L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
M : Zribi
4 èmeEco Révision
1/3
2009/2010
Exercice 1 :
1) soit la matrice
4 4 2
3 0 1
2 1 0
M
.
a) calculer le déterminant de M; en déduire que M est inversible.
b) Vérifier que 1
1 1 2
2
1 2 5
3 2 6
2 M
.
2) on donne le système (S):
4 4 2 1
3 2
2 0
x y z
x z x y
a) donner l'écriture matricielle de (S).
b) résoudre alors (S).
Exercice 2
Une association sportive propose à ses adhérents de pratiquer au choix soit le karaté, soit le judo ; chaque adhérent pratique un et un seul de ces deux sports.
Chaque année les adhérents renouvellent tous leur adhésion. L’association n’accueille pas de nouveaux adhérents. Elle compte 800 adhérents.
Pour le renouvellement des adhésions, les données des années précédentes permettent d’envisager le modèle suivant :
− 70% des adhérents qui étaient inscrits au karaté se réinscrivent au karaté,
− 20% des adhérents qui étaient inscrits au judo s’inscrivent au karaté.
En 2003, 200 adhérents étaient inscrits dans la section karaté et 600 adhérents étaient inscrits dans la section judo.
On appelle Pn an bn la matrice traduisant la répartition des adhérents selon le sport pratiqué l’année 2003 + n :
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2009/2010
• an représente la proportion des adhérents inscrits au karaté l’année 2003 + n
• bn représente la proportion des adhérents inscrits au judo l’année 2003 + n
• an + bn = 1.
1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
2. Déterminer l’état initial P0 a0 b0.
3. a. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe. (Rappel M est la matrice telle que : Pn1 PnM.)
b. En admettant que, en 2005, 36,25% des adhérents sont inscrits au karaté et 63,75% des adhérents sont inscrits au judo, déterminer la répartition que le modèle envisagé permet de prévoir pour 2006. (Exprimer les résultats sous forme de pourcentages, puis donner les nombres d’adhérents correspondants.)
4. Soit Px y la matrice correspondant à l’état stable, c’est à dire telle que P ×M = P. (Rappel : x et y sont des nombres réels tels que x + y = 1.) a. Déterminer les nombres x et y.
b. En déduire la limite de an quand n tend vers l’infini.
Interpréter ce résultat.
Exercice 3
Une entreprise fabrique un composant pour ordinateur en grande quantité.
Une étude statistique a permis de constater que 5 composants sur mille sortant de son usine sont défectueux.
L’entreprise décide de mettre en place un test de fiabilité de ces articles avant leur mise en vente.
Parmi les composants en parfait état, 94% réussissent le test et parmi ceux défectueux, seulement 2% réussissent le test.
On choisit un composant au hasard et on considère les événements suivants : D « le composant est défectueux » ;
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T « le composant passe le test avec succès ».
Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−4 près.
1. Quelle est la probabilité qu’un composant soit défectueux et qu’il ne réussisse pas le test ?
2. Montrer que la probabilité qu’un composant ne réussisse pas le test est égale à 0,0646.
3. Quelle est la probabilité qu’un composant n’ayant pas passé le test avec succès soit défectueux ?
4. On prélève au hasard trois composants qui n’ont pas passé le test avec succès, on suppose que le nombre de composants est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants. Quelle est la probabilité qu’un composant au moins ne soit pas défectueux ?
Exercice 4:
f définie sur 0; par f x( )xlnx1. 1) a) Déterminer la limite de f en + ∞.
b) Déterminer la limite de f en 0.
c) déterminer lim ( )
x
f x
x ; interpréter le résultat trouver
2) a) Montrer que, pour tout x de 0;, on a :f x'( )lnx. b)en déduire le tableau de variations de f sur 0, . 3) tracer la courbe Cf .
4) soit H la fonction définie sur 0; par ( ) 1 2ln 1 2
2 4
H x x x x . a) vérifier que, pour tout x de 0;, H’(x)=x lnx .
b) en déduire une primitive F de f sur 0; .
5) calculer l’aire du domaine limitée par Cf ; l’axe des abscisses et les droites x=4 et x=5.
