutative maximale puisque [A:k] = [L:k]² (corol-laire).

——–

Exemples.—/ Pour une extension galoisienneL/kde degrénet de groupe de GaloisG, on considère le syème de faeurs trivialf (i.e. pour toutσ , τ ∈

qui visiblement un élément deLk(L). On peut donc définir une application Θ: A(L/k, f) −→ Lk(L)

λ 7−→ uλ

Il eclair queΘeune applicationk-linéaire et, si l’on prend deux éléments λ=X déduit qu’elles sont isomorphes en tant quek-algèbres.

Ainsi, dans le cas du syème de faeurs trivial, on aA(L/k, f)'M_n(k).

/ On considère l’extensionC/R, on notecla conjugaison complexe (de sorte que Gal(C/R) ={Id, c}). On considère le syème de faeursf suivant :

Id c

Id 1 1

c 1 −1



L’algèbreA=A(C/R, f) a donc comme multiplication explicite : (xaId+yac).(uaId+vac) = (xu−yv)aId+ (xv+yu)ac

ce qui prouve, d’après la définition que l’on en a donné dans l’exemple-, queAeisomorphe au corpsHdes quaternions d’Hamilton.

La notion de produit croisé décrit en fait complétement les algèbres satis-faisant aux hypothèses du théorème. On a en effet la réciproque suivante :

Proposition.— Soit A une k-algèbre simple centrale admettant un corps L comme sous-algèbre commutative maximale tel queL/k soit galoisienne. Il exie alors un syème de faeursf tel queA'A(L/k, f).

Preuve : Nous noterons Gle groupe de Galois deL/k et pourσ ∈Getx∈L, x^σ=σ(x) l’aion à gauche deσ surx.

CommeLeune sous-algèbre simple deA, siσ eun élément deG, alors d’après le théorème de Skolem-Nœther (théorème) il exie un élémenta_σ ∈ Ainversible tel que pour toutx∈L,x^σ=a_σxa⁻_σ¹. On suppose maintenant s’être donné pour toutσ ∈Gun élémenta_σ satisfaisant la condition précédente. Si σ , τsont des éléments deG, on a

aσ τxa⁻_{σ τ}¹=x^{σ τ}= (x^τ)^σ =aσaτxa⁻_σ¹a⁻_τ¹= (aσaτ)x(aσaτ)⁻¹

on en déduit que l’élément (a_σa_τ)a⁻_{σ τ}¹ commute avec tous les élémentsx∈L.

Maintenant, commeLeun corps qui eune sous-algèbre commutative max-imale deA, il eégal à son commutant. Ainsi, il exief(σ , τ)∈Ltel que

a_σa_τ=f(σ , τ)a_{σ τ}

Puisque la multiplication eassociative, pour toutσ , τ, ρ∈G, on a (a_σa_τ)a_ρ = f(σ , τ)a_{σ τ}a_ρ=f(σ , τ)f(σ τ, ρ)a_{σ τρ}=

aσ(aτaρ) = aσf(τ, ρ)aτρ=aσf(τ, ρ)a⁻_σ¹aσaτρ=f(τ, ρ)^σf(σ , τρ)aσ τρ

Ainsi on a

f(τ, ρ)^σf(σ , τρ) =f(σ , τ)f(σ τ, ρ) et doncf eun syème de faeurs.

Montrons maintenant que la famille{a_σ}_σ∈Geune famille libre deA con-sidéré commeL-espace veoriel à gauche (ruure induite par la multiplica-tion). A cet effet, considérons une équation de dépendance linéaire non triviale P

σx_σa_σ= 0 et supposons l’avoir choisie pour qu’elle possède le moins possible de coefficients non nuls. Il eclair qu’au moins deux coefficientsx_σ1, x_σ2sont non nuls. Considérons un élémentz∈Ltel quez^σ1,z^σ2et posonsω=f(e, e), on a alors

0 = (ωz)^σ1







 X

σ

x_σa_σ







=X

σ

(ωz^σ1)x_σa_σ



et

Cette équation de dépendance linéaire enon triviale (car le coefficient deaσ₂

enon nul) et elle possède au moins un coefficient nul de plus que celle dont on epartie (celui deaσ₁). Ceci étant absurde, on en déduit bien que la famille elibre.

Maintenant, commeLecommutative maximale on a, d’après le corollaire

, [A:L] = [L:k] =o(G). Ainsi, la famille{aσ}_σ∈GeuneL-base deA. Ainsi, le produit deAeentièrement défini par la formule



Pour finir, intéressons-nous aux classes d’isomorphismes de produits croisés.

Proposition.—SoitL/k une extension galoisienne finie etf₁, f₂deux syèmes de faeurs. Les propositions suivantes

i)⇒ii) : Nous reprenons les notations et propriétés établies dans le théorème

et sa preuve.

Commeϕ(L) etϕ₁(L) sont isomorphes (àL) dansA(L/k, f₂), d’après le théorème de Skolem-Noether, il exiea∈A(L/k, f₂) tel que pour toutx∈L,

ϕ(x) =a∗₂ϕ₂(x)∗₂a⁻¹

Par ailleurs, dans la preuve du théorèmenous avons établi que pour tout σ∈Get toutx∈L,

( ϕ₁(x^σ) = a_σ∗₁ϕ₁(x)∗₁a⁻_σ¹ ϕ2(x^σ) = aσ∗₂ϕ2(x)∗₂a⁻_σ¹ On a, par ailleurs,

a∗₂a_σ∗₂ϕ2(x)∗₂a⁻_σ¹∗₂a⁻¹ = a∗₂ϕ2(x^σ)∗₂a⁻¹

= ϕ(x^σ) =θ◦ϕ1(x^σ)

= θ(a_σ)∗₂θ◦ϕ₁(x)∗₂θ(a_σ)⁻¹

= θ(a_σ)∗₂ϕ(x)∗₂θ(a_σ)⁻¹

= θ(aσ)∗₂a∗₂ϕ2(x)∗₂a⁻¹∗₂θ(aσ)⁻¹ Ainsi, pour toutx∈L, on a

(a⁻_σ¹∗₂a⁻¹∗₂θ(a_σ)∗₂a)∗₂ϕ₂(x)∗₂(a⁻_σ¹∗₂a⁻¹∗₂θ(a_σ)∗₂a)⁻¹=ϕ₂(x) et donc (a⁻_σ¹∗₂a⁻¹∗₂θ(a_σ)∗₂a) eun élément du commutant deϕ₂(L), mais comme ce corps eune sous-algèbre maximale, il eégal à son propre com-mutant. Il exie doncg(σ)∈Ltel que

a⁻¹∗₂θ(a_σ)∗₂a=a_σ∗₂ϕ₂(g(σ)) Considéronsσ , τ∈G, on a

θ(a_σ∗₁a_τ) = θ(ϕ₁(f₁(σ , τ))∗₁a_{σ τ})

= ϕ(f1(σ , τ))∗₂a∗₂aσ τ∗₂ϕ2(g(σ τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ₂(f₁(σ , τ))∗₂a_{σ τ}∗₂ϕ₂(g(σ τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ₂(f₁(σ , τ)g(σ τ)^{σ τ})∗₂a_{σ τ}∗₂a⁻¹ θ(aσ)∗₂θ(aτ) = a∗₂aσ∗₂ϕ2(g(σ))∗₂aτ∗₂ϕ2(g(τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂a_σ∗₂ϕ₂(g(σ))∗₂a_τ∗₂ϕ₂(g(τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ₂(g(σ)^σ)∗₂a_σ∗₂a_τ∗₂ϕ₂(g(τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ2(g(σ)^σ)∗₂ϕ2(f2(σ , τ))∗₂aσ τ∗₂ϕ2(g(τ))∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ₂(g(σ)^σ)∗₂ϕ₂(f₂(σ , τ))∗₂ϕ₂(g(τ)^{σ τ})∗₂a_{σ τ}∗₂a⁻¹

= a∗₂ϕ₂(g(σ)^σf₂(σ , τ)g(τ)^{σ τ})∗₂a_{σ τ}∗₂a⁻¹ On en déduit que

f1(σ , τ)g(σ τ)^{σ τ}=g(σ)^σf2(σ , τ)g(τ)^{σ τ}

et ainsi les 2-cocyclesf₁ et f₂ diffèrent du 2-cobord défini par l’application h(σ) =g(σ)^σ.



ii)⇒i) : soith:G−→L^∗une application telle que pour toutσ , τ∈G, on ait On en déduit queθeun isomorphisme dek-algèbres.

——–

Plongement explicite d’un produit croisé. SoientL/k une extension galoisi-enne de groupeG={σ₁,· · ·, σ_n},f un syème de faeurs etA=A(L/k, f) le produit croisé deL par G relativement au syème de faeurs f rapporté à laL-base formelle {a_σ1,· · ·, a_σn}. PuisqueL eune sous-algèbre commutative maximale de A, c’e aussi un corps neutralisant. Ainsi, l’algèbre A⊗_kL e une algèbres de matrices à coefficients dansL. Pour des raisons évidentes de dimension, on a en faitA⊗_kL'Mn(L) et, par suite, puisqueAse plonge canon-iquement dansA⊗_kL, il exie un plongement deAdansMn(L) (en tant que k-algèbres). On peut décrire explicitement un tel plongement en considérant l’application

L’application Θ e visiblement k-linéaire et injeive. Il s’agit donc de montrer que six=

et d’autre part on a alors, en utilisant la relation de cocyclicité

Xn s’identifie à la sous-algèbre deM2(C) conituée des matrices de la forme

u v

−v u

!

oùuetv parcourentC.

Le plongementΘpermet alors de définir un isomorphisme explicite entre A(L/k, f)⊗_kLetMn(L). En effet, on considère le plongementΠ:L−→Mn(L) défini parΠ(λ) =λI_n et l’on voit que les éléments de Π(L) commutent avec ceux deΘ(A(L/k, f)), si bien que, d’après la proposition, les morphismes ΘetΠdéfinissent un morphisme dek-algèbres entreA(L/k, f)⊗_kLetMn(L).

Ce morphisme e visiblement non nul, et commeA(L/k, f)⊗_kL e une k-algèbre simple (théorème), il e injeif. Pour des raisons de dimensions, c’efinalement unk-isomorphisme d’algèbres.

En conclusion, on voit que la norme réduite se calcule explicitement par la formule

Conruion explicite de corps gauches. L’idée générale, pour cette appli-cation, e la suivante : on se donne une extension galoisienneL/k de degré



un nombre premierpdont on connait explicitement l’arithmétique et on con-sidère un syème de faeurs deG= Gal(L/k) à valeurs dansL^∗. Le produit croiséA=A(L/k, f) ealors explicite. On sait qu’il exie un corpsK de cen-trek et un entierntels que A'Mn(K). Si l’on note [K :k] =r², on a alors [A:k] = [L:k]²=p²=n²r²et commepepremier on en déduit quen= 1 ou p. Sin= 1, l’algèbreAedonc un corps, sinonn=petr= 1 c’e-à-dire que A'Mn(k) eun représentant de la classe neutre de Br(k).

En résumé, si l’on dispose d’une extension galoisienneL/k de degré pre-mier et d’un syème de faeursf qui n’e pas un cobord, alors le produit croiséA=A(L/k, f) eun corps gauche de dimensionp²sur son centrek.

On se place ici dans le cas oùp= 3 et doncL/keune extension cyclique de groupeG= Gal(L/k) ={Id, c, c²}. Un 2-cobord deGà valeurs dans L^∗ e une applicationf : G×G −→L^∗ telle qu’il exie une applicationg : G−→

L^∗ vérifiant pour tout σ , τ ∈G,f(σ , τ) =g(σ)^τg(τ)g⁻¹(σ τ). Ainsi,f e un 2-cobord si et seulement si il exieu, v, w∈L^∗tel quef soit de la forme

Id c c²

Id u u^c u^c2 c u vv^cw⁻¹ u⁻¹v^c2w c² u u⁻¹vw^c v⁻¹ww^c2 On en déduit que sif eun 2-cobord alors

f(c, Id)f(c, c)f(c, c²) =vv^cv^c2=NL/k(v)∈NL/k(L^∗) Maintenant, six∈k^∗alors l’applicationf_xdéfinie par

Id c c² Id 1 1 1

c 1 x 1

c² 1 1 x⁻¹

evisiblement un 2-cocycle. Ainsi, six<N_L/k(L^∗) alorsf_xn’epas un 2-cobord et doncA(L/k, f_x) eun corps.

Intéressons-nous au cas oùk=QetL=Q

cos_2π

9

. L’extensionL/Qe galoisienne de degré 3 et queα= 2 cos_2π

9

e un élément primitif de cette extension ayantP(X) =X³−3X+ 1 comme polynôme minimal. Si l’on noteN la norme relative à cette extension, un petit calcul très simple montre que pour toutt=Aα²+Bα+C,A, B, C∈Q, on a

N(Aα²+Bα+C) =A³−B³+C³+ 9A²C+ 3A²B−3B²C−6C²A+ 3ABC Siqdésigne un dénominateur commun aux rationnels alors il exiea, b, c∈Z tels que

N(t) =a³−b³+c³+ 9a²c+ 3a²b−3b²c−6c²a+ 3abc q³



La réduion modulo 2 du numérateur de cette dernière fraion vauta−b+ c+ac+ab−bc+abcmod (2). Si l’on suppose qu’un des trois entiersa,bouc soit congru à 1 modulo 2 alors ce numérateur elui-même congru à 1 modulo 2. Ainsi, sia, betc ne sont pas simultanément pair, alorsa³−b³+c³+ 9a²c+ 3a²b−3b²c−6c²a+3abceimpair. Considérons alorsh= min(v₂(a), v₂(b), v₂(c)), r=v₂(q) et posonsa⁰=a/2^h,b⁰=b/2^h,c⁰=c/2^h, etq⁰=q/2^r. On a

N(t) = 2^3(h−r)a⁰³−b⁰³+c⁰³+ 9a⁰²c⁰+ 3a⁰²b⁰−3b⁰²c⁰−6c⁰²a⁰+ 3a⁰b⁰c⁰ q⁰³

Le numérateur de la fraion e impair d’après ce que l’on vient de dire, le dénominateur l’e aussi et doncv₂(N(t)) = 3(h−r) eun multiple de 3. En conséquence de quoi, six∈Q^∗etel quev₂(x)<3Z(par exemplex= 2), alors xn’ecertainement pas la norme d’un élément deL.

On déduit finalement de tout cela que, pour x ∈ Q^∗ tel que v₂(x)< 3Z,

eun corps de dimension 9 sur son centreQ. On peut décrire explicitement son arithmétique : on a Gal(L/k) ={Id, c, c²} oùcel’automorphisme qui envoie cos_2π

9 alors, la multiplication dansA

Q

En vertu du paragraphe précédent, ce corps s’identifie à la sous-algèbre de M3

Q

cos_2π

9

consituée des matrices de la forme



. En examinant la première ligne du pro-duit de deux telles matrices, on retrouve bien la multiplication deA(Q(cos_2π

9

)/Q, f_x) décrite ci-dessus.

.. Le point de vue cohomologique

D

^ansla théorie du produit croisé apparait une donnée cohomologique.

Cette dernière peut paraitre anecdotique puisque finalement jue liée à l’associativité du produit dans les algèbres. En fait, le lien entre cohomologie et groupe de Brauer etrés profond, comme nous allons le voir maintenant.



Théorème.— SoitL/k une extension galoisienne finie et Br(k) ^βL/k //Br(L) l’homomorphisme naturel. Il exie un isomorphisme de groupe

θL/k:H²(L/k)−→ker(βL/k)

induit par la théorie du produit croisé. Ainsi, on a la suite exae

1 //H²(L/k) ^θL/k //Br(k) ^βL/k //Br(L)

Preuve :Soitα∈H²(L/k) etf un 2-cocycle représentantα. La proposition, montre que le produit croiséA(L/k, f) ne dépend pas (à isomorphisme près) du choix def dansα. Maintenant, le théorèmeassure queLeune sous-algèbre maximale deA(L/k, f), on en déduit (théorème) queLeun corps neutralisant deA(L/k, f). Ainsi, le produit croisé définit bien une application

θ_L/k:H²(L/k)−→ker(β_L/k)

Surjeivité deθL/k. Un élément deα∈ker(β_L/k) eune classe d’algèbres neu-tralisée parL. Etant donnée une telle classe, on sait d’après le théorèmequ’il exie une algèbreAdans cette classe telle queLsoit une sous-algèbre commu-tative maximale. La proposition assure alors que A'A(L/k, f) pour un certain 2-cocyclef et donc l’image parθ_L/kde la classe def eα.

Injeivité deθL/k. Soitα1, α2∈H²(L/k) tels queθL/k(α1) =θL/k(α2). Notonsf1

etf2des 2-cocycles représentants respeifs deα1etα2. Les algèbresA(L/k, f1) etA(L/k, f2) sont donc semblables, mais comme elles ont la même dimension surkon en déduit qu’elles sont isomorphes. La propositionassure alors que f1etf2diffèrent d’un 2-cobord, c’e-à-dire queα1=α2.

Venons en maintenant au fait que θ_L/k e un morphisme : il s’agit de montrer que sif etg sont deux syèmes de faeurs et que siA=A(L/k, f), B=A(L/k, f) etC=A(L/k, f g), alors les algèbresA⊗_kBetCsont semblables.

Notons (a_σ)_σ (resp. (b_σ)_σ, resp. (c_σ)_σ)) une L-base formelle deA(resp.

B, resp. C) sur laquelle le produit croisé e défini comme précédemment.

L’algèbreA⊗_kBede dimensionn⁴surket eformée des sommes d’éléments de la formex_σa_σ⊗y_λb_λ. Le produit surA⊗_kBealors donné par

(x_σa_σ⊗y_λb_λ)(x_τa_τ⊗y_µb_µ) =f(σ , τ)x_σx^σ_τa_{σ τ}⊗g(λ, µ)y_λy_µ^λb_λµ

On considère maintenantV le sous-k-espace veoriel deA⊗_kBengendré par les éléments

s^σx_σa_σ⊗y_λb_λ−x_σa_σ⊗s^λy_λb_λ

(sétant pris dansL). On définit une loi de composition externe à droite deC surA⊗_kBen posant :

(x_σa_σ⊗y_λb_λ).(z_ρc_ρ) =f(σ , ρ)x_σz_ρ^σa_{σ ρ}⊗g(λ, ρ)y_λb_λρ



On a alors

(x_σa_σ⊗y_λb_λ).[(z_ρc_ρ)(z_ρ⁰c_ρ⁰)] = (x_σa_σ⊗y_λb_λ).(z_ρz^ρ_ρ⁰f(ρ, ρ⁰)g(ρ, ρ⁰)c_ρρ⁰)

= f(ρ, ρ⁰)^σf(σ , ρρ⁰)x_σz^σ_ρz^{σ ρ}_ρ⁰ g(ρ, ρ⁰)^σa_{σ ρρ}⁰⊗y_λg(λ, ρρ⁰)b_λρρ⁰ et

[(xσaσ⊗yλbλ).(zρcρ)].(z_ρ⁰c_ρ⁰) = (f(σ , ρ)xσz_ρ^σaσ ρ⊗g(λ, ρ)yλbλρ).(z_ρ⁰c_ρ⁰)

= f(σ , ρ)f(σ ρ, ρ⁰)xσz^σ_ρz^{σ ρ}_ρ⁰a_{σ ρρ}⁰⊗g(λ, ρ)g(λρ, ρ⁰)yλb_λρρ⁰

= f(ρ, ρ⁰)^σf(σ , ρρ⁰)xσz_ρ^σz_ρ^{σ ρ0}a_{σ ρρ}⁰⊗g(ρ, ρ⁰)^λg(λ, ρρ⁰)yλb_λρρ⁰ En posants=g(ρ, ρ⁰)^(ρρ

0)⁻¹et en utilisant la définition deV, on voit alors que (x_σa_σ⊗y_λb_λ).[(z_ρc_ρ)(z_ρ⁰c_ρ⁰)]−[(x_σa_σ⊗y_λb_λ).(z_ρc_ρ)].(z_ρ⁰c_ρ⁰)∈V

et ainsi, on peut considérerM =A⊗_kB/V comme unC-module à droite (les détails de cette dernière assertion ne posant pas de problème particulier, ils sont laissés à la discrétion du leeur).

D’un autre coté, on a

(x_τa_τ⊗y_µb_µ)(s^σx_σa_σ⊗y_λb_λ−x_σa_σ⊗s^λy_λb_λ)

= s^τσx_τf(τ, σ)x^τ_σa_τσ⊗y_µg(µ, λ)y_λ^µb_µλ−x_τf(τ, σ)x^τ_σa_τσ⊗s^µλy_µg(µ, λ)y_λ^µb_µλ∈V et doncV eun idéal à gauche deA⊗_kBsi bien que,M a uneruure na-turelle deA⊗_kB-module à gauche.

Enfin, on a

h(x_σa_σ⊗y_λb_λ).(x_τa_τ⊗y_µb_µ)i .(z_ρc_ρ)

= (f(σ , τ)x_σx^σ_τa_{σ τ}⊗g(λ, µ)y_λy^λ_µb_λµ).(z_ρc_ρ)

= f(σ τ, ρ)f(σ , ρ)xσx^σ_τz^{σ τ}_ρ aσ τρ⊗g(λµ, ρ)g(λ, mu)yλy_µ^λbλµρ

= f(τ, ρ)^σf(σ , τρ)xσx_τ^σz^{σ τ}_ρ aσ τρ⊗g(µ, ρ)^λg(λ, µρ)yλy_µ^λbλµρ

= (x_σa_σ⊗y_λb_λ)).(f(τ, ρ)x_τz^τ_ρa_τρ⊗g(µ, ρ)y_µb_µρ)

= (x_σa_σ⊗y_λb_λ).h

(x_τa_τ⊗y_µb_µ).(z_ρc_ρ)i

et donc les aions considérées commutent entre elles, de sorte queM a une ruure deA⊗_kB-C-bimodule. On peut donc regarderM comme un (A⊗_k B)⊗_kC^op-module à gauche et, l’algèbre (A⊗_kB)⊗_kC^opétant simple, le morphisme (A⊗_kB)⊗_kC^op−→L_k(M) einjeif.

On a, d’une part [(A⊗_kB)⊗_kC^op:k] = [A:k][B:k][C:k] =n⁶, et d’autre part [Lk(M) :k] = [M:k]². Ainsi, si l’on prouve que [M:k] =n³, alors (A⊗_kB)⊗_kC^op sera isomorphe àLk(M)'Mn³(k) et donc, dans le groupe de Brauer dek, on aura [(A⊗_kB)⊗_kC^op] = [A⊗_kB]−[C] = [Mn³(k)] = 0. Ainsi, on aura [A⊗_kB] = [C]

dans Br(k) et donc les algèbresA⊗_kBetCseront semblables.



Examinons donc la dimension de M sur k. Soit {ε₁,· · ·, ε_n} une k-base normale deL. La famille{ε_ia_σ⊗ε_jb_λ}_{i,j,σ ,λ}ealors unek-base deA⊗_kB, mais comme les élémentsεiaσ⊗bλetaσ⊗εjbλoùεj=ε^λσ_i ⁻¹sont congrus moduloV, on en déduit que l’image dansM de la famille{aσ⊗εjbλ}_{j,σ ,λ}eune famille génératrice deM.

Pour un couple (σ , λ)∈G²on considère lak-application linéaireg_{σ ,λ}:A⊗_k B−→Ldéfinie sur la base{ε_ia_τ⊗ε_jb_µ}_i,j,τ,µpar

g_{σ ,λ}(ε_ia_τ⊗ε_jb_µ) =δ(σ ,λ),(τ,µ)ε_i^λσ−1ε_j

oùδ(σ ,λ),(τ,µ)désigne le symbôle de Kronecker. Six, y∈L, on a alorsg_{σ ,λ}(xa_τ⊗ yb_µ) =δ(σ ,λ),(τ,µ)x^λσ−1y.

On considère une sommeS=P

σ ,λaσ⊗ασ ,λbλ. Si pour un couple donné (σ , λ)∈G²on aα_{σ ,λ},0, alorsg_{σ ,λ}(S) =α_{σ ,λ},0.

Maintenant, de part le définition de V, on voit que les applications g_{σ ,λ} sont toutes nulles surV. En conclusion, siP

σ ,λaσ⊗ασ ,λbλeune somme non triviale, elle ne peut appartenir àV. Ceci prouve en particulier que l’image de la famille{aσ⊗εjbλ}_{j,σ ,λ}eune famille libre deM, et donc unek-base de M. Puisque cette famille contientn³éléments, on obtient bien finalement que [M:k] =n³.

——–

Considérons une extension galoisienne finieL/k de groupeGet un corps intermédiaireL0. NotonsHle groupe de Galois deL/L0. Considérons un sys-tème de faeursf :G×G−→L^∗ et le produit croiséA=A(L/k, f) rapporté à une base{a_σ}_σ∈G. DansAconsidérons l’ensemble

B=









 X

σ∈H

x_σa_σ/ x_σ ∈Lpour toutσ∈H











C’evisiblement une sous-algèbre deA, c’e-même l’algèbreA(L/L₀,res(f)) (rapportée à la base{a_σ}_σ∈H) où res(f) désigne la reriion def àH. Ainsi,B euneL₀-algèbre simple centrale.

Théorème.—Sous les hypothèses précédentes, la L₀-algèbre simple centraleB esemblable àA⊗_kL₀.

Preuve : L’algèbreBétant une sous-algèbre deA, on peut donc conférer àA uneruure deB^op-module à droite en considérant la multiplication à gauche : pourx∈Aety ∈B,x∗₁y =yx. On ainsi un monomorphisme deB^op dans LL₀(A). De même, on définit surAuneruure deA⊗_kL₀-module à droite en posant, pourx_σa_σ∈A,λ∈L₀ety_τa_τ∈A,

y_τa_τ∗₂(x_σa_σ⊗λ)∗₂=y_τx^τ_σf(τ, σ)λa_τσ



La loi externe∗₂confère bien uneruure de module à droite puisque (zρaρ)∗₂((y_τaτ⊗µ)(xσaσ⊗λ)) = (zρaρ)∗₂(yτx^τ_σf(τ, σ)aτσ⊗µλ)

= z_ρy^ρ_τxσ^ρτf(τ, σ)^ρf(ρ, τσ)µλa_ρτσ

= z_ρy^ρτxσ^ρτf(ρ, τ)f(ρτ, σ)µλa_ρτσ

= (z_ρy_τ^ρf(ρ, τ)µa_ρτ)∗₂(x_σa_σ⊗λ)

=

(z_ρa_ρ)∗₂(y_τa_τ⊗µ)

∗₂(x_σa_σ⊗λ) Ainsi, on dispose d’un monomorphisme de A⊗_kL₀ dansL_L0(A). Main-tenant, pourx_σa_σ ∈A,λ∈L0,y_τa_τ∈B(τ ∈H et doncλ^τ=λ) etz_ρa_ρ∈A, on

a

(zρaρ)∗₁(yτaτ)

∗₂(xσaσ⊗λ) =

yτaτ.zρaρ

∗₂(xσaσ⊗λ)

=

yτz^τ_ρf(τ, ρ)aτρ

∗₂(xσaσ⊗λ)

= yτz_ρ^τxσ^τρf(τ, ρ)f(τρ, σ)λaτρσ

= y_τz_ρ^τxσ^τρf(ρ, σ)^τf(τ, ρσ)λa_τρσ

= (y_τa_τ).(z_ρxσ^ρf(ρ, σ)λa_ρσ)

= (z_ρx^ρσf(ρ, σ)λa_ρσ)∗₁(y_τa_τ)

=

(z_ρa_ρ)∗₂(x_σa_σ⊗λ)

∗₁(y_τa_τ) les opérations externes∗₁et∗₂commutent donc et par suite, dansLL₀(A) il y a deux algèbres isomorphes respeivement àB^opetA⊗_kL0qui commutent l’une avec l’autre. Nous allons montrer, par des considérations de dimensions, que chacune d’elle een fait le commutant de l’autre dansLL₀(A).

On a

[A⊗_kL0:L0] = [A:k] = [L:k]²et [B:L0] = [L:L0]²

par ailleurs, puisque [L:L0][L0:k][L:k] = [L:k]²= [A:k] = [A:L0][L0:k] on en déduit que

[A:L0] = [L:k][L:L0] et, par suite, que

[A⊗_kL₀:L₀][B:L₀] = [A:L₀]²= dim_L0L_L0(A)

Ainsi,B^opetA⊗_kL₀sont desL₀-algèbres simple centrales incluses l’une l’autre dans le commutant de l’autre. La dernière égalité de dimension assure alors, d’après le théorème, qu’elles sont le commutant l’une de l’autre dansLL₀(A).

La remarque montre alors que les algèbresB^op et A⊗_kL₀ appartiennent à des classes opposées dans Br(L₀), ce qui veut dire queBetA⊗_kL₀sont dans la même classe de Br(L₀) et ainsi que ces algèbres sont semblables.

——–

Corollaire.— Sous les hypothèses précédentes, le noyauC de l’homorphisme Br(k) ^βL0/k//Br(L₀) el’image isomorphe parθ_L/kdu noyauKde l’homomorphisme de reriion H²(L/k) res //H²(L/L0).



Preuve : On garde les notations précédentes et l’on considère unek-algèbre simple centraleA.

Si [A]∈θ_L/k(K), alors il exie un 2-cocylef tel que res(fb) = 0 et tel queA soit semblable à l’algèbreA(L/k, f). D’après ce qui précède, les algèbresA⊗_kL₀, A(L/k, f)⊗_kL0 etA(L/L0,res(f)) sont semblables, mais comme res(f) = 0, on en déduit que [A⊗_kL0] = 0, c’e-à-dire [A]∈C. Ainsi,θL/k(K)⊂C.

Maintenant, si [A]∈C alorsLneutraliseAet donc, il exie un 2-cocycle f tel que [A] = [A(L/k, f)]. D’après ce qui précède, les L₀ algèbres A⊗_kL₀, A(L/k, f)⊗_kL₀ etA(L/L₀,res(f)) sont semblables. Puisque [A⊗_kL₀] = 0, on a donc [A(L/L₀,res(f))] et ainsi,θ_L/L0(res(fb)) = 0. Commeθ_L/L0 e un iso-morphisme, on en déduit finalement que res(fb) = 0. Ainsi,C⊂θ_L/k(K), mais commeθ_L/k eun isomorphisme, on en déduit finalement queC e l’image isomorphe parθ_L/kdeK.

——–

En résumé, on a le diagramme commutatif suivant : 1

1

1 //K  //

θ_L/k '

H²(L/k) res //

θ_L/k

H²(L/L₀)

θ_L/L0

1 //C  //Br(k)

β_L/k ##

β_L0/k

//Br(L0)

β_L/L0

{{

Br(L)

Théorème.—SoitM/L/kune une tour d’extensions galoisiennes finies. Le dia-gramme suivant

H²(L/k)

θ_L/k

Inf //H²(M/k)

θ_M/k



Br(k) ecommutatif.

Preuve : Considérons les groupesG= Gal(M/k) etH = Gal(M/L), le groupe Gal(L/k) s’identifie alors àG/H. Pourσ∈G, on noteσla classe deσmoduloH, qui edonc d’un point de vue arithmétique la reriion de l’automorphisme σàL.

Considérons un 2-cocyclef deG/Hà valeur dansL^∗, l’image defbparθ_L/k e la classe de l’algèbreA=A(L/k, f). Par ailleurs, un 2-cocycle fede G à valeurs dansM^∗représentant l’inflation de la classefbedonné pourσ , τ∈G



eth, h⁰∈H, par Bde la manière suivante :



On considère lek-espace veorielV des sommes formelles X

σ∈G/H

µσaσ où lesµ_σ sont des éléments deM.

On fait agir à droite l’algèbreA sur V : par linéarité il suffit de définir l’aion deλaτ∈Asur le monômeµσaσ. On pose

(µ_σaσ).(λa_τ) =µσλ^σf(σ , τ)a_{σ τ} Il s’agit bien d’une aion puisque :

(µσaσ).

On peut aussi faire agir, à gauche cette fois, l’algèbreBsurV en posant (λa_τ).(µ_σa_σ) =λµ^τ_σf(τ, σ)a_τσ

Il s’agit bien d’une aion puisque :

(νaρ).((λaτ).(µσaσ)) = (νaρ).(λµ^τ_σf(τ, σ)aτσ)

Maintenant, pourνa_ρ∈B,λa_τ∈Aetµ_σa_σ ∈V, on a (νaρ).((µ_σaσ).(λaτ)) = (νaρ).(µσλ^σf(σ , τ)aσ τ)

= νµ^ρ_σλ^ρσf(σ , τ)^ρf(ρ, σ τ)a_{ρσ τ}

= νµ^ρ_σλ^ρσf(σ , τ)^ρf(ρ, σ τ)a_{ρσ τ}

= νµ^ρ_σλ^ρσf(ρσ , τ)f(ρ, σ)a_{ρσ τ}

=

νµ^ρ_σf(ρ, σ)a_ρσ .(λa_τ)

=

(νa_ρ).(µ_σa_σ) .(λa_τ)

et donc, par linéarité, pour touta∈A, pour toutb∈Bet toutx∈V on a (b.x).a=b.(x.a)

Ainsi,V eunB-A-bimodule et l’on peut donc regarderV comme unB⊗ A^op-module gauche (remarque ). Il exie alors un morphisme naturel de B⊗A^opversLk(V), ce morphisme étant certainement injeif puisqueB⊗A^ope une algèbre simple. Par ailleurs, on a d’une part [V:k] = [L:k].[M:k] et donc [Lk(V) :k] = ([L:k].[M:k])², et d’autre part [A:k] = [L:k]²et [B:k] = [M:k]². Ainsi, les algèbresB⊗A^opetLk(V) ayant même dimension, sont isomorphes et doncB⊗A^opeune algèbre de matrices à coefficients dansk. Ceci prouve que [A^op] =−[B] dans Br(k) et donc que [A] = [B].

——–

Corollaire.—Le groupe de Brauer d’un corpskeisomorphe à la limite induc-tivelim

−→H²(L/k)prise sur l’ensemble des extensions galoisiennes finiesL/k relative-ment aux morphismes d’inflations.

Preuve :La donnée des groupesH²(L/k) pourL/kgaloisienne finie et des mor-phismes d’inflation définit un syème induif filtrant à droite. Le théorème

assure que la donnée des morphismesθ_L/k ecompatible avec ce syème induif. Il exie donc un morphismeΦ : lim

−→H²(L/k)−→Br(k) tel que pour toute extension galoisienne finieL/k, le diagramme suivant

H²(L/k)

ϕ_L/k

θ_L/k



Br(k) lim

−→H²(L/k)

Φ

oo

(ϕ_L/kdésignant le morphisme canonique deH²(L/k) sur lim

−→H²(L/k)) soit com-mutatif. Les morphismesθ_L/k sont injeifs, doncΦ l’eaussi. Par ailleurs, tout élément de Br(k) étant neutralisé par une extension galoisienne dek (corol-laire), on en déduit que Br(k) =S

L/kθ_L/k(H²(L/k)) et doncΦeaussi sur-jeive.

——–



Nous allons voir dans la seion suivante que cette limite induive peut se considérer comme un groupe de cohomologie, mais pour une autre cohomolo-gie : celle des groupes profinis.

Pour ce qui ede laruure du groupe de Brauer à proprement parler, une conséquence importante du théorèmeela suivante :

Théorème.—SoientAunek-algèbre simple centrale etL/k une extension sé-parable neutralisante deA. L’exposant deA,exp(A), divise[L:k], en particulier il efini.

Preuve : NotonseLla clôture galoisienne de l’extensionL/k. Le corollaire

montre que [A] el’image, parθ_eL/k, d’un élément du noyau de la reriion H²(eL/k) res //H²(eL/L) . On sait (???) que tous les éléments de ce noyau sont d’exposant o(Gal(eL/k))

o(Gal(eL/L)) = [eL:k]

[eL:L] = [L:k]. Ainsi, [L:k].[A] = 0 et donc exp(A) divise [L:k].

——–

Corollaire.—Le groupe de Brauer d’un corps eun groupe abélien de torsion.

Preuve : C’e une conséquence immédiate du théorème précédent et de la proposition.

——–

Etant donnés un corpsket un nombre premierp, on notera Br(k)[p] ={α∈ Br(k)/ pα= 0} (resp. Br(k){p}={α ∈Br(k)/ ∃i≥0, pⁱα = 0}) le sous-groupe dep-torsion (resp. la composantep-primaire) de Br(k). Une conséquence du corollaireealors que

Br(k) =M

p

Br(k){p}

 .  Q uelques propriétés de l’indice.

O

ⁿétablit dans ce paragraphe des résultats plus sophiiqués sur l’indice d’une algèbre.

Théorème.—SoitAunek-algèbre simple centrale. On a rad(Ind(A))

exp(A) Ind(A)

oùrad(d)désigne le radical de l’entierd(i.e. le produit des nombres premiers qui le divisent).

En particulier,rad(exp(A)) = rad(Ind(A)).

Preuve : Posons n = exp(A) et d’indice d = Ind(A) et montrons pour com-mencer quen|d. SoitK le corps représentant [A] etL/k une extension com-mutative et séparable maximale dekdansK (qui exie d’après la proposition



). On a [L:k] =d(corollaire). On sait, d’après le théorème, queLe un corps neutralisant deα. NotonseLla clôture galoisienne deLsurk, il s’agit

). On a [L:k] =d(corollaire). On sait, d’après le théorème, queLe un corps neutralisant deα. NotonseLla clôture galoisienne deLsurk, il s’agit

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