Probabilités conditionnelles
LUITAUD HALLOSSERIE DELOBEL
Blaise Pascal
septembre 2016
Sommaire
1. Rappels
2. Variables aléatoires
3. Probabilités conditionnelles 3.1 Exemple
3.2 Définition
3.3 Formule des probabilités totales 3.4 Évènements indépendants
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité:résultat possible de cette expérience.
univers:ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ. évènement:sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers:ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ. évènement:sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers:ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement:sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement:sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement:sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire:évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont :1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les ensemblesA={1 ; 3 ; 5}etB ={2 ; 3 ; 4 ; 5} sont desévènements. Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Les évènements élémentaires sont{1},{2},{3},{4},{5} et{6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Définition 1
On considère une expérience aléatoire.
éventualité: résultat possible de cette expérience.
univers: ensemble de toutes les éventualités. Souvent notéΩ.
évènement: sous-ensemble de l’univers.
évènement élémentaire: évènement ne contenant qu’une éventualité.
Exemple
On lance un dé ordinaire non truqué.
les éventualités sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
l’univers est l’ensembleΩ ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»:ensemble des éléments communs àAet à B. Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A Ω
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»:ensemble des éléments communs àAet à B. Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A Ω
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»:ensemble des éléments communs àAet à B. Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A Ω
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»:ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A B
Ω
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»: ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A B
Ω
A∩B
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»: ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB. Notation :A∪B.
A B
Ω
A∩B
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»: ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»:ensemble des éléments situés dansA ou dansB.
Notation :A∪B.
A B
Ω
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»: ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»: ensemble des éléments situés dansA ou dansB.
Notation :A∪B.
A B
Ω
A∪B
Définition 2
On considère une expérience aléatoire et on considère deux évènementsAetB.
évènement contraire deA:
ensemble des éléments deΩn’appartenant pas àA.
Notation :A.
évènement «A etB»: ensemble des éléments communs àAet à B.
Notation :A∩B.
évènement «A ouB»: ensemble des éléments situés dansA ou dansB.
Notation :A∪B.
A B
Ω
A∪B
Exercice 1
On reprend les données de l’exemple du lancer d’un dé avec les évènements A={1 ; 3 ; 5} etB={2 ; 3 ; 4 ; 5}. On a alors :
A={2 ; 4 ; 6} B={1 ; 6} A∩B={3 ; 5} A∪B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Exercice 1
On reprend les données de l’exemple du lancer d’un dé avec les évènements A={1 ; 3 ; 5} etB={2 ; 3 ; 4 ; 5}. On a alors :
A= {2 ; 4 ; 6} B={1 ; 6} A∩B={3 ; 5} A∪B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Exercice 1
On reprend les données de l’exemple du lancer d’un dé avec les évènements A={1 ; 3 ; 5} etB={2 ; 3 ; 4 ; 5}. On a alors :
A= {2 ; 4 ; 6} B= {1 ; 6} A∩B={3 ; 5} A∪B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Exercice 1
On reprend les données de l’exemple du lancer d’un dé avec les évènements A={1 ; 3 ; 5} etB={2 ; 3 ; 4 ; 5}. On a alors :
A= {2 ; 4 ; 6} B= {1 ; 6} A∩B= {3 ; 5} A∪B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Exercice 1
On reprend les données de l’exemple du lancer d’un dé avec les évènements A={1 ; 3 ; 5} etB={2 ; 3 ; 4 ; 5}. On a alors :
A= {2 ; 4 ; 6} B= {1 ; 6} A∩B= {3 ; 5} A∪B= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) =02.
P(Ω) =13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) =02.
P(Ω) =13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) =02.
P(Ω) =13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) =13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) =13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) =1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) = 1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) = 1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) = 1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Démonstration
Voir un cours de Première.
Définition 3
On noteΩl’univers d’une expérience aléatoire ete1, e2, . . . , en les éventualités.
Définir uneprobabilitéP surΩc’est associer à toute éventualitéek un réel dans [0 ; 1]notéP({ek})de telle sorte que :
1.
P(Ω) = 1.2.
P({ei;ej}) =P({ei}) +P({ej})quelque soitei etej.Propriété 1
Toute probabilité vérifie les propriétés suivantes :
1.
P(∅) = 02.
P(Ω) = 13.
P(A) = 1−P(A)4.
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y ad’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loiéquirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loiéquirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loiéquirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loiéquirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Définition 4 (Équiprobabilité)
Il y a d’équiprobabilité lorsque toutes les probabilités élémentaires sont égales, c’est-à-dire lorsqueP({ei}) =P({ej}) quelque soit les évènements élémentaires ei etej.
On dit aussi queP suit la loi équirépartie.
Théorème 1
Ensituation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènementAest égale à :
P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments deΩ= nombre de cas favorables nombre total de cas
Exercice 2
Dans un collège, les 100 élèves de troisième sont répartis selon leur seconde langue vivante comme le montre le tableau suivant :
allemand espagnol total
garçons 18 22 40
filles 33 27 60
total 51 49 100
Une expérience aléatoire consiste à prendre un élève au hasard. On modélise cette expérience par la loi équirépartie sur l’ensembleΩdes 100 élèves.
NotonsAl’évènement : « l’élève étudie l’allemand » etF : « l’élève est une fille ».
1.
Quelle est la probabilité que l’élève pris au hasard soit une fille ?2.
Quelle est la probabilité que l’élève pris au hasard soit une fille germaniste ?Sommaire
1. Rappels
2. Variables aléatoires
3. Probabilités conditionnelles 3.1 Exemple
3.2 Définition
3.3 Formule des probabilités totales 3.4 Évènements indépendants
Définition 5
Définir unevariable aléatoire X c’est associer une valeur réellexi à chaque éventualitéei d’une expérience aléatoire.
Donner laloi de probabilité de la variable aléatoire X, c’est donner pour chaque valeurxi prise parX la probabilitépide l’évènement X=xi.
On la présente généralement à l’aide d’un tableau.
k x1 x2 · · · xn P(X=k) p1 p2 · · · pn
Loi deX
Définition 5
Définir une variable aléatoire X c’est associer une valeur réellexi à chaque éventualitéei d’une expérience aléatoire.
Donner laloi de probabilité de la variable aléatoire X, c’est donner pour chaque valeurxi prise parX la probabilitépide l’évènement X=xi.
On la présente généralement à l’aide d’un tableau.
k x1 x2 · · · xn P(X=k) p1 p2 · · · pn
Loi deX
Définition 5
Définir une variable aléatoire X c’est associer une valeur réellexi à chaque éventualitéei d’une expérience aléatoire.
Donner laloi de probabilité de la variable aléatoire X, c’est donner pour chaque valeurxi prise parX la probabilitépi de l’évènement X=xi.
On la présente généralement à l’aide d’un tableau.
k x1 x2 · · · xn P(X=k) p1 p2 · · · pn
Loi deX
Définition 5
Définir une variable aléatoire X c’est associer une valeur réellexi à chaque éventualitéei d’une expérience aléatoire.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireX, c’est donner pour chaque valeurxi prise parX la probabilitépi de l’évènement X=xi.
On la présente généralement à l’aide d’un tableau.
k x1 x2 · · · xn P(X=k) p1 p2 · · · pn
Loi deX
Définition 5
Définir une variable aléatoire X c’est associer une valeur réellexi à chaque éventualitéei d’une expérience aléatoire.
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireX, c’est donner pour chaque valeurxi prise parX la probabilitépi de l’évènement X=xi.
On la présente généralement à l’aide d’un tableau.
k x1 x2 · · · xn P(X =k) p1 p2 · · · pn
Loi deX
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) =Ppixi
lavariance, notéeV(X)est égale à : V(X) =Ppi(xi−E(X))2
ou
V(X) =P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig) l’écart-type, notéσ(X)est égal à :
σ(X) =p V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi
lavariance, notéeV(X)est égale à : V(X) =Ppi(xi−E(X))2
ou
V(X) =P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig) l’écart-type, notéσ(X)est égal à :
σ(X) =p V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) =Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) =P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig)
l’écart-type, notéσ(X)est égal à : σ(X) =p
V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) =P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig)
l’écart-type, notéσ(X)est égal à : σ(X) =p
V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) = P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig)
l’écart-type, notéσ(X)est égal à : σ(X) =p
V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) = P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig)
l’écart-type, notéσ(X)est égal à : σ(X) =p
V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) = P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig) l’écart-type, notéσ(X)est égal à :
σ(X) =p V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) = P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig) l’écart-type, notéσ(X)est égal à :
σ(X) =p V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la moyenne, d’un point de vue théorique.
Une loi de probabilité étant donnée, on peut calculer différents paramètres :
Définition 6
l’espérance mathématique, notéeE(X)est égale à :E(X) = Ppixi lavariance, notéeV(X)est égale à :
V(X) = Ppi(xi−E(X))2 ou
V(X) = P(pix2i)−(E(X))2=E X2
−(E(X))2 (formule deKönig) l’écart-type, notéσ(X)est égal à :
σ(X) =p V(X)
Remarque
E(X)représente la moyenne etσ(X)la dispersion des valeurs autour de la
Exercice 3
On dispose de deux urnes : la première contient 3 jetons blancs et 2 noirs, la seconde contient 1 jeton blanc et 2 noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur mise 5 euros et tire au hasard un jeton dans chaque urne. Il gagne 6 euros si les deux jetons sont blancs, 8 euros si les deux jetons sont noirs, et 2 euros si les jetons sont de couleurs différentes.
On noteX la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain algébrique (le gain moins la mise) du joueur.
Déterminer la loi de probabilité deX, puis calculer l’espérance mathématique, et l’écart-type de la loi deX. Le jeu est-il équitable ?
Sommaire
1. Rappels
2. Variables aléatoires
3. Probabilités conditionnelles 3.1 Exemple
3.2 Définition
3.3 Formule des probabilités totales 3.4 Évènements indépendants
Sommaire
1. Rappels
2. Variables aléatoires
3. Probabilités conditionnelles 3.1 Exemple
3.2 Définition
3.3 Formule des probabilités totales 3.4 Évènements indépendants
Exemple
On pioche une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes bien battues.On noteF et C les évènements « la carte tirée est une figure » et « la carte tirée est un coeur ».
C=
( )
F=
( )
1.
CalculerP(F)etP(C).2.
CalculerP(C∪F)etP(C∩F).3.
CalculerPF(C)c’est à dire la probabilité que la carte soit un coeursachant quec’est une figure. Comparer avec P(C∩F)P(F) .
4.
etPC(F)c’est à dire la probabilité que la carte soit une figuresachant queExemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
5.
Donner les probabilités qui s’affichent :C=
( )
F=
( )
C
F P(C∩F)
PC(F)
F P C∩F
PC F
P(C)
C
F P C∩F
PC(F) P C
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
Exemple
6.
Donner les probabilités qui s’affichent :F=
( )
C=
( )
F
C P(F∩C)
PF(C)
C P F∩C
PF C
P(F)
F
C P F∩C
PF(C) P F
