[ Baccalauréat S 2012 \ L’intégrale d’avril à novembre 2012

[ Baccalauréat S 2012 \

L’intégrale d’avril à novembre 2012

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bleus

Pondichéry 13 avril 2012 . . . .3

Amérique du Nord 31 mai 2012 . . . . 11

Liban mai 2012 . . . . 17

Polynésie 10 juin 2012 . . . . 24

Antilles-Guyane 19 juin 2012 . . . . 30

Asie 20 juin 2012 . . . . 35

Centres étrangers 14 juin 2012 . . . . 39

Métropole 21 juin 2012 . . . . 45

Antilles-Guyane 13 septembre 2012 . . . . 50

Métropole 13 septembre 2012 . . . .56

Amérique du Sud 14 novembre 2012 . . . . 60

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012 . . . . 64

[ Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012 \

E

1 6 points

Commun à tous les candidats

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, par- ticipe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté.

À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes diffé- rents de 5 coureurs?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

— « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appar- tenant à l’intervalle [1; 50]

— l’écriture « x : = y » désigne l’affectation d’une valeur y à une va- riable x.

Variables a, b, c, d, e sont des variables du type entier Initialisation a : = 0 ; b : = 0 ; c : = 0 ; d : = 0 ; e : = 0

Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d ) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d ) ou (b = e ) ou (c = d ) ou (c = e ) ou (d = e)

Début du tant que

a : = rand(1, 50) ; b : = rand(1, 50) ; c : = rand(1, 50) ; d : = rand(1, 50) ; e : = rand(1, 50)

Fin du tant que

Sortie Afficher a, b, c, d , e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être ob- tenus avec cet algorithme :

L

= {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15} ; L

= {8,17,41,34,6};

L

= {12,17,23,17,50} ; L

= {45,19,43,21,18}?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 par- ticipants.

Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :

— il a été contrôlé 5 fois exactement;

— il n’a pas été contrôlé;

— il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on ap- pelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T ) = 0,05.

On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ».

Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100 %, on sait que :

— si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97 % des cas;

— si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1 % des cas.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

1. Calculer P (D ).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé?

E

2 4 points

Commun à tous les candidats Dans le repère orthonormé ³

O, − → ı , − →

 , → − k ´

de l’espace, on considère :

— les plans P et P

d’équations :

P : x − y − z − 2 = 0 et P

: x + y + 3z = 0.

— la droite D ayant pour représentation paramétrique :

 



 

x = − 3 − 2t

y = 2t

z = 1 + 2t

t ∈ R .

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1

La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2

La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3

L’intersection des plans P et P

est la droite ∆ dont une représentation paramétrique est :

 



 

x = 1 − t

y = − 1 − 2t

z = t

t

∈ R . Proposition 4

Les droites D et ∆ sont coplanaires.

Pondichéry 5 18 avril 2012

E

3 5 points Commun à tous les candidats

On considère les suites (I

) et (J

) définies pour tout entier naturel n par : I

=

Z

0

e

1 + x dx et J

= Z

0

e

(1 + x )

dx .

1. Sont représentées ci-dessous les fonctions f

définies sur l’intervalle [0; 1] par

f

(x ) = e

1 + x pour différentes valeurs de n :

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

f

f

f

f

O

a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I

) en

expliquant la démarche.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

b. Démontrer cette conjecture.

2. a. Montrer que pour tout entier n > 0 et pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 1] :

0 6 ^e

−nx

(1 + x )

6 ^e

−nx

1 + x 6 _e

_.

b. Montrer que les suites (I

) et ( J

) sont convergentes et déterminer leur limite.

3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n > _{1 :}

I

= 1 n

µ

1 − e

2 − J

¶ . b. En déduire lim

n→+∞

nI

.

E

4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que

| z | est le module de z . On admet l’égalité : | z |

= zz .

Montrer que, si z

et z

sont deux nombres complexes, alors | z

z

| = | z

| | z

| . Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ³

O, → − u , → − v ´ , on désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et − 1.

Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z 6= 1, associe le point M

d’affixe z

tel que :

z

= 1 − z z − 1 1. Soit C le point d’affixe z

= − 2 + i.

a. Calculer l’affixe z

du point C

image de C par la transformation f , et placer les points C et C

dans le repère donné en annexe.

Pondichéry 7 18 avril 2012

b. Montrer que le point C

appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C

sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble

∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transforma- tion f .

3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M

appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z

− 1

z − 1 est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A, M et M

?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D

par la transformation f .

E

4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.

Montrer que si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n ) alors ac ≡ bd (mod n).

Partie B Inverse de 23 modulo 26 On considère l’équation

(E ) : 23x − 26y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple ( − 9 ; − 8) est solution de l’équation (E ).

2. Résoudre alors l’équation (E ).

3. En déduire un entier a tel que 0 6 a 6 _{25 et 23a ≡} 1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x

; x

) où x

correspond à la première lettre du mot et x

correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 (x

; x

) est transformé en ¡

y

; y

¢

tel que : (S

)

½ y

≡ 11x

+ 3x

(mod 26)

y

≡ 7x

+ 4x

(mod 26) avec 0 6 y

6 _{25 et 0} 6 y

6 _25.

Étape 3 ¡

y

; y

¢

est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l’étape 1.

Exemple : |{z} TE

mot en clair étape1

=⇒ (19,4)

=⇒ (13,19)

=⇒ |{z} NT

mot codé

1. Coder le mot ST.

2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

a. Montrer que tout couple (x

; x

) vérifiant les équations du système (S

), vérifie les équations du système :

(S

)

½ 23x

≡ 4y

+ 23y

(mod 26) 23x

≡ 19y

+ 11y

(mod 26)

b. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x

; x

) vérifiant les équations du système (S

), vérifie les équations du système

(S

)

½ x

≡ 16y

+ y

(mod 26) x

≡ 11y

+ 5 y

(mod 26)

c. Montrer que tout couple (x

; x

) vérifiant les équations du système (S

), vérifie les équations du système (S

)

d. Décoder le mot YJ.

Pondichéry 9 18 avril 2012

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−

→ u

−

→ v

O

b

D

[ Baccalauréat S Amérique du Nord 31 mai 2012 \

E

1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis.

Partie A

On choisit au hasard un membre de cette association et on note :

— F l’évènement « le membre choisi est une femme »,

— T l’évènement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 2 5 . 2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme?

Partie B

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, un membre de l’association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section ten- nis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note p

la probabilité pour qu’en n semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, p

= 1 − µ 7

10

¶

.

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que p

> _0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons; 10 jetons

exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres

ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 ( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 ( ) réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et in- terpréter le résultat obtenu.

E

2 5 points

Restitution organisée des connaissances On rappelle que lim

t→+∞

e

t = +∞ . Démontrer que lim

x→+∞

ln(x ) x = 0.

Partie A

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞ [ par f (x ) = x − ln(x)

x .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ³

O, → − ı , → −

 ´ . 1. Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞ [ par

g (x ) = x

− 1 + ln(x ).

Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞ [.

2. a. Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞ [, f

(x ) = g (x ) x

. b. En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞ [.

c. Montrer que la droite D d’équation y = x est une asymptote à la courbe C .

d. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D .

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

3. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respective- ment M

et N

les points d’abscisse k de C et D .

a. Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la dis- tance M

N

entre les points M

et N

est donnée par M

N

= ln(k )

k . b. Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k

supérieur ou égal à 2 tel que la distance M

N

soit inférieure ou égale à 10

.

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur [0 ; 1] telle que : f (0) = 0 et f

(x ) = 1

1 + x

pour tout x de [0 ; 1].

On ne cherchera pas à déterminer f . Partie A

1. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; 1].

2. Soit g la fonction définie sur h 0 ; π

4

i par g (x) = f (tan(x )).

a. Justifier que g est dérivable sur h 0 ; π

4

i , puis que, pour tout x de h 0 ; π

4

i , g

(x ) = 1.

b. Montrer que, pour tout x de h 0 ; π

4

i , g (x ) = x , en déduire que

f (1) = π 4 .

3. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 0 6 f (x ) 6 ^π 4 . Partie B

Soit (I

) la suite définie par I

= Z

0

f (x ) dx et, pour tout entier naturel n non nul, I

=

Z

0

x

f (x ) dx .

Amérique du Nord 13 31 mai 2012

1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I

= π 4 − 1

2 ln(2).

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I

> _0.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I

6 ^π 4(n + 1) . c. En déduire la limite de la suite (I

).

E

3 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ³

O, − → u , − → v ´ . On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M

d’affixe z

telle que : z

= z

.

On note Ω le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ

des points M du plan tels que f (M ) = M . 2. Soit A le point d’affixe a = p

2 − i p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ

des points M d’affixe z tels que l’affixe z

du point M

soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ

des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle Ω M M

est rectangle isocèle direct en Ω.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle

, montrer que M est un point de Γ

si et seulement si z

− iz − 1 + i = 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z

− iz − 1 + i = (z − 1)(z + 1 − i).

c. En déduire l’ensemble Γ

.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer ³ −−−→ OM , −−−→ OM

´

en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ

des points M distincts de O et de Ω tels

que O, M et M

soient alignés.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

E

5 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ³

O, − → u , − → v ´ . Soit S la transformation du plan qui, à tout M d’affixe z, associe le point M

d’affixe z

telle que :

z

= 5iz + 6i + 4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor- mation S.

2. On note x et x

, y et y

les parties réelles et imaginaires respectives de z et z

.

Démontrer que : (

x

= − 5y + 4 y

= 5x + 6 Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que − 3 6 x 6 _{5 et − 3} 6 y 6 _5.

On note E l’ensemble de ces points M .

On rappelle que les coordonnées (x

; y

) du point M

, image du point M par la transformation S, sont x

= − 5 y + 4 et y

= 5x + 6.

1. a. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a + 3b = 5.

b. En déduire l’ensemble des points M de E de coordonnées (x ; y ) tels que − 3x

+ 4y

= 37.

2. Soit M un point de l’ensemble E et M

son image par la transformation S.

a. Démontrer que x

+ y

est un multiple de 5.

Amérique du Nord 15 31 mai 2012

b. Démontrer que x

− y

et x

+ y

sont congrus modulo 2.

En déduire que si x

− y

est multiple de 2 alors x

− y

et x

+ y

le sont également.

c. Déterminer l’ensemble des points M de E tels que : x

− y

= 20.

[ Baccalauréat S Liban mai 2012 \

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats.

Partie A

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0; +∞ [ par : g (x ) = 2x

− 1 + 2ln x

1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞ [.

2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une va- leur approchée de α, arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0; +∞ [.

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞ [ par : f (x ) = 2x − ln x

x

On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal ³

O, − → ı , − →

 ´ .

1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞ .

2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite

∆ d’équation y = 2x .

Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆ . 3. Justifier que f

(x) a même signe que g (x ).

4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère ³

O, − → ı , − →

 ´

. On prendra comme uni-

tés : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n .

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm

, est donnée par : I

= 2

Z

1

ln x x

dx.

2. a. Calculer l’intégrale Z

1

ln x

x

dx à l’aide d’une intégration par parties.

b. En déduire l’expression de I

en fonction de n.

3. Calculer la limite de l’aire I

du domaine D quand n tend vers +∞ .

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats.

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ³

O, − → ı , − →

 , − → k ´ , on considère les droites D

et D

de représentations paramétriques res- pectives :

 



 

x = 4 + t y = 6 + 2t z = 4 − t

, t ∈ R , et

 



 

x = 8 + 5t

y = 2 − 2t

z = 6 + t

, t

∈ R .

Affirmation : les droites D

et D

sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ³

O, − → ı , − →

 , − → k ´ , on considère les points A(12 ; 7 ; − 13) et B (3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x + 2 y − 5z = 1.

Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan P .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n , par : u

= n + 1

n + 2 et v

= 2 + 1 n + 2 Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u

= 1 et la rela- tion de récurrence :

u

= 1

3 u

, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Liban 19 mai 2012

Exercice 3 5 points Commun à tous les candidats.

On dispose de deux urnes U

et U

.

L’une U

contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.

L’urne U

contient 4 boules blanches et 6 boules noires.

Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U

, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U

le nombre de boules indiqué par le jeton.

On considère les évènements suivants :

J

« le jeton tiré de l’urne U

porte le numéro 1 » J

« le jeton tiré de l’urne U

porte le numéro 2 » J

« le jeton tiré de l’urne U

porte le numéro 3 » J

« le jeton tiré de l’urne U

porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urne U

sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à 10

suffit.

1. Calculer P

(B ), probabilité de l’évènement B sachant que l’évène- ment J

est réalisé.

Calculer de même la probabilité P

(B ).

On admet dans la suite les résultats suivants : P

(B) = 1

30 et P

(B ) = 1 210 .

2. Montrer que P (B ), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches.

Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme va- leur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

Exercice 4 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

³ O, → − u , → − v ´ . 1. Un triangle

a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 3 + i p

3 et c = 2i p 3.

Déterminer une mesure de l’angle ABC  .

b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au tri- angle ABC est 1 + i p

3.

2. Une transformation du plan

On note (z

) la suite de nombres complexes, de terme initiale z

= 0, et telle que :

z

= 1 + i p 3

2 z

+ 2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note A

le point d’affixe z

.

a. Montrer que les points A

, A

et A

ont pour affixes respectives : 3 + i p

3, 2 + 2i p

3 et 2i p 3 On remarquera que : A

= 1, A

= B et A

= C .

b. Comparer les longueurs des segments [A

A

], [A

A

] et [A

A

].

c. Établir que pour tout entier naturel n, on a :

z

− ω = 1 + i p 3

2 (z

− ω),

où ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b.

d. En déduire que le point A

est l’image du point A

par une trans- formation dont on précisera les éléments caractéristiques.

Liban 21 mai 2012

e. Justifier que, pour tout entier naturel n , on a : A

= A

. Détermi- ner l’affixe du point A

.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n , la longueur du segment [A

A

].

Exercice 4 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

³ O, → − u , → − v ´ .

On note z

la suite de nombres complexes, de terme initiale z

= 0, et telle que :

z

= 1 + i

2 z

+ 1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n , on note A

le point d’affixe z

.

1. Calculer les affixes des points A

, A

et A

. Placer ces points dans le plan muni du repère ³

O, − → u , → − v ´ .

2. a. Montrer que le point A

est l’image du point A

par une similitude directe s, dont on définira le rapport, l’angle et le centre Ω , d’affixe ω.

b. Démontrer que le triangle Ω A

A

est isocèle rectangle.

3. a. établir que, pour tout entier naturel n, on a : Ω A

= Ã p

2 2

!

.

b. À partir de quelle valeur de n les points A

sont-ils situés à l’inté- rieur du disque de centre Ω et de rayon 0,001?

4. Pour tout entier naturel n, on note a

la longueur A

A

et L

la somme X

k=0

a

.

L

est ainsi la longueur de la ligne polygonale A

A

... A

A

.

Déterminer la limite de L

quand n tend vers +∞ .

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n , les points A

, Ω et A

sont alignés.

Liban 23 mai 2012

Exercice 1 5 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ³

O, → − ı , → −

 ´ . On considère les points B (100; 100) et C

µ

50 ; 50 p e

¶

et la droite (D) d’équa- tion y = x .

On note f la fonction définie sur R dont la courbe représentative, notée Γ , est donnée en annexe.

On suppose de plus qu’il existe deux réels a et b tels que :

• pour tout x réel, f (x) = x e

.

• les points B et C appartiennent à la courbe Γ .

1. a. Montrer que le couple (a ; b) est solution du système :

 



100a + b = 0 50a + b = − 1 2

b. En déduire que, pour tout x réel, f (x ) = xe

. 2. Déterminer la limite de f en +∞ .

3. a. Montrer que pour tout x réel, f (x ) = 100

e × 0,01x e

b. En déduire la limite de f en −∞ .

4. Étudier les variations de la fonction f . On donnera le tableau de varia- tions complet.

5. Étudier la position relative de la courbe Γ et de la droite (D).

6. a. Calculer à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale Z

0

f (t ) dt . b. On désigne par A l’aire, en unités d’aire, du domaine du plan déli-

mité par les droites d’équations x = 0 et x = 100 , la droite (D) et la courbe Γ .

Calculer A.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

Exercice 2 5 points

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ³

O, → − u , → − v ´ , on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = − 2 + 2i, b = − 3 − 6i et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A

image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s = − 13 2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au tri- angle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rota- tion de centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1 2 + 5

2 i et p = 2 − 5i.

a. Démontrer que s − q

p − a = − i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercice 3 5 points

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Les variables sont le réelUet les entiers naturelsketN.

Polynésie 25 juin 2012

Entrée

Saisir le nombre entier naturel non nulN. Traitement

Affecter àUla valeur 0 Pourkallant de 0 àN−1

| Affecter àUla valeur 3U−2k+3 Fin pour

Sortie AfficherU

Quel est l’affichage en sortie lorsqueN=3?

Partie B

On considère la suite (un) définie paru0=0 et, pour tout entier natureln, un+1=3un−2n+3.

1. Calculeru₁etu₂.

2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un>n.

b. En déduire la limite de la suite (u_n).

3. Démontrer que la suite (un) est croissante.

4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=un−n+1.

a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier natureln,un=3ⁿ+n−1.

5. Soitpun entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn>_n0,un>₁₀^p_? On s’intéresse maintenant au plus petit entiern0.

b. Justifier quen063p.

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entiern0pour la valeurp=3.

d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur depdonnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entiern0tel que, pour toutn>n0, on aitun>10^p.

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On désigne parxun réel appartenant à l’intervalle [0; 80].

Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.

Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle,x% ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x.

2. Déterminerxpour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d’une étoile.

3. Déterminerxpour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question quex=50.

Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne.

Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ? 3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d’un cercle ?

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y=1 oùxetysont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation.

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie,adésigne un entier naturel et les nombrescetg sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g−108c=1.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

Sipest un nombre premier etaun entier non divisible parp, alorsa^p−1est congru à 1 modulopque l’on notea^p−1≡1 [p].

1. Soitxun entier naturel.

Démontrer que six≡a[7] etx≡a[19], alorsx≡a[133].

2. a. On suppose quean’est pas un multiple de 7.

Démontrer quea⁶≡1 [7] puis quea¹⁰⁸≡1 [7].

En déduire que¡ a²⁵¢g

≡a[7].

b. On suppose que a est un multiple de 7.

Démontrer que¡ a²⁵¢g

≡a[7].

c. On admet que pour tout entier naturela,¡ a²⁵¢g

≡a[19].

Démontrer que¡ a²⁵¢g

≡a[133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturelsatels que : 16a626.

Un message, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entierade A, l’entierrtel quea²⁵≡r[133] avec 06r<133.

La phase de décodage consiste à associer àr, l’entierr1tel quer¹³≡r1[133] avec 06r1<133.

Polynésie 27 juin 2012

1. Justifier quer1≡a[133].

2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

Annexe de l’exercice 1

20 40 60 80 100 120

−20

−40

−60

−80

−100

−120

−140

−20 20 40 60 80 100 120 140 160

0 20 40 60 80 100 120 140

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

b b B

C

Γ

Annexe de l’exercice 2

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5

bA

b

B

b C

b b

A^′

S

b b b

b

C^′

Q

B^′ P

Polynésie 29 juin 2012

EXERCICE1 6 points Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On noteRl’ensemble des nombres réels et on considère la fonctionf définie surRpar f(x)=xe^x−1+1.

On noteC sa courbe représentative dans un repère orthonormé³

O,−→ı ,−→

´ . Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite def en−∞.

Que peut-on en déduire pour la courbeC? 2. Déterminer la limite def en+∞.

3. On admet quef est dérivable surR, et on notef^′sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réelx,f^′(x)=(x+1)e^x−1.

4. Étudier les variations def surRet dresser son tableau de variation surR. Partie B : recherche d’une tangente particulière

Soitaun réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe Cau point d’abscissea, qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle T_ala tangente àC au point d’abscissea. Donner une équation de T_a.

2. Démontrer qu’une tangente àC en un point d’abscisseastrictement positive passe par l’origine du repère si et seulement siavérifie l’égalité

1−a²e^a−1=0.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ;+∞[ de l’équation 1−x²e^x−1=0.

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d’aire

Le graphique donné enAnnexe 1représente la courbeC de la fonction f dans un repère orthonormé

³O,−→ı,→−

´ .

1. Construire sur ce graphique la droite∆d’équationy=2x. On admet que la courbeC est au-dessus de la droite∆. Hachurer le domaineDlimité par la courbeC la droite∆, la droite d’équation (x=1) et l’axe des ordonnées.

2. On pose I= Z₁

0 xe^x−1dx. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que I=1 e. 3. En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaineD.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

EXERCICE2 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct³

O,−→u,−→v´ .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives a= −1+2i ; b= −2−i ; c= −3+i.

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a, en déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l’application f qui à tout pointMd’affixezavecz6=b, associe le pointM^′d’affixez^′ définie par

z^′=z+1−2i z+2+i

a. Calculer l’affixec^′du point C^′, image de C parf et placer le point C^′sur la figure.

b. Déterminer l’ensembleEdes pointsMd’affixezavecz6=b, tels que|z^′| =1.

c. Justifier queE contient les points O et C. TracerE.

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotationrde centre O et d’angle−π 2. On appelle K l’image du point C par la rotationr^′de centre O et d’angleπ

2. On note L le milieu de [JK].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.

EXERCICE3 5 points

Commun à tous les candidats

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturelnnon nul par







u1 = 1

2 u_n+1 = n+1

2n u_n 1. Calculeru2,u3etu4.

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,unest strictement positif.

b. Démontrer que la suite (un) est décroissante.

c. Que peut-on en déduire pour la suite (un)?

3. Pour tout entier naturelnnon nul, on pose

vn=u_n n .

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. On précisera sa raison et son premier termev1.

Antilles-Guyane 31 19 juin 2012

b. En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, un= n 2ⁿ.

4. Soit la fonctionf définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ parf(x)=lnx−xln 2.

a. Déterminer la limite def en+∞.

b. En déduire la limite de la suite (un).

EXERCICE4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles. On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simul- tanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3. Une variable aléatoireY suit une loi binomiale de paramètres 20 et1

5.

Calculer la probabilité queY soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10⁻³.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelleAl’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » etFl’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènementsAetFsont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défautF? 5. On considère l’algorithme :

AetCsont des entiers naturels, Cprend la valeur 0

Répéter 9 fois

Aprend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.

SiA>5 alorsCprend la valeur deC+1 Fin Si

Fin répéter AfficherC.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeurCaffichée.

Quelle loi suit la variableX? Préciser ses paramètres.

EXERCICE4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Les quatre questions sont indépendantes.

Baccalauréat S : l’intégrale 2012 A. P. M. E. P.

1. a. Vérifier que le couple (4; 6) est une solution de l’équation (E) 11x−5y=14.

b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x;y) vérifiant l’équation (E).

2. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,

2³ⁿ≡1 (mod 7).

b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011²⁰¹²par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la trans- formationf qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM^′d’affixez^′tel que :

z^′=3

2(1−i)z+4−2i.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent µA

N

¶

désigne la partie entière de A N. AetNsont des entiers naturels

SaisirA

Nprend la valeur 1 Tant queN6^p_A

Si A N−Ent

µA N

¶

=0 alors AfficherN et A Fin si N

Nprend la valeurN+1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pourA=12?

Que donne cet algorithme dans le cas général?

Antilles-Guyane 33 19 juin 2012

ANNEXE 1 Exercice 1 À rendre avec la copie CourbeC représentative def

1 2

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

O

C

[ Baccalauréat S Asie 20 juin 2012 \

EXERCICE1 5 points

Commun à tous les candidats

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justi- fiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte1point.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal³ O,→−

ı,−→

,−→ k´

, on considère la droiteDdont on donne une représentation paramétrique, et le planP dont on donne une équation cartésienne :

D





x = 1−2t

y = t

z = −5−4t

(t∈R) et P : 3x+2y−z−5=0.

Affirmation 1: la droiteDest strictement parallèle au planP. 2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal³

O,−→ı,−→

,→− k´

, on considère le point A(1; 9; 0) et le planP d’équation cartésienne :

4x−y−z+3=0.

Affirmation 2: la distance du point A au planP est égale à p3

2 . 3. Soit la fonctionf définie pour tout réelxpar :f(x)= 3

1+e^−2x.

On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère du plan.

Affirmation 3: la courbeC admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abscisses.

4. Pour tout réelx, on poseF(x)= Z_x

1 (2−t)e^−tdt.

Affirmation 4:F(x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réelxsupérieur à 1.

5. On considère l’intégraleI= Z_e

1 t²lntdt.

Affirmation 5: la valeur exacte de l’intégraleIest :2e³+1 9 .

EXERCICE2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Le plan est muni d’un repère orthonormal direct³

O,−→u,−→v´ . On noterla rotation de centre O et d’angleπ

6. On considère le point A, d’affixezA= −p

3+i, le point A1d’affixezA1=zAoùzAdésigne le conjugué dezA. On note enfin B image du point A1par la rotationretzBl’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexezAsous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier quezB=2e^−2iπ3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexezBsous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.